비에트 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 공식
- 2.2. 환으로의 일반화
3. 증명
- 3.1. 직접 증명
- 3.2. 수학적 귀납법
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

비에트 정리는 n차 다항식의 근과 다항식 계수 사이의 관계를 나타내는 정리이다. n차 다항식의 근들을 x₁, x₂, ..., xₙ이라고 할 때, 비에트 정리에 따르면 근들의 합, 곱, 그리고 근들의 조합으로 만들어지는 식들은 다항식의 계수와 일정한 관계를 갖는다. 예를 들어, 이차 방정식의 경우 두 근의 합은 -b/a, 곱은 c/a와 같다. 비에트 정리는 다항식의 근을 직접 구하지 않고도 근들의 관계를 파악하는 데 유용하며, 프랑수아 비에트가 양의 근에 대해 처음 발견했고, 알베르 지라르가 일반적인 경우로 확장했다.

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이차 방정식은 최고차항이 2차인 대수 방정식으로, $ax^2 + bx + c = 0$ 형태로 표현되며 근의 공식으로 해를 구하고 판별식에 따라 실근 또는 허근을 가지며 여러 분야에 응용된다.
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비에트 정리
개요
이름	비에트의 공식
유형	다항식
분야	수학
공식
다항식	aₙ xⁿ + aₙ₋₁ xⁿ⁻¹ + … + a₁ x + a₀
근	α₁, …, αₙ
조건	aₙ ≠ 0
관계	α₁ + α₂ + ... + αₙ = -aₙ₋₁ / aₙ α₁α₂ + α₁α₃ + ... + αₙ₋₁αₙ = aₙ₋₂ / aₙ α₁α₂α₃ + α₁α₂α₄ + ... + αₙ₋₂αₙ₋₁αₙ = -aₙ₋₃ / aₙ ... α₁α₂...αₙ = (-1)ⁿ a₀ / aₙ
예시
이차 방정식	ax² + bx + c = 0
근의 합	α₁ + α₂ = -b/a
근의 곱	α₁α₂ = c/a
삼차 방정식	ax³ + bx² + cx + d = 0
근의 합	α₁ + α₂ + α₃ = -b/a
두 근의 곱의 합	α₁α₂ + α₂α₃ + α₃α₁ = c/a
근의 곱	α₁α₂α₃ = -d/a

2. 정의

음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 차 복소수 다항식

: $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb C[x]\qquad(a_i\in\mathbb C,\;a_n\ne 0)$

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따르면, 이 다항식은 복소수 범위 내에서 (중복도를 포함하여) 정확히 $n$ 개의 영점(근) $x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb C$ 를 갖는다.

'''비에트 정리'''는 이 다항식의 근 $x_1, \dots, x_n$ 과 계수 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 사이에 성립하는 관계를 설명하는 정리이다. 구체적으로, 각 $k\in\{1, \dots, n\}$ 에 대하여, 근들의 $k$ 차 기본 대칭 다항식 값은 계수들과 다음과 같은 관계를 가진다.

: $\sum_{1\le i_1$

즉, $n$ 개의 근을 이용하여 만들 수 있는 모든 $k$ 개 항의 곱들의 합은 최고차항 계수 $a_n$ 과 $n-k$ 차항 계수 $a_{n-k}$ 의 비율에 $(-1)^k$ 를 곱한 값과 같다. 예를 들어, 모든 근의 합( $k=1$ )은 $-(a_{n-1}/a_n)$ 이고, 모든 근의 곱( $k=n$ )은 $(-1)^n (a_0/a_n)$ 이다. 비에트 정리의 좌변은 근들의 기본 대칭 다항식이다.

2. 1. 기본 공식

음이 아닌 정수

n

에 대하여,

n

차 복소수 다항식

:

p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb C[x]\qquad(a_i\in\mathbb C,\;a_n\ne 0)

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이 다항식은 중복도를 포함하여 정확히

n

개의 복소수 영점(근)

x_1,\dots,x_n\in\mathbb C

를 갖는다. '''비에트 정리'''는 이 근들과 다항식의 계수

a_0, a_1, \dots, a_n

사이의 관계를 설명한다.

구체적으로, 각

k\in\{1,\dots,n\}

에 대하여, 근

x_1,\dots,x_n

들의

k

차 기본 대칭 다항식 값은

(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}

와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\sum_{1\le i_1

이를 풀어서 쓰면 다음과 같은

n

개의 등식이 성립한다.

:

x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}

(모든 근의 합)

:

(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots+x_2x_n) + \cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}

(서로 다른 두 근의 곱의 합)

:

\vdots

:

x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}

(모든 근의 곱)

여기서 좌변의 식들은 근

x_1, \dots, x_n

에 대한 기본 대칭 다항식이다.

'''예시'''

'''2차 다항식'''

x

에 대한 이차식

f(x) = ax^2 + bx + c

의 두 근을

\alpha, \beta

라고 하자. 인수 정리에 의해

f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)

로 인수분해된다. 이 식을 전개하여 원래 식과 계수를 비교하면 다음 관계를 얻는다.

:

\begin{cases} \alpha + \beta = - \cfrac{b}{a} \\ \alpha \beta = \cfrac{c}{a} \end{cases}

이는 이차 방정식의 근의 공식을 이용해서도 유도할 수 있다.

'''3차 다항식'''

x

에 대한 삼차식

g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

의 세 근을

\alpha, \beta, \gamma

라고 하자. 인수 정리에 의해

g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x- \gamma)

로 인수분해된다. 이 식을 전개하여 계수를 비교하면 다음 관계를 얻는다.

:

\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = - \cfrac{b}{a} \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \cfrac{c}{a} \\ \alpha \beta \gamma = - \cfrac{d}{a} \end{cases}

'''4차 다항식'''

x

에 대한 사차식

h(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

의 네 근을

\alpha, \beta, \gamma, \delta

라고 하자. 인수 정리에 의해

h(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x- \gamma)(x- \delta)

로 인수분해된다. 이 식을 전개하여 계수를 비교하면 다음 관계를 얻는다.

:

\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma + \delta = - \cfrac{b}{a} \\ \alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = \cfrac{c}{a} \\ \alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - \cfrac{d}{a} \\ \alpha \beta \gamma \delta = \cfrac{e}{a} \end{cases}

아벨-루피니의 정리에 따르면 5차 이상의 일반적인 다항식에 대해서는 근의 공식이 존재하지 않지만, 비에트 정리, 즉 근과 계수의 관계는 차수에 관계없이 항상 성립한다.

2. 2. 환으로의 일반화

비에트의 정리는 임의의 정역 R의 계수를 갖는 다항식에 대해서도 적용될 수 있다. 이때, 다항식의 계수

a_i

와 최고차항 계수

a_n

의 몫

a_i/a_n

은 정역 R의 분수체에 속하게 된다. 만약

a_n

이 R에서 가역원이라면, 이 몫은 R 자체에 속할 수도 있다. 다항식의 근

r_i

는 R을 포함하는 대수적으로 닫힌 체에서 찾는다. 일반적으로 R이 정수의 환이라면, 분수체는 유리수의 체가 되고, 대수적으로 닫힌 체는 복소수의 체가 된다.

비에트의 정리는 다항식의 근을 직접 구하지 않고도 근들 사이의 관계를 알 수 있게 해주므로 유용하게 사용된다.

한편, 정역이 아닌 가환환 위의 다항식에 대해서는 비에트의 정리가 항상 성립하지는 않는다. 이 경우, 비에트의 정리는 최고차항 계수

a_n

이 영인자가 아니고, 다항식

P(x)

가

a_n(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)

형태로 인수분해될 때만 유효하다. 예를 들어, 모듈로 8인 정수의 환에서 이차 다항식

P(x) = x^2-1

은 1, 3, 5, 7 네 개의 근을 가진다. 만약 근을

r_1=1

과

r_2=3

으로 선택하면,

P(x) \neq (x-1)(x-3)

이므로 비에트의 정리가 성립하지 않는다. 하지만

P(x)

는

(x-1)(x-7)

또는

(x-3)(x-5)

로 인수분해될 수 있다. 따라서 근을

r_1=1

,

r_2=7

또는

r_1=3

,

r_2=5

로 선택하면 비에트의 정리가 성립한다.

3. 증명

비에트 정리는 다항식의 근과 계수 사이의 관계를 나타내는 정리로, 크게 두 가지 방식으로 증명할 수 있다.

첫 번째는 대수학의 기본 정리와 인수 정리를 이용하는 방법이다. $n$ 차 다항식 $p(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 는 근 $x_1, \dots, x_n$ 을 이용하여 $p(x) = a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n)$ 와 같이 인수분해할 수 있다. 이 식을 전개하여 원래 다항식의 계수와 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

: $\begin{align}& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \\={} & p(x) \\={} & a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n) \\={} & a_n(x^n-(x_1+\cdots+x_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nx_1\cdots x_n)\end{align}$

위 등식의 양변에서 각 $x^k$ 항의 계수를 비교하면 비에트 정리가 성립함을 알 수 있다.

두 번째는 수학적 귀납법을 이용하는 방법이다. 다항식의 차수 $n$ 에 대해, 낮은 차수(예: $n=2$ )에서 정리가 성립함을 보이고 (기저 사례), $n$ 차에서 성립한다는 가정 하에 $n+1$ 차에서도 성립함을 증명하여 (귀납 단계) 모든 자연수 $n$ 에 대해 정리가 성립함을 보인다.

3. 1. 직접 증명

다음 등식 양변의 다항식에서 각

x^k

항의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \\={} & p(x) \\={} & a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n) \\={} & a_n(x^n-(x_1+\cdots+x_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nx_1\cdots x_n)\end{align}

비에트 정리는 위 등식의 우변을 전개하여 증명할 수 있다. 다항식

p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0

의 근을

r_1, r_2, \dots, r_n

이라고 하면, 인수 정리에 의해 다음과 같이 인수분해할 수 있다.

:

a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n (x-r_1) (x-r_2) \cdots (x-r_n)

이 등식은

r_1, r_2, \dots, r_n

이 이 다항식의 모든 근이기 때문에 성립한다. 우변의

(x-r_1) (x-r_2) \cdots (x-r_n)

부분을 전개하면, 각 항은

(-1)^{n-k}r_1^{b_1}\cdots r_n^{b_n} x^k

형태가 된다. 여기서

b_i

는

r_i

가 곱에 포함되는지에 따라 0 또는 1의 값을 가지며, ''k''는 포함된

r_i

의 개수, 즉

x

가 곱해진 횟수이다. 전체 인수 개수는 ''n''개이다. 이 전개 과정에서 ''n''개의 각 인자에서

x

또는

-r_i

를 선택하는 경우의 수가

2^n

개 있으므로, 총

2^n

개의 항이 생긴다.

이 항들을

x

의 차수(

k

)에 따라 묶으면,

x^k

의 계수는

r_i

들 중에서 서로 다른

(n-k)

개를 뽑아 곱한 모든 경우의 합에

(-1)^{n-k}

를 곱한 값이 된다. 이는 근

r_i

들의 기본 대칭 다항식과 관련된다. 구체적으로

x^k

의 계수는

a_n \times (-1)^{n-k} \times e_{n-k}(r_1, \dots, r_n)

이다. 여기서

e_{n-k}

는

(n-k)

차 기본 대칭 다항식을 의미한다.

예를 들어, 이차 방정식을 고려해 보자.

:

f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0 = a_2(x - r_1)(x - r_2) = a_2(x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2)

양변의 계수를 비교하면,

a_2=a_2

,

a_1=-a_2 (r_1+r_2)

그리고

a_0 = a_2 (r_1r_2)

임을 알 수 있다. 이를 통해 근과 계수의 관계, 즉

n=2

에 대한 비에트의 공식을 얻는다.

:

r_1+r_2 = - \frac{a_1}{a_2}

:

r_1r_2 = \frac{a_0}{a_2}

다른 관점에서, 대수학의 기본 정리는 복소수 계수를 가지는

n

차 다항식

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

(

a_n \neq 0

)가 복소수 범위 내에서 정확히

n

개의 근

\alpha_1, \dots, \alpha_n

(중근 포함)을 가짐을 보장한다. 인수 정리를 반복적으로 적용하면, 이 다항식을 다음과 같이 근을 이용하여 인수분해할 수 있다.

:

f(x) = a_n (x - \alpha_1) \dots (x - \alpha_n)

이 식의 우변을 전개하고, 원래 다항식의 계수

a_{n-k}

와 비교하면 비에트 정리가 성립함을 알 수 있다. 즉,

k

번째 기본 대칭 다항식

e_k(\alpha_1, \dots, \alpha_n)

에 대해 다음 관계가 성립한다.

:

e_k(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} \qquad (k=1, \dots , n)

3. 2. 수학적 귀납법

n차 다항식

p(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

(단,

a_n \neq 0

)의 근을

x_1, \dots, x_n

이라고 하자. 인수정리에 따라 이 다항식을 다음과 같이 인수분해할 수 있다.

p(x) = a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n)

이 식을 전개하면 다음과 같다.

p(x) = a_n(x^n-(x_1+\cdots+x_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nx_1\cdots x_n)

원래 다항식의 표현

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

과 위에서 전개한 식

a_n(x^n-(x_1+\cdots+x_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nx_1\cdots x_n)

은 같은 다항식을 나타낸다. 따라서 등식 양변의 각 차수(

x^k

)의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻을 수 있다. 예를 들어,

x^{n-1}

의 계수를 비교하면

a_{n-1} = -a_n(x_1+\cdots+x_n)

이고, 상수항(

x^0

)의 계수를 비교하면

a_0 = a_n(-1)^n(x_1\cdots x_n)

이다. 이를 정리하면 비에트 정리의 각 공식을 유도할 수 있다.

4. 예

비에트 정리가 이차 다항식과 삼차 다항식, 사차 다항식에 적용되는 예시는 다음과 같다.

이차 다항식 $P(x) = ax^2 + bx + c$ 의 근 $r_1, r_2$ 는 다음 관계를 만족한다.

$r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}.$

삼차 다항식 $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 의 근 $r_1, r_2, r_3$ 는 다음 관계를 만족한다.

$r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}, \quad r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a}.$

사차 다항식 $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ 의 근 $r_1, r_2, r_3, r_4$ 는 다음 관계를 만족한다.

$\begin{align*}r_1 + r_2 + r_3 + r_4 &= -\frac{b}{a} \\r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_1 r_4 + r_2 r_3 + r_2 r_4 + r_3 r_4 &= \frac{c}{a} \\r_1 r_2 r_3 + r_1 r_2 r_4 + r_1 r_3 r_4 + r_2 r_3 r_4 &= -\frac{d}{a} \\r_1 r_2 r_3 r_4 &= \frac{e}{a}\end{align*}$

이러한 관계는 인수 정리를 이용하여 다항식을 근으로 인수분해한 뒤, 전개하여 계수를 비교함으로써 유도할 수 있다. 각 차수별 방정식에 대한 자세한 유도 과정은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

4. 1. 일차 방정식

일차항 계수가 0이 아닌 복소수 계수 일차 방정식

:

ax+b=0

은 유일한 복소수 해

:

x_1=-\frac ba

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

4. 2. 이차 방정식

이차항 계수

a

가 0이 아닌 복소수 계수 이차 방정식

:

ax^2+bx+c=0 \quad (a \ne 0)

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을

x_1, x_2

라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같이 표현된다.

:

x_1+x_2=-\frac ba

:

x_1x_2=\frac ca

이 관계는 인수 정리를 통해 유도할 수 있다.

x

에 대한 이차식

f(x) = ax^2 + bx + c

의 근을

\alpha, \beta

라고 하면, 인수 정리에 의해 이차식은 다음과 같이 인수분해된다.

:

f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)

이 식을 전개하면

f(x) = a(x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) = ax^2 - a(\alpha+\beta)x + a\alpha\beta

이다. 원래의 이차식

f(x) = ax^2 + bx + c

와 계수를 비교하면 다음의 관계를 얻는다.

:

\begin{cases} -a(\alpha + \beta) = b \quad \implies \quad \alpha + \beta = - \cfrac{b}{a} \\[7pt] a\alpha \beta = c \quad \implies \quad \alpha \beta = \cfrac{c}{a} \end{cases}

초등 수학 과정에서 인수 정리나 대수학의 기본 정리를 배우지 않았다면, 이차 방정식의 근의 공식을 이용하여 두 근을 직접 구한 뒤, 두 근의 합과 곱을 계산하여 위 관계식을 유도할 수도 있다.

두 근의 합에 대한 관계식(

x_1+x_2 = -b/a

)은 이차 함수

y = ax^2+bx+c

의 대칭축

x = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1+x_2}{2}

을 구하는 데 사용되며, 이는 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 과정에 활용될 수 있다.

4. 3. 삼차 방정식

복소수를 계수로 가지는 삼차 방정식

ax^3+bx^2+cx+d=0

(단,

a \ne 0

)의 세 근을

x_1, x_2, x_3

이라고 하자. 이때 비에트 정리에 따라 근과 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

x_1+x_2+x_3=-\frac ba

x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac ca

x_1x_2x_3=-\frac da

이는 인수 정리를 통해 확인할 수 있다. 삼차식

g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

의 근을

\alpha, \beta, \gamma

라고 하면, 인수 정리에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x- \gamma)

이 식을 전개하면 다음과 같다.

g(x) = a(x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma)

g(x) = ax^3 - a(\alpha+\beta+\gamma)x^2 + a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - a\alpha\beta\gamma

원래의 삼차식

g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

와 계수를 비교하면 다음의 관계식을 얻는다.

-a(\alpha+\beta+\gamma) = b \implies \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}

a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = c \implies \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}

-a\alpha\beta\gamma = d \implies \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}

따라서 삼차 방정식의 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근의 곱은 각각 위와 같이 계수들로 표현된다.

4. 4. 사차 방정식

(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을

x_1,x_2,x_3,x_4

라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

:

x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac ba

:

x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac ca

:

x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac da

:

x_1x_2x_3x_4=\frac ea

x

에 대한 사차식

:

g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

의 근을

\alpha, \beta, \gamma, \delta

라고 한다. 인수 정리에 의해

:

g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x- \gamma)(x- \delta)

이므로 전개하여 계수를 비교하면

:

\begin{cases}\alpha + \beta + \gamma + \delta = - \cfrac{b}{a} \\[7pt]\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = \cfrac{c}{a} \\[7pt]\alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - \cfrac{d}{a} \\[7pt]\alpha \beta \gamma \delta = \cfrac{e}{a}\end{cases}

가 성립한다.

4. 5. 고차 방정식

5차 이상의 다항식에는 근의 공식이 존재하지 않지만(아벨-루피니의 정리), 근과 계수의 관계는 마찬가지로 성립한다.

5. 역사

비에트 정리는 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 처음 발견하여 그의 이름이 붙었다. 비에트는 방정식의 근이 양수인 경우에 한정하여 이 정리를 증명했다.^[3] 이후 17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르(Albert Girard^프랑스어)가 양수뿐만 아니라 모든 근에 대해 성립하는 일반적인 경우로 확장하여 증명하였다.^[4] 18세기 영국 수학자 찰스 허턴은 알베르 지라르가 근과 계수의 관계에 대한 일반적인 원리를 처음으로 이해했다고 평가했다.^[2]

5. 1. 프랑수아 비에트

비에트 정리는 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 처음 발견한 것으로 알려져 있다.^[3] 그는 방정식의 근이 양수인 경우에 한정하여 이 정리를 증명했다.

이후, 17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르( Albert Girard^fra )가 양수뿐만 아니라 모든 근에 대해 성립하는 일반적인 경우를 증명하였다.^[4] 18세기 영국 수학자 찰스 허턴은 알베르 지라르가 근과 계수의 관계에 대한 일반적인 원리를 처음으로 이해했다고 평가했다.^[2]

...[지라르는] 근의 합과 곱으로부터 거듭제곱의 계수가 형성되는 일반적인 이론을 이해한 최초의 인물이다. 그는 임의의 방정식의 근의 거듭제곱을 합하는 규칙을 발견한 최초의 인물이었다.

5. 2. 알베르 지라르

비에트 정리는 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 처음 발견했지만, 이는 양수인 근에 대해서만 해당되었다.^[3] 이후 17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르(Albert Girard^프랑스어)가 이를 일반적인 경우, 즉 양수 근뿐만 아니라 음수 근이나 허수 근까지 포함하는 모든 근에 대해 증명했다.^[4]

18세기 영국 수학자 찰스 허턴은 알베르 지라르가 양의 실수 근에 국한되지 않는 비에트 정리의 일반 원리를 처음으로 이해했다고 평가했다.^[2] 허턴에 따르면, 지라르는 다음과 같이 평가받았다.^[2]

: ...[지라르는] 근의 합과 곱으로부터 거듭제곱의 계수가 형성되는 일반적인 이론을 이해한 최초의 인물이다. 그는 임의의 방정식의 근의 거듭제곱을 합하는 규칙을 발견한 최초의 인물이었다.

5. 3. 찰스 허턴

18세기 영국 수학자 찰스 허턴은 알베르 지라르가 양의 실수근뿐만 아니라 일반적인 경우에 대한 비에트 정리의 원리를 처음으로 이해했다고 평가했다.^[2] 펑크호저가 인용한 바에 따르면, 허턴은 지라르에 대해 다음과 같이 말했다.

...[지라르는] 근의 합과 곱으로부터 거듭제곱의 계수가 형성되는 일반적인 이론을 이해한 최초의 인물이다. 그는 임의의 방정식의 근의 거듭제곱을 합하는 규칙을 발견한 최초의 인물이었다.

참조

_[1] 웹사이트 Vieta's Formulas https://mathworld.wo[...] 2024-06-22
_[2] 서적 1930
_[3] 서적 Opera mathematica https://archive.org/[...] Ex Officinâ Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum 1646
_[4] 서적 Invention nouvelle en l'algèbre https://archive.org/[...] Imprimé chez Muré frères 1884

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