싱크함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

싱크 함수는 정규화된 sinc 함수와 비정규화된 sinc 함수로 구분되는 두 가지 정의를 가진 함수이다. 정규화된 sinc 함수는 디지털 신호 처리에서, 비정규화된 sinc 함수는 수학에서 주로 사용된다. 두 함수 모두 '카디널 사인'이라고도 불리며, 0에서 제거 가능한 특이점을 가지지만, sinc(0) = 1로 정의하여 해석 함수로 사용된다. 이 함수는 푸리에 변환, 보간법, 그리고 다양한 응용 분야에서 활용되며, 특히 정규화된 sinc 함수의 푸리에 변환은 사각형 함수이다. 하지만, 컴팩트 지지를 갖지 않아 계산량 증가와 같은 한계가 있다.

2. 정의

sinc 함수는 정규화 sinc 함수와 비정규화 sinc 함수라는 이름으로 구별되는 2가지 정의를 가진다.

디지털 신호 처리 등에서는 다음의 '''정규화 sinc 함수''' ('''표본화 함수'''라고도 함)가 일반적이다.

: $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}.$

수학에서는 다음의 역사적인 '''비정규화 sinc 함수'''가 사용된다.

: $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}.$

어느 경우든, 제거 가능한 특이점인 0에서의 값이 필요하다면 종종 명시적으로 sinc(0) = 1^[17] 이 정의로 주어진다. sinc 함수는 모든 곳에서 해석적이다.

sinc 함수는 '''카디널 사인''' (cardinal sine)이라고도 불리며, "sinc" (싱크/ˈsɪŋk^영어)의 함수명은 라틴어의 ''sinus cardinalis''를 단축한 것이다.

2. 1. 정규화된 싱크 함수

디지털 신호 처리 등에서는 주로 사용되는 정규화된 싱크 함수는

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}

로 정의된다.^[17] 표본화 함수라고도 불린다. x=0에서 특이점을 가지지만,

\operatorname{sinc}(0) = 1

로 정의하여 해석적으로 만든다.^[17] sinc 함수는 카디널 사인(cardinal sine)이라고도 불린다.

2. 2. 정규화되지 않은 싱크 함수

수학에서 주로 사용되는 비정규화 싱크 함수는 다음과 같이 정의된다.^[17]

:

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}.

x = 0에서 제거 가능한 특이점을 가지지만,

\operatorname{sinc}(0) = 1

로 명시적으로 정의하여 모든 곳에서 해석적이다.

싱크 함수는 카디널 사인(cardinal sine)이라고도 불리며, "sinc" ()는 라틴어 ''sinus cardinalis''를 단축한 것이다.

3. 성질

정규화 및 비정규화 싱크 함수는 스케일 팩터 $\pi$ 차이를 제외하고 유사한 성질을 갖는다.

== 영점 ==

정규화되지 않은 싱크 함수의 영점은 $\pi$의 0이 아닌 정수 배수에 있으며, 정규화된 싱크 함수의 영점은 0이 아닌 정수이다.

정규화되지 않은 빨간색 싱크 함수의 국소 극대점과 극소점(작은 흰색 점)은 파란색 코사인 함수와의 교차점에 해당한다.

== 극값 ==

정규화되지 않은 싱크함수의 국소 극댓값과 극솟값은 코사인 함수와의 교차점에 해당한다. 즉, $\frac{\sin(\xi)}{\xi} = \cos(\xi)$를 만족하는 모든 점 $\xi$에서 극값을 갖는다. 이는 싱크 함수의 도함수 $\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = \frac{\cos(x) - \operatorname{sinc}(x)}{x}$에서 비롯된다.

양의 x 좌표를 갖는 n번째 극점의 x 좌표는 $x_n = q - q^{-1} - \frac{2}{3} q^{-3} - \frac{13}{15} q^{-5} - \cdots$ (여기서 $q = (n + \frac{1}{2})\pi$)로 근사할 수 있다. 홀수 n은 국소 극솟점, 짝수 n은 국소 극댓점에 대응된다. y축에 대해 대칭이므로, x 좌표 $-x_n$를 갖는 극점도 존재한다. 또한 (0, 1)에서 절대 최댓값을 갖는다.

== 푸리에 변환 ==

정규화된 싱크 함수의 연속 푸리에 변환(일반 주파수)은 $\operatorname{rect}(f)$이다.

:$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f)$

여기서 사각형 함수는 −1/2와 1/2 사이의 인수에 대해 1이고, 그렇지 않으면 0이다. 이는 싱크 필터가 이상적인 (벽돌벽, 즉, 직사각형 주파수 응답) 저역 통과 필터라는 사실에 해당한다.

이 푸리에 적분은 다음의 특수한 경우를 포함한다.

:$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1$

이는 이상 적분 (디리클레 적분 참조)이며,

:$\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.$

이므로 수렴하는 르베그 적분이 아니다.

푸리에 변환에 관하여:

:$\operatorname{rect} x \leftrightarrow^\mathfrak{F} \operatorname{sinc} f = \operatorname{sinc} \frac{\omega}{2\pi},$

단,

:$\operatorname{rect} x = \begin{cases} 1, & ( |x| \leq 1/2) \\ 0, & ( |x| > 1/2) \end{cases}$

* 단, $f(x) \leftrightarrow^\mathfrak{F} F(\omega)$는 푸리에 변환 쌍, $\operatorname{rect}(x)$는 (단위) 구형파 함수이다. 즉, 구형파 함수의 푸리에 변환은 sinc 함수이며, sinc 함수의 푸리에 변환은 구형파 함수이다.

== 특수 적분 ==

$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx $는 이상 적분(디리클레 적분 참조)이며, 그 값은 1이다. 그러나 $ \int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty $이므로, 르베그 적분은 불가능하다.

정규화된 싱크 함수를 이용하여,

$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi $
$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} $
$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} $

와 같은 특수 적분을 얻을 수 있다.

== 보간법 ==

정규화된 싱크 함수는 표본화된 대역 제한 함수의 보간에 이상적인 성질을 갖는다. $\operatorname{sinc}(0) = 1$이고, 0이 아닌 정수 k에 대해 $\operatorname{sinc}(k) = 0$이다. 함수 $ x_k(t) = \operatorname{sinc}(t - k) $는 대역 제한 함수 공간에서 정규 직교 기저를 형성한다. sinc 함수의 평행 이동끼리는 직교한다.

== 기타 성질 ==

정규화되지 않은 싱크 함수는 1종 영차 구형 베셀 함수 $j_0(x)$이며, 정규화된 싱크는 $j_0(\pi x)$이다.

사인 적분을 이용하여,

:$ \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x) $

와 같이 표현할 수 있다.

$ \lambda \operatorname{sinc}(\lambda x) $ (정규화되지 않음)는 다음 선형 상미분 방정식의 두 개의 선형 독립 해 중 하나이다.

:$ x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.$

다른 하나는 $ \frac{\cos(\lambda x)}{x} $인데, 이는 싱크 함수와 달리 $ x = 0 $에서 경계가 없다.

정규화되지 않은 싱크 함수의 영점은 π의 0이 아닌 정수 배수에 있으며, 정규화된 싱크 함수의 영점은 0이 아닌 정수에 있다. 정규화되지 않은 싱크 함수의 국소 극대점과 극소점은 코사인 함수와의 교차점에 해당한다.

정규화된 싱크 함수는 무한 곱으로 표현할 수 있다.

:$ \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right) $

또한, 오일러 반사 공식을 통해 감마 함수 $ \Gamma(x) $와 관련이 있다.

:$ \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1 + x)\Gamma(1 - x)}. $

오일러는 다음을 발견했다.^[8]

:$ \frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) $

정규화된 싱크 함수의 연속 푸리에 변환(일반 주파수)은 rect($ f $)이다.

:$ \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f), $

이는 싱크 필터가 이상적인 (벽돌벽, 즉, 직사각형 주파수 응답) 저역 통과 필터라는 사실에 해당한다.

이 푸리에 적분은 다음의 특수한 경우를 포함한다.

:$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1 $

는 이상 적분(디리클레 적분 참조)이며,

:$ \int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty. $

이므로 수렴하는 르베그 적분이 아니다.

정규화된 싱크 함수는 샘플링된 대역 제한 함수의 보간법과 관련하여 이상적인 속성을 가지고 있다.

보간 함수, 즉, $ \operatorname{sinc}(0) = 1 $이며, 0이 아닌 정수 $ k $에 대해 $ \operatorname{sinc}(k) = 0 $이다.
함수 $ x_k(t) = \operatorname{sinc}(t - k) $ (k 정수)는 최대 각 주파수가 $ \omega_H = \pi $ (즉, 최대 주기 주파수가 $ f_H = \frac{1}{2} $인) 함수 공간 $ L^2(\mathbb{R}) $에서 대역 제한 함수에 대한 정규 직교 기저를 형성한다.

그 외에 다음이 성립한다.

:$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \quad \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1, $

:$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \right)^2 \,d\theta = \pi. $

:$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}. $

:$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}. $

다음의 이상 적분은 (정규화되지 않은) 싱크 함수를 포함한다.

:$ \int_0^\infty \frac{dx}{x^n + 1} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(kn)^2 - 1} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(\frac{\pi}{n})}. $

(비정규화) 싱크 함수의 부정적분은 사인 적분 $ \operatorname{Si}(x) $로 표기한다. $ \operatorname{Si}(x) $는 특수 함수이다.

:$ \int \operatorname{sinc}(x)\,dx = \mathrm{Si}(x)+C = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt+C = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^k x^{2k+1} }{ (2k+1)(2k+1)! }+C $

,여기서 $ C $는 적분 상수이다.

== 무한곱 표현 ==

정규화된 싱크 함수는 다음과 같이 무한곱으로 표현될 수 있다.

:싱크/sinc^영어(x) = \prod_{k = 1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right)

오일러는 이 급수를 무한 곱 형식의 전개와 비교하여 바젤 문제를 해결한 것으로 유명하다.

== 테일러 급수 ==

정규화되지 않은 싱크 함수의 테일러 급수는 사인 함수의 테일러 급수로부터 얻을 수 있으며, x=0에서 값 1을 갖는 것 또한 유도할수 있다.

: $ \frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots $

이 급수는 모든 x에 대해 수렴한다. 정규화된 싱크함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

: $ \frac{\sin \pi x}{\pi x} = 1 - \frac{\pi^2x^2}{3!} + \frac{\pi^4x^4}{5!} - \frac{\pi^6x^6}{7!} + \cdots $

오일러는 이 급수를 무한 곱 형식의 전개와 비교하여 바젤 문제를 해결한 것으로 유명하다. 정규화 되지 않은 싱크함수의 테일러 전개는 다음과 같다.

:$ \operatorname{sinc}(x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n+1)!} x^{2n} $

3. 1. 영점

정규화되지 않은 싱크 함수의 영점은 의 0이 아닌 정수 배수에 있으며, 정규화된 싱크 함수의 영점은 0이 아닌 정수이다.

3. 2. 극값

정규화되지 않은 싱크함수의 국소 극댓값과 극솟값은 코사인 함수와의 교차점에 해당한다. 즉,

\frac{\sin(\xi)}{\xi} = \cos(\xi)

를 만족하는 모든 점

\xi

에서 극값을 갖는다. 이는 싱크 함수의 도함수

\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = \frac{\cos(x) - \operatorname{sinc}(x)}{x}

에서 비롯된다.

양의 x 좌표를 갖는 n번째 극점의 x 좌표는

x_n = q - q^{-1} - \frac{2}{3} q^{-3} - \frac{13}{15} q^{-5} - \cdots

(여기서

q = (n + \frac{1}{2})\pi

)로 근사할 수 있다. 홀수 n은 국소 극솟점, 짝수 n은 국소 극댓점에 대응된다. y축에 대해 대칭이므로, x 좌표

-x_n

를 갖는 극점도 존재한다. 또한 (0, 1)에서 절대 최댓값을 갖는다.

3. 3. 푸리에 변환

정규화된 싱크 함수의 연속 푸리에 변환(일반 주파수)은 $\operatorname{rect}(f)$이다.

:$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f)$

여기서 사각형 함수는 −1/2와 1/2 사이의 인수에 대해 1이고, 그렇지 않으면 0이다. 이는 싱크 필터가 이상적인 (벽돌벽, 즉, 직사각형 주파수 응답) 저역 통과 필터라는 사실에 해당한다.

이 푸리에 적분은 다음의 특수한 경우를 포함한다.

:$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1$

이는 이상 적분 (디리클레 적분 참조)이며,

:$\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.$

이므로 수렴하는 르베그 적분이 아니다.

푸리에 변환에 관하여:

:$\operatorname{rect} x \leftrightarrow^\mathfrak{F} \operatorname{sinc} f = \operatorname{sinc} \frac{\omega}{2\pi},$

단,

:$\operatorname{rect} x = \begin{cases} 1, & ( |x| \leq 1/2) \\ 0, & ( |x| > 1/2) \end{cases}$

* 단, $f(x) \leftrightarrow^\mathfrak{F} F(\omega)$는 푸리에 변환 쌍, $\operatorname{rect}(x)$는 (단위) 구형파 함수이다. 즉, 구형파 함수의 푸리에 변환은 sinc 함수이며, sinc 함수의 푸리에 변환은 구형파 함수이다.

3. 4. 특수 적분

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx

는 이상 적분(디리클레 적분 참조)이며, 그 값은 1이다. 그러나

\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty

이므로, 르베그 적분은 불가능하다.

정규화된 싱크 함수를 이용하여,

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi$
$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}$
$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}$

와 같은 특수 적분을 얻을 수 있다.

3. 5. 보간법

정규화된 싱크 함수는 표본화된 대역 제한 함수의 보간에 이상적인 성질을 갖는다.

\operatorname{sinc}(0) = 1

이고, 0이 아닌 정수 k에 대해

\operatorname{sinc}(k) = 0

이다. 함수

x_k(t) = \operatorname{sinc}(t - k)

는 대역 제한 함수 공간에서 정규 직교 기저를 형성한다. sinc 함수의 평행 이동끼리는 직교한다.

3. 6. 기타 성질

정규화되지 않은 싱크 함수는 1종 영차 구형 베셀 함수

j_0(x)

이며, 정규화된 싱크는

j_0(\pi x)

이다.

사인 적분을 이용하여,

::

\int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x)

와 같이 표현할 수 있다.

\lambda \operatorname{sinc}(\lambda x)

(정규화되지 않음)는 다음 선형 상미분 방정식의 두 개의 선형 독립 해 중 하나이다.

::

x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.

다른 하나는

\frac{\cos(\lambda x)}{x}

인데, 이는 싱크 함수와 달리

x = 0

에서 경계가 없다.

정규화되지 않은 싱크 함수의 영점은 π의 0이 아닌 정수 배수에 있으며, 정규화된 싱크 함수의 영점은 0이 아닌 정수에 있다. 정규화되지 않은 싱크 함수의 국소 극대점과 극소점은 코사인 함수와의 교차점에 해당한다.

정규화된 싱크 함수는 무한 곱으로 표현할 수 있다.

::

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)

또한, 오일러 반사 공식을 통해 감마 함수

\Gamma(x)

와 관련이 있다.

::

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1 + x)\Gamma(1 - x)}.

오일러는 다음을 발견했다.^[8]

::

\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right)

정규화된 싱크 함수의 연속 푸리에 변환(일반 주파수)은 rect(

f

)이다.

::

\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f),

이는 싱크 필터가 이상적인 (벽돌벽, 즉, 직사각형 주파수 응답) 저역 통과 필터라는 사실에 해당한다.

이 푸리에 적분은 다음의 특수한 경우를 포함한다.

::

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1

는 이상 적분(디리클레 적분 참조)이며,

::

\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.

이므로 수렴하는 르베그 적분이 아니다.

정규화된 싱크 함수는 샘플링된 대역 제한 함수의 보간법과 관련하여 이상적인 속성을 가지고 있다.

보간 함수, 즉, $\operatorname{sinc}(0) = 1$ 이며, 0이 아닌 정수 $k$ 에 대해 $\operatorname{sinc}(k) = 0$ 이다.
함수 $x_k(t) = \operatorname{sinc}(t - k)$ (k 정수)는 최대 각 주파수가 $\omega_H = \pi$ (즉, 최대 주기 주파수가 $f_H = \frac{1}{2}$ 인) 함수 공간 $L^2(\mathbb{R})$ 에서 대역 제한 함수에 대한 정규 직교 기저를 형성한다.

그 외에 다음이 성립한다.

::

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \quad \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1,

::

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \right)^2 \,d\theta = \pi.

::

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}.

::

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.

다음의 이상 적분은 (정규화되지 않은) 싱크 함수를 포함한다.

::

\int_0^\infty \frac{dx}{x^n + 1} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(kn)^2 - 1} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(\frac{\pi}{n})}.

(비정규화) 싱크 함수의 부정적분은 사인 적분

\operatorname{Si}(x)

로 표기한다.

\operatorname{Si}(x)

는 특수 함수이다.

::

\int \operatorname{sinc}(x)\,dx = \mathrm{Si}(x)+C = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt+C = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^k x^{2k+1} }{ (2k+1)(2k+1)! }+C

,여기서

C

는 적분 상수이다.

3. 7. 무한곱 표현

정규화된 싱크 함수는 다음과 같이 무한곱으로 표현될 수 있다.

:싱크/sinc^영어(x) = \prod_{k = 1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right)

오일러는 이 급수를 무한 곱 형식의 전개와 비교하여 바젤 문제를 해결한 것으로 유명하다.

3. 8. 테일러 급수

정규화되지 않은 싱크 함수의 테일러 급수는 사인 함수의 테일러 급수로부터 얻을 수 있으며, x=0에서 값 1을 갖는 것 또한 유도할수 있다.

:

\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots

이 급수는 모든 x에 대해 수렴한다. 정규화된 싱크함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

:

\frac{\sin \pi x}{\pi x} = 1 - \frac{\pi^2x^2}{3!} + \frac{\pi^4x^4}{5!} - \frac{\pi^6x^6}{7!} + \cdots

레온하르트 오일러는 이 급수를 무한 곱 형식의 전개와 비교하여 바젤 문제를 해결한 것으로 유명하다. 정규화 되지 않은 싱크함수의 테일러 전개는 다음과 같다.

:

\operatorname{sinc}(x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n+1)!} x^{2n}

4. 디랙 델타 함수와의 관계

정규화된 싱크 함수는 생성 델타 함수로 사용될 수 있으며, 이는 다음의 약한 극한이 성립함을 의미한다.

: $\lim_{a \to 0} \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).$

이는 일반적인 극한이 아닌데, 좌변이 수렴하지 않기 때문이다. 대신, 모든 슈바르츠 함수에 대해 다음이 성립한다.

: $\lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,dx = \varphi(0)$

이는 푸리에 역변환 정리로부터 알 수 있다. ''a'' → 0 일 때, 싱크 함수의 단위 길이당 진동 횟수는 무한대에 접근한다. 그럼에도 불구하고, 이 표현은 ''a''의 값에 관계없이 항상 ±1/π''x''의 포락선 안에서 진동한다.

이것은 δ(''x'')를 ''x'' = 0인 점을 제외한 모든 ''x''에서 0이라고 생각하는 비공식적인 그림을 복잡하게 만들며, 델타 함수를 함수가 아닌 분포로 생각해야 하는 문제점을 보여준다. 비슷한 상황은 깁스 현상에서도 나타난다.

5. 합

정규화되지 않은 싱크 함수에 대해, 정수 n에 대한 sinc(n)의 합은 다음과 같다.^[10]^[11]

: $\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) + \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) + \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{\pi - 1}{2}.$

제곱의 합 또한 같다.^[12]

: $\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) + \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) + \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{\pi - 1}{2}.$

더해지는 수의 부호가 교대로 바뀌고 +로 시작하는 경우, 즉 교대 합은 다음과 같다.

: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) - \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) - \operatorname{sinc}(4) + \cdots = \frac{1}{2}.$

제곱 및 세제곱의 교대 합 또한 같다.

: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) - \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) - \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{1}{2},$

: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^3(n) = \operatorname{sinc}^3(1) - \operatorname{sinc}^3(2) + \operatorname{sinc}^3(3) - \operatorname{sinc}^3(4) + \cdots = \frac{1}{2}.$

6. 고차원

1차원 싱크 함수의 곱은 정사각 데카르트 격자(격자)에 대한 다변수 싱크 함수를 쉽게 제공하며, 그 푸리에 변환은 주파수 공간에서 사각형의 지시 함수이다.^[13] 비 데카르트 격자 (예: 육각형 격자)에 대한 싱크 함수는 해당 격자의 브릴루앙 영역의 지시 함수인 함수이다.^[13] 예를 들어, 육각형 격자에 대한 싱크 함수는 주파수 공간에서 단위 육각형의 지시 함수인 함수이다.^[13]

비 데카르트 격자의 경우 이 함수는 간단한 텐서 곱으로 얻을 수 없다.^[13] 그러나 육각형 격자, 체심 입방 격자, 면심 입방 격자 및 기타 고차원 격자에 대한 싱크 함수에 대한 명시적 공식은 브릴루앙 영역의 기하학적 특성과 조노토프와의 연결을 사용하여 명시적으로 파생될 수 있다.^[13]

이 구조는 일반적인 다차원 격자에 대한 란초스 윈도우를 설계하는 데 사용할 수 있다.^[13]

7. 응용

싱크 함수는 다양한 용도로 사용될 수 있지만, 컴팩트 지지를 갖지 않아(0이 아닌 값이 유한 구간으로 제한되지 않음) 계산량이 매우 많아지는 경우가 많다. 유한 길이로 계산을 중단해야 하는 경우도 많아, 무한 길이에서는 발생하지 않는 문제가 발생하기도 한다. 일반적으로 이론적 배경이나 시뮬레이션에 그치는 경우가 많다.

싱크 함수는 직교성과 ±∞에서의 수렴성 때문에 직교 웨이블릿 변환의 기저로 사용된다. 그러나 컴팩트 지지를 갖지 않아 계산량이 O(''n''²) (O는 란다우 기호)로 증가하는데, 이는 컴팩트 지지를 갖는 기저의 경우 계산량이 O(''n'')인 것에 비해 큰 단점이다.

싱크 함수의 푸리에 변환이 구형파 함수라는 점에서, 리샘플링이나 내삽의 보간 커널(저역 통과 필터)에 사용된다. 무한 시퀀스 신호에 대해서 싱크 함수는 이상적인 보간 커널이다. 그러나 컴팩트 지지를 갖지 않는다는 점이 실제 유한 길이의 신호를 처리할 때 문제가 되기 때문에, 실제 신호 처리에서는 싱크 함수와 유사하고 컴팩트 지지를 갖는 함수인 3차 컨볼루션 함수나, 란초스(Lanczos) 필터 등이 많이 사용된다.

구형파 함수의 푸리에 변환이 싱크 함수라는 점에서, 싱크 함수를 사용하면 이상적인 D/A 변환을 할 수 있다. 하지만 이는 이론적인 내용이며, 계산량이 무한대로 발산하는 문제가 있어 실제로 이 방법으로 D/A 변환이 이루어지지는 않는다.

8. 한계

싱크 함수는 컴팩트 지지를 갖지 않아(0이 아닌 값이 유한 구간으로 제한되지 않음) 계산량이 매우 많은 경우가 많다. 유한 길이로 계산을 중단해야 하는 경우도 많아, 무한 길이에서는 발생하지 않는 문제가 발생하기도 한다. 따라서 일반적으로 이론적 배경이나 시뮬레이션에 그치는 경우가 많다.

직교 웨이블릿 변환의 기저로 사용되지만, 컴팩트 지지를 갖지 않아 계산량이 O(''n''²)으로 증가한다. 이는 컴팩트 지지를 갖는 기저의 경우 계산량이 O(''n'')인 것에 비해 큰 단점이다.

리샘플링이나 내삽의 보간 커널(저역 통과 필터)로 사용될 수 있지만, 컴팩트 지지를 갖지 않는다는 점이 실제 유한 길이의 신호를 처리할 때 문제가 된다. 실제 신호 처리에서는 싱크 함수와 유사하고 컴팩트 지지를 갖는 3차 컨볼루션 함수나 란초스(Lanczos) 필터 등이 많이 사용된다.

이상적인 D/A 변환을 할 수 있게 하지만, 계산량이 무한대로 발산하는 문제가 있어 실제로 이 방법으로 D/A 변환이 이루어지지는 않는다.

9. Sinhc 함수

일부 저자는 쌍곡선 사인 카디널 함수를 다음과 같이 정의한다.^[14]^[15]^[16]

: $\mathrm{sinhc}(x) = \begin{cases}{\displaystyle \frac{\sinh(x)}{x},} & \text{if }x \ne 0 \\{\displaystyle 1,} & \text{if }x = 0\end{cases}$

참조

_[1] dlmf Numerical methods
_[2] 서적 Communication Systems, 2E https://books.google[...] Tata McGraw-Hill Education
_[3] 웹사이트 Sinc Function https://mathworld.wo[...] 2023-06-07
_[4] 간행물 The cardinal sine function and the Chebyshev–Stirling numbers https://www.scienced[...] 2016-03-01
_[5] 간행물 Information theory and inverse probability in telecommunication http://www.norbertwi[...] 1952-03
_[6] 서적 Digital video and HDTV https://archive.org/[...] Morgan Kaufmann Publishers
_[7] 서적 Probability and information theory, with applications to radar https://archive.org/[...] Pergamon Press
_[8] arXiv On the sums of series of reciprocals
_[9] 간행물 A highly efficient Shannon wavelet inverse Fourier technique for pricing European options https://ir.cwi.nl/pu[...]
_[10] 간행물 Advanced Problem 6241 Mathematical Association of America 1980-06
_[11] 간행물 Surprising Sinc Sums and Integrals 2008-12
_[12] arXiv Fun with Fourier series 2008
_[13] 간행물 A Geometric Construction of Multivariate Sinc Functions 2012-06
_[14] 서적 Principles of Sonar Performance Modelling https://books.google[...] Springer 2010
_[15] 서적 Nonlinear Optical Effects and Materials https://books.google[...] Springer 2012
_[16] 서적 Beam-Wave Interaction in Periodic and Quasi-Periodic Structures https://books.google[...] Springer 2013
_[17] 문서 これはx→0での極限をそのまま定義化したものである。

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com