연꼴

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1. 개요
2. 정의 및 분류
- 2.1. 특수한 경우
3. 성질
- 3.1. 면적
- 3.2. 내접원과 외접원
4. 쌍대성
5. 테셀레이션 및 다면체
6. 기타
참조

1. 개요

연꼴은 반사 대칭을 갖거나 인접한 두 쌍의 같은 길이의 변을 가진 사변형이다. 연꼴은 두 개의 원이 교차하는 지점을 연결하여 구성할 수 있으며, 볼록 또는 오목 다각형일 수 있다. 연꼴은 한 대각선이 다른 대각선의 수직 이등분선이고, 대칭선이며, 각을 이등분하는 특징을 갖는다. 마름모, 정사각형, 직각 연꼴 등 특수한 경우를 포함하며, 면적은 두 대각선의 길이의 곱의 절반으로 계산된다. 연꼴은 내접원과 외접원을 가지며, 이등변 사다리꼴과 쌍대 관계에 있다. 연꼴은 테셀레이션 및 다면체 구성에 활용되며, 아우터 빌리어드 연구의 대상이 되기도 한다.

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정사각형은 네 변의 길이와 네 각의 크기가 같고, 네 내각이 직각이며, 대각선이 서로 수직 이등분하는 사각형이다.
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네 각이 직각인 사각형인 직사각형은 평행사변형과 사다리꼴의 특수한 형태이며, 대변의 길이가 같고 평행하며 두 대각선이 서로를 이등분하는 특징을 가진다.

연꼴
개요
도형 종류	사각형
대칭	대각선을 기준으로 대칭
카이트 도형, 같은 길이의 변 쌍과 내접원을 보여줌.
쌍대	등변사다리꼴
대칭성
대칭군	D₁ (*)
기타
각	해당 없음
꼭짓점	4
변	4
슐레플리 기호	해당 없음
위토프 기호	해당 없음
콕서터 다이어그램	해당 없음
넓이	해당 없음

2. 정의 및 분류

연꼴은 대각선 중 하나에 대해 반사 대칭을 갖는 사변형이다. 네 변을 인접한 두 쌍의 같은 길이의 변으로 묶을 수 있는 사변형으로 정의할 수도 있다. 연꼴은 서로 교차하는 두 개의 원의 중심과 교차점에서 구성할 수 있다. 볼록 다각형 또는 오목 다각형일 수 있지만, 일부에서는 '연꼴'을 볼록 연꼴만을 의미하는 것으로 제한하기도 한다.

사변형이 연꼴이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

네 변을 인접한 두 쌍의 같은 길이의 변으로 나눌 수 있다.
한 대각선이 다른 대각선의 수직 이등분선을 형성하며 다른 대각선의 중점을 직각으로 교차한다. (오목한 경우, 한 대각선을 지나는 선이 다른 대각선을 이등분한다.)
한 대각선은 대칭선이다. 이는 사변형을 서로의 거울 이미지인 두 개의 합동 삼각형으로 나눈다.
한 대각선이 양 끝에서 두 각을 모두 각의 이등분선으로 이등분한다.

연꼴은 바람에 날리는 연에서 이름을 따왔으며, 종종 이러한 모양을 가진다.

평행 사변형도 두 쌍의 같은 길이의 변을 갖지만, 이 변들은 인접하지 않고 서로 반대쪽에 있다. 자기 교차하지 않는 사변형이 대칭축을 가지려면 대각선 대칭축을 가진 연꼴이거나, 두 변의 중점을 지나는 대칭축을 가진 이등변 사다리꼴이어야 한다. 자기 교차 사변형에는 또 다른 종류의 대칭 사변형인 반평행사변형이 포함된다.

2. 1. 특수한 경우

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 연꼴이며, 정사각형은 네 변의 길이가 같고 네 각이 모두 직각인 연꼴(마름모)이다. 직각 연은 두 개의 마주보는 직각을 갖는 연꼴로, 원에 내접하는 사각형(원내 사각형)이다.^[1] 등대각선 연꼴은 두 대각선의 길이가 같은 연꼴이며, 그 중 한 종류는 둘레와 지름의 비율이 가장 큰 사각형이다.

3. 성질

연꼴의 두 대각선은 서로 수직이다. 마주보는 한 쌍의 대각의 크기가 같으며, 어떤 대각 한 쌍의 합이 180°일 때 그 연꼴에는 항상 외접원이 존재한다. 또한, 항상 내접원이 존재한다.

3. 1. 면적

연꼴의 넓이는 두 대각선의 길이의 곱의 절반이다.(마름모와 일치)

일반적으로 직교 사각형의 경우와 마찬가지로, 연의 넓이 ''A''는 대각선 ''p''와 ''q'' 길이의 곱의 절반으로 계산할 수 있다.

:math>A = \frac{p \cdot q}{2}

또는, 연을 두 개의 합동 삼각형으로 나누고 그 넓이에 대한 SAS 공식을 적용하여 넓이를 계산할 수 있다. ''a''와 ''b''가 연의 두 변의 길이이고, ''θ''가 그 사이의 각이면, 넓이는 다음과 같다.

:math>A = ab \cdot \sin\theta

연꼴의 면적 ''S''를 구하려면 S = (대칭축을 경계로 나뉜 삼각형의 면적) × 2로 구해도 되지만, 다음 식

:math>S=\frac {AC\times BD}{2}

으로 계산하는 방법이 널리 알려져 있다. 여기서 AC 및 BD는 각각 마주보는 꼭짓점을 잇는 대각선의 길이이다. 마름모는 연꼴의 특수한 형태이므로, 이 공식은 마름모의 면적을 구하는 경우에도 사용할 수 있다.

3. 2. 내접원과 외접원

모든 볼록 연꼴은 내접원을 가지는 접선 사각형이다. 즉, 네 변 모두에 접선인 원이 존재한다. 또한, 볼록 연꼴이 마름모가 아니라면, 네 변의 연장선에 접하는 원이 연꼴 밖에 존재한다. 따라서 마름모가 아닌 모든 볼록 연꼴은 외접선 사각형이다. 모든 오목 연꼴에 대해 두 변과 나머지 두 변의 연장선에 접하는 두 개의 원이 존재한다. 하나는 연꼴 내부에 있으며 오목각의 반대쪽 두 변에 접하고, 다른 원은 연꼴 외부에 있으며 오목각에 인접한 두 모서리에서 연꼴에 접한다.^[1]

대각선 길이가

p

와

q

이고 변 길이가

a

와

b

인 볼록 연꼴의 경우, 내접원의 반지름

r

은 다음과 같다.

:

r=\frac{pq}{2(a+b)}

그리고 외접선 원의 반지름

\rho

는

:

\rho=\frac{pq}{2|a-b|}

이다.

접선 사각형은 다음 조건 중 하나라도 참이면 연꼴이기도 하다.

넓이가 대각선의 곱의 절반이다.
대각선이 수직이다.
접점의 반대편을 연결하는 두 선분 길이가 같다.
접선 길이가 사각형의 두 반대쪽 꼭짓점에서 같다.
반대쪽 모서리의 중간점을 연결하는 두 개의 중선 선분의 길이가 같다.
반대쪽 변 길이의 곱이 같다.
내접원의 중심이 대칭선, 즉 대각선에 있다.

접선 사각형

ABCD

에서 대각선이

P

에서 교차하고 삼각형

ABP

,

BCP

,

CDP

,

DAP

의 내접원의 반지름이 각각

r_1

,

r_2

,

r_3

,

r_4

이면, 다음이 성립할 경우 사각형은 연꼴이다.

:

r_1+r_3=r_2+r_4

동일한 네 삼각형의 꼭짓점

P

의 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각

R_1

,

R_2

,

R_3

,

R_4

이면, 다음이 성립할 경우 사각형은 연꼴이다.

:

R_1+R_3=R_2+R_4

4. 쌍대성

연과 이등변 사다리꼴은 서로 쌍대 관계에 있는데, 이는 꼭짓점을 변으로, 변을 꼭짓점으로 변환하여 부분의 차원을 반전시키는 대응 관계가 있음을 의미한다. 어떤 연에서든 내접원은 이등변 사다리꼴의 네 변에 접한다. 어떤 이등변 사다리꼴의 경우, 외접원에 대한 접선은 연의 네 변을 형성한다. 이 대응 관계는 고정된 원이 주어졌을 때 점과 선을 서로 대응시키는 일반적인 방법인 극 쌍대의 예로도 볼 수 있다. 원에 접하지는 않지만, 연의 네 꼭짓점은 이런 의미에서 이등변 사다리꼴의 네 변과 쌍대 관계에 있다. 이 쌍대 관계에서 서로 대응되는 연과 이등변 사다리꼴의 특징은 아래 표에 비교되어 있다.^[1]

이등변 사다리꼴	연
두 쌍의 같은 인접각	두 쌍의 같은 인접 변
두 개의 같은 마주보는 변	두 개의 같은 마주보는 각
공통 수직 이등분선을 갖는 두 개의 마주보는 변	공통 각 이등분선을 갖는 두 개의 마주보는 각
두 개의 마주보는 변을 통과하는 대칭축	두 개의 마주보는 각을 통과하는 대칭축
모든 꼭짓점을 통과하는 외접원	모든 변에 접하는 내접원

5. 테셀레이션 및 다면체

모든 연꼴은 모서리의 중점을 중심으로 하는 점 반사를 통해 평면을 테셀레이션(쪽매맞춤)할 수 있다. 60°, 90°, 120° 각을 가진 직각 연꼴을 이용한 테셀레이션은 델토이드 삼육각형 타일링이다.

수학 물리학자 로저 펜로즈가 발견한 평면의 준주기적 타일링인 펜로즈 타일링은 각도가 각각 72°, 72°, 72°, 144° 및 36°, 72°, 36°, 216°인 연꼴을 원형 타일로 사용한다.

연꼴의 꼭짓점과 한 변의 각도 합이 어떤 양의 정수

n

에 대해

\pi(1-\tfrac1n)

일 때, 해당 연꼴의 축소된 사본을 사용하여 중심점을 둘러싸는

n

개의 연꼴로 이루어진 연속적으로 더 큰 링이 있는 프랙탈 로제트에서 평면을 타일링할 수도 있다.

델토이드 이십사면체, 델토이드 육십면체, 사다리꼴 다면체는 합동 연꼴 모양의 면을 가진 다면체이다.

다면체			유클리드
120px V4.3.4.3	120px V4.3.4.4	120px V4.3.4.5	120px V4.3.4.6
다면체	유클리드	쌍곡 타일링
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6
다면체	쌍곡 타일링
120px V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5
유클리드	쌍곡 타일링
120px V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6

사다리꼴 다면체는 합동 연꼴 모양의 면을 가진 또 다른 다면체 집합으로, 흔히 10면 주사위에 사용되는 오각 사다리꼴 다면체가 그 예시이다.

6. 기타

리처드 슈워츠는 연꼴에 대한 아우터 빌리어드(outer billiard)를 연구했다. 아우터 빌리어드는 평면에서 주어진 컴팩트 볼록 집합 외부의 점에서 시작하여 볼록 집합에 접선을 그리고, 시작점에서 접점까지의 거리만큼 떨어진 다른 점까지 이 선을 따라 이동한 다음, 동일한 과정을 반복하는 역학계이다. 1950년대부터 이 방식으로 정의된 시스템이 시작점에서 임의로 멀리 떨어진 경로를 생성할 수 있는지 여부가 미해결 문제였는데, 2007년 논문에서 슈워츠는 펜로즈 타일에 사용된 것과 동일한 72°, 72°, 72°, 144°의 각도를 가진 연꼴에 대해 무한정 빌리어드 경로를 발견하여 이 문제를 해결했다. 그는 이후 연꼴 모양에 대한 아우터 빌리어드를 더 일반적으로 분석하는 모노그래프를 저술했다. 이 문제에서 연꼴의 모든 아핀 변환은 아우터 빌리어드의 역학적 특성을 보존하며, 세 개의 꼭짓점이 $(-1,0)$ 과 $(0,\pm1)$ 에 있고 네 번째 꼭짓점이 열린 단위 구간 $(0,1)$ 에 있는 $\alpha$ 를 갖는 $(\alpha,0)$ 에 있는 모양으로 모든 연꼴을 변환하는 것이 가능하다. 모든 연꼴에 대한 아우터 빌리어드의 동작은 매개변수 $\alpha$ 에 강하게 의존하며, 특히 그것이 유리수인지 여부에 달려있다. 펜로즈 연꼴의 경우, $\alpha=1/\varphi^3$ 이며, 이는 황금비 $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ 의 무리수이다.

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