유사벡터

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1. 개요
2. 주요 성질
- 2.1. 좌표 변환
3. 물리적 예시
- 3.1. 극성 벡터
- 3.2. 유사 벡터
4. 형식화
- 4.1. 외대수
- 4.2. 표현론
5. 기하 대수
6. 추가 정보
참조

1. 개요

유사벡터는 회전 변환 시 특정 방식으로 변환되는 물리량으로, 극성 벡터와 대조된다. 극성 벡터는 공간 반전에 의해 부호가 바뀌지만, 유사벡터는 부호가 바뀌지 않는다. 유사벡터는 두 극성 벡터의 외적 또는 극성 벡터장의 회전으로 나타나며, 각운동량, 각속도, 토크, 자기장 등이 그 예시이다. 유사벡터는 기하 대수에서 (n-1)-블레이드로 형식화될 수 있으며, 물리학의 대칭성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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유사벡터
물리학적 속성
정의	거울 반전에 따라 부호가 바뀌는 벡터. 좌표 반전에 따라 부호가 바뀌는 양.
특징
다른 이름	축 벡터 가짜 벡터
반전	좌표축의 반전에 대해 부호가 바뀜
관련 개념	극벡터
예시
각운동량	각운동량
자기장	자기장
토크	토크
회전	회전

2. 주요 성질

유사 벡터와 극성 벡터는 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱셈에 대해 독특한 성질을 보인다. 두 유사 벡터의 합 또는 차이는 유사 벡터가 되고, 두 극성 벡터의 합 또는 차이는 극성 벡터가 된다.^[6] 극성 벡터에 스칼라를 곱하면 극성 벡터가, 유사 벡터에 스칼라를 곱하면 유사 벡터가 된다.^[6] 반면에 극성 벡터와 유사 벡터의 합 또는 차이는 극성 벡터도, 유사 벡터도 아니다.^[6]

두 벡터의 외적은 두 벡터의 성질에 따라 결과가 달라지며, 이는 아래 표와 같이 정리할 수 있다.^[6]

외적	결과
극성 벡터 × 극성 벡터	유사 벡터
유사 벡터 × 유사 벡터	유사 벡터
극성 벡터 × 유사 벡터	극성 벡터
유사 벡터 × 극성 벡터	극성 벡터

이는 모듈로 2 덧셈과 동형이며, 여기서 "극성"은 1, "유사"는 0에 해당한다.^[6]

2. 1. 좌표 변환

물리학에서 "벡터"는 벡터 공간의 모든 요소를 의미하는 수학적 정의보다 더 구체적이다. 물리학에서 벡터는 정회전 하에서 특정 방식으로 변환되는 튜플을 가져야 한다. 우주의 모든 것이 회전하면 벡터도 같은 방식으로 회전한다. (능동적 변환)

수학적으로, 우주의 모든 것이 회전 행렬 ''R''로 설명되는 회전을 겪어 변위 벡터 '''x'''가 '''x'''′ = ''R'''''x'''로 변환되면, 모든 "벡터" '''v'''는 '''v'''′ = ''R'''''v'''로 변환되어야 한다. 이 요구 사항은 벡터를 다른 물리량의 삼중항과 구별한다. (예: 직사각형 상자의 길이, 너비, 높이는 상자 회전 시 적절하게 변환되지 않으므로 벡터가 아니다.)

미분 기하학의 언어로, 벡터는 반변성 1계 텐서로 정의된다.

지금까지의 논의는 정회전에만 관련되지만, 부정회전(거울 반사 후 정회전, 예: 3차원 공간에서 점에 대한 반전)도 가능하다. 우주가 부정 회전 행렬 ''R''로 변환될 때, 위치 벡터 '''x'''가 '''x'''′ = ''R'''''x'''로 변환된다면, 극성 벡터 '''v'''는 '''v'''′ = ''R'''''v'''로, 유사 벡터 '''v'''는 '''v'''′ = −''R'''''v'''로 변환된다.

극성 벡터와 유사 벡터의 변환 규칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\mathbf{v}' & = R\mathbf{v} & & \text{(극성 벡터)} \\\mathbf{v}' & = (\det R)(R\mathbf{v}) & & \text{(유사 벡터)}\end{align}

여기서 ''R''은 정회전 또는 부정 회전 행렬이고, det는 행렬식이다. 정회전 행렬의 행렬식은 +1, 부정 회전 행렬의 행렬식은 -1이므로 위 공식이 성립한다.

수동 변환 관점에서, 우주를 고정하고 수학과 물리학의 "오른손 법칙"을 "왼손 법칙"으로 바꾸면, 극성 벡터는 변하지 않고 유사 벡터는 부호가 바뀐다. 방사성 붕괴와 같은 패리티 위반 현상을 제외하면 물리적 결과는 없다.^[6]

'''공간 반전'''은 공간 좌표의 세 성분 축을 모두 반대 방향으로 바꾸는 것이다. P를 공간 반전이라고 하면,

:

P: \mathbf{x}=(x,y,z) \to\mathbf{x}^P = -\mathbf{x}=(-x,-y,-z)

'''A'''=(A_x,A_y,A_z)를 극성 벡터라고 하면, 공간 반전에 의해 다음과 같이 변환된다.

:

P: \mathbf{A} \to \mathbf{A}^P=(-A_x,-A_y,-A_z)

변환해도 벡터의 방향은 같지만, 각 성분의 부호가 바뀐다. 이것을 패리티가 음수라고 한다.

'''B'''를 극성 벡터로 하고, '''A'''와 '''B'''의 외적을 '''L'''로 하면 다음과 같다.

:

P: \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) \to \mathbf{B}^P=(-B_x,-B_y,-B_z)

:

\mathbf{L}=(L_x,L_y,L_z)=\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-B_yA_z,A_zB_x-B_zA_x,A_xB_y-B_xA_y)

'''L'''은 공간 반전으로 '''L'''^P = '''A'''^P × '''B'''^P가 된다.

:

P:\mathbf{L} \to \mathbf{L}^P=\mathbf{A}^P \times \mathbf{B}^P

::

= (A_y B_z - B_y A_z, A_z B_x - B_z A_x, A_x B_y  - B_x A_y) = (L_x, L_y, L_z) \,

'''L'''은 공간 반전해도 부호가 바뀌지 않는다. 이것을 패리티가 양수라고 한다. 공간 반전으로 '''L'''은 방향을 바꿔버린다. 이러한 벡터를 '''유사 벡터''', 또는 '''축성 벡터'''라고 부른다.

유사 벡터는 거울상 변환(공간의 한 성분을 반전)에 의해서도 방향을 바꾼다. 일반적으로 ''n'' 회의 거울상 변환에서 극성 벡터의 성분 부호는

(-1)^n

바뀌고, 축성 벡터의 방향도 그만큼 바뀐다. 공간 반전은 3회의 거울상 변환과 같으므로 유사 벡터는 방향을 바꾼다.

3. 물리적 예시

토크,^[4] 각속도, 각운동량,^[4] 자기장,^[4] 와도, 자기 쌍극자 모멘트는 유사벡터의 예시이다.^[4]

각운동량을 예로 들어보자. 자동차를 운전하며 앞을 볼 때, 각 바퀴는 왼쪽을 향하는 각운동량 벡터를 갖는다. 거울에 자동차를 비추면 좌우가 바뀌어 각운동량 "벡터"(일반적인 벡터로 간주)의 "반사"는 오른쪽을 가리키지만, 바퀴의 실제 각운동량 벡터는 여전히 왼쪽을 가리킨다. 이는 유사벡터가 반사될 때 추가적인 부호 변화가 있기 때문이다.

극성 벡터와 유사벡터의 구분은 물리 시스템의 해에 대한 대칭성의 효과를 이해하는 데 중요하다. 평면에 있는 전류 루프는 ''z'' 방향으로 자기장을 생성한다. 이 시스템은 평면에 대한 거울 반사에 대해 대칭이며, 자기장은 반사되어도 변하지 않는다. 그러나 자기장을 벡터로 간주하여 반사하면 뒤집힐 것으로 예상되지만, 자기장은 유사벡터이므로 추가적인 부호 변화로 인해 변경되지 않는다.

물리학에서 유사벡터는 보통 두 극성 벡터의 외적이나 극성 벡터장의 회전으로 나타난다. 외적과 회전은 관례상 오른손 법칙으로 정의되지만, 왼손 법칙으로도 정의할 수 있다. 오른손 법칙을 따르는 유사벡터와 물리학은 왼손 법칙을 따르는 유사벡터와 물리학으로 대체해도 문제없다. 왼손 유사벡터는 오른손 법칙으로 정의된 유사벡터와 반대 방향이다.

물리학의 벡터 관계는 좌표계와 무관하게 표현 가능하지만, 벡터와 유사벡터를 수치로 나타내려면 좌표계가 필요하다. 벡터와 유사벡터는 모두 정렬된 세 개의 숫자(예: $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$ )로 표현된다. 그러나 좌우 좌표계 간 변환 시, 유사벡터는 벡터처럼 변환되지 않아 부호가 잘못 바뀔 수 있다. 따라서 벡터와 유사벡터를 구분해야 한다. 이 문제는 두 벡터의 외적을 이중 벡터로 대체하면 해결된다. 이중 벡터는 2계 텐서이며 3×3 행렬로 표시되고, 좌표계 방향과 관계없이 올바르게 변환된다.

3. 1. 극성 벡터

미분 기하학에서 벡터는 반변성 1계 텐서로 정의되는데, 물리학에서 "벡터"는 이보다 더 구체적인 정의를 가진다. 물리학적 정의에 따르면, "벡터"는 정회전 하에서 특정 방식으로 변환되는 튜플을 가져야 한다. 우주가 회전하면 벡터도 같은 방식으로 회전한다. (능동적 변환 관점)

수학적으로, 우주가 회전 행렬 ''R''로 회전하여 변위 벡터 '''x'''가

\mathbf{x'}=R\mathbf{x}

로 변환되면, 모든 "벡터" '''v'''는

\mathbf{v'}=R\mathbf{v}

로 변환되어야 한다. 이는 속도의 ''x''-, ''y''-, ''z''-성분과 같이 ''벡터''를 다른 물리량의 삼중항과 구별해준다. (예: 직사각형 상자의 길이, 너비, 높이는 상자 회전 시 적절히 변환되지 않으므로 벡터가 아니다.)

부정회전(점에 대한 반전 등)의 경우, 위치 벡터 '''x'''가

\mathbf{x'}=R\mathbf{x}

로 변환될 때, 극성 벡터 '''v'''는

\mathbf{v'}=R\mathbf{v}

로 변환된다.

극성 벡터의 변환 규칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{v}' = R\mathbf{v} \qquad \text{(극성 벡터)}

여기서 ''R''은 정회전 또는 부정 회전 행렬이고, det는 행렬식을 나타낸다. (정회전 행렬과 부정 회전 행렬의 행렬식은 각각 +1과 −1이다.)

변위 벡터는 극성 벡터이다. 속도 벡터는 변위 벡터(극성 벡터)를 시간(스칼라)으로 나눈 것이므로 극성 벡터이다. 운동량 벡터는 속도 벡터(극성 벡터)에 질량(스칼라)을 곱한 것이므로 극성 벡터이다. 힘, 전기장 역시 극성 벡터에 해당한다.

공간 반전은 공간 좌표의 세 성분 축을 모두 반대 방향으로 바꾸는 것이다. 공간 반전 P는 다음과 같이 정의된다.

:

P: \mathbf{x}=(x,y,z) \to\mathbf{x}^P = -\mathbf{x}=(-x,-y,-z)

극성 벡터 '''A'''=(A_x,A_y,A_z)는 공간 반전에 의해 다음과 같이 변환된다.

:

P: \mathbf{A} \to \mathbf{A}^P=(-A_x,-A_y,-A_z)

즉, 벡터의 방향은 같지만 각 성분의 부호가 바뀌며, 이를 패리티가 음수라고 한다.

거울상 변환(공간의 한 성분을 반전)에서 극성 벡터의 성분 부호는 일반적으로 ''n'' 회의 거울상 변환에서

(-1)^n

만큼 바뀐다.

3. 2. 유사 벡터

토크,^[4] 각속도, 각운동량,^[4] 자기장,^[4] 와도 및 자기 쌍극자 모멘트가 유사벡터의 물리적 예시에 해당한다.

thumb

예를 들어 각운동량을 생각해 보자. 자동차를 운전하며 앞을 바라볼 때, 각 바퀴는 왼쪽을 향하는 각운동량 벡터를 갖는다. 만약 세상이 자동차의 좌우를 바꾸는 거울에 반사된다면, 이 각운동량 "벡터" (일반적인 벡터로 간주)의 "반사"는 오른쪽을 가리키지만, 바퀴의 ''실제'' 각운동량 벡터 (반사에서도 여전히 앞으로 회전)는 여전히 왼쪽을 가리키며, 이는 유사벡터의 반사에서 추가적인 부호 변화에 해당한다.

극성 벡터와 유사벡터의 구분은 물리 시스템의 해에 대한 대칭성의 효과를 이해하는 데 중요하다. 평면에 있는 전류 루프를 생각해 보자. 이 루프 내부는 ''z'' 방향으로 향하는 자기장을 생성한다. 이 시스템은 이 평면에 대한 거울 반사에 따라 대칭 (불변)이며, 자기장은 반사에 의해 변하지 않는다. 그러나 자기장을 벡터로 그 평면을 통해 반사하면 뒤집힐 것으로 예상된다. 이러한 예상은 자기장이 유사벡터이며 추가적인 부호 변화로 인해 변경되지 않는다는 것을 깨달음으로써 수정된다.

물리학에서 유사벡터는 일반적으로 두 개의 극성 벡터의 외적 또는 극성 벡터장의 회전을 취한 결과이다. 외적과 회전은 관례에 따라 오른손 법칙에 따라 정의되지만 왼손 법칙으로도 쉽게 정의될 수 있었다. (오른손) 유사벡터와 오른손 법칙을 다루는 전체 물리학은 (왼손) 유사벡터와 왼손 법칙을 사용하여 문제없이 대체될 수 있다. 그렇게 정의된 (왼손) 유사벡터는 오른손 법칙에 의해 정의된 것과 반대 방향일 것이다.

3차원 공간에서 회전을 나타내는 물리량은 유사 벡터로 표현될 수 있다. 이는 3차원 공간에서 2계 반대칭 텐서가 3개의 독립 성분을 가지며, 레비-치비타 텐서를 사용하여 벡터처럼 표현할 수 있기 때문이다.

: A'_k }}

3차원이 아닌 경우(2차원, 4차원, 5차원 이상)에는 회전을 유사 벡터로 표현할 수 없고, 각각 유사 스칼라, 2계 반대칭 텐서 등으로 기술해야 한다.

물리학의 벡터 관계는 좌표에 의존하지 않는 방식으로 표현될 수 있지만, 벡터와 유사벡터를 수치량으로 표현하려면 좌표계가 필요하다. 벡터는 정렬된 세 개의 숫자로 표현된다. 예를 들어

\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)

이며, 유사벡터도 이러한 형태로 표현된다. 좌우 좌표계 간에 변환할 때, 유사벡터의 표현은 벡터로 변환되지 않으며, 이를 벡터 표현으로 취급하면 부호가 잘못 변경되므로 어떤 정렬된 세 개의 숫자가 벡터를 나타내고 어떤 것이 유사벡터를 나타내는지 주의해야 한다. 이 문제는 두 벡터의 외적을 두 벡터의 외적으로 대체할 경우 존재하지 않으며, 이는 2계 텐서인 이중 벡터를 생성하며 3×3 행렬로 표시된다. 이 2-텐서의 표현은 손의 방향과 관계없이 두 좌표계 간에 올바르게 변환된다.

'''공간 반전'''은 공간 좌표의 세 성분 축을 모두 반대 방향으로 바꾸는 것이다. P를 공간 반전이라고 하면, 다음과 같다.

:

P: \mathbf{x}=(x,y,z) \to\mathbf{x}^P = -\mathbf{x}=(-x,-y,-z)

'''A'''=(A_x,A_y,A_z)를 극성 벡터라고 하면, 공간 반전에 의해 다음과 같이 변환된다.

:

P: \mathbf{A} \to \mathbf{A}^P=(-A_x,-A_y,-A_z)

변환해도 벡터의 방향은 같지만, 각 성분의 부호가 바뀐다. 이것을 패리티가 음수라고 한다.

'''B'''를 극성 벡터로 하고, '''A'''와 '''B'''의 외적을 '''L'''로 하면 다음과 같다.

:

P: \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) \to \mathbf{B}^P=(-B_x,-B_y,-B_z)

:

\mathbf{L}=(L_x,L_y,L_z)=\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-B_yA_z,A_zB_x-B_zA_x,A_xB_y-B_xA_y)

'''L'''은 공간 반전으로 '''L'''^P = '''A'''^P × '''B'''^P가 된다.

:

P:\mathbf{L} \to \mathbf{L}^P=\mathbf{A}^P \times \mathbf{B}^P

::

= (A_y B_z - B_y A_z, A_z B_x - B_z A_x, A_x B_y  - B_x A_y) = (L_x, L_y, L_z) \,

'''L'''은 공간 반전해도 부호가 바뀌지 않는다. 이것을 패리티가 양수라고 한다. 공간 반전으로 '''L'''은 방향을 바꿔버린다. 이러한 벡터를 '''유사 벡터''', 또는 '''축성 벡터'''라고 부른다.

유사 벡터는 거울상 변환(공간의 한 성분을 반전)에 의해서도 방향을 바꾼다. 일반적으로 ''n'' 회의 거울상 변환에서 극성 벡터의 성분 부호는

(-1)^n

바뀌고, 축성 벡터의 방향도 그만큼 바뀐다. 공간 반전은 3회의 거울상 변환과 같으므로 유사 벡터는 방향을 바꾼다.

4. 형식화

유사벡터를 형식화하는 방법은 다음과 같다.

외대수: 벡터 공간 ''V''가 ''n''-차원일 때, 유사벡터는 ''V''의 (''n'' - 1)번째 외력의 원소, 즉 ⋀^''n''-1(''V'')의 원소이다.
표현론: 표현 공간의 원소로 간주한다.
기하학적 대수: 기하학적 대수에서 기본적인 요소는 벡터이며, 벡터를 사용하여 곱의 정의를 통해 요소의 계층 구조를 구축한다. 특히, 대수는 벡터로부터 유사벡터를 구축한다.

기하학적 대수의 기본적인 곱셈은 두 벡터를 '''ab'''로 나란히 배치하여 표시되는 기하 곱이다. 이 곱은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \ ,

여기서 첫 번째 항은 일반적인 벡터 내적이고 두 번째 항은 쐐기곱 또는 외적이다. 대수의 공리를 사용하여 내적과 외적의 모든 조합을 평가할 수 있다. 다양한 조합을 설명하기 위해 용어가 제공된다. 예를 들어, 멀티벡터는 다양한 ''k'' 값의 ''k''-겹 쐐기곱의 합이다. ''k''-겹 쐐기곱은 ''k''-블레이드라고도 한다.

''유사벡터''는 공간의 차원 (즉, 공간 내 선형 독립 벡터의 수)에 따라 다른 멀티벡터에 연결된다. 3차원에서는 가장 일반적인 2-블레이드 또는 이중 벡터는 두 벡터의 쐐기곱으로 표현할 수 있으며, 이는 유사벡터이다.^[7] 4차원에서는 유사벡터가 삼중 벡터이다.^[8] 일반적으로, 이는 (''n'' − 1)-블레이드이며, 여기서 ''n''은 공간과 대수의 차원이다.^[9] ''n''차원 공간에는 ''n''개의 기저 벡터와 ''n''개의 기저 유사벡터가 있다. 각 기저 유사벡터는 ''n''개의 기저 벡터 중 하나를 제외한 모든 벡터의 외적(쐐기곱)으로 형성된다. 예를 들어, 기저 벡터가 {'''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃, '''e'''₄}로 간주되는 4차원에서는 유사벡터를 {'''e'''₂₃₄, '''e'''₁₃₄, '''e'''₁₂₄, '''e'''₁₂₃}으로 쓸 수 있다.

4. 1. 외대수

유사 벡터는 벡터 공간 ''V''의 (''n'' - 1)차 외대수 ⋀^''n''-1(''V'')의 원소로 형식화될 수 있다. ''V''의 유사 벡터는 ''V''와 동일한 차원을 가진 벡터 공간을 형성한다.^[7]

이 정의는 부적절한 회전에서 부호 반전을 요구하는 정의와 동등하지 않지만, 모든 벡터 공간에 일반적이다. 특히 ''n''이 짝수일 때, 이러한 유사 벡터는 부호 반전을 경험하지 않는다.^[7]

4. 2. 표현론

유사벡터는 직교군 O(''n'')에 대한 표현 공간의 원소로 간주될 수 있다. 벡터는

(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{fund}}, \text{O}(n))

로 주어진 데이터를 사용하여

\text{O}(n)

의 기본 표현으로 변환되므로,

\text{O}(n)

의 모든 행렬

R

에 대해

\rho_{\text{fund}}(R) = R

이 성립한다. 유사벡터는 유사기본 표현

(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{pseudo}}, \text{O}(n))

으로 변환되며, 이때

\rho_{\text{pseudo}}(R) = \det(R)R

이다.

5. 기하 대수

기하학적 대수에서 기본적인 요소는 벡터이며, 이러한 벡터를 사용하여 이 대수에서 곱의 정의를 사용하여 요소의 계층 구조를 구축한다. 특히, 대수는 벡터로부터 유사벡터를 구축한다.

기하학적 대수의 기본적인 곱셈은 단순히 두 벡터를 '''ab'''로 나란히 배치하여 표시되는 기하 곱이다. 이 곱은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \ ,$

여기서 첫 번째 항은 일반적인 벡터 내적이고 두 번째 항은 쐐기곱 또는 외적이라고 한다. 대수의 공리를 사용하여, 내적과 외적의 모든 조합을 평가할 수 있다. 다양한 조합을 설명하는 용어가 제공된다. 예를 들어, 멀티벡터는 다양한 ''k'' 값의 ''k''-겹 쐐기곱의 합이다. ''k''-겹 쐐기곱은 ''k''-블레이드라고도 한다.

현재 맥락에서 ''유사벡터''는 이러한 조합 중 하나이다. 이 용어는 공간의 차원 (즉, 공간 내 선형 독립 벡터의 수)에 따라 다른 멀티벡터에 연결된다. 3차원에서는 가장 일반적인 2-블레이드 또는 이중 벡터는 두 벡터의 쐐기곱으로 표현할 수 있으며, 이는 유사벡터이다.^[7] 그러나 4차원에서는 유사벡터가 삼중 벡터이다.^[8] 일반적으로, 이는 (''n'' − 1)-블레이드이며, 여기서 ''n''은 공간과 대수의 차원이다.^[9] ''n''차원 공간에는 ''n''개의 기저 벡터와 ''n''개의 기저 유사벡터가 있다. 각 기저 유사벡터는 ''n''개의 기저 벡터 중 하나를 제외한 모든 벡터의 외적(쐐기곱)으로 형성된다. 예를 들어, 기저 벡터가 {'''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃, '''e'''₄}로 간주되는 4차원에서는 유사벡터를 {'''e'''₂₃₄, '''e'''₁₃₄, '''e'''₁₂₄, '''e'''₁₂₃}으로 쓸 수 있다.

3차원에서 유사벡터는 벡터 곱과 비교하여 변환 속성이 고려되었다.^[10] 3차원에서 두 개의 극성 벡터 (즉, 진정한 벡터) '''a'''와 '''b'''가 주어지면, '''a'''와 '''b'''로 구성된 외적은 $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 로 주어지는, 그들의 평면에 수직인 벡터이다. 오른쪽 손 기저 벡터 집합 {'''e'''_ℓ}가 주어지면, 외적은 다음과 같이 성분으로 표현된다.

: $\mathbf {a} \times \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_1 + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_2 + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_3 ,$

여기서 위첨자는 벡터 성분을 나타낸다. 반면에, 두 벡터의 평면은 $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ 로 표시되는 외적 또는 쐐기 곱으로 표현된다. 기하 대수라는 맥락에서, 이 이중벡터는 유사벡터라고 불리며, 외적의 ''Hodge 쌍대''이다.^[11] '''e'''₁의 ''쌍대''는 '''e'''₂₃ ≡ '''e'''₂'''e'''₃ = '''e'''₂ ∧ '''e'''₃ 등으로 도입된다. 즉, '''e'''₁의 쌍대는 '''e'''₁에 수직인 부분 공간, 즉 '''e'''₂와 '''e'''₃에 의해 span된 부분 공간이다. 이러한 이해를 바탕으로,^[12]

: $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_{23} + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_{31} + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_{12} \ .$

자세한 내용은 ''Hodge 쌍대 연산자''의 ''3차원'' 항목을 참조하십시오. 외적과 쐐기 곱은 다음과 같이 관련되어 있다.

: $\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf{b} = \mathit i \ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf{b} \ ,$

여기서 $i = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3$ 는 ''단위 유사 스칼라''라고 불린다.^[13]^[14] 이는 다음의 속성을 갖는다:^[15]

: $\mathit{i}^2 = -1 \ .$

위의 관계를 사용하여, 기저 벡터를 고정시킨 채 벡터 '''a'''와 '''b'''의 성분의 부호를 변경하여 반전시키면 유사벡터와 외적이 모두 불변한다는 것을 알 수 있다. 반면에, 성분을 고정하고 기저 벡터 '''e'''_ℓ를 반전시키면 유사벡터는 불변하지만, 외적의 부호는 변경된다. 외적의 이러한 거동은 극성 벡터와 달리 오른쪽 손 좌표계에서 왼쪽 손 좌표계로의 변환에서 부호가 변경되는 벡터와 유사한 요소라는 정의와 일치한다.

기하 대수 분야의 모든 저자가 유사 벡터라는 용어를 사용하는 것은 아니며, 일부 저자는 유사 벡터와 외적을 구별하지 않는 용어를 따른다는 점에 유의할 수 있다.^[16] 그러나 외적은 3차원을 초과하여 일반화되지 않기 때문에,^[17] 외적에 기반한 유사 벡터의 개념 또한 다른 차원의 공간으로 확장될 수 없다. ''n''차원 공간에서 유사 벡터는 (''n'' – 1)-블레이드이므로 이러한 방식으로 제한되지 않는다.

또 다른 중요한 점은 유사 벡터가, 그 이름에도 불구하고, 벡터 공간의 원소라는 의미에서 "벡터"라는 것이다.

6. 추가 정보

수동 변환에 대한 또 다른 접근 방식은 우주를 고정된 상태로 유지하면서 수학과 물리학의 모든 곳에서 "오른손 법칙"을 "왼손 법칙"으로 바꾸는 것이다. 여기에는 외적 및 회전의 정의도 포함된다. 이 경우 모든 극성 벡터(예: 변위 벡터)는 변경되지 않지만, 유사벡터(예: 한 지점에서의 자기장 벡터)는 부호가 바뀐다. 그럼에도 불구하고, 특정 방사성 붕괴와 같은 패리티 위반 현상을 제외하고는 물리적 결과는 없을 것이다.^[6]

공간 반전은 공간 좌표의 세 성분 축을 모두 반대 방향으로 바꾸는 것이다. P를 공간 반전이라고 하면, P는 다음과 같이 표현된다.

: $P: \mathbf{x}=(x,y,z) \to \mathbf{x}^P = -\mathbf{x}=(-x,-y,-z)$

'''A'''=(A_x,A_y,A_z)를 극성 벡터라고 하면, 공간 반전에 의해 다음과 같이 변환된다.

: $P: \mathbf{A} \to \mathbf{A}^P=(-A_x,-A_y,-A_z)$

변환 후 벡터의 방향은 같지만, 각 성분의 부호가 바뀐다. 이것을 패리티가 음수라고 한다.

'''B'''를 극성 벡터로 하고, '''A'''와 '''B'''의 외적을 '''L'''로 하면 다음과 같다.

: $P: \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) \to \mathbf{B}^P=(-B_x,-B_y,-B_z)$

: $\mathbf{L}=(L_x,L_y,L_z)=\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-B_yA_z,A_zB_x-B_zA_x,A_xB_y-B_xA_y)$

'''L'''은 공간 반전으로 '''L'''^P = '''A'''^P × '''B'''^P가 된다.

: $P:\mathbf{L} \to \mathbf{L}^P=\mathbf{A}^P \times \mathbf{B}^P$

:: $= (A_y B_z - B_y A_z, A_z B_x - B_z A_x, A_x B_y - B_x A_y) = (L_x, L_y, L_z) \,$

'''L'''은 공간 반전해도 부호가 바뀌지 않는다. 이것을 패리티가 양수라고 한다. 공간 반전으로 '''L'''은 방향을 바꿔버린다. 이러한 벡터를 '''유사 벡터''' 또는 '''축성 벡터'''라고 부른다.

유사 벡터는 거울상 변환(공간의 한 성분을 반전)에 의해서도 방향을 바꾼다. 일반적으로 ''n'' 회의 거울상 변환에서 극성 벡터의 성분 부호는 $(-1)^n$ 바뀌고, 축성 벡터의 방향도 그만큼 바뀐다. 공간 반전은 3회의 거울상 변환과 같으므로 유사 벡터는 방향을 바꾼다.

참조

_[1] 서적 Linearity and the mathematics of several variables https://books.google[...] World Scientific
_[2] 웹사이트 Details for IEV number 102-03-33: "axial vector" https://www.electrop[...] 2023-11-07
_[3] 웹사이트 Details for IEV number 102-03-34: "polar vector" https://www.electrop[...] 2023-11-07
_[4] 뉴스 RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1 https://feynmanlectu[...]
_[5] 서적 Vector and tensor analysis with applications https://books.google[...] Courier Dover
_[6] 문서 Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!" https://feynmanlectu[...]
_[7] 서적 Deformations of mathematical structures II Springer
_[8] 서적 Geometric algebra and applications to physics https://books.google[...] CRC Press
_[9] 서적 Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications Birkhäuser
_[10] 서적 Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V https://archive.org/[...] Birkhäuser
_[11] 서적 Computer algebra and geometric algebra with applications Springer
_[12] 서적 Geometric Algebra with Applications in Engineering Springer
_[13] 서적 New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics Springer
_[14] 서적 Geometric algebra and applications to physics CRC Press
_[15] 서적 Geometric algebra with applications in science and engineering https://books.google[...] Springer
_[16] 서적 Multivectors and Clifford algebra in electrodynamics https://books.google[...] World Scientific
_[17] 서적 Linearity and the mathematics of several variables https://books.google[...] World Scientific

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