이차 리 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 연산
- 3.1. 이중 확대
4. 성질
5. 분류
6. 예
참조

1. 개요

이차 리 대수는 가환환 K 위의 리 대수와 비퇴화 쌍선형 형식을 함께 갖춘 구조이다. 이 데이터는 특정 조건을 만족해야 하며, 아인슈타인 표기법을 사용하여 표현할 수 있다. 이차 리 대수는 직합 연산을 통해 새로운 이차 리 대수를 만들 수 있으며, 이중 확대를 통해 더 복잡한 구조를 형성할 수 있다. 실수체 위의 이차 리 대수는 유한 차원 벡터 공간이며, 양의 정부호 이차 리 대수는 콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합으로 나타낼 수 있다. 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터 직합 및 이중 확대 연산을 통해 구성될 수 있다. 이차 리 대수는 킬링 형식과 관련되며, 낮은 차원의 이차 리 대수는 분류되어 있다.

더 읽어볼만한 페이지

이차 형식 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.
이차 형식 - 클리퍼드 대수
클리퍼드 대수는 가환환 위의 가군과 이차 형식으로부터 정의되는 단위 결합 대수로서, 보편 성질이나 텐서 대수의 몫대수를 통해 정의 및 구성되며, 물리학, 컴퓨터 비전, K이론 등 다양한 분야에서 응용되는 대수적 구조이다.
리 대수 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
리 대수 - 아핀 리 대수
아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특수한 경우로, 유한 차원 단순 리 대수에 대응하는 루프 대수의 중심 확장으로 구성되며, 딘킨 도표를 통해 분류되고, 끈 이론과 2차원 등각장론 등 다양한 분야에 응용된다.

이차 리 대수
개요
유형	리 대수
관련 개념	킬링 형식 카시미르 불변량
정의
정의	불변 쌍선형 형식과 함께 제공되는 리 대수
성질
중요 성질	반단순 리 대수는 항상 이차 리 대수임

2. 정의

가환환 $K$ 위의 '''이차 리 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$K$ -리 대수 $\mathfrak g$
$K$ -비퇴화 쌍선형 형식 $\langle \cdot, \cdot \rangle \colon \mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\to K$ , $x\otimes y \mapsto \langle x,y\rangle$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

\mathfrak g

의 모든 원소

x, y, z \in \mathfrak g

에 대하여,

:

\langle [x,y]|z\rangle = \langle y|[z,x]\rangle

아인슈타인 표기법을 사용하여,

\mathfrak g

의 기저를

\{t^i\}

라고 하고, 구조 상수를

:

[t^i,t^j] = f^k{}_{ij}t^k

와 같이 적고 (

f^k{}_{ij} = - f^k_{ji}

), 쌍선형 형식을 행렬

C_{ij}

로 표현하여

:

\langle t^i|t^j\rangle = C_{ij}

와 같이 적을 경우 (

C_{ij} = C_{ji}

), 위 조건은 다음과 같다.

:

C_{lj}f^l{}_{ki} + C_{lk}f^l{}_{ji} = 0

(여기서

0 = C_{l(j}f^l{}_{k)i} = C_{lj}f^l{}_{ki} + C_{lk}f^l{}_{ji}

이며,

(\dotso)

는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.)

다른 관점에서 보면, 이차 리 대수는 리 대수 (

\mathfrak{g}

, [.,.])와 수반 작용에 불변인 비퇴화 대칭 쌍선형 형식

(.,.)\colon \mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}\to K

(원본 소스에서는

\mathbb{R}

로 표기됨)을 함께 갖춘 구조로 설명되기도 한다. 이 경우 조건은 다음과 같이 표현된다.

\mathfrak{g}

의 모든 원소 ''X, Y, Z''에 대해,

:

([X,Y],Z) + (Y,[X,Z]) = 0

3. 연산

같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

3. 1. 이중 확대

다음이 주어졌다고 하자.

체 $K$
$K$ -이차 리 대수 $(\mathfrak g,\langle-|-\rangle)$
$K$ -리 대수 $\mathfrak h$ 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 $\langle-|-\rangle_{\mathfrak h}$ (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
$K$ -리 대수 준동형 $(\cdot) \colon \mathfrak h \to \mathfrak{der}(\mathfrak g)\cap\mathfrak o(\mathfrak g)$ (여기서 $\mathfrak o(\mathfrak g)$ 는 대칭 쌍선형 형식 $\langle-|-\rangle$ 에 대한 직교 리 대수)

그렇다면, 직합

K

-벡터 공간

:

\mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee

위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

:

\langle (g',h',h'^\vee)|(g,h,h^\vee) \rangle = \langle g'|g\rangle + \langle h^\vee|h'\rangle + \langle h'^\vee|h\rangle + \langle h'|h\rangle_{\mathfrak h}

또한, 다음과 같은 리 괄호 연산을 정의한다.

:

[(g,0,0),(g',0,0)] = ([g,g'],0,\omega(g,g'))

:

[(0,h,0),(0,h',0)] = (0,[h,h'],0)

:

[(0,0,h^\vee),(g,0,h'^\vee)] = 0

:

[(0,h,0),(g,0,0)] = (h \cdot g,0,0)

:

[(0,0,h^\vee),(0,h,0)] = (0,0,-h^\vee \circ \operatorname{ad}_h)

여기서

\omega

는 다음과 같이 정의되는

\mathfrak h^*

의 원소이다.

:

\omega(g,g') \in\mathfrak h^*

:

\omega(g,g')(h) = \langle h\cdot g|g'\rangle

이다. 이를

\mathfrak g

의,

\mathfrak h

를 통한 '''이중 확대'''(double extension^영어)라고 한다.^[2]

만약

K=\mathbb R

일 때,

\mathfrak g

의 부호수가

(m_+,m_-)

이며,

\mathfrak h

가

n

차원이라면,

\mathfrak h

위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이,

\mathfrak g

의

\mathfrak h

를 통한 이중 확대의 부호수는

(m_++n,m_-+n)

이다.

4. 성질

비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

양의 정부호의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
콤팩트 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.

5. 분류

실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.^[2]

즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.^[3]

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.^[2]

직합
1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대 $\mathfrak g \mapsto \mathfrak g\oplus\mathbb R\oplus\mathbb R$

6. 예

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간에 임의의 비퇴화 쌍선형 형식과 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다. 가장 간단한 예로는 영(0) 리 괄호와 표준 내적을 갖는 $\mathbb{R}^n$ 을 들 수 있다.

: $((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n)) := \sum_{j=1}^n x_j y_j$

이 경우 리 괄호가 자명하므로, 쌍선형 형식의 불변성은 자동으로 성립한다.

조금 더 복잡한 예시로는 so(3) 리 대수가 있다. 이는 기저 $X, Y, Z$ 를 갖는 $\mathbb{R}^3$ 에 표준 내적과 다음과 같은 리 괄호를 부여한 것이다.

: $[X,Y]=Z,\quad [Y,Z]=X,\quad [Z,X]=Y$

직접 계산을 통해 표준 내적이 이 리 괄호 아래에서 불변임을 확인할 수 있다.

반단순 리 대수 역시 이차 리 대수의 중요한 예시이다. 예를 들어 sl(n,R)이나 su(n)과 같은 리 대수 및 이들의 직합은 킬링 형식을 통해 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다. (자세한 내용은 #반단순 리 대수 참조)

표수 0의 체 위에서 정의된 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 이로부터 표수 0에서는 모든 반단순 리 대수가 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다는 사실을 알 수 있다.

6. 1. 반단순 리 대수

반단순 리 대수는 수반 표현이 충실한 리 대수이며, 이차 리 대수의 중요한 예시이다. 예로는 sl(n,R)과 su(n), 그리고 이들의 직합이 있다.

'''g'''를 수반 표현 ''ad''를 갖는 반단순 리 대수라고 하자. 즉,

:

\mathrm{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathrm{End}(\mathfrak{g}):X\mapsto (\mathrm{ad}_X\colon Y\mapsto [X,Y])

.

이제 킬링 형식 ''k''를 다음과 같이 정의한다.

:

k\colon\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}\to\mathbb{R}: X\otimes Y \mapsto -\mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X\circ\mathrm{ad}_Y)

.

카르탕 판정법에 따르면, 킬링 형식은 리 대수 '''g'''가 반단순일 때에만 비퇴화한다.

만약 '''g'''가 추가적으로 단순 리 대수라면, 킬링 형식은 상수배를 제외하고 유일한 불변 대칭 쌍선형 형식이다.

6. 2. 비콤팩트 이차 리 대수

가환환

K

위의 이차 리 대수

\mathfrak g

가 주어졌다고 하자. 이때, 다항식환

\mathfrak g[t]

위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.

:

[p,q]_{\mathfrak g[t]}(t) = [p(t),q(t)]_{\mathfrak g}

또한, 임의의 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여,

t^n\mathfrak g[t]

는

\mathfrak g[t]

의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

:

\frac{\mathfrak g[t] }{t^n\mathfrak g[t]}=\bigoplus_{i=0}^{n-1}\mathfrak gt^i

를 만들 수 있다. 이 몫 리 대수 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

:

\langle x_0+x_1t+\dotsb+x_{n-1}t^{n-1}|y_0+y_1t+\dotsb+y_{n-1}t^{n-1}\rangle = \langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle_{\mathfrak g}

이렇게 정의된 몫 리 대수와 대칭 쌍선형 형식은 새로운 이차 리 대수를 구성한다.

예를 들어, 만약

K

가 표수 0의 체이고,

\mathfrak g

가 단순 리 대수이며,

n\ge2

일 경우, 위와 같이 구성된 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.

6. 3. 아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수

다음과 같은 리 대수를 생각하자.^[4]

:

\mathfrak g_4 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{C,L_+,L_-,C^*\}

:

[C,L_\pm]=\pm L_\pm

:

[L_+,L_-]=C^*

:

[L_\pm,L_\pm]=0

:

[C,C^*] = [L_\pm,C^*] = 0

여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식

:

\langle C^*|C\rangle = 1

:

\langle L_\pm|L_\mp\rangle = 1

:

\langle L_\pm|L_\pm\rangle = \langle C|C\rangle = \langle C^*|C^*\rangle = \langle C^*|L_\pm\rangle = \langle C | L_\pm\rangle = 0

을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.^[4]

또한, 다음과 같은 5차원 리 대수를 생각하자.^[4]

:

\mathfrak g_5 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x_1,x_2,t,x^1,x^2\}

:

\langle x_i|x^j\rangle = \delta_i^j

:

\langle x_i|x_j\rangle = 0

:

\langle t|t\rangle = 1

:

[x_1,x_2]=t

:

[x_i,t]=-\epsilon_{ij} x^j

:

[x^j,t] = [x_i,x^j] = 0

여기서

\delta_i^j

는 크로네커 델타이며,

\epsilon_{ij}

는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다.

이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이루며, 가해 리 대수이다.^[4]

6. 4. 낮은 차원의 이차 리 대수

6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.^[4]^[5]

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

'''가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수'''^[5]

차원	이차 리 대수
3	$\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$
3	$\mathfrak o(3;\mathbb R)$
6	$\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\to\mathfrak{der}(0)$ 에 의한 이중 확대 $0\oplus \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^*$
	$\mathfrak o(3;\mathbb R)\to\mathfrak{der}(0)$ 에 의한 이중 확대 $0\oplus \mathfrak o(3;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(3;\mathbb R)^*$
	$\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$
8	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)$
	$\mathfrak{su}(3;\mathbb R)$
	$\mathfrak{su}(2,1;\mathbb R)$
9	$\mathfrak{sl}(2;\mathbb R[x]/(x^3)) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R} \mathbb R[x]/(x^3)$
9	$\mathfrak o(3;\mathbb R[x]/(x^3)) = \mathfrak o(3;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R} \mathbb R[x]/(x^3)$
10	$\mathfrak o(3,2)$
	$\mathfrak o(4,1)$
	$\mathfrak o(5)$
	$V = \mathbb R^2$ 일 때, 이중 확대 $V\otimes V\oplus \mathfrak{sl}(V) \oplus\mathfrak{sl}(V)^$ .^[5] 여기서 $\langle u\otimes v,u$ \otimes v*\rangle = \langle u,v\rangle\langle u,v\rangle이며 $M \cdot (u\otimes v) = Mu \otimes v$ ( $u,v\in V,\; M\in\mathfrak{sl}(V)$ )
	$W = \mathbb C^2$ 일 때, 이중 확대 $V \oplus \mathfrak{su}(W) \oplus\mathfrak{su}(W)^*$ .^[5] 여기서 $\langle u,v\rangle = \langle u,v\rangle_{\mathbb C} + \langle v,u\rangle_{\mathbb C}$ 이며 $\langle-,-\rangle_{\mathbb C}$ 는 복소수 힐베르트 공간 내적이다.
11	(총 3개)
12	(총 9개)
13	(총 4개)

'''아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수'''^[4]

차원	이차 리 대수
4	$\mathfrak g_4$ (※위 문단을 참고)
5	$\mathfrak g_5$ (※위 문단을 참고)
6	(2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)

참조

_[1] 서적 Geometry Ⅵ. Riemannian geometry
_[2] 저널 Algèbres de Lie et produit scalaire invariant http://www.numdam.or[...] 1985
_[3] 저널 Algèbres de Lie et produit scalaire invariant http://www.numdam.or[...] 1985
_[4] 저널 Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions http://eastwestmath.[...] 2012
_[5] 저널 Classification of quadratic Lie algebras of low dimension 2014

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com