자리스키 위상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 현대 대수기하학에서의 자리스키 위상
참조

1. 개요

자리스키 위상은 대수기하학에서 대수다양체 위에 정의되는 위상으로, 닫힌 집합을 대수적 집합으로 정의한다. 아핀 공간과 사영 공간에서 다항식의 해 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 스킴의 자리스키 위상은 환의 스펙트럼을 닫힌 집합으로 정의한다. 자리스키 위상은 유클리드 공간의 위상과 다른 성질을 가지며, 닫힌 집합과 열린 집합이 충분하지 않아 엉성하다는 특징이 있다. 뇌터 스킴의 자리스키 위상은 뇌터 위상 공간이며, 모든 정칙 사상은 연속이다. 현대 대수기하학에서는 스킴을 사용하여 대수적 다양체를 표현하며, 자리스키 위상에서 점은 더 이상 반드시 닫혀 있지 않다.

2. 정의

그로텐디크가 도입한 스킴을 사용하지 않는 고전 대수기하학에서, 자리스키 위상은 대수다양체에 정의된다. 자리스키 위상은 다양체의 점 위에서 정의되며, 닫힌 집합을 다양체의 대수적 집합으로 하는 위상이다. 가장 기본적인 대수다양체는 아핀 다양체와 사영 다양체이므로, 이 두 경우에 대해 정의를 더 명확하게 하는 것이 유용하다. 여기서는 고정된 대수적으로 닫힌 체 ''k'' 위에서 정의한다.(고전 대수기하학에서 ''k''는 일반적으로 복소수 체이다.)

현대 대수 기하학은 환의 스펙트럼을 출발점으로 사용한다. 이 경우 자리스키 닫힌 집합은 다음과 같이 정의된다.

: $V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}$

여기서 A는 고정된 가환환이고, I는 아이디얼이다. 힐베르트 영점 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 위의 다항식 집합 S에 대해 (고전적 의미의) V(S)의 점은 (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n)이 S를 포함하는 n개의 튜플 (a₁, ..., a_n)과 일치한다.

이러한 현대적 정의는 A의 원소를 A의 소 아이디얼 위의 함수로 생각하여 고전적 정의를 단순화한 것으로 볼 수 있다. 즉, Spec A 위의 함수로 생각하면, 임의의 소 아이디얼 P는 대응하는 잉여류체를 가지며, 이 잉여류체는 몫 A/P라는 분수체이다. A의 임의의 원소는 잉여류체 안으로 반영되며, P 안에 있는 원소는 P 안으로의 반영이 0이 된다.

임의의 원소 a에 대해 다음과 같은 사상을 생각하자.

: $e_a \colon \bigl(P \in \operatorname{Spec}(A)\bigr) \mapsto \left(\frac{a \; \bmod P}{1} \in \operatorname{Frac}(A/P)\right)$

이 사상은 각 점에서 잉여류체 안으로 반영된 값을 가지는 Spec A 위의 함수로 볼 수 있으며, 다음이 성립한다.

: $e_a(P)=0 \Leftrightarrow P\in V(a)$

더 일반적으로, 임의의 아이디얼 I에 대한 V(I)는 I의 모든 원소(함수)가 0이 되는 공통 집합이며, 이는 고전적인 정의와 같다.

아핀 다양체와 사영 다양체의 경우, 현대적 정의는 "아이디얼"을 "동차 아이디얼"로 바꾸는 것만으로 고전적 정의를 확장할 수 있다.

2. 1. 아핀 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 위의 유한 차원 아핀 공간

\mathbb A^n

에서, 자리스키 위상은 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

\mathbb A^n

안의 아핀 대수다양체의 자리스키 위상은

\mathbb A^n

에 주어진 자리스키 위상의 부분공간 위상으로 정의된다.

이때 닫힌 집합은 다항식 집합

S

에 대해 다음과 같은 형태로 표현된다.

:

V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}

이러한 닫힌 집합들의 모임이 위상을 잘 정의한다는 것은 다음 성질들을 통해 증명할 수 있다.

(''S'')가 ''S''의 원소들로 생성된 아이디얼인 경우 ''V''(''S'') = ''V''((''S''))가 성립한다.
임의의 n변수 다항식 아이디얼 ''I'', ''J''에 대해
# $V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);$
# $V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).$

''X''가 아핀 대수적 집합(기약적이든 아니든)이면, 그 위의 자리스키 위상은

\mathbb{A}^n

으로의 포함에 의해 유도된 부분 공간 위상으로 정의된다. 또는, 다음과 같이 정의할 수도 있다.

아핀 좌표 환 $A(X)\,=\,k[x_1, \dots, x_n]/I(X)$ 의 원소는 $k[x_1, \dots, x_n]$ 의 원소가 $\mathbb{A}^n$ 에서 함수로 작용하는 것과 마찬가지로 ''X''에서 함수로 작용한다. 여기서 ''I''(''X'')는 ''X''에서 사라지는 모든 다항식의 아이디얼이다.
임의의 다항식 집합 ''S''에 대해, ''T''를 ''A''(''X'')에서 그들의 이미지 집합으로 놓는다. 그러면 ''X''의 부분 집합 $V'(T) = \{x \in X \mid f(x) = 0, \forall f \in T\}$ (이 표기법은 표준이 아님)은 ''V(S)''와 ''X''의 교집합과 같다.

2. 2. 사영 다양체

사영 공간

\mathbb{P}^n

은

\mathbb{A}^{n + 1}

에서 0이 아닌 점들의 동치류 집합으로 정의되는데, 두 점이 ''k''의 스칼라 배만큼 차이가 나면 같은 것으로 본다. 다항식환

k[x_0, \dots, x_n]

의 원소는 여러 표현을 가질 수 있어

\mathbb{P}^n

위의 함수는 아니지만, 동차 다항식의 경우 주어진 사영점에서 0 또는 0이 아닌 값을 갖는 조건은 스칼라 배수에 영향을 받지 않으므로 잘 정의된다. 따라서 ''S''가 동차 다항식의 집합일 때, 다음과 같이 정의한다.

:

V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}.

이러한 집합에 대해 "아이디얼"을 "동차 이상"으로 바꾸면 동일한 사실이 성립한다. 따라서 동차 다항식 집합 ''S''에 대한 ''V''(''S'')는

\mathbb{P}^n

에 대한 위상을 정의한다. 이 집합들의 여집합은 ''D''(''S'') 또는 ''D′''(''S'')로 나타낸다.

사영 자리스키 위상은 아핀 대수 집합에 대해 아핀 위상이 정의되는 방식과 같이, 사영 대수 집합에 대해 부분 공간 위상을 취하여 정의된다. 이 위상은 사영 좌표환의 원소 집합에 의해 위와 같은 공식으로 정의될 수 있다.

2. 3. 스킴

가환환

R

의 스펙트럼

\operatorname{Spec} R

(모든 소 아이디얼들의 집합)에서, 아이디얼

\mathfrak a\subseteq R

에 대해

V(\mathfrak a) = \{\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R\mid \mathfrak a \subseteq\mathfrak p\}

를 닫힌 집합으로 정의한다. 스킴의 자리스키 위상은 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개로부터 유도된다.^[1]^[2]

2. 4. 그로텐디크 위상

범주론적으로, 스킴

X

의 '''자리스키 덮개'''(Zariski cover^영어)는 같은 공역을 가진 열린 몰입의 족

\{\iota_i\colon X_i\to X\}_{i\in I}

가운데, 그 치역들의 합집합이

X

전체인 것이다.

:

\bigcup_{i\in I}\iota_i(X_i)=X

자리스키 덮개는 스킴의 범주

\operatorname{Sch}

위의 그로텐디크 준위상을 이루며,

\operatorname{Sch}

위에 이 위상을 부여한 위치를 '''자리스키 위치'''(Zariski site^영어)

\operatorname{Zar}

라고 한다.

3. 성질

자리스키 위상은 유클리드 공간의 표준적인 위상과는 상당히 다른 성질을 가진다. 일반적으로 자리스키 위상은 매우 엉성하며, 이는 열린집합과 닫힌집합이 충분하지 않다는 것을 의미한다.

대수적으로 닫힌 체에 대한 유한 차원 아핀 공간 $\mathbb A^n$ 을 예로 들어 설명하면 다음과 같다.

$\mathbb A^n$ 의 모든 닫힌 진부분 집합은 $n-1$ 이하의 차원을 가지므로, 닫힌집합들은 매우 "작다"고 할 수 있다.
반대로, 닫힌집합들의 여집합인 열린집합들은 매우 "크다". 공집합이 아닌 임의의 두 열린집합은 항상 교집합을 가지며, 공집합이 아닌 모든 열린 집합은 조밀 집합이다.

자리스키 위상은 T₁ 위상이지만, 유한체가 아닌 체에 대한 대수다양체는 항상 하우스도르프 공간이 아니다.

뇌터 스킴의 자리스키 위상은 뇌터 위상 공간이다. 즉, 뇌터 스킴은 콤팩트 공간이며, 뇌터 스킴의 모든 부분공간도 콤팩트 공간이다.^[1]

4. 예시

체 ''k''의 스펙트럼 Spec ''k''는 하나의 원소를 갖는 위상 공간이다.
정수환 $\mathbb{Z}$ 의 스펙트럼 Spec $\mathbb{Z}$ 는 모든 소수 ''p''에 대한 극대 아이디얼 $(p)$ 에 대응하는 닫힌 점과, 영 아이디얼 (0)에 대응하는 일반점을 갖는다.
체 ''k'' 위의 일변수 다항식환 ''k''[''t'']의 스펙트럼 Spec ''k''[''t''] (아핀 직선)은 ''k''가 대수적으로 닫힌 체인 경우, 모든 원소 ''a''에 대한 닫힌 점 (''t'' - ''a'')과 일반점을 갖는다. ''k''가 대수적으로 닫혀 있지 않은 경우, 비선형 기약 다항식이 존재하여 묘사가 더 복잡하다. 예를 들어, $\mathbb{R}[t]$ 의 스펙트럼은 $\mathbb{R}$ 에 있는 ''a''에 대한 닫힌 점 (''x'' − ''a''), ''p'', ''q''가 $\mathbb{R}$ 에 있고 판별식 ''p''² − 4''q'' < 0인 닫힌 점 (''x''² + ''px'' + ''q'')과 마지막으로 일반점 (0)으로 구성된다.

5. 현대 대수기하학에서의 자리스키 위상

현대 대수기하학에서 자리스키 위상은 환의 스펙트럼을 이용하여 정의된다. 가환환 $R$ 의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 는 $R$ 의 모든 소 아이디얼들의 집합이다. $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a$ 에 대해, $V(\mathfrak a) = \{\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R\mid \mathfrak a \subseteq\mathfrak p\}$ 와 같은 집합을 닫힌 집합으로 정의하여 자리스키 위상을 구성한다. 이는 아핀 대수다양체의 닫힌집합을 확장한 개념이다.^[1]

스킴은 아핀 스킴을 이어붙여 만든 환 달린 공간이므로, 스킴의 자리스키 위상은 아핀 스킴의 열린 덮개로부터 유도된다.

고전 대수기하학에서는 자리스키 위상이 대수다양체에 정의되었다. 현대 대수 기하학은 환의 스펙트럼을 사용한다.^[2] 환의 스펙트럼에서, 닫힌 집합은 다음과 같이 정의된다:

: $V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}A \mid I \subseteq P\}$

여기서 $A$ 는 가환환이고, $I$ 는 아이디얼이다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 고전적인 경우와 현대적인 정의는 밀접하게 연결된다. 그로텐디크는 극대 아이디얼뿐만 아니라 모든 소 아이디얼을 고려하여 자리스키 위상의 개념을 확장했다.

현대적 정의에서는 환의 원소를 소 아이디얼 위의 함수로 생각할 수 있다. 각 소 아이디얼 $P$ 는 잉여류체 $\operatorname{Frac}(A/P)$ 를 가지며, 환의 원소는 이 잉여류체에 반영된다. 이 관점에서, $a$ 의 평가값은 다음과 같이 정의된다:

: $e_a \colon \bigl(P \in \operatorname{Spec}A \bigr) \mapsto \left(\frac{a \; \bmod P}{1} \in \operatorname{Frac}(A/P)\right)$

이때, $e_a(P)=0$ 는 $P \in V(a)$ 와 동치이다.

고전적인 자리스키 위상과 달리, 현대적인 정의에서는 점들이 반드시 닫혀 있을 필요는 없다. 일반점 개념이 도입되어, 닫힌 점은 극대 아이디얼에 해당하고, 최대 닫힘을 갖는 점은 극소 소 아이디얼이 된다. 그러나 스펙트럼은 여전히 T0 공간이다.

모든 스펙트럼은 (준)콤팩트하며, 뇌터 환의 경우 뇌터 위상 공간이다. 스킴의 고유성 개념은 콤팩트성의 문제를 해결한다.

참조

_[1] 서적 The red book of varieties and schemes Springer-Verlag
_[2] 서적 Abstract Algebra Wiley

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