점을 가진 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 망각 함자
- 3.2. 분쇄곱
4. 점을 가진 공간의 범주
5. 점을 가진 공간의 연산
6. 예시
참조

1. 개요

점을 가진 공간은 범주론에서 시작 대상을 갖는 범주에서 정의되는 개념으로, 대상과 그 대상 내의 "점"으로 구성된 순서쌍으로 생각할 수 있다. 점을 가진 범주는 점을 보존하는 사상을 통해 형성되며, 위상 공간의 범주를 예로 들 수 있다. 점을 가진 공간은 부분 공간, 몫 공간, 곱, 쐐기합, 스매시 곱, 축소 현수 등의 연산을 가지며, 망각 함자와 왼쪽 수반 함자를 통해 원래 범주와 연결된다. 군, 아벨 군, 아벨 범주와 같이 영 대상을 갖는 범주에서는 점을 가진 범주가 원래 범주와 동치 관계를 이룬다.

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점을 가진 공간

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 가 시작 대상 $1\in\mathcal C$ 을 갖는다고 할 때, $\mathcal C$ 위의 '''점을 가진 범주'''(pointed category^영어) $\mathcal C_\bullet$ 는 쌍대 조각 범주 $1\backslash\mathcal C$ 이다. 즉,

$\mathcal C_\bullet$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 사상 $\bullet_X\colon 1\to X$ 이다. 이는 $X$ 와 그 속의 "점" $\bullet_X$ 의 순서쌍 $(X,\bullet_X)$ 으로 생각할 수 있다. 이를 $X$ 의 '''밑점'''(-點, basepoint^영어)이라고 한다.
$\mathcal C_\bullet$ 의 대상 $(X,\bullet_X),(Y,\bullet_Y)\in\mathcal C_\bullet$ 사이의 사상 $f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)$ 은 다음 그림을 가환하게 하는 $\mathcal C$ 에서의 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

::

\begin{matrix}1&\xrightarrow{\bullet_X}& X\\&{\scriptstyle\bullet_Y}\!\!\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

3. 성질

시작 대상 $1\in\mathcal C$ 을 가진 범주 $\mathcal C$ 위의 점을 가진 범주 $\mathcal C_\bullet$ 는 항상 영 대상 $1\in\mathcal C_\bullet$ 을 가진다.

영 대상을 가진 범주 $\mathcal C$ 위의 점을 가진 범주는 $\mathcal C$ 와 동치이다. 즉, 범주 $\mathcal C$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\mathcal C$ 는 영 대상을 가진다.
$\mathcal C\simeq\mathcal D_\bullet$ 인, 시작 대상을 가진 범주 $\mathcal D$ 가 존재한다.

모든 점付き 공간이 이루는 류 '''Top'''_•는 기점을 보존하는 연속 사상(점付き 사상)을 사상으로 하는 범주를 이룬다^[2]。 이는 콤마 범주 '''(1'''↓'''Top''')''' 또는 여 슬라이스 범주 '''1'''/'''Top'''으로 생각할 수 있다. 이 범주의 대상은 연속 사상 '''1''' → ''X''이며, 이는 ''X''로부터 기점을 선택하는 것으로 이해할 수 있다. 이 범주에서의 사상은 '''Top'''에서의 사상으로서, 다음 그림을 가환으로 만든다.

이 그림의 가환성이 기점을 보존한다는 조건과 동치이다.

점付き 공간으로서의 '''1''' = {•}는 점付き 공간의 범주 '''Top'''_•에서의 영 대상이지만, 위상 공간의 범주 '''Top'''에서 생각하면 종 대상일 뿐이다.

3. 1. 망각 함자

시작 대상

1\in\mathcal C

을 가진 범주

\mathcal C

위의 점을 가진 범주

\mathcal C_\bullet

는 원래 범주

\mathcal C

로 가는 자연스러운 망각 함자

:

F\colon\mathcal C_\bullet\to\mathcal C

를 갖는다.

만약

\mathcal C

가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

:

(-)_+\colon\mathcal C\to\mathcal C_\bullet

:

(-)_+\colon (X\in\mathcal C)\mapsto X_+=(X\sqcup1,1\hookrightarrow X\sqcup1)

:

(-)_+\dashv F

를 갖는다. 이를 '''밑점 추가'''(adjoining disjoint basepoint^영어)라고 한다.

어떤 점이 기점인지를 "잊음"으로써, 망각 함자 '''Top'''_• → '''Top'''을 얻는다. 이 함자는 왼쪽 수반을 가지며, 이는 각 위상 공간

X

에 대해

X

에 형식적인 기점이 되어야 하는 한 점으로 이루어진 한 점 공간 {•}를 위상적 직합으로 덧붙이는 함자가 된다.

3. 2. 분쇄곱

(\mathcal C,\otimes)

가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면

\mathcal C_\bullet

역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

\mathcal C_\bullet

에서의 텐서곱은 '''분쇄곱'''(smash product^영어)

\wedge

이라고 한다. 또한, 만약

(\mathcal C,\otimes)

가 대칭 모노이드 범주라면

(\mathcal C_\bullet,\wedge)

역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로,

\mathcal C_\bullet

속의 두 대상

(X,\bullet_X)

,

(Y,\bullet_Y)

의 '''분쇄곱'''

(X,\bullet_X)\wedge(Y,\bullet_Y)

은 다음과 같은 밂이다.

:

\begin{matrix}(X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)&\to&1\\\downarrow&&\downarrow\\X\otimes Y&\to&X\wedge Y\end{matrix}

이 네모의 왼쪽 변은

:

\otimes\bullet_Y\colon X\otimes1\to X\otimes Y

:

\bullet_X\otimes\colon 1\otimes Y\to X\otimes Y

로부터 유도되는 사상

:

(\otimes\bullet_Y)\sqcup(\bullet_X\otimes)\colon (X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)\to X\otimes Y

이다.

\mathcal C_\bullet

에서의 지수 대상

[-,-]_\bullet

은 다음과 같은 당김이다.

:

\begin{matrix}[X,Y]_\bullet&\to&1\\\downarrow&&\downarrow\scriptstyle{\bullet_Y}\\{}[X,Y]&\xrightarrow[\circ{\bullet_X}]{}&[1,Y]\end{matrix}

[X,Y]_\bullet

의 점은 유일한 사상

X\to 1\xrightarrow{\bullet_Y}Y

에 대응한다.

두 개의 점을 가진 공간의 '''스매시곱'''은 본질적으로, 직적과 일점 합의 상이다. 주목할 점은, 스매시곱을 갖춘 점을 가진 공간의 범주는 영차원 구면을 단위 대상으로 하는 대칭 모노이드 범주(symmetric monoidal category^영어)로 할 수 있다는 것이다. 일반적인 위상 공간의 범주에서는 결합성의 조건이 만족되지 않으므로 이렇게 할 수 없다.

4. 점을 가진 공간의 범주

범주 $\mathcal C$ 가 시작 대상 $1\in\mathcal C$ 을 갖는다고 할 때, $\mathcal C$ 위의 '''점을 가진 범주'''(pointed category^영어) $\mathcal C_\bullet$ 는 쌍대 조각 범주 $1\backslash\mathcal C$ 이다. 즉,

$\mathcal C_\bullet$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 사상 $\bullet_X\colon 1\to X$ 이다. 이는 $X$ 와 그 속의 "점" $\bullet_X$ 의 순서쌍 $(X,\bullet_X)$ 으로 생각할 수 있다. 이를 $X$ 의 '''밑점'''(-點, basepoint^영어)이라고 한다.
$\mathcal C_\bullet$ 의 대상 $(X,\bullet_X),(Y,\bullet_Y)\in\mathcal C_\bullet$ 사이의 사상 $f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)$ 은 다음 그림을 가환하게 하는 $\mathcal C$ 에서의 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

:

\begin{matrix}1&\xrightarrow{\bullet_X}& X\\&{\scriptstyle\bullet_Y}\!\!\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 끝 대상은 한원소 공간

\{\bullet\}

이며, 한원소 공간에서 위상 공간

X

로 가는 연속 함수

\{\bullet\}\to X

는

X

속의 한 점

\bullet_X\in X

을 제시하는 것과 같다. '''점을 가진 공간'''(pointed space^영어)

(X,x_0)

은 위상 공간

X

와 그 속의 한 점

x_0\in X

로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주

\operatorname{Top_\bullet}

의 사상인 '''점을 보존하는 연속 함수'''(basepoint-preserving continuous map^영어)

f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)

는

:

f(\bullet_X)=\bullet_Y

인 연속 함수이다.

모든 점을 가진 공간의 모임으로 이루어진 범주 '''Top'''_$\bull$는 밑점 보존 연속 함수를 사상으로 갖는다.^[2] 이 범주는

\{ \bull \}

가 임의의 한 점 공간이고, '''Top'''이 위상 공간의 범주일 때, 콤마 범주 (

\{ \bull \} \downarrow

'''Top''')로 생각할 수 있다. (이것은

\{ \bull \} /

'''Top'''로 표기되는 코슬라이스 범주라고도 한다.)

이 범주 내의 대상은 연속 사상

\{ \bull \} \to X

이다. 이러한 사상은

X

에서 밑점을 선택하는 것으로 생각할 수 있다. (

\{ \bull \} \downarrow

'''Top''')의 사상은 다음의 가환 그림이 성립하는 '''Top'''의 사상이다.

그림의 가환성은

f

가 밑점을 보존한다는 조건과 동치임을 쉽게 알 수 있다.

점을 가진 공간으로서,

\{ \bull \}

는 '''Top'''_{$\{ \bull \}$}에서 영 대상이지만, '''Top'''에서는 종대상일 뿐이다.

밑점을 "잊는" 망각 함자 '''Top'''_{$\{ \bull \}$}

\to

'''Top'''가 존재한다. 이 함자는 각 위상 공간

X

에

X

와 단일 원소

\{ \bull \}

의 분리 집합을 할당하는 왼쪽 수반을 가지며, 이 단일 원소는 밑점으로 간주된다.

5. 점을 가진 공간의 연산

점을 가진 공간에는 부분 공간, 몫 공간, 곱, 쌍대곱(쐐기합), 분쇄곱, 축소 현수 등의 연산을 정의할 수 있다.

쌍대곱: 점을 가진 공간의 범주에서 쌍대곱은 공간의 '일점 결합'으로 생각할 수 있는 쐐기합이다.^[3]
축소 현수: 가리킨 공간 $X$ 의 축소 현수 $\Sigma X$ 는 (동형 사상까지) 가리킨 원 $S^1$ 과 $X$ 의 스매시 곱이다.^[3] 축소 현수는 점을 가진 공간의 범주에서 자기 함자이며, 이 함자는 각 점을 가진 공간 $X$ 를 그 loop space|루프 공간^영어 $\Omega X$ 로 보내는 함자 $\Omega$ 에 대한 왼쪽 수반이다.

5. 1. 부분 공간

가리킨 공간

X

의 '''부분 공간'''은 밑점을 보존하는 포함 사상을 공유하는 위상 부분 공간

A \subseteq X

이다.^[3] 점을 가진 공간의 '''부분 공간'''(부분 점을 가진 공간)은 부분 위상 공간와 기점을 공유하는 것을 말한다. 즉, 포함 사상이 기점을 보존하는 사상을 이룬다.^[3]

5. 2. 몫 공간

임의의 동치 관계에 따라 가리킨 공간

X

의 '''몫'''을 형성할 수 있다. 몫의 밑점은 몫 사상 아래에서

X

의 밑점의 이미지이다.^[3]

5. 3. 곱

두 가리킨 공간

\left(X, x_0\right),

\left(Y, y_0\right)

의 '''곱'''은

\left(x_0, y_0\right)

를 밑점으로 하는 위상 곱

X \times Y

이다.^[3]

5. 4. 쌍대곱 (쐐기합)

가리킨 공간 범주의 쌍대곱은 공간의 일점 결합으로 생각할 수 있는 쐐기합이다.^[3]

5. 5. 분쇄곱

유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주

(\mathcal C,\otimes)

가 주어졌을 때, 점을 가진 공간들의 범주

\mathcal C_\bullet

역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

\mathcal C_\bullet

에서의 텐서곱은 '''분쇄곱'''(smash product^영어)

\wedge

이라고 불린다. 만약

(\mathcal C,\otimes)

가 대칭 모노이드 범주라면,

(\mathcal C_\bullet,\wedge)

역시 대칭 모노이드 범주이다.

\mathcal C_\bullet

속의 두 대상

(X,\bullet_X)

,

(Y,\bullet_Y)

의 분쇄곱

(X,\bullet_X)\wedge(Y,\bullet_Y)

은 다음과 같은 밂으로 정의된다.

:

\begin{matrix}(X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)&\to&1\\\downarrow&&\downarrow\\X\otimes Y&\to&X\wedge Y\end{matrix}

이 네모의 왼쪽 변은 다음과 같은 사상들로부터 유도된다.

:

\otimes\bullet_Y\colon X\otimes1\to X\otimes Y

:

\bullet_X\otimes\colon 1\otimes Y\to X\otimes Y

이 사상들로부터 유도되는 사상은 다음과 같다.

:

(\otimes\bullet_Y)\sqcup(\bullet_X\otimes)\colon (X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)\to X\otimes Y

두 가리킨 공간의 스매시 곱은 본질적으로 직접 곱과 쐐기합의 몫이다.^[3] 스매시 곱은 가리킨 0-구를 단위 대상으로 하는 대칭 모노이드 범주로 가리킨 공간 범주를 변환하지만, 일반적인 공간에서는 결합 조건이 실패할 수 있다. 콤팩트 생성 약 하우스도르프 공간과 같은 제한된 공간 범주에서는 결합 조건이 성립한다.

5. 6. 축소 현수

가리킨 공간

X

의 '''축소 현수'''

\Sigma X

는 (동형 사상까지) 가리킨 원

S^1

과

X

의 스매시 곱이다.^[3]

6. 예시

이 문서에서는 점을 가진 공간의 여러 예시들을 다룬다.

집합의 범주에서 한원소 집합은 시작 대상이다. '''점을 가진 집합'''은 집합 $S$ 와 그 속의 원소 $\bullet_S\in S$ 의 순서쌍 $(S,\bullet_S)$ 이다. 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다.
위상 공간의 범주에서 끝 대상은 한원소 공간 $\{\bullet\}$ 이다. 한원소 공간에서 위상 공간 $X$ 로 가는 연속 함수는 $X$ 속의 한 점 $\bullet_X\in X$ 을 제시하는 것과 같다. '''점을 가진 공간''' $(X,x_0)$ 은 위상 공간 $X$ 와 그 속의 한 점 $x_0\in X$ 로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주에서 사상인 '''점을 보존하는 연속 함수'''는 $f(\bullet_X)=\bullet_Y$ 인 연속 함수이다.
영 대상을 가진 범주 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다. 예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군 $G$ 에 대하여, 항등원 $1_G\in G$ 는 그 "점"을 이룬다.

6. 1. 점을 가진 집합

집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, '''점을 가진 집합'''(pointed set^영어)의 범주

\operatorname{Set}_\bullet

의 원소는 집합

S

와 그 속의 원소

\bullet_S\in S

의 순서쌍

(S,\bullet_S)

이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

6. 2. 점을 가진 공간

범주

\mathcal C

가 시작 대상

1\in\mathcal C

을 갖는다고 하자.

\mathcal C

위의 '''점을 가진 범주'''(pointed category^영어)

\mathcal C_\bullet

는 쌍대 조각 범주

1\backslash\mathcal C

이다. 즉,

$\mathcal C_\bullet$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 사상 $\bullet_X\colon 1\to X$ 이다. 이는 $X$ 와 그 속의 "점" $\bullet_X$ 의 순서쌍 $(X,\bullet_X)$ 으로 생각할 수 있다. 이를 $X$ 의 '''밑점'''(-點, basepoint^영어)이라고 한다.
$\mathcal C_\bullet$ 의 대상 $(X,\bullet_X),(Y,\bullet_Y)\in\mathcal C_\bullet$ 사이의 사상 $f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)$ 은 다음 그림을 가환하게 하는 $\mathcal C$ 에서의 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

::

\begin{matrix}1&\xrightarrow{\bullet_X}& X\\&{\scriptstyle\bullet_Y}\!\!\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 끝 대상은 한원소 공간

\{\bullet\}

이며, 한원소 공간에서 위상 공간

X

로 가는 연속 함수

\{\bullet\}\to X

는

X

속의 한 점

\bullet_X\in X

을 제시하는 것과 같다. 즉, '''점을 가진 공간'''(pointed space^영어)

(X,x_0)

은 위상 공간

X

와 그 속의 한 점

x_0\in X

로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주

\operatorname{Top_\bullet}

의 사상인 '''점을 보존하는 연속 함수'''(basepoint-preserving continuous map^영어)

f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)

는

::

f(\bullet_X)=\bullet_Y

인 연속 함수이다.

6. 3. 영 대상을 가진 범주

시작 대상

1\in\mathcal C

을 가진 범주

\mathcal C

위의 점을 가진 범주

\mathcal C_\bullet

는 항상 영 대상

1\in\mathcal C_\bullet

을 가진다.

영 대상을 가진 범주

\mathcal C

위의 점을 가진 범주는

\mathcal C

와 동치이다. 즉, 범주

\mathcal C

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\mathcal C$ 는 영 대상을 가진다.
$\mathcal C\simeq\mathcal D_\bullet$ 인, 시작 대상을 가진 범주 $\mathcal D$ 가 존재한다.

군의 범주

\operatorname{Grp}

나 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

, 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군

G

에 대하여, 항등원

1_G\in G

는 그 "점"을 이룬다.

참조

_[1] MathWorld Pointed Map
_[2] PlanetMath category of pointed topological spaces
_[3] PlanetMath wedge product of pointed topological spaces

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