차분한 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 장소와의 관계
4. 예
5. 스킴과의 관계
참조

1. 개요

차분한 공간은 위상 공간의 한 종류로, 여러 가지 동치 조건을 만족하는 공간을 의미한다. 차분한 공간은 모든 기약 닫힌 집합이 정확히 하나의 일반점을 가지며, 점들은 열린 집합들의 격자로부터 재구성할 수 있다. 호프만-미슬러브 정리를 만족하는 공간도 차분한 공간이다. 차분한 공간은 T0 공간이며, T1 공간과 T2 공간의 중간 위치에 놓인다. 모든 하우스도르프 공간은 차분한 공간이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 스킴은 항상 차분한 공간이다.

더 읽어볼만한 페이지

위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.

차분한 공간
공간 위상수학
유형	위상 공간
속성
T0 공간	예
T1 공간	아닐 수도 있음
하우스도르프 공간	아닐 수도 있음
정칙 공간	아닐 수도 있음
완전 분리 공간	아닐 수도 있음
폴란드 공간	아닐 수도 있음
국소 콤팩트 공간	아닐 수도 있음
거리화 가능 공간	아닐 수도 있음
관련 항목
관련 개념	기약 공간 분포적 공간 스펙트럼 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 '''차분한 공간'''이라고 한다.

모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다.^[7]^[8]
점들은 그 열린집합들의 격자로부터 재구성할 수 있다. 즉, $X$ 의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수 $\operatorname{Open}(X)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다.
* $X$
* 틀 사상 $\operatorname{Open}(X)\to 2$ 들의 집합. 여기서 $2=\{0,1\}$ ( $0<1$ )는 한원소 공간 $\{\bullet\}$ 의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수이다.
('''호프만-미슬러브 정리''', Hofmann–Mislove theorem^영어) 다음 두 부분 순서 집합 사이에 순서 동형이 존재한다.^[7]^[8]
* $\operatorname{Open}(X)$ 의 스콧 열린 필터들의 부분 순서 집합
* $X$ 의 콤팩트 포화 집합의 부분 순서 집합의 반대 순서 집합.

2. 1. 기약 닫힌집합

위상 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 '''차분한 공간'''이라고 한다.

모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다.^[7]^[8]
점들은 그 열린집합들의 격자로부터 재구성할 수 있다. 즉, $X$ 의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수 $\operatorname{Open}(X)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다.
* $X$
* 틀 사상 $\operatorname{Open}(X)\to 2$ 들의 집합. 여기서 $2=\{0,1\}$ ( $0<1$ )는 한원소 공간 $\{\bullet\}$ 의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수이다.

닫힌집합은 두 개의 진정한 닫힌 부분 집합의 합집합으로 쓸 수 없을 때 기약적이라고 한다.

2. 2. 틀 사상

위상 공간

X

의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수

\operatorname{Open}(X)

가 주어졌을 때, 다음 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면 차분한 공간이다.^[7]^[8]

$X$
틀 사상 $\operatorname{Open}(X)\to 2$ 들의 집합. 여기서 $2=\{0,1\}$ ( $0<1$ )는 한원소 공간 $\{\bullet\}$ 의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수이다.

이는 로케일에서의 점의 개념과 위상 공간에서의 점의 개념 사이의 대응으로 볼 수 있다.

2. 3. 완전 소수 필터

필터

F

가 열린집합의 ''완전 소수''라는 것은,

O_i

의 열린 집합족에 대해

\bigcup_i O_i \in F

인 경우, 어떤

i

에 대해

O_i \in F

를 만족하는 것을 의미한다.^[7]^[8] 공간

X

가 차분한 공간이라는 것은 각 완전 소수 필터가

X

의 고유한 점의 근방 필터인 경우이다.

2. 4. 넷(Net)

넷

x_{\bullet}

이 모든 점

x_i

에 수렴하면 자기 수렴적이라고 하며, 이는 넷의 우발 필터가 완전 소수적이라는 것과 동치이다.^[3] 점

x

에 수렴하는 넷

x_{\bullet}

는

x

의 폐포 안에 있는 점으로만 수렴할 수 있다면 ''강하게 수렴''한다고 한다. 소버 공간은 모든 자기 수렴적 넷

x_{\bullet}

이 유일한 점

x

로 강하게 수렴하는 공간이다.^[3]

특히, 공간이 T1이고 소버 공간인 것은 모든 자기 수렴적 넷이 상수일 때와 정확히 일치한다.

2. 5. 호프만-미슬러브 정리

'''호프만-미슬러브 정리'''(Hofmann–Mislove theorem)에 따르면, 다음 두 부분 순서 집합 사이에 순서 동형이 존재하면 차분한 공간이다.^[7]^[8]

$\operatorname{Open}(X)$ 의 스콧 열린 필터들의 부분 순서 집합
$X$ 의 콤팩트 포화 집합의 부분 순서 집합의 반대 순서 집합.

여기서

\operatorname{Open}(X)

는 X의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수이다.

정리는 다음과 같이 증명된다:

위상 공간

X

의 모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다고 할 때, 다음 네 명제를 보이면 호프만-미슬러브 조건이 성립한다.

임의의 스콧 열린 필터 $\mathcal F\subseteq\operatorname{Open}(X)$ 에 대하여, $\textstyle\bigcap\mathcal F$ 는 $X$ 의 콤팩트 포화 집합이다.
임의의 콤팩트 포화 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, 그 열린 근방 필터 $\mathcal U(K)$ 는 $\operatorname{Open}(X)$ 의 스콧 열린 필터이다.
임의의 스콧 열린 필터 $\mathcal F\subseteq\operatorname{Open}(X)$ 에 대하여, $\textstyle\mathcal U\left(\bigcap\mathcal F\right)=\mathcal F$
임의의 콤팩트 포화 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, $\textstyle\bigcap\mathcal U(K)=K$

이 증명에서, 세 번째 명제는 귀류법과 초른 보조정리를 사용하여 증명될 수 있다. 첫 번째 명제는 세 번째 명제를 사용하여,

\textstyle\bigcap\mathcal F

의 임의의 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐을 보인다. 두 번째 명제는

\mathcal D

가

\operatorname{Open}(X)

의 상향 집합이며,

\textstyle\bigcup\mathcal D

가

K

의 열린 근방일 때,

\mathcal D\cap\mathcal U(K)\ne\varnothing

임을 보인다. 네 번째 명제는 집합 포함 관계를 이용하여 증명한다.

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:콜모고로프 공간(T₀) ⊋ 차분한 공간 ∪ T₁ 공간 ⊋ 차분한 공간 ∩ T₁ 공간 ⊋ 하우스도르프 공간(T₂)

차분성은 T₁ 조건과 비교 가능하지 않다.

T₁ 공간이 아닌 차분한 공간의 예시는 시에르핀스키 공간이다.
차분한 공간이 아닌 T₁ 공간의 예시는 무한 집합에 여유한 위상을 부여한 경우로, 전체 공간은 일반점을 갖지 않는 irreducible 닫힌 부분집합이다.

차분한 공간은 ''X''의 열린 부분집합 격자가 ''X''를 위상 동형 사상까지 결정하도록 강제한다.

차분성은 특수화 전순서를 방향 완전 부분 순서로 만든다.

연속 방향 완전 부분 순서 집합에 스코트 위상을 부여한 공간은 차분한 공간이다.

유한 T₀ 공간은 차분한 공간이다.^[5]

차분한 공간과 연속 함수의 범주

\operatorname{Sober}

는 모든 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

의 반사 부분 범주이다. 위상 공간

X

에 대하여,

S(X)

를

X

의 '''차분화'''(soberification^영어)라고 한다.

3. 1. 장소와의 관계

차분한 공간의 범주는 장소의 범주

\operatorname{Loc}

의 어떤 쌍대 반사 부분 범주와 동치이다. (구체적으로, 이는 점을 충분히 가지는 장소들의 범주

\operatorname{ptLoc}

이다.) 이에 따라, 수반 함자의 쌍

:

\operatorname{Top}{\to\atop\hookleftarrow}\operatorname{Sober}\simeq\operatorname{ptLoc}{\hookrightarrow\atop\leftarrow}\operatorname{Loc}

이 존재하며, 이를 합성하면 수반 함자

\operatorname{Top}\rightleftarrows\operatorname{Loc}

를 얻는다. 즉, 차분한 공간은 장소로서 그 구조가 충실하게 나타내어지는 위상 공간이다.

4. 예

모든 하우스도르프 공간(T₂ 공간)은 차분한 공간이다.^[4] 시에르핀스키 공간은 T₁ 공간이 아닌 차분한 공간의 예시이다.^[4] 무한 집합에 여유한 위상을 부여하면 T₁ 공간이지만 차분한 공간이 아니다.^[4] 실수 집합 X에 새로운 점 p를 추가하고, 열린 집합을 모든 실수 열린 집합과 p를 포함하는 모든 여유한 집합으로 정의하면, T₁과 차분한 공간이지만 T₂가 아닌 공간이 된다.

4. 1. T₁ 공간이 아닌 차분한 공간

극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼을 갖는 가환환

R

의 스펙트럼

\operatorname{Spec}R

는 차분한 공간이지만, 소 아이디얼이 닫힌 점이 아니므로 T₁ 공간이 아니다. 이러한 가장 간단한 예시는 시에르핀스키 공간이다.

4. 2. 차분하지 않은 T₁ 공간

무한 집합에 여유한 위상을 부여한 경우, 전체 공간은 일반점을 갖지 않는 기약 닫힌 부분집합이므로 차분한 공간이 아니다. 이 공간은 T₁ 공간이다.

4. 3. 하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T₁ 공간

실수선

\mathbb R

에 새로운 점

\bullet

을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 부여한다.

$\mathbb R$ 의 위상에서 열린집합 $U$ 는 $\mathbb R\sqcup\{\bullet\}$ 에서도 열린집합이다.
$S\subset\mathbb R$ 가 유한 집합이라면, $(\mathbb R\setminus S)\sqcup\{\bullet\}$ 은 열린집합이다.

이렇게 정의된 공간

\mathbb R\sqcup\{\bullet\}

은 T₁ 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

5. 스킴과의 관계

모든 가환환의 스펙트럼은 항상 차분한 공간이다.^[4] 모든 스킴은 차분한 공간이다.^[6] 그러나 이는 대개 하우스도르프 공간이 아니다. 가환환 ''R''에서 극대 아이디얼만으로 구성된 Spec(''R'')의 부분집합은 일반적으로 차분한 공간이 아니다.

참조

_[1] 서적 Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory Springer-Verlag 1992
_[2] 간행물 Sobriety in Terms of Nets 2000-12-01
_[3] 간행물 Sobriety in Terms of Nets 2000-12-01
_[4] 서적 Encyclopedia of general topology https://archive.org/[...] Elsevier
_[5] 웹사이트 General topology - Finite $T_0$ spaces are sober https://math.stackex[...]
_[6] Citation Prime ideal structure in commutative rings
_[7] 서적 Continuous lattices and domains
_[8] 저널 A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com