다포체

3. 요소

다포체는 꼭짓점, 모서리, 면, 셀 등 다양한 차원의 요소로 구성된다. 이러한 요소들을 지칭하는 용어는 학자마다 조금씩 다르게 사용되기도 한다. 예를 들어, 어떤 학자는 '면(face)'이라는 용어를 (''n'' − 1)차원의 요소를 가리키는 데 사용하는 반면, 다른 학자는 2차원 요소를 특정하여 '면'이라고 부른다. 또한 ''j''차원의 요소를 나타내기 위해 ''j''-면(''j''-face) 또는 ''j''-패싯(''j''-facet)이라는 용어를 사용하기도 한다. 콕서터는 (''n'' − 1)차원 요소를 '셀(cell)'이라고 불렀다.^[6]

이 문서에서는 다음과 같은 용어를 사용한다.

''n''차원 다포체는 여러 개의 (''n'' − 1)차원 요소인 패싯(facet)으로 둘러싸여 있다. 이 패싯들은 그 자체로 (''n'' − 1)차원 다포체이며, 패싯들의 경계는 원래 다포체의 (''n'' − 2)차원 요소인 능선(ridge)을 형성한다. 모든 능선은 두 패싯이 만나는 부분이지만, 두 패싯이 만난다고 해서 항상 능선이 되는 것은 아니고 더 낮은 차원의 요소가 될 수도 있다. 능선 역시 다포체이며, 능선의 경계는 원래 다포체의 (''n'' − 3)차원 요소인 피크(peak)를 이룬다. 이러한 과정은 차원을 낮춰가며 반복된다.

다포체를 구성하는 이러한 경계 다포체들을 통틀어 면(face)이라고 부르며, 특정 차원을 명시할 때는 ''j''-면(''j''-face)이라고 한다.

• 0-면은 꼭짓점(vertex)이라고 하며, 하나의 점으로 이루어진다.
• 1-면은 모서리(edge)라고 하며, 선분으로 이루어진다.
• 2-면은 일반적으로 면(face)이라고 하며, 다각형으로 이루어진다.
• 3-면은 셀(cell)이라고 하며, 다면체로 이루어진다.

4. 주요 다포체

다포체는 그 정의가 다양하며^[1], 여러 기준에 따라 다양한 종류로 분류될 수 있다. "다포체"라는 용어 자체가 넓은 의미로 사용되어 수학 문헌마다 조금씩 다른 대상을 지칭하기도 한다. 주요 다포체 분류는 다음과 같다.

• '''볼록 다포체''': 볼록 집합을 이루는 가장 기본적인 형태의 다포체로, 다포체 개념을 일반화하는 기초가 된다.
• '''정다포체''': 모든 면과 꼭짓점 배열이 동일하여 가장 높은 수준의 대칭성을 가지는 다포체이다.^[18]
• '''별 다포체''': 자기 교차를 하는 볼록하지 않은 다포체의 한 종류이다.^[1] 케플러-푸앵소 다면체 등이 여기에 속한다.
• '''무한 다포체''' 또는 '''아페이로토프''': 무한히 많은 면을 가지며, 공간을 채우는 테셀레이션(타일링)이나 벌집 구조 등이 이에 해당한다.
• '''추상 다포체''': 기하학적 공간과 분리하여 순수하게 조합론적인 속성만으로 정의되는 다포체이다. 이를 통해 기하학적 실현이 어려운 대상까지 다룰 수 있다.^[10][23]
• '''복소 다포체''': 실수 공간이 아닌 복소수 공간, 특히 힐베르트 공간 $\backslash mathbb\{C\}^n$에서 정의되는 다포체와 유사한 구조이다.^[24]

이처럼 다포체는 다양한 정의와 분류를 통해 연구되며, 각 분류는 고유한 특징과 구조를 가진다.^[2][3][4][5]

4. 1. 볼록 다포체

4. 2. 정다포체

• '''단체''' (Simplex): 정삼각형, 정사면체 등이 포함된다. 슐레플리 기호는 {3,3,...,3} (n-1개의 3)이다. 면과 꼭짓점 도형이 모두 단체이며, 한 모서리에서 3개의 면이 만난다. 자기쌍대 다포체이다. n차원 단체는 n+1개의 꼭짓점과 n+1개의 (n-1)차원 면을 가진다.
• '''초입방체''' (Hypercube 또는 Measure Polytope): 정사각형, 정육면체 등이 포함된다. 슐레플리 기호는 {4,3,...,3} (n-2개의 3)이다. (n-1)차원 면은 초입방체이고 꼭짓점 도형은 단체이며, 한 모서리에서 3개의 면이 만난다. 정축체의 쌍대 다포체이다. n차원 초입방체는 2ⁿ개의 꼭짓점과 2n개의 (n-1)차원 면을 가진다.
• '''정축체''' (Cross-polytope 또는 Orthoplex): 정사각형, 정팔면체 등이 포함된다. 슐레플리 기호는 {3,...,3,4} (n-2개의 3)이다. (n-1)차원 면은 단체이고 꼭짓점 도형은 정축체이며, 한 모서리에서 4개의 면이 만난다. 초입방체의 쌍대 다포체이다. n차원 정축체는 2n개의 꼭짓점과 2ⁿ개의 (n-1)차원 면을 가진다.

• '''2차원''': 정다각형이 해당하며, 볼록 정다각형과 별 모양 정다각형(n ≥ 5)을 포함하여 무한히 많이 존재한다.
• '''3차원''': 볼록 정다면체인 플라톤의 다면체 5종류(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)와 오목한 별 모양 정다면체인 케플러-푸앵소 다면체 4종류를 합쳐 총 9개의 정다면체가 존재한다. 이 중 정십이면체, 정이십면체 및 케플러-푸앵소 다면체 4종은 5회 대칭성을 가진다.
• '''4차원''': 볼록 4차원 정다포체 6종류(정오포체, 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체)와 오목한 별 모양 4차원 정다포체인 슐레플리-헤스 다포체 10종류를 합쳐 총 16개의 4차원 정다포체가 존재한다.^[19] 이 중 정백이십포체, 정육백포체 및 슐레플리-헤스 다포체 10종은 5회 대칭성을 가진다.

4. 3. 별 다포체

4. 4. 무한 다포체

• 평면 타일링: 평면을 빈틈없이 채우는 도형 배열 (예: 정사각형 타일링, 정삼각형 타일링, 정육각형 타일링)
• 공간 채움 벌집: 3차원 공간을 빈틈없이 채우는 다면체 배열 (예: 입방체 벌집)
• 쌍곡 타일링: 쌍곡 평면에서의 타일링

4. 5. 추상 다포체

4. 6. 복소 다포체

5. 성질

다포체는 꼭짓점, 모서리, 면, 셀 등 다양한 차원의 요소로 구성된다. 이러한 요소에 대한 용어는 학자마다 완전히 일치하지는 않는다. 예를 들어, 어떤 학자는 ($n$ − 1)차원 요소를 '면'이라고 부르는 반면, 다른 학자는 2차원 요소만을 '면'이라고 부르기도 한다. $j$차원의 요소를 나타내기 위해 $j$-면 또는 $j$-패싯이라는 용어를 사용하기도 한다. 일부에서는 ($n$ − 2)차원 요소를 '능선' 대신 '모서리'라고 부르기도 하며, 콕서터는 ($n$ − 1)차원 요소를 '셀'이라고 불렀다.^[6]

이 문서에서는 주로 다음 표의 용어를 사용한다.

$n$차원 다포체는 여러 개의 ($n$ − 1)차원 패싯으로 둘러싸여 있다. 이 패싯들은 그 자체로 ($n$ − 1)차원 다포체이며, 패싯들의 경계는 원래 다포체의 ($n$ − 2)차원 능선을 이룬다. 모든 능선은 두 패싯의 교차로 만들어지지만, 두 패싯이 교차한다고 해서 항상 능선이 되는 것은 아니다. 능선 역시 그 자체로 ($n$ − 2)차원 다포체이며, 능선들의 경계는 원래 다포체의 ($n$ − 3)차원 피크를 형성한다. 이러한 과정이 낮은 차원으로 계속 반복된다. 다포체를 구성하는 이러한 경계 요소들을 통틀어 면이라고 부르거나, 차원을 특정하여 $j$-면이라고 부른다. 0차원 면은 꼭짓점이며 하나의 점으로 이루어진다. 1차원 면은 모서리이며 선분으로 이루어진다. 2차원 면은 다각형으로 이루어지며, 3차원 면은 다면체로 이루어지고 때때로 셀이라고 불린다.

5. 1. 오일러 지표

5. 2. 내각

6. 쌍대성

모든 ''n''-차원 다포체(''n''-다포체)는 쌍대 구조를 가진다. 이 구조는 다포체의 꼭짓점을 최고 차원의 면(파셋)으로, 변을 그 다음 차원의 면(능선)으로 바꾸는 등, 일반적으로 (''j'' − 1)차원 면을 (''n'' − ''j'')차원 면으로 (''j'' = 1에서 ''n'' − 1까지) 서로 교환하여 얻을 수 있다. 이 과정에서 각 면들 사이의 연결 관계(위상적 구조)는 그대로 유지된다.

추상 다포체의 경우, 쌍대화는 단순히 다포체를 구성하는 면들의 포함 관계 순서를 반대로 하는 것이다. 예를 들어, 정다포체의 슐래플리 기호에서 쌍대 다포체의 기호는 원래 기호의 순서를 거꾸로 한 것과 같다. {4, 3, 3} 기호를 가지는 정다포체의 쌍대는 {3, 3, 4} 기호를 가진다.

기하학적 다포체의 쌍대화에는 기하학적인 규칙이 필요하다. 예를 들어 쌍대 다면체를 만드는 규칙을 참고할 수 있다. 쌍대화 결과로 만들어진 도형이 항상 원래 도형과 같은 종류의 기하학적 다포체가 되는 것은 아니다.^[12][22]

어떤 다포체를 쌍대화한 뒤 다시 쌍대화하면 원래의 다포체로 돌아온다. 따라서 모든 다포체는 쌍대 관계를 이루는 쌍으로 존재한다.

7. 역사

다각형과 다면체는 고대부터 알려져 왔다.

고차원에 대한 초기 힌트는 1827년 뫼비우스가 서로 거울상 관계에 있는 두 입체를 제4의 공간 차원을 통해 회전시켜 겹칠 수 있다는 것을 발견하면서 나타났다. 1850년대에는 아서 케일리와 헤르만 그라스만과 같은 소수의 다른 수학자들도 고차원을 고려했다.

루드비히 슐레플리는 이러한 고차원 공간에서 다각형과 다면체의 유사체를 처음으로 고려한 인물이다. 그는 1852년에 여섯 개의 볼록 정다포체를 기술했지만, 그의 연구는 사후 6년이 지난 1901년에야 출판되었다. 1854년 리만의 교수 자격 논문은 고차원 기하학을 확고히 정립하여 ''n''차원 다포체의 개념이 받아들여지는 계기가 되었다. 슐레플리의 다포체는 그의 생전에도 수십 년 동안 여러 번 재발견되었다.

1882년 독일의 라인홀트 호페는 다각형과 다면체의 더 일반적인 개념을 지칭하기 위해 '폴리토프(Polytop)'라는 단어를 만들었다. 이후 논리학자 조지 불의 딸인 앨리시아 불 스토트가 이 용어를 영어식 'polytope'으로 영어권에 도입했다.^[1]

1895년, 토롤드 고셋은 슐레플리의 정다포체를 재발견했을 뿐만 아니라, 준정다포체와 고차원 공간을 채우는 테셀레이션의 개념도 연구했다. 다포체는 쌍곡 공간과 같은 비유클리드 공간에서도 연구되기 시작했다.

1948년 H. S. M. 콕세터의 저서 ''정다포체''가 출판되면서 중요한 이정표가 세워졌다. 이 책은 이전까지의 연구를 요약하고 콕세터 자신의 새로운 발견들을 추가했다.

한편, 프랑스 수학자 푸앵카레는 다포체를 다양체의 조각별 분해(예: CW 복합체)로 다루는 위상수학적 개념을 발전시켰다. 브란코 그륀바움은 1967년에 영향력 있는 저서 ''볼록 다포체''를 출판했다.^[25]

1952년 제프리 콜린 셰퍼드는 각 실수 차원에 허수 차원이 연관된 복소 다포체 개념으로 다포체를 일반화했다. 콕세터는 이 이론을 더욱 발전시켰다.

복소 다포체, 비볼록성, 쌍대성 및 기타 현상으로 인해 제기된 개념적 문제들은 그륀바움과 다른 연구자들이 꼭짓점, 모서리, 면 등과 관련된 보다 일반적인 추상적 조합론적 속성을 연구하도록 이끌었다. 이와 관련된 아이디어는 여러 요소가 서로 어떻게 연관되는지를 연구하는 연결 복합체(incidence complex)의 개념이었다. 이러한 발전은 결국 요소들의 부분 순서 집합으로서의 추상 다포체 이론으로 결실을 맺었다. 피터 맥멀렌과 에곤 슐테는 2002년에 그들의 저서 ''Abstract Regular Polytopes''를 출판했다.

4차원 이상의 균일 다포체(볼록 및 비볼록 포함)를 모두 열거하는 것은 여전히 해결되지 않은 문제로 남아 있다. 볼록 균일 4-다포체는 1965년 존 호턴 콘웨이와 마이클 가이가 컴퓨터를 사용하여 완전히 열거했으나^[13][14], 더 높은 차원에서의 문제는 1997년까지 해결되지 않았다.^[15] 비볼록 균일 다포체의 완전한 목록은 2008년 기준으로 4차원 이상에서는 알려져 있지 않다.^[16]

현대에 다포체와 관련 개념들은 컴퓨터 그래픽스, 최적화, 검색 엔진, 우주론, 양자 역학 등 수많은 분야에서 중요한 응용을 찾고 있다. 2013년에는 이론 물리학의 특정 계산을 단순화하는 구성체로 진폭다포체가 발견되기도 했다.

8. 응용

최적화 이론 분야의 선형 계획법에서는 선형 함수의 극대와 극소를 다루는데, 이러한 극값은 n차원 다포체의 경계에서 나타난다. 선형 계획법에서 다포체는 일반화된 바리 중심 좌표나 슬랙 변수를 사용할 때 등장한다.

이론 물리학의 한 분야인 트위스터 이론에서는 진폭다면체amplituhedron^영어라는 다포체를 소립자 충돌 시 산란 진폭을 계산하는 데 사용한다. 이 구조는 순수하게 이론적인 구성물로, 아직 알려진 물리적 현상과 직접 연결되지는 않지만 특정 계산을 크게 단순화하는 데 유용하다.^[26]

참조

_[1] 서적 Coxeter (1973)
_[2] 서적 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology Princeton University Press
_[3] 서적 Grünbaum (2003)
_[4] 서적 Cromwell, P.; ''Polyhedra'', CUP (ppbk 1999) pp 205 ff.
_[5] 서적 Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization," 1999,
_[6] 서적 Regular polytopes, p. 127 ''The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell''
_[7] 서적 Johnson, Norman W.; ''Geometries and Transformations'', Cambridge University Press, 2018, p.224.
_[8] 서적 Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra Springer-Verlag
_[9] 간행물 "Angle sums of convex polytopes" 1967-03
_[10] citation Abstract Regular Polytopes https://archive.org/[...] Cambridge University Press 2002-12
_[11] 서적 Coxeter, H.S.M.; ''Regular Complex Polytopes'', 1974
_[12] 서적 Wenninger, M.; ''Dual Models'', CUP (1983).
_[13] 웹사이트 John Horton Conway: Mathematical Magus http://math.fau.edu/[...]
_[14] 학술지 John Horton Conway. 26 December 1937—11 April 2020 2022-06
_[15] 웹사이트 Symmetry of Polytopes and Polyhedra http://mathserver.ne[...]
_[16] 서적 The Symmetries of Things
_[17] 학술지 The Amplituhedron
_[18] citation Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology Princeton University
_[19] citation Polyhedra Columbia University Press (ペーパーバック)
_[20] citation Integer and Combinatorial Optimization
_[21] 서적 4次元図形百科 丸善出版
_[22] 서적 Wenninger, M.; ''Dual Models'', CUP (1983).
_[23] citation Abstract Regular Polytopes Cambridge University Press 2002
_[24] citation Regular Complex Polytopes Cambridge University Press
_[25] 서적 Convex Polytopes https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[26] arXiv The Amplituhedron
_[27] 서적 인용