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포락선

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목차

1. 개요

포락선은 곡선 또는 곡면족에 접하는 곡선 또는 곡면을 의미한다. 2차 방정식의 판별식, 법선족의 포락선, 실 꿰기 미술, 아스트로이드, 발사체 궤적, 미분 방정식, 편미분 방정식, 리만 기하학, 커스틱, 호이겐스 원리 등 다양한 분야에서 활용된다.

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포락선
수학적 정의
정의주어진 곡선족에 접하는 곡선.
예시
포락선y = (t − 13)(x − t) / t 의 포락선은 (y − x − 13)² = 52x 이다.
추가 정보
관련 개념해밀턴-야코비 방정식

2. 정의

포락선(envelope)은 주어진 곡선족(또는 곡면족 등)과 특별한 관계를 맺고 있는 곡선(또는 곡면 등)을 말한다. 포락선은 다음과 같은 여러 관점에서 설명될 수 있다.

# 포락선 ''E''1은 서로 인접한 곡선 ''C''''t''들의 교점이 모여 이루는 극한적인 자취이다.

# 포락선 ''E''2는 주어진 곡선족의 모든 곡선 ''C''''t''에 접하는 곡선이다.

# 포락선 ''E''3는 곡선족 ''C''''t''가 공간을 채울 때, 그 채워진 영역의 경계를 이룬다.

수학적으로 포락선은 곡선족을 나타내는 방정식과 그 방정식을 매개변수에 대해 편미분한 방정식을 동시에 만족하는 점들의 집합으로 정의된다. 이러한 정의는 곡면족이나 더 높은 차원의 도형족으로도 확장될 수 있다.[9] 구체적인 수학적 정의와 계산 방법은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

2. 1. 곡선족의 포락선

x, y 좌표와 하나의 매개변수 t로 정의되는 곡선족 F(x, y, t) = 0 이 주어졌다고 하자. 이 곡선족의 포락선은 다음 두 방정식을 동시에 만족하는 (x, y) 점들의 집합으로 정의된다.

:F(x, y, t) = 0

:{\partial F \over \partial t}(x, y, t) = 0

여기서 \partial F / \partial t는 함수 F를 변수 t에 대해 편미분한 편도함수를 의미한다.[1] 이 두 식을 연립하여 매개변수 t를 소거하면 포락선의 방정식을 얻을 수 있다.

만약 곡선족의 각 곡선 ''C''''t''가 음함수 형태인 ''f''''t''(''x'', ''y'') = 0으로 주어지고, ''F''(''t'', ''x'', ''y'') = ''f''''t''(''x'', ''y'')라고 정의하면 위와 동일한 방법으로 포락선을 구할 수 있다. 기하학적으로 이는 곡선족 내의 두 곡선 ''C''''t''와 ''C''''u'' (''t'' ≠ ''u'')의 교차점을 생각했을 때, ''u''가 ''t''에 한없이 가까워질 때의 극한 상황에 해당한다. 즉, 포락선은 곡선족의 각 곡선과 "무한히 가까운" 이웃 곡선과의 교점들의 자취라고 할 수 있다.

:F(t, x, y) = 0~~\mathsf{and}~~ \lim_{u\to t}\frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0
예시 1: 매개변수 t를 가지는 곡선족 2tx - y - t^2 = 0의 포락선을 구해보자.

주어진 식을 t에 대해 편미분하면 2x - 2t = 0 이므로, t = x 이다.

이 t = x를 원래 곡선족의 식 2tx - y - t^2 = 0에 대입하여 t를 소거하면,

2x(x) - y - x^2 = 0

2x^2 - y - x^2 = 0

y = x^2

따라서 이 곡선족의 포락선은 포물선 y = x^2 이다.
판별식을 이용한 방법:만약 함수 ''F''(''t'', ''x'', ''y'')가 매개변수 ''t''에 대한 다항식이라면 (또는 분모를 없애서 다항식으로 만들 수 있는 유리 함수라면), 포락선의 방정식은 ''F''를 ''t''에 대한 식으로 보았을 때의 판별식 D를 0으로 놓아서 구할 수도 있다. 이는 포락선의 정의에서 ''F'' = 0 이고 동시에 ''∂F/∂t'' = 0 이라는 조건이, ''t''를 변수로 보았을 때 ''F'' = 0 이라는 방정식이 중근을 가져야 한다는 의미이기 때문이다.
예시 2: x 절편이 ''t''이고 y 절편이 11−''t''인 직선족 ''C''''t''를 생각해보자. 이 직선의 방정식은 다음과 같다.

:\frac{x}{t}+\frac{y}{11-t}=1

분모를 없애면,

:x(11-t)+yt = t(11-t)

''t''에 대해 정리하면,

:t^2+(-x+y-11)t+11x=0.\,

이 식은 ''t''에 대한 2차 방정식이다. 포락선의 방정식은 이 2차 방정식의 판별식 D를 0으로 놓아 구할 수 있다.

:D = (-x+y-11)^2-4(1)(11x)=0

:(x-y+11)^2-44x=0

이를 전개하면 (x-y)^2+22(x-y)+121-44x = (x-y)^2-22(x+y)+121=0 이 포락선의 방정식이다.
삼각함수 매개변수:곡선족이 삼각함수 매개변수 θ를 포함하는 경우, 예를 들어 ''u''(''x'', ''y'')cos θ + ''v''(''x'', ''y'')sin θ = ''w''(''x'', ''y'') 형태일 때는 ''t'' = ''e''''i''θ 로 치환하여 ''t''에 대한 유리 함수 또는 다항식 형태로 바꿀 수 있다. 오일러 공식을 이용하여 cos θ = (''t'' + 1/''t'') / 2, sin θ = (''t'' - 1/''t'') / (2''i'') 로 바꾸면, 원래 방정식은 다음과 같이 변형된다.

:u{1 \over 2}(t+{1\over t})+v{1 \over 2i}(t-{1\over t})=w

양변에 2''it'' 를 곱하여 정리하면 ''t''에 대한 2차 방정식 형태 (u-iv)t^2-2wt+(u+iv)=0 (여기서 ''i''는 허수 단위)을 얻을 수 있다.

이 방정식의 판별식을 0으로 놓으면 포락선의 방정식을 얻는다.

:D/4 = (-w)^2 - (u-iv)(u+iv) = 0

:w^2 - (u^2 - (iv)^2) = 0

:w^2 - (u^2 + v^2) = 0

:u^2 + v^2 = w^2

이것이 포락선의 방정식이 된다.
예시 3: 실수 매개변수 ''t''로 주어지는 직선족 L_t: y = x \sin t + \cos t 를 생각해보자.

포락선을 구하기 위해 원래 식과 t에 대한 편미분 식을 연립한다.

:F(t, x, y) = x \sin t - y + \cos t = 0

:{\partial F \over \partial t} = x \cos t - \sin t = 0

두 번째 식에서 \sin t = x \cos t 이다. 이를 첫 번째 식에 대입하면,

x (x \cos t) - y + \cos t = 0

(x^2 + 1) \cos t = y

따라서 \cos t = \frac{y}{x^2+1} 이고, \sin t = x \cos t = \frac{xy}{x^2+1} 이다. (단, x^2+1 \neq 0)

이들을 삼각함수 항등식 \sin^2 t + \cos^2 t = 1 에 대입하면,

:\left(\frac{xy}{x^2+1}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+1}\right)^2 = 1

:\frac{x^2 y^2 + y^2}{(x^2+1)^2} = 1

:\frac{y^2 (x^2+1)}{(x^2+1)^2} = 1

:\frac{y^2}{x^2+1} = 1

:y^2 = x^2 + 1

이를 정리하면 y^2 - x^2 = 1 이다. 이는 쌍곡선의 방정식이다.

2. 2. 곡면족의 포락선

좌표 변수 x, y, z와 단일 매개변수 t에 대한 곡면족 F(x, y, z, t) = 0의 포락면은 모든 x, y, z, t에 대해 다음 두 식을 동시에 만족하는 점 (x, y, z)들의 집합으로 정의된다.[9]

:F(x, y, z, t) = 0

:{\partial F \over \partial t}(x, y, z, t) = 0

유사하게, 이중 매개변수 (s, t)에 대한 곡면족 F(x, y, z, s, t) = 0의 포락면은 모든 x, y, z, s, t에 대해 다음 세 식을 동시에 만족하는 점 (x, y, z)들의 집합이다.[9]

:F(x, y, z, s, t) = 0

:{\partial F \over \partial s}(x, y, z, s, t) = 0

:{\partial F \over \partial t}(x, y, z, s, t) = 0

이 식들에서 매개변수 t 또는 (s, t)를 소거하여 얻는 방정식이 포락면의 방정식이 된다.

'''3차원 유클리드 공간에서 한 매개변수 곡면족'''

3차원 유클리드 공간에서 한 매개변수 곡면족은 실수 매개변수 ''a''에 의존하는 일련의 방정식 F(x,y,z,a)=0으로 주어진다. 예를 들어, 어떤 곡면 위의 곡선을 따라 그 곡면에 접하는 평면들의 모임은 이러한 곡면족을 형성한다.

서로 다른 매개변수 값 ''a''와 ''a' ''에 해당하는 두 곡면은 다음 방정식으로 정의되는 공통의 곡선에서 교차한다.

: F(x,y,z,a)=0

:{F(x,y,z,a^\prime)-F(x,y,z,a)\over a^\prime -a}=0

''a' ''가 ''a''에 한없이 가까워지는 극한에서, 이 교차 곡선은 매개변수 ''a''에 해당하는 곡면 위에 놓인 어떤 곡선으로 수렴하게 된다. 이 극한 곡선은 다음 두 방정식으로 나타낼 수 있다.

: F(x,y,z,a)=0

:{\partial F\over \partial a}(x,y,z,a)=0

이 극한 곡선을 매개변수 ''a''에서의 곡면족의 특성 곡선(characteristic curve)이라고 부른다. 매개변수 ''a''가 변함에 따라 이러한 특성 곡선들이 그리는 자취가 바로 곡면족의 포락선이라고 불리는 곡면을 정의한다. 곡면족의 포락선은 그 곡면의 특성 곡선을 따라 족의 각 곡면에 접한다.

2. 3. n차원 도형의 포락선

임의의 n차원 도형에 대해 포락 n-체를 구할 때는 n개의 좌표 변수와 최대 n개의 매개변수가 주어진다. 이들을 이용해 최대 n+1개의 연립방정식을 세울 수 있으며, 여기서 매개변수를 모두 소거하여 좌표 변수만으로 이루어진 방정식을 구하면 그것이 바로 포락 n-체의 방정식이 된다.

매끄러운 부분 다양체의 집합에 대한 포락선의 아이디어도 이와 유사하게 확장될 수 있다. 일반적으로, 공차원 c를 갖는 부분 다양체의 집합이 있다면, 이러한 부분 다양체의 포락선을 정의하기 위해서는 최소한 c-매개변수 집합이 필요하다. 예를 들어, 3차원 공간에서 곡선(공차원 c = 2)들의 1-매개변수 집합은 일반적으로 포락선을 가지지 않는다.

3. 특수한 경우의 포락선

주어진 곡선족 C_t가 음함수 형태의 방정식 F(t, x, y) = 0 (여기서 t는 매개변수)으로 표현될 때, 이 곡선족의 포락선은 일반적으로 다음 두 방정식을 동시에 만족하는 점 (x, y)의 집합으로 정의된다.[1]

:F(t, x, y) = 0

:{\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0

여기서 \partial F/\partial t는 ''t''에 대한 ''F''의 편도함수이다. 이는 기하학적으로 포락선 위의 한 점이 곡선족에 속하는 어떤 곡선과 그 곡선에 "무한히 가까운" 곡선의 교점의 극한임을 의미한다.[1] 두 곡선 C_t와 C_u (t \neq u)의 교점은 F(t, x, y) = 0과 \frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = 0을 만족하는데, 여기서 u \to t 극한을 취하면 위 정의의 두 번째 식(\partial F/\partial t = 0)을 얻을 수 있다.

포락선을 구하는 과정은 특수한 경우 더 간단해질 수 있다.


  • 매개변수 방정식이 다항식인 경우: 만약 F(t, x, y)가 매개변수 ''t''에 대한 다항식이라면(유리 함수 포함), 포락선의 방정식은 F(t, x, y)=0을 ''t''에 대한 방정식으로 보았을 때 판별식을 0으로 놓음으로써 구할 수 있다. 이는 포락선 위의 점이 ''t''에 대한 중근에 해당하기 때문이다. 특히 방정식이 ''t''에 대한 이차 방정식 형태일 경우, 포락선은 판별식 조건 B^2 - 4AC = 0을 만족하는 곡선에 포함된다.[9][10] (자세한 내용은 #매개변수 방정식이 이차식인 경우 참조)

  • 곡선의 법선족: 주어진 곡선 y = f(x)의 각 점에서의 법선들로 이루어진 곡선족의 포락선은 원래 곡선의 진화선이 된다.[10] (자세한 내용은 #법선족의 포락선 참조)

3. 1. 매개변수 방정식이 이차식인 경우

매개변수 방정식 F(x, y, t) = 0이 t에 관한 이차 방정식 A(x, y)t^2 + B(x, y)t + C(x, y) = 0 형태일 경우, 이 곡선족의 포락선은 판별식 B^2 = 4AC 가 나타내는 곡선에 포함된다.[9] 포락선은 정의상 어떤 t 값에 대해 F(t, x, y) = 0 과 편도함수 {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0 을 동시에 만족하는 점들의 집합이다. 이차 방정식의 경우, {\partial F \over \partial t} = 2A(x, y)t + B(x, y) = 0 에서 t = -B/(2A) 를 얻는다. 이 t 값을 원래 이차 방정식에 대입하면 판별식 B^2 - 4AC = 0 이라는 조건을 얻게 되는데, 이는 이차 방정식이 중근을 가질 조건과 같다. 즉, 포락선 위의 점은 매개변수 t에 대해 중근을 갖는 점에 해당한다.

원본 소스에서는 다음과 같은 방식으로 판별식 조건을 유도하기도 한다.[10]

At^2 + Bt + C = 0 의 양변에 4A 를 곱하면 4A^2t^2 + 4ABt + 4AC = 0 이다. 이를 (2At)^2 + 2B(2At) + 4AC = 0 으로 변형할 수 있다. 포락선의 조건인 {\partial F \over \partial t} = 2At + B = 0 에서 2At = -B 를 얻어 위 식에 대입하면,

(-B)^2 + 2B(-B) + 4AC = B^2 - 2B^2 + 4AC = -B^2 + 4AC = 0

따라서 판별식 B^2 = 4AC (또는 B^2 - 4AC = 0) 조건을 얻는다.

예를 들어, x 절편이 t이고 y 절편이 11−t인 직선족 C_t 를 생각해보자. 이 직선의 방정식은 \frac{x}{t}+\frac{y}{11-t}=1 이다. 분모를 없애고 t에 대해 정리하면 이차 방정식 t^2+(-x+y-11)t+11x=0 을 얻는다. 여기서 A=1, B=-x+y-11, C=11x 이므로, 포락선의 방정식은 판별식 B^2 - 4AC = 0 으로부터 구할 수 있다.

(-x+y-11)^2-4(1)(11x)=0

이를 전개하면 포락선의 방정식은 (x-y)^2-22(x+y)+121=0 이다.

매개변수 방정식이 삼각함수처럼 t에 대한 유리 함수가 아니더라도, 적절한 치환을 통해 이차 방정식 형태로 변환하여 판별식을 이용할 수 있다. 예를 들어, 곡선족이 u(x, y)\cos \theta+v(x, y)\sin \theta=w(x, y) 형태로 주어졌다고 하자. t = e^{i\theta} 로 치환하면, 오일러 공식에 의해 \cos \theta = \frac{t+t^{-1}}{2} 이고 \sin \theta = \frac{t-t^{-1}}{2i} 이다. 이를 원래 방정식에 대입하면,

u\frac{t+t^{-1}}{2}+v\frac{t-t^{-1}}{2i}=w

양변에 2it 를 곱하고 정리하면 t에 대한 이차 방정식

(u-iv)t^2-2wt+(u+iv)=0

을 얻는다. 이 방정식의 판별식을 0으로 놓으면 포락선의 방정식을 얻을 수 있다.

(-2w)^2 - 4(u-iv)(u+iv) = 4w^2 - 4(u^2 + v^2) = 0

따라서 포락선의 방정식은 u^2+v^2=w^2 이다.

3. 2. 법선족의 포락선

임의의 y = f(x) 형태 곡선의 법선군이 만드는 포락선의 방정식은 다음의 t를 매개변수로 하는 매개변수식의 자취에 포함된다는 것을 보일 수 있다.[10]

  • ([t - \frac{(1 + f^{'}(t)^2)f^{'}(t)}{f^{''}(t)}], [f(t) + \frac{1 + f^{'}(t)^2}{f^{''}(t)}])


''I'' ⊂ '''R'''을 열린 구간으로 하고, γ : ''I'' → '''R'''2를 호의 길이로 매개변수화된 매끄러운 평면 곡선이라고 하자. γ(''I'')에 대한 법선들의 1-매개변수족을 고려해 보자. γ(''t'')에서 γ에 수직인 선은 γ(''t'')를 지나고 γ(''t'')에서 γ의 접선 벡터에 수직이다. '''T'''를 γ에 대한 단위 접선 벡터로 하고 '''N'''을 단위 법선 벡터로 하자. 내적을 나타내기 위해 점을 사용하면, 법선들의 1-매개변수족에 대한 생성족은 ''F'' : ''I'' × '''R'''2 → '''R'''로 주어지며, 여기서

: F(t,{\mathbf x}) = ({\mathbf x} - \gamma(t)) \cdot {\mathbf T}(t) \ .

'''x''' − γ가 '''T'''에 수직일 때만 ('''x''' − γ)·'''T''' = 0이며, 이는 '''x''' − γ가 '''N'''에 평행일 때와 동치이며, 이는 '''x''' = γ + λ'''N''' (λ ∈ '''R''')일 때와 동치이다. 따라서

: L_{t_0} := \{ {\mathbf x} \in \R^2 : F(t_0,{\mathbf x}) = 0 \}

는 γ(''t''0)에서 γ에 대한 정확한 법선이다. ''F''의 판별식을 찾기 위해 ''t''에 대한 편도함수를 계산해야 한다.

: \frac{\partial F}{\partial t}(t,{\mathbf x}) = \kappa (t) ({\mathbf x}-\gamma(t))\cdot {\mathbf N}(t) - 1 \ ,

여기서 κ는 γ의 평면 곡선 곡률이다. ''F'' = 0은 '''x''' - γ = λ'''N''' (λ ∈ '''R''')일 때와 동치인 것으로 나타났다. ''F'' = 0이라고 가정하면

: \frac{\partial F}{\partial t} = \lambda \kappa(t) - 1 \ .

κ ≠ 0이라고 가정하면 λ = 1/κ이므로

: \mathcal{D} = \gamma(t) + \frac{1}{\kappa(t)}{\mathbf N}(t) \ .

이것은 정확히 곡선 γ의 진화선이다.

4. 예시

포락선은 다양한 수학적, 기하학적, 물리적 상황에서 나타나는 흥미로운 개념이다. 어떤 곡선들의 모임(곡선족)이 주어졌을 때, 이 모든 곡선에 동시에 접하는 또 다른 곡선을 포락선이라고 한다.

예를 들어, 여러 직선들의 모임에서 포락선을 찾을 수 있다. 실 꿰기 미술과 같이 특정 규칙에 따라 점들을 연결한 선분들의 집합에서도 아름다운 곡선 형태의 포락선이 나타나기도 한다. 또한, 어떤 곡선의 각 점에서의 법선들을 모아보면, 이 법선들의 포락선은 원래 곡선의 진화선이라는 특별한 곡선이 된다.[1] 물리학에서는 초기 속도는 같지만 발사 각도를 다르게 하여 던진 발사체들의 궤적을 모아보면, 이 궤적들의 포락선이 나타나는 것을 볼 수 있다. 아스트로이드와 같은 특정 곡선도 선분족의 포락선으로 표현될 수 있다.

아래 하위 섹션들에서는 이러한 포락선의 구체적인 예시들을 더 자세히 살펴본다. 각 예시는 포락선이 어떻게 정의되고 계산될 수 있는지, 그리고 어떤 형태를 가지는지 보여준다.

4. 1. 직선족의 포락선

매개변수 ''t''에 따라 변하는 직선족을 생각해 보자. 각 직선 ''L''''t''는 ''t'' 값에 따라 위치나 기울기가 변한다. 이 직선족의 포락선은 이 모든 직선에 동시에 접하는 곡선을 의미한다.

일반적으로 곡선족 ''C''''t''가 방정식 ''F''(''t'', ''x'', ''y'') = 0으로 주어질 때, 포락선은 다음 두 방정식을 동시에 만족하는 점 (''x'', ''y'')들의 집합으로 정의될 수 있다.[1]

:F(t, x, y) = 0

:{\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0

여기서 \partial F/\partial t는 ''F''를 매개변수 ''t''에 대해 편도함수로 미분한 것이다. 두 번째 식은 ''t''에 대한 ''F''의 변화율이 0이 되는 조건을 의미하며, 이는 곡선족이 포락선과 만나는(접하는) 지점을 찾는 데 사용된다.

만약 방정식 ''F''(''t'', ''x'', ''y'') = 0이 ''t''에 대한 다항식이라면, 포락선의 방정식은 더 간단하게 구할 수 있다. 이 경우, 위 두 조건은 ''t''가 다항식 ''F''의 중근임을 의미한다. 따라서 ''t''에 대한 다항식 ''F''의 판별식을 0으로 놓으면 ''t''를 소거하고 포락선의 방정식(''x'', ''y''에 대한 식)을 얻을 수 있다.

=== 예시 1 ===

x 절편이 ''t''이고 y 절편이 11−''t''인 직선족 ''C''''t''를 생각해 보자. 이 직선의 방정식은 다음과 같다.

:\frac{x}{t}+\frac{y}{11-t}=1

분모를 없애고 ''t''에 대해 정리하면 다음과 같은 2차 방정식 형태가 된다.

:x(11-t)+yt-t(11-t)=0

:t^2+(-x+y-11)t+11x=0\,

이 방정식은 ''t''에 대한 2차 방정식이므로, 포락선은 판별식을 0으로 설정하여 구할 수 있다. 판별식 ''D''는 다음과 같다.

:D = (-x+y-11)^2-4(1)(11x) = 0

이 식을 정리하면 포락선의 방정식은 다음과 같다.

:(x-y)^2-22(x+y)+121=0.\,

이 방정식이 주어진 직선족의 포락선을 나타낸다.

=== 예시 2 ===

다음과 같은 직선족을 생각해 보자.

:L_t: y = x \sin t + \cos t

이를 ''F''(''t'', ''x'', ''y'') = 0 형태로 쓰면 다음과 같다.

:F(t, x, y) = x \sin t - y + \cos t = 0

이제 ''t''에 대해 편미분한다.

:{\partial F \over \partial t} = x \cos t - \sin t = 0

포락선을 구하기 위해 다음 연립방정식을 푼다.

:

\begin{cases}

x \sin t - y + \cos t = 0 \\

x \cos t - \sin t = 0

\end{cases}



두 방정식에서 ''t''를 소거하면 포락선의 방정식을 얻을 수 있다.

:x^2 - y^2 + 1 = 0

이 방정식은 쌍곡선을 나타내며, 이것이 주어진 직선족 {''L''''t''}''t''∈'''R'''의 포락선이다.

4. 2. 실 꿰기 미술 (String Art)

이 그림은 ''k''가 1의 값을 갖는 점 (''t'',0), (0,''k'' - ''t'')를 연결하는 일련의 선들의 포락선을 보여준다.


실 꿰기 미술에서는 동일한 간격으로 배치된 두 줄의 점(핀)들을 실로 교차하여 연결하는 경우가 많다. 이때 어떤 곡선이 만들어질까?

계산을 간단히 하기 위해, 점들을 ''x''축과 ''y''축 위에 놓는다고 가정한다. 직교 좌표계가 아닌 경우는 좌표 회전과 스케일링을 통해 이 경우로 변환할 수 있다. 일반적으로 실은 두 점 (0, ''k''−''t'')와 (''t'', 0)을 연결한다고 볼 수 있다. 여기서 ''k''는 양의 상수이며, 선들은 매개변수 ''t''를 변화시켜 만들어진다. 이 직선의 방정식은 ''y'' = −(''k'' − ''t'')''x''/''t'' + ''k'' − ''t''이다. 식을 정리하여 ''F''(''x'',''y'',''t'') = 0 형태로 나타내면 다음과 같다.

F(x,y,t)=-\frac{kx}{t} - t + x + k -y = 0

포락선을 구하기 위해 ''F''(''x'',''y'',''t'')를 ''t''에 대해 미분하고 그 결과가 0이 되도록 한다.

\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}= \frac{kx}{t^2} - 1 = 0

위 두 식을 연립하여 포락선의 방정식을 구할 수 있다. 두 번째 식에서 t = \sqrt{kx} 를 얻는다. 이 ''t'' 값을 첫 번째 식에 대입하고 정리하면 포락선의 방정식은 다음과 같다.

y=(\sqrt{x}-\sqrt{k})^2

또는, x와 y에 대해 대칭적인 형태로 정리하면 다음과 같다.

\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{k}

이 곡선이 포물선임을 확인하기 위해 좌표축을 회전시켜 보자. 새로운 축 ''a'', ''b''를 생각할 수 있는데, ''b''축은 ''y=x'' 방향, ''a''축은 ''y''=−''x'' 방향이다. 새로운 좌표 (a, b)와 원래 좌표 (x, y) 사이의 관계는 x = (b+a)/\sqrt{2}, y = (b-a)/\sqrt{2} 이다. 이 관계를 \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{k} 식에 대입하고 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

b = \frac{1}{k\sqrt{2}} a^2 + \frac{k}{2\sqrt{2}}

이는 축이 ''a''=0 (즉, 직선 ''y''=''x'')인 포물선의 방정식이다. 따라서 실 꿰기 미술에서 나타나는 포락선은 포물선의 일부이다.

4. 3. 아스트로이드 (Astroid)



곡선족의 포락선이 특정 집합들의 합집합의 경계로 나타나는 예시를 살펴보자. 데카르트 평면에서 s>0, t>0일 때, 꼭짓점이 (0,0), (s,0), (0,t)인 직각삼각형 T_{s,t}를 생각할 수 있다. 이 삼각형 내부의 점 (x,y)는 다음 조건을 만족한다.

:T_{s,t}:=\left\{(x,y)\in\R_+^2:\ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}<1\right\}

이제 양수 지수 \alpha>0를 고정하고, s^\alpha+t^\alpha=1이라는 제약 조건을 만족하는 모든 삼각형 T_{s,t}의 합집합, 즉 열린 집합 \Delta_\alpha를 고려한다.

:\Delta_\alpha:=\bigcup_ {s^\alpha+t^\alpha=1} T_{s,t}

이 집합 \Delta_\alpha의 경계는 삼각형들의 빗변, 즉 선분족

:\left\{(x,y)\in\R_+^2:\ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}=1\right\}\ ,\qquad s^\alpha+t^\alpha=1

의 포락선이 된다. 이 포락선의 데카르트 방정식은 다음과 같이 유도된다. (자세한 유도 과정은 홀더 부등식 참고)

:x^\frac{\alpha}{\alpha+1}+y^\frac{\alpha}{\alpha+1}=1

특히, \alpha=1일 때는 예제 2에서 다루는 포물선 호가 되며, \alpha=2일 경우 (이는 모든 빗변의 길이가 \sqrt{s^2+t^2}=1임을 의미) 포락선은 아스트로이드가 된다. 아스트로이드의 방정식은 다음과 같다.

:x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=1

4. 4. 발사체 궤적의 포락선



운동에서의 포락선 예시로, 초기 높이 0에서 초기 속력 ''v''는 일정하지만 발사 각도 θ가 다른 포물선 운동을 하는 발사체를 생각해 볼 수 있다. 운동 표면의 수평축을 ''x'', 수직축을 ''y''라고 하면, 운동은 다음과 같은 미분 동역학계로 표현된다.

:\frac{d^2 y}{dt^2} = -g,\; \frac{d^2 x}{dt^2} = 0

이 시스템은 다음 네 가지 초기 조건을 만족한다.

:\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=0} = v \cos \theta,\; \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=0} = v \sin \theta,\; x\bigg|_{t=0} = y\bigg|_{t=0} = 0

여기서 ''t''는 운동 시간, θ는 발사 각도, ''g''는 중력 가속도, ''v''는 일정한 초기 속력을 나타낸다. 위 시스템의 해는 다음과 같은 음함수 형태로 나타낼 수 있다.

:F(x,y,\theta) = x\tan \theta - \frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta} - y = 0

포락선 방정식을 찾기 위해, 위 식을 매개변수 θ에 대해 편미분하여 0으로 놓는다.

:\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{x}{\cos^2 \theta} - \frac{gx^2 \tan \theta}{v^2 \cos^2 \theta} = 0

위 두 식에서 θ를 소거하면, 다음과 같은 포락선 방정식을 얻을 수 있다.

:y = \frac{v^2}{2g} - \frac{g}{2v^2}x^2

이 결과로부터 포락선 역시 아래로 볼록한 포물선임을 알 수 있다.

5. 응용

포락선은 다양한 수학 및 과학 분야에서 중요한 개념으로 활용된다.


  • 상미분 방정식 (ODE): 포락선은 상미분 방정식의 특이해를 찾는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 어떤 곡선족의 접선들의 포락선은 원래 곡선족과는 다른 형태의 해가 될 수 있다.[3]
  • 편미분 방정식 (PDE): 1차 편미분 방정식의 경우, 이미 알려진 해들의 족으로부터 새로운 해를 구성하는 데 포락선 개념이 이용된다. 이는 해의 그래프들이 이루는 족의 포락선 역시 방정식의 해가 된다는 기하학적 성질에 기반한다.[4] 몽쥬 원뿔을 이용한 해법 역시 포락선과 관련이 깊다.[5]
  • 리만 기하학 및 변분법: 리만 다양체 위의 한 점을 지나는 측지선들의 족이나, 어떤 범함수의 극값 곡선들의 족이 포락선을 가질 경우, 이는 공액점의 존재와 관련된다.
  • 기하 광학: 빛줄기들이 모여드는 현상인 커스틱은 광선들의 포락선으로 설명된다. 예를 들어, 평행 광선이 원형 거울에 반사될 때 생기는 밝은 곡선이 대표적인 반사 커스틱이다.[6]
  • 호이겐스의 원리: 파동이 전파될 때, 특정 시점의 파면 상의 각 점을 새로운 파원으로 간주하여 발생하는 작은 파면들의 포락선이 다음 시점의 새로운 파면을 형성한다고 설명한다.[7]

5. 1. 미분 방정식

포락선은 상미분 방정식 (ODE)의 연구, 특히 ODE의 특이해와 관련이 있다.[3] 예를 들어, 포물선 ''y'' = ''x''2에 대한 1-매개변수 접선족을 고려해 보자. 이것들은 생성족 ''F''(''t'',(''x'',''y'')) = ''t''2 – 2''tx'' + ''y''로 주어진다. 영 레벨 집합 ''F''(''t''0,(''x'',''y'')) = 0은 점 (''t''0,''t''02)에서 포물선의 접선의 방정식을 제공한다. 방정식 ''t''2 – 2''tx'' + ''y'' = 0은 항상 ''y''를 ''x''의 함수로 풀 수 있으므로, 다음을 고려한다.

t^2 - 2tx + y(x) = 0. \

대입하면

t = \left(\frac{dy}{dx}\right)/2

ODE는 다음과 같다.

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \!\! - 4x\frac{dy}{dx} + 4y = 0.

놀랍지 않게도 ''y'' = 2''tx'' − ''t''2는 이 ODE의 모든 해이다. 그러나 이 1-매개변수 선족의 포락선인 포물선 ''y'' = ''x''2 역시 이 ODE의 해이다. 또 다른 유명한 예는 클레로 방정식이다.

5. 2. 편미분 방정식

포락선은 더 간단한 해로부터 1차 편미분 방정식(PDE)의 더 복잡한 해를 구성하는 데 사용될 수 있다.[4] ''F''(''x'',''u'',D''u'') = 0을 1차 PDE라고 하자. 여기서 ''x''는 열린 집합 Ω ⊂ '''R'''''n''에서 값을 갖는 변수이고, ''u''는 미지의 실수 값 함수이며, D''u''는 ''u''의 기울기이고, ''F''는 D''u''에서 정규인 연속 미분 가능한 함수이다. ''u''(''x'';''a'')가 ''m''-매개변수 해의 집합이라고 가정하자. 즉, 각 고정된 ''a'' ∈ ''A'' ⊂ '''R'''''m''에 대해 ''u''(''x'';''a'')는 주어진 미분 방정식의 해이다. 이 미분 방정식의 새로운 해는 먼저 (가능하다면) 다음 방정식을 푸는 과정을 통해 구성될 수 있다.

:D_a u(x;a) = 0\,

위 식을 풀어 ''a''를 ''x''의 함수, 즉 ''a'' = φ(''x'')로 나타낸다. 함수족 {''u''(·,''a'')}''a''∈''A''의 포락선은 다음과 같이 정의된다.

:v(x) = u(x;\varphi(x)),\quad x\in\Omega,

이렇게 정의된 함수 ''v''(''x'')는 (만약 연속 미분 가능한 함수로 존재한다면) 원래의 미분 방정식을 만족하는 또 다른 해가 된다.

기하학적으로 볼 때, 포락선 ''v''(''x'')의 그래프는 해의 가족 ''u''(''x'';''a'')에 속하는 어떤 구성원의 그래프에 모든 점에서 접한다. 주어진 미분 방정식이 1차이므로, 해의 그래프에 대한 접평면에만 조건을 부여한다. 따라서 해의 그래프에 접하는 모든 함수 역시 해가 되어야 한다. 이러한 아이디어는 몽쥬 원뿔의 적분을 통해 1차 방정식을 푸는 방법의 기초가 된다.[5] 몽쥬 원뿔은 각 점에서 1차 PDE에 대한 접선 공간들의 포락선에 의해 잘린 (''x'',''u'') 변수 공간 '''R'''''n''+1에서의 원뿔장을 의미한다. PDE의 해는 이 원뿔장의 포락선으로 나타낼 수 있다.

리만 기하학에서는 리만 다양체의 한 점 ''P''를 통과하는 측지선들의 부드러운 집합이 포락선을 가질 경우, 그 점 ''P''는 해당 집합에 속하는 어떤 측지선이 포락선과 교차하는 공액점을 갖는다고 말한다. 이는 더 일반적으로 변분법에서도 마찬가지로 적용된다. 주어진 점 ''P''를 통과하는 어떤 범함수의 극값 곡선들의 집합이 포락선을 가지면, 그 극값 곡선이 포락선과 교차하는 점은 ''P''에 대한 공액점이 된다.

5. 3. 리만 기하학

리만 기하학에서 리만 다양체의 한 점 ''P''를 통과하는 측지선(가장 짧은 경로)들의 부드러운 집합이 포락선을 가질 경우, 점 ''P''는 공액점을 갖는다고 말한다. 이 공액점은 측지선 집합에 속하는 어떤 측지선이 포락선과 교차하는 지점을 의미한다.

이러한 개념은 더 넓게 변분법에서도 적용된다. 어떤 점 ''P''를 통과하는 범함수(함수의 함수)의 극값(최대 또는 최소값)들의 집합이 포락선을 형성할 때, 그 극값 중 하나가 포락선과 만나는 점은 ''P''에 대한 공액점으로 간주된다.

5. 4. 커스틱스 (Caustics)

기하 광학에서 커스틱은 여러 광선이 모여 만들어지는 포락선이다. 그림은 원의 일부인 원호와 평행하게 들어오는 광선(파란색)을 보여준다. 이 광선들은 "무한대"의 광원에서 오기 때문에 서로 평행하게 도착한다. 광선이 원호에 부딪히면, 정반사 법칙에 따라 다른 방향으로 흩어진다. 즉, 빛은 광선이 원호와 만나는 지점에서의 접선에 대해 반사된 것처럼 나아간다. 이렇게 반사된 광선들은 평면 위에서 하나의 매개변수를 갖는 선들의 집합을 이루는데, 이 선들의 포락선이 바로 반사 커스틱이다. 반사 커스틱은 일반적으로 매끄러운 곡선 부분과 첨점으로 구성된다.

변분법의 관점에서 보면, 페르마의 원리(현대적 형태)는 광선이 고정된 시작점 γ(''a'')와 끝점 γ(''b'')를 가지는, 구간 [''a'',''b'']에서 정의된 매끄러운 곡선 γ에 대한 길이 범함수의 극값이라는 것을 의미한다.

:L[\gamma] = \int_a^b |\gamma'(t)|\,dt

주어진 점 ''P''(그림에서는 무한대에 있는 점)에 의해 결정되는 커스틱은 ''P''의 켤레점들의 집합이다.[6]

5. 5. 호이겐스 원리 (Huygens's principle)

빛은 매질의 종류나 빛이 나아가는 방향에 따라 속도가 달라질 수 있다. 어떤 한 점 '''q'''에서 출발한 빛이 시간 ''t'' 후에 도달할 수 있는 모든 점들의 경계를 파면(波面)이라고 하며, 이를 Φ'''q'''(''t'')로 나타낼 수 있다. 이 파면은 점 '''q'''에서 출발하여 시간 ''t'' 동안 빛의 속도로 퍼져나가 도달 가능한 점들의 집합이다. 호이겐스의 원리에 따르면, 어떤 시점 ''t''의 파면 Φ'''q'''0(''t'') 위의 모든 점 '''q''' 각각에서 새로 출발하는 작은 파면들(파면족 Φ'''q'''(''s''))을 생각할 수 있다. 이 작은 파면들이 시간 ''s'' 후에 만드는 새로운 전체 파면 Φ'''q'''0(''s'' + ''t'')은 바로 이 작은 파면들의 포락선이 된다. 이 원리는 시작점이 점 '''q'''0 하나일 때뿐만 아니라, 임의의 곡선이나 표면, 또는 닫힌 영역에서 동시에 빛이 출발하는 경우에도 적용될 수 있다.[7]

참조

[1] 서적 Curves and Singularities Cambridge University Press
[2] 서적 A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces Schwarz Press
[3] 서적 Theory of differential equations Dover Publications
[4] 서적 Partial differential equations American Mathematical Society
[5] 서적 Partial differential equations https://archive.org/[...] Springer
[6] 서적 Principle of Optics Cambridge University Press 1999-10
[7] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. https://archive.org/[...] Springer-Verlag
[8] 간행물 17세기의 시계 혁명과 하위헌스의 수학 전국수학교사모임
[9] 서적 미분적분학 연습 도서출판 고섶
[10] 서적 위의 책


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