필바인

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1. 개요
2. 어원 및 명칭
3. 도입 목적
4. 수학적 전개
5. 파라티니 작용
6. 역사
참조

1. 개요

필바인은 독일어로 "여러 다리"를 뜻하며, n차원 공간에서 사용되는 개념으로, 4차원에서는 피어바인, 5차원에서는 퓐프바인 등으로 불린다. 필바인은 물질장을 국소적인 평평한 공간에서 다룰 수 있게 하여, 양자장론의 페르미온과 초중력의 그래비티노 도입에 필수적이며, 일반상대론을 게이지 이론으로 나타내거나 아인슈타인-카르탕 이론으로 확장하는 데 기여한다. 필바인을 통해 시공간과 스핀 접속, 곡률 등을 수학적으로 전개하며, 일반 상대성 이론의 파라티니 작용을 정의하는 데 사용된다. 4차원 시공간에서 처음 도입되었으며, 칼루차-클레인 이론 연구 과정에서 5차원 필바인이 사용되었다.

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필바인
개요
분야	물리학, 수학
하위 분야	미분 기하학 일반 상대성 이론 게이지 이론
이름의 유래	엘리 카르탕
상세 정보
주요 개념	주형식 구조 방정식 필바인 (사중극자) 스핀 접속 공변 미분
관련 개념	미분 형식 접속 곡률 형식 비틀림 형식
일반화	카르탕 접속

2. 어원 및 명칭

"필바인"은 독일어로 "여러 다리"라는 뜻이다. 4차원에서는 '''피어바인'''(피어바인/Vierbein^de), 5차원에서는 '''퓐프바인'''(퓐프바인/Fünfbein^de), 11차원에서는 '''엘프바인'''(엘프바인/Elfbein^de) 등으로 부르는데, 이는 "네 다리", "다섯 다리", "열한 다리" 등을 뜻한다. 그리스어식으로는 "테트라드", "펜타드", "헨데카드" 등으로 부르기도 한다.

일반적으로 n차원에서는 필바인(Vielbein, 독일어) 또는 폴리아드(polyad, 그리스어)라고 부른다. 차원에 따른 명칭은 다음 표와 같다.

차원	독일어명	그리스어명
1	아인바인/Einbein^de	모나드 (모나드/monad^영어)
2	츠바이바인/Zweibein^de	다이아드 (다이아드/dyad^영어)
3	드라이바인/Dreibein^de	트라이아드 (트라이아드/triad^영어)
4	피어바인/Vierbein^de	테트라드 (테트라드/tetrad^영어)
5	퓐프바인/Fünfbein^de	펜타드 (펜타드/pentad^영어)
6	젝스바인/Sechsbein^de	헥사드 (헥사드/hexad^영어)
7	지벤바인/Siebenbein^de	헵타드 (헵타드/heptad^영어)
8	아흐트바인/Achtbein^de	옥타드 (옥타드/octad^영어)
9	노인바인/Neunbein^de	에네아드 (에네아드/ennead^영어)
10	첸바인/Zehnbein^de	데카드 (데카드/decad^영어)
11	엘프바인/Elfbein^de	헨데카드 (헨데카드/hendecad^영어)
12	츠뵐프바인/Zwölfbein^de	도데카드 (도데카드/dodecad^영어)
n	필바인/Vielbein^de	폴리아드 (폴리아드/polyad^영어)

3. 도입 목적

필바인을 도입하면, 물질장을 굽은 공간(접다발)이 아닌, 국소적인 평평한 공간 (틀다발)에서 다룰 수 있다. 이를 통해 다음과 같은 이점이 있다.

양자장론의 스핀 ½의 페르미온을 도입하는 데 필수적이고, 또 초중력에서 필요한 스핀 1½의 그래비티노를 도입하는 데도 필수적이다.
일반상대론을 게이지 이론으로서 나타낼 수 있게 하며, 또 아인슈타인-카르탕 이론으로 자연스럽게 확장이 가능하다.

4. 수학적 전개

4. 1. 시공간과 필바인

n

차원 매끄러운 다양체

M

에 SO(p,q) 주다발(principal bundle)

B

를 정의한다. (p+q=n).

B

는 틀다발(frame bundle)이라고 부른다.^[1]

n

차원 벡터 다발

V

는

B

의 기본 표현으로 정의한다.

V

에 SO(p,q) 불변인 퇴화되지 않은 쌍선형 형식

\eta

를 가정하고,

e\colon TM\to V

와 같은 가역 선형 변환

e

를 정의한다. (

TM

은 접다발)^[1]

필바인

e^a_\mu

는 민코프스키 (

V

) 지수

a

와 접다발 지수

\mu

를 가지며,

\eta_{ab}

는 민코프스키 지수

a,b

를 갖는다. 이에 따라, 일반상대론의 리만 다양체 계량텐서

g_{\mu\nu}

는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^b_\nu\eta_{ab}

^[1]

필바인은 가역 사상이므로, 그 역사상

E\colon V\to  TM

(지수로

E_\mu^a

)도 존재한다.

4. 2. 스핀 접속

V

안에서 유일한 비틀림 없는 코쥘 접속

A

(스핀 접속)가 존재한다. 스핀 접속은 다음 조건을 만족한다.

임의의 $V$ 의 미분가능 단면 $a,b$ 가 주어졌을 때, ''d''η(a,b) = η(''d''_'''A'''''a'',''b'') + η(''a'',''d''_'''A'''''b'').

필바인을 이용하여 스핀 접속을 접다발

TM

으로 확장할 수 있다. 필바인은 평행이동의 게이지장이고, 스핀 접속은 로런츠 변환의 게이지장이다.

4. 3. 곡률

스핀 접속은 게이지장 (게이지 주다발의 단면)으로 볼 수 있으므로, 이에 따른 곡률 (패러데이 텐서) ''R''를 정의할 수 있다. 이는 리만 곡률과 같다. 지수로 쓰면 다음과 같다.

:

R_{\mu\nu}^{ab}=2\partial_{[\mu}\omega_{\nu]}^{ab}+\omega_\mu^{ac}{\omega_{\nu c}}^{b}-\omega_\nu^{ac}\omega_{\nu c}^b

리만 곡률로부터, 일반상대론에서 쓰이는 리치 곡률과 리치 스칼라를 정의할 수 있다. 리치 곡률은

:

{R_\mu}^a=E^\nu_b{R_{\mu\nu}}^{ab}

리치 스칼라는

:

R=E^\mu_a{R_\mu}^a=E^\mu_aE_\nu^b{R_{\mu\nu}}^{ab}

일반상대론의 힐베르트 작용은 단순히 리치 스칼라에 비례한다.

:

S=-\int d^4x\;e\frac1{2\kappa}R

여기서

\kappa=8\pi G

다.

e=\det e^a_\mu

는 필바인의 행렬식으로서, 스칼라를 텐서 밀도로 만드는, 일종의 야코비안이다.

5. 파라티니 작용

일반 상대성 이론에서 4차원 미분 가능 다양체 의 작용은 사각장 와 접속 형식 의 범함수로 나타낼 수 있다. 이를 파라티니 작용이라고 한다. 파라티니 작용은 다음과 같이 정의된다.

: $S\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ M^2_{pl}\int_M \epsilon_{abcd}( e^{a} \wedge e^{b} \wedge \Omega^{cd}) = M^2_{pl}\int_M \mathrm d^4x \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \epsilon_{abcd} e^a_{\mu} e^b_{\nu} R^{cd}_{\rho \sigma}[\omega]$

: $= M^2_{pl}\int |e| \mathrm d^4 x \frac{1}{2} e^{\mu}_a e^{\nu}_b R^{ab}_{\mu \nu}$

: $= \frac{c^4}{16 \pi G} \int \mathrm d^4x \sqrt{-g} R[g]$

여기서, $\Omega_{\mu \nu} ^{ab} = R_{\mu \nu} ^{ab}$ 는 게이지 곡률 2-형식이며, $\epsilon_{abcd}$ 는 반대칭 레비-치비타 기호이고, $|e| = \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \epsilon_{abcd} e^a_{\mu}e^b_{\nu}e^c_{\rho}e^d_{\sigma}$ 는 $e_{\mu}^a$ 의 행렬식이다. $|e| = \sqrt{-g}$ 및 $R^{\lambda \sigma}_{\mu \nu}= e^{\lambda}_a e^{\sigma}_b R^{ab}_{\mu \nu}$ 를 사용하면, 위의 미분 형식으로 쓰인 작용이 통상의 아인슈타인-힐베르트 작용과 같다는 것을 알 수 있다.

스피너장이 존재하는 경우, 파라티니 작용은 틀림 텐서가 0이 아닌 값을 갖도록 수정된다.

6. 역사

일반 상대론은 초기에 4차원 시공간을 가정하여 피어바인(4차원 필바인)이 먼저 도입되었다.^[2]^[3] 이후 테오드어 칼루차가 5차원 시공간에서 일반 상대론을 전개하여 전자기 방정식을 얻는 칼루차 이론을 발표했다. 알베르트 아인슈타인과 헤르만 바일이 칼루차 이론을 연구하면서 퓐프바인(5차원 필바인)을 도입하였다. (1928-1929년)^[2]^[3]

참조

_[1] 문서 スピン群主スピン束への縮小を用いる方法もある
_[2] 저널 Einstein’s vierbein field theory of curved space 2008-01-20
_[3] 서적 Elektron und Gravitation I

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