해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식

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1. 개요
2. 배경과 동기
- 2.1. 고전물리학과 양자물리학의 대응
- 2.2. 4차원 시공간의 한계
3. 방정식
- 3.1. 일반 방정식 (자유 휘어진 공간)
- 3.2. 방정식의 해석
4. 응용
참조

1. 개요

해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식은 고전 역학의 해밀턴-야코비 방정식과 아인슈타인 장 방정식을 결합하여 4차원 시공간 동역학을 다루는 방정식이다. 이 방정식은 양자 이론과 일반 상대성 이론 간의 간극을 메우려는 시도로, 특히 양자 중력 및 양자 우주론 분야에서 활용된다. 이 방정식은 계량 텐서의 변분 도함수를 사용하여 물질파의 파동 역학을 설명하며, 작용의 위상이 최소 작용의 원리를 만족하도록 한다.

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해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식
개요
유형	방정식
분야	일반 상대성이론 우주론
관련 인물	알베르트 아인슈타인 카를 구스타프 야코프 야코비 윌리엄 로원 해밀턴
상세 정보
설명	해밀턴-야코비 방정식의 상대론적 일반화

2. 배경과 동기

해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식은 고전역학과 양자역학, 그리고 일반 상대성이론을 통합하려는 시도에서 비롯되었다.

고전역학에서 계의 운동은 작용으로 기술되며, 양자역학에서는 확률 진폭으로 기술된다. 슈뢰딩거 방정식에서 플랑크 상수를 0으로 보내는 극한을 취하면 고전적인 해밀턴-야코비 방정식을 얻을 수 있는데, 이는 대응원리의 한 예시이다.

하지만 양자 이론과 일반 상대성이론을 통합하는 데는 어려움이 따른다. 비상대론적 양자역학에서는 시간과 공간이 동등하게 다루어지지 않으며, 상대론적 양자역학 및 양자장론은 평평한 민코프스키 공간에서만 적용된다. 구부러진 시공간에서의 양자장론은 중력을 재규격화할 수 없어 일반 상대성이론을 통합할 수 없다.^[3] 또한, 불확정성 원리에 따르면 위치와 운동량을 동시에 정확하게 알 수 없으며, 이는 시공간의 작은 규모에서 큰 에너지와 운동량 변동을 야기하여 시공간 구조가 붕괴될 수 있음을 의미한다.^[3] 램 이동과 같은 현상은 진공에도 에너지가 존재함을 보여주며, 이는 플랑크 길이와 플랑크 시간 규모에서 시공간이 역동적임을 시사한다.^[3]^[4]

이러한 이유로, 4차원 구부러진 시공간 연속체는 일반 상대성이론의 핵심 특징이지만, 양자역학에서는 그렇지 않다. 해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식은 이러한 이론적 간극을 메우기 위한 시도 중 하나이다.

2. 1. 고전물리학과 양자물리학의 대응

고전 해석 역학에서 계의 동역학은 작용

S

로 요약된다. 비상대론적 양자역학, 상대론적 양자역학, 양자장론 등 다양한 양자 이론에서 계의 행동은 복소수 값 확률 진폭

\Psi

(더 공식적으로는 양자 상태 켓

|\Psi\rangle

– 힐베르트 공간의 원소)에 완전히 포함된다. 파동 함수의 극형식을 사용하여 마델룽 변환을 수행하면 다음과 같다.

:

\Psi = \sqrt{\rho}e^{iS/\hbar}

\Psi

의 페이즈는 작용으로 해석되고 크기

\rho=\sqrt{\Psi^*\Psi}=|\Psi|

는 보른 해석에 따라 확률 밀도 함수로 해석된다. 축약된 플랑크 상수

\hbar

는 각운동량의 양자이다. 이를 양자 일반 슈뢰딩거 방정식으로 대체하면 다음과 같다.

:

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\,,

극한

\hbar\rightarrow 0

을 취하면 고전적인 해밀턴-야코비 방정식이 생성된다.

:

-\frac{\partial S}{\partial t} = H\,,

이것이 대응원리의 한 측면이다.

2. 2. 4차원 시공간의 한계

양자 이론과 일반 상대성이론 사이의 전환은 어렵다. 한 가지 이유는 이러한 이론에서 공간과 시간을 다루는 방식의 차이 때문이다. 비상대론적 양자역학에서는 시간은 매개변수이고 위치는 연산자이므로 공간과 시간이 동등하지 않다. 상대론적 양자역학 및 양자장론에서 위치는 시간 좌표와 함께 일반적인 장소 좌표로 취급되지만, 이러한 이론은 구부러진 공간이나 일반 상대성 이론이 아닌 4차원 '평면' 민코프스키 공간의 특수 상대성 이론하고만 일치한다. 구부러진 시공간에서 양자장론을 공식화하는 것이 가능하지만, 양자장론에서는 중력을 재규격화 할 수 없기 때문에 일반 상대성 이론을 통합할 수 없다.^[3] 또한 일반 상대성이론 입자는 매 순간 결정론적으로 알려진 위치와 운동량을 사용하여 곡선형 시공간을 통해 이동하는 반면, 양자 이론에서는 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확하게 알 수 없다. 공간

x

와 운동량

p

, 에너지

E

와 시간

t

는 쌍으로 불확정성 원리를 따른다.

:

\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}, \quad \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\,.

이는 공간과 시간의 작은 간격에서 에너지와 운동량의 큰 변동이 가능하다는 것을 의미한다. 일반 상대성이론에서는 질량 에너지와 운동량 에너지가 시공간 곡률의 근원이기 때문에, 에너지와 운동량의 큰 변동은 시공간 "직물"이 잠재적으로 너무 왜곡되어 충분히 작은 규모로 부서질 수 있음을 의미한다.^[3] 양자장론에는 원자 내 전자의 움직임이 변동하기 때문에 진공에 에너지가 있다는 이론적, 실험적 증거가 있으며, 이는 램 이동과 관련이 있다.^[4] 이러한 이유와 기타 이유로 점점 더 작은 규모에서 공간과 시간은 플랑크 길이와 플랑크 시간 규모까지 역동적인 것으로 생각된다.^[3]

어쨌든 4차원 구부러진 시공간 연속체는 일반 상대성 이론의 잘 정의된 핵심 특징이지만, 양자역학에서는 그렇지 않다.

3. 방정식

양자역학과 일반 상대성 이론에서 가능한 한 가까운 방식으로 계의 동역학을 지배하는 방정식을 찾으려는 한 가지 시도는 해밀턴-야코비 방정식을 3차원 구부러진 공간에서 "동적"(시간에 따라 변하는)으로 이해하고, 아인슈타인 장 방정식처럼 4차원 시공간 동역학은 아니도록 재구성하는 것이다. 이 공간에는 계량 텐서(자세한 내용은 거리 공간 참조)가 있다.

일반 상대성 이론의 계량 텐서는 고유 시간, 호 길이, 구부러진 시공간에서의 측지선 운동 등이 모두 계량에 의존하기 때문에 필수적인 개념이다. 해밀턴-야코비 방정식은 좌표 시간 $t$ 없이 3차원 공간 좌표 $\bold r$ (예: 데카르트 좌표의 )의 함수일 뿐이지만 계량을 포함하도록 수정되었다.

: $g_{ij} = g_{ij}(\mathbf{r})\,.$

이러한 맥락에서 $g_{ij}$ 를 "계량 장" 또는 간단히 "장"이라고 한다.

3. 1. 일반 방정식 (자유 휘어진 공간)

Hamilton-Jacobi-Einstein equation^영어에서 자유 입자가 휘어진 "빈 공간"에 있을 때, 즉 입자 자체 이외의 물질이 없는 경우의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5]^[6]^[7]

:

\frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{1}{2}g_{pq}g_{rs}-g_{pr}g_{qs}\right)\frac{\delta S}{\delta g_{pq}}\frac{\delta S}{\delta g_{rs}} + \sqrt{g}R=0

여기서

g

는 계량 텐서의 행렬식이고,

R

은 3차원 기하학의 리치 스칼라 곡률(시간 제외)이다. "

\delta

"는 일반 도함수가 아닌 변분 도함수를 나타내며, 이러한 도함수는 "계량 장에 결합"된 장 운동량에 해당한다.

:

\pi^{ij}(\mathbf{r})=\pi^{ij}=\frac{\delta S}{\delta g_{ij}}

이는 장 좌표

g_{ij}(\bold r)

에 대한 작용의 변화율이다.

이 방정식은 자유 입자의 물질 파동 역학이 곡선 공간에서 전개됨에 따라 지속적인 작용의 파면이 초공간에서 전파되는 방식을 설명한다. 아인슈타인 장 방정식과 마찬가지로, 이는 계량 성분의 곱으로 인해 계량에서 비선형이며, 해밀턴-야코비 방정식과 마찬가지로 작용의 변분 도함수 곱으로 인해 작용이 비선형이다.

작용이 파동함수의 위상이라는 양자역학적 개념은 이 방정식으로부터 다음과 같이 해석될 수 있다. 위상의 약간의 변화는 0이다.

:

\delta S = \int \frac{\delta S }{\delta g_{ij}(\mathbf{r})}\delta g_{ij}(\mathbf{r}) d^3 \mathbf{r} = 0

따라서 물질파의 보강간섭은 최대이다. 이는 중첩 원리로 표현될 수 있다. 국소화된 파동함수를 형성하기 위해 구부러진 공간 전체에 퍼져 있는 많은 비국소적 파동함수에 적용된다.

:

\Psi = \sum_n c_n\psi_n \,,

\Psi

가 최대 또는 최소인 영역은 입자를 발견할 확률이 있고 작용(페이즈) 변화가 0인 점에서 발생한다. 따라서 위의 아인슈타인-해밀턴-야코비 방정식에서 지속적인 작용의 각 파면은 입자가 발견 ''될 수 있는'' 곳이다.

3. 2. 방정식의 해석

이 방정식은 자유 입자의 물질 파동 역학이 곡선 공간에서 전개될 때, 지속적인 작용의 파면이 초공간에서 어떻게 전파되는지를 설명한다.^[5]^[6]^[7] 추가적인 입자나 물질의 분포(공간 곡률에 기여), 전하 또는 스핀을 가진 입자에 영향을 미치는 전자기장의 존재를 설명하려면 추가적인 항이 필요하다. 이 방정식은 아인슈타인 장 방정식처럼 계량 성분의 곱으로 인해 계량에서 비선형이며, 해밀턴-야코비 방정식과 마찬가지로 작용의 변분 도함수 곱으로 인해 작용이 비선형이다.

최소작용 원리에 따르면, 작용은 파동함수의 위상으로 해석될 수 있다. 계량 구성 요소의 약간의 변화, 즉 입자 위치의 작은 변화에 대해 위상의 변화는 0이 되어야 한다.

:

\delta S = \int \frac{\delta S }{\delta g_{ij}(\mathbf{r})}\delta g_{ij}(\mathbf{r}) d^3 \mathbf{r} = 0

이는 물질파의 보강 간섭이 최대가 되는 지점이며, 중첩 원리를 통해 설명할 수 있다.

:

\Psi = \sum_n c_n\psi_n \,,

여기서 각

\psi_n

에 대한 작용(위상)

S_n

은 모든

n

에 대해 동일해야 한다.

:

S_1 = S_2 = \cdots = S_n = \cdots \,.

\Psi

가 최대 또는 최소인 영역은 입자가 발견될 확률이 높은 곳이며, 작용(위상) 변화가 0인 지점이다. 따라서 방정식에서 지속적인 작용의 각 파면은 입자가 발견될 수 있는 위치를 나타낸다.

이 방정식은 양자역학과 일반 상대성이론을 완전히 통합하지는 않지만, 반고전적 에이코날 근사법을 통해 두 이론 사이의 연결 고리를 제공한다.

4. 응용

참조

_[1] 논문 On Cauchy's problem in general relativity - II Springer
_[2] 논문 Derivation of the Ten Einstein Field Equations from the Semiclassical Approximation to Quantum Geometrodynamics
_[3] 서적 Encyclopaedia of Physics https://archive.org/[...] VHC Publishers
_[4] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[5] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[6] 서적 Physical Origins of Time Asymmetry https://books.google[...] Cambridge University Press
_[7] 서적 The Physicist's Conception of Nature https://books.google[...] Springer

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