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플랑크 단위계

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1. 개요

플랑크 단위계는 막스 플랑크가 흑체 복사 연구를 통해 제안한 자연 단위계로, 특정 물질이나 환경에 의존하지 않는 보편적인 측정을 목표로 한다. 이 단위계는 환산 플랑크 상수, 중력 상수, 진공에서의 빛의 속도, 쿨롱 상수, 볼츠만 상수를 기본 단위로 정의하며, 플랑크 시간, 플랑크 길이, 플랑크 질량, 플랑크 전하, 플랑크 온도의 5가지 기본 단위를 포함한다. 플랑크 단위계를 사용하면 물리 방정식이 단순화되며, 이론 물리학에서 유용하게 활용된다. 플랑크 규모는 중력의 양자 효과가 중요해지는 에너지 척도로, 플랑크 시간과 길이는 현재의 물리 이론으로는 설명할 수 없는 극미한 시간과 거리 규모를 나타낸다. 플랑크 단위는 중력과의 관계에서 중요하며, 대체 정규화 방식을 통해 다양한 물리 상수를 1로 설정할 수 있다. 고에너지 물리학에서도 플랑크 단위계가 사용되며, 플랑크 단위계는 인간 중심적인 임의성을 줄이지만, 여전히 몇 가지 임의적인 선택이 존재한다.

플랑크 단위계
개요
이름플랑크 단위계
유형자연 단위계
명명 유래막스 플랑크
기본 단위
플랑크 길이1.616255(18)×10⁻³⁵ m
플랑크 질량2.176435(24)×10⁻⁸ kg
플랑크 시간5.391247(60)×10⁻⁴⁴ s
플랑크 전하1.875546005(21)×10⁻¹⁸ C
플랑크 온도1.416784(16)×10³² K
파생 단위
플랑크 에너지1.956×10⁹ GeV
플랑크 힘1.210×10⁴⁴ N
플랑크 동력3.628×10⁵² W
플랑크 밀도5.155×10⁹⁶ kg/m³
플랑크 전압1.043×10²⁷ V
플랑크 전류3.479×10²⁵ A
플랑크 임피던스29.9792458 Ω
플랑크 면적2.61223×10⁻⁷⁰ m²
플랑크 부피4.22419×10⁻¹⁰⁵ m³
플랑크 운동량6.52485 kg⋅m/s
플랑크 에너지 밀도4.633×10¹¹³ J/m³
플랑크 각주파수1.85487 × 10⁴³ rad/s
플랑크 압력4.633 × 10¹¹³ Pa
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  • 막스 플랑크 - 플랑크 상수
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목차

2. 역사

1933년의 막스 플랑크
1933년의 막스 플랑크

자연 단위계의 개념은 1874년 조지 존스턴 스토니(George Johnstone Stoney)가 전하가 양자화되어 있다는 것을 바탕으로 길이, 시간, 질량의 단위를 유도하면서 시작되었다. 이 단위는 그의 이름을 따서 스토니 단위라고 불린다. 스토니는 자신의 단위를 사용하여 G, c, 전자 전하 e가 수치적으로 1이 되도록 했다. 1899년, 양자론이 등장하기 1년 전에 막스 플랑크(Max Planck)는 나중에 플랑크 상수라고 알려지게 된 것을 도입했다. 논문의 마지막 부분에서 그는 나중에 자신의 이름을 따서 명명된 기본 단위를 제안했다. 플랑크 단위는 작용의 양자에 기반을 두고 있으며, 현재는 일반적으로 플랑크 상수라고 알려져 있고, 이는 빈 근사에서 흑체 복사를 위해 나타났다. 플랑크는 새로운 단위계의 보편성을 강조하면서 다음과 같이 썼다.

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und aussermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als »natürliche Maasseinheiten« bezeichnet werden können.독일어

플랑크는 보편 상수 G, h, c, k_{\rm B}를 기반으로 하는 단위만을 고려하여 길이, 시간, 질량, 온도에 대한 자연 단위를 도출했다. 그의 정의는 현대적인 정의와 \sqrt{2 \pi}의 인자로 다른데, 이는 현대적인 정의가 \hbar (디랙 상수)를 사용하고 h (플랑크 상수)를 사용하지 않기 때문이다.

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표 1: 플랑크가 원래 선택한 수량에 대한 현대적인 값
이름차원표현식값 (SI 단위)
플랑크 길이길이 (L)l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}
플랑크 질량질량 (M)m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}
플랑크 시간시간 (T)t_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}
플랑크 온도온도 (Θ)T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k_\text{B}^2}}

3. 정의

플랑크 단위는 다음과 같은 물리 상수들을 기본 단위로 정의한다.

* 중력 상수 \(G\)
* 디랙 상수 \(\hbar\)
* 빛의 속도 \(c\)
* 쿨롱 상수 \(k_\text{e}\)
* 볼츠만 상수 \(k_\text{B}\)

이 상수들의 값을 1로 설정함으로써, 시간, 길이, 질량, 전하, 온도의 5가지 기본 플랑크 단위가 정의된다. 플랑크 단위계에서는 위에 언급된 상수들이 1이 되며, 다른 물리 방정식에서도 이 상수들이 생략될 수 있다. 예를 들어, 뉴턴의 만유인력 법칙은 플랑크 단위를 사용하여 무차원 방정식으로 표현할 수 있다.

자연 단위계의 개념은 1874년 조지 존스턴 스토니가 처음 도입했으며, 그는 기본 전하의 양자화를 기반으로 길이, 시간, 질량의 단위를 유도했다. 이를 스토니 단위라고 한다. 1899년 막스 플랑크는 플랑크 상수를 도입하고, 이를 기반으로 한 새로운 단위계를 제안했다. 플랑크는 자신의 단위계가 특정한 물체나 물질에 의존하지 않고 모든 시간과 공간, 심지어 외계 문명에도 적용될 수 있는 보편적인 단위계라고 강조했다.

플랑크는 처음에 \(G\), \(h\), \(c\), \(k_\text{B}\)를 기반으로 단위를 정의했지만, 현대적인 정의는 \(h\) 대신 \(\hbar\) (디랙 상수)를 사용한다. 플랑크 단위계는 공식적으로 정의된 체계는 아니며, 일부 저자들은 전하 단위를 추가하거나 질량을 에너지로 대체하기도 한다. 플랑크 단위의 SI 값은 중력 상수 \(G\)의 불확실성에 크게 영향을 받는다.

스토니 단위와 비교했을 때, 플랑크 기본 단위는 모두 \(\sqrt{\frac{1}{\alpha}} \approx 11.7\)배 더 크다. 여기서 \(\alpha\)는 미세 구조 상수이다.

3.1. 기본 플랑크 단위

1933년의 막스 플랑크
1933년의 막스 플랑크

플랑크 단위계는 막스 플랑크가 제안한 물리 단위계로, 자연 단위계의 한 종류이다. 플랑크는 중력 상수(G), 플랑크 상수(h), 빛의 속도(c), 볼츠만 상수(kB)를 기반으로 하여 길이, 시간, 질량, 온도의 단위를 정의했다. 현대적인 정의는 플랑크 상수 대신 디랙 상수(\(\hbar\))를 사용한다.

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표 1: 기본 플랑크 단위
이름차원표현식값 (SI 단위)
플랑크 길이길이 (L)\(\ell_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\)
플랑크 질량질량 (M)\(m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\)
플랑크 시간시간 (T)\(t_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\)
플랑크 온도온도 (Θ)\(T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k_\text{B}^2}}\)
플랑크 전하전하 (Q)\(q_\text{P} = \sqrt{4\pi\epsilon_0 \hbar c}\)


* 플랑크 길이(\(\ell_\text{P}\)): 양자 중력 효과가 중요해지는 거리 규모를 나타낸다.
* 플랑크 질량(\(m_\text{P}\)): 플랑크 길이 정도의 콤프턴 파장을 갖는 입자의 질량을 의미한다.
* 플랑크 시간(\(t_\text{P}\)): 빛이 플랑크 길이를 이동하는 데 걸리는 시간이다.
* 플랑크 온도(\(T_\text{P}\)): 플랑크 에너지를 볼츠만 상수로 나눈 값이다.
* 플랑크 전하(\(q_\text{P}\)): 쿨롱 상수와 관련된 전하 단위이다.

플랑크 단위는 아래의 물리 상수들을 1로 만드는 특징을 가지고 있다.
* \(c=\frac{l_P}{t_P}\) (빛의 속도)
* \(\hbar=\frac{m_P{\ell_P}^2}{t_P}\) (디랙 상수)
* \(G=\frac{{\ell_P}^3}{m_P{t_P}^2}\) (중력 상수)
* \(\varepsilon_0=\frac{{q_P}^2{t_P}^2}{4\pi m_P{\ell_P}^3}\) (진공 유전율)
* \(k=\frac{m_P{\ell_P}^2}{{t_P}^2T_P}\) (볼츠만 상수)

3.2. 유도 플랑크 단위

기본 플랑크 단위를 바탕으로 다양한 물리량의 단위를 유도할 수 있다.

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명칭차원식SI에서의 대략적인 값
플랑크 에너지에너지 (MLT)E_P=m_Pc^2=\sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} ||
플랑크 힘힘 (MLT)F_P=\frac{E_P}{\ell_P}=\frac{c^4}{G}
플랑크 일률일률 (MLT)P_P=\frac{E_P}{t_P}=\frac{c^5}{G}
플랑크 밀도밀도 (ML)\rho_P=\frac{m_P}
플랑크 압력압력 (MLT)p_P=\frac{F_P}
플랑크 전압전압 (MLTQ)V_P=\frac{E_P}{q_P}=\sqrt{\frac{c^4}{G4\pi\varepsilon_0}} ||
플랑크 임피던스전기 저항 (MLTQ)Z_P=\frac{V_P}{I_P}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0c}=\frac{Z_0}{4\pi}


각 수치의 스케일에 관해서는 다음 항목들을 참고할 수 있다.

* 에너지 비교
* 힘 비교
* 일률 비교
* 밀도 비교
* 각주파수 비교
* 압력 비교
* 전류 비교
* 전압 비교

4. 물리학 방정식의 단순화

플랑크 단위계를 사용하면 많은 물리학 방정식에서 물리 상수들이 사라져 식이 간결해진다. 예를 들어, 아래 표와 같이 여러 방정식에서 상수들이 제거되어 단순한 형태로 표현된다.

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방정식 명칭일반적인 단위계플랑크 단위계
뉴턴의 만유인력의 법칙 F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} F = \frac{m_1 m_2}{r^2}
슈뢰딩거 방정식
각주파수 { \omega } \ 의
소립자나 광자가 갖는 에너지		{ E = \hbar \omega } \ { E = \omega } \
아인슈타인의
질량-에너지 등가 원리		{ E = m c^2} \ { E = m } \
아인슈타인 방정식{ G_{\mu \nu} = 8 \pi \cdot\frac{G}{c^4} T_{\mu \nu}} \ { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \
열의 운동 에너지{ E = \frac{1}{2} k T } \ { E = \frac{1}{2} T } \
쿨롱의 법칙 F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
맥스웰 방정식\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho
\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \

5. 플랑크 규모

플랑크 규모는 양자 중력 효과가 중요해지는 영역을 나타낸다.

플랑크 길이는 양자 요동으로 인해 시공간 구조가 불확정해지는 거리 규모로 여겨진다. 1950년대부터 시공간 계량의 양자 요동이 플랑크 길이 아래에서 친숙한 거리 개념을 적용할 수 없게 만들 수 있다고 추측되어 왔다. 이것은 때때로 "시공간이 양자 거품이 된다"라고 표현된다.

플랑크 시간은 현재 물리학 이론으로는 설명할 수 없는 빅뱅 직후의 극히 짧은 시간 간격이다. 현재의 어떠한 물리 이론도 빅뱅 이후의 초기 사건과 같이 플랑크 시간보다 짧은 시간 규모를 설명할 수 없다.

플랑크 에너지는 입자 가속기로 도달하기 어려운 매우 높은 에너지 영역이다. 입자 물리학과 물리 우주론에서 플랑크 척도는 약 (플랑크 에너지) 부근의 에너지 척도이며, 이 척도에서 중력의 양자 효과가 중요해진다.

플랑크 온도는 현재 알려진 물리 법칙이 적용되지 않는 극한의 온도이다. TP보다 높은 온도를 설명할 수 있는 알려진 물리적 모델은 없다.

6. 중력과의 관계

플랑크 길이 척도에서 중력의 세기는 다른 힘과 비교할 수 있을 것으로 예상되며, 모든 기본 힘이 그 척도에서 통합된다는 이론이 있지만, 이 통합의 정확한 메커니즘은 여전히 알려지지 않고 있다. 따라서 플랑크 척도는 다른 기본 상호작용에서 양자 중력의 영향을 더 이상 무시할 수 없는 지점이며, 현재의 계산과 접근 방식이 무너지기 시작하고, 그 영향을 고려할 수단이 필요한 지점이다.

물리학자들은 양자 수준에서 다른 기본 힘의 상호작용에 대해 상당히 잘 이해하고 있지만, 중력은 문제가 있으며, 일반적인 양자장론의 틀을 사용하여 매우 높은 에너지에서 양자역학과 통합될 수 없다. 낮은 에너지 수준에서는 일반적으로 무시되지만, 플랑크 척도에 근접하거나 초과하는 에너지의 경우 양자 중력에 대한 새로운 이론이 필요하다. 이 문제에 대한 접근 방식에는 끈 이론, M-이론, 루프 양자 중력, 비가환 기하학, 인과 집합 이론 등이 있다.

7. 대체 정규화

플랑크 단위는 유일한 자연 단위계가 아니며, 다른 물리 상수를 정규화하여 다른 자연 단위계를 정의할 수 있다. 중력 상수 G 대신 $4\pi G$ 또는 $8\pi G$를 1로 정규화하는 방식도 제안되었으며, 이는 중력 관련 방정식들을 단순화하는 데 유용하다.

1899년 당시에는 뉴턴의 만유인력의 법칙이 정확한 법칙으로 여겨졌으나, 1915년 일반 상대성 이론이 개발되면서 근사적인 법칙임이 밝혀졌다. 1899년 이후의 이론에서는 G가 $4\pi$ 또는 그 정수배와 함께 나타나는 경우가 많다. 따라서 자연 단위계를 설계할 때, $4\pi G$를 정규화하여 제거할지 여부를 선택해야 한다.

* $4\pi G$를 1로 정규화하면 ($G = \frac{1}{4\pi}$):
* 가우스의 중력 법칙은 $\Phi_{\mathbf{g}} = -M$이 된다.
* 푸아송 방정식에서 $4\pi G$가 제거된다.
* 약한 중력장 또는 국소적으로 평평한 시공간에서 유효한 중력전자기학(GEM) 방정식에서 $4\pi G$가 제거된다. 이 방정식은 전자기학의 맥스웰 방정식 및 로렌츠 힘 방정식과 동일한 형식을 가지며, 질량 밀도가 전하 밀도를 대체하고, $\frac{1}{4\pi G}$가 $\epsilon_0$를 대체한다.
* 자유 공간에서 중력파의 특성 임피던스 $Z_\mathbf{g}$가 1로 정규화된다.
* 블랙홀의 엔트로피를 나타내는 Bekenstein–Hawking 공식에서 $4\pi G$가 제거되어, $S_{BH} = \pi A_{BH} = (m_{BH})^2$로 단순화된다.
* $8\pi G = 1$로 설정하면 ($G = \frac{1}{8\pi}$):
* 아인슈타인 장 방정식, 아인슈타인-힐베르트 작용, 중력에 대한 프리드만 방정식에서 $8\pi G$가 제거된다.
* $8\pi G = 1$로 수정된 플랑크 단위를 '축소된 플랑크 단위'라고 하며, 플랑크 질량이 $\sqrt{8\pi}$로 나누어진다.
* 블랙홀의 엔트로피에 대한 Bekenstein–Hawking 공식은 $S_{BH} = \frac{(m_{BH})^2}{2} = 2\pi A_{BH}$로 단순화된다.

8. 고에너지 물리학에서의 이용

고에너지 이론 물리학에서는 보통 빛의 속도(c)와 디랙 상수(ħ)를 1로 잡는 자연 단위계를 사용한다. 이때, 빛의 속도와 디랙 상수는 단위를 가지지 않는 1이라는 수로 간주된다.

이러한 자연 단위계 표기법에서 시간과 공간은 같은 단위로 측정될 수 있으며, 질량과 에너지 역시 마찬가지이다. 디랙 상수를 1로 간주하면, 시간은 에너지의 역수 차원을 갖게 되어, 시간 역시 에너지 단위의 역수로 표현할 수 있다.

고에너지 물리학에서는 주로 전자볼트(eV)를 에너지 단위로 사용하며, 빛의 속도, 디랙 상수, 볼츠만 상수를 1로 놓고, 질량, 시간, 공간, 온도를 모두 에너지 단위 또는 에너지 단위의 역수로 표현한다.

플랑크 단위계를 사용하면 아래 표와 같이 여러 물리학 방정식에서 변환 상수가 필요 없어져 식이 단순해지는 장점이 있어 이론 물리학에서 자주 사용된다.

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방정식 명칭일반적인 단위계플랑크 단위계
뉴턴의 만유인력의 법칙 F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} F = \frac{m_1 m_2}{r^2}
슈뢰딩거 방정식
각주파수{ \omega } \ 의
소립자나 광자가 갖는 에너지		{ E = \hbar \omega } \ { E = \omega } \
아인슈타인의
질량-에너지 등가 원리		{ E = m c^2} \ { E = m } \
아인슈타인 방정식{ G_{\mu \nu} = 8 \pi \cdot\frac{G}{c^4} T_{\mu \nu}} \ { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \
열의 운동 에너지{ E = \frac{1}{2} k T } \ { E = \frac{1}{2} T } \
쿨롱의 법칙 F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
맥스웰 방정식\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho
\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \

9. 한계 및 의의

플랑크 단위는 대부분의 경우 실용적으로 사용하기에는 너무 크거나 작지만, 이론 물리학에서는 중요한 기준점 역할을 한다. 플랑크 단위는 현재 물리학 이론의 한계를 보여주며, 양자 중력과 같은 새로운 이론의 필요성을 제시한다.

플랑크가 그의 단위를 제안했을 당시의 목표는 단일 단위를 측정하는 양에 특별한 의미를 부여하지 않고, 물체를 측정하는 보편적인 ("자연적인") 방법을 확립하는 것이었다. 1918년 아서 에딩턴은 플랑크 길이가 중력을 이해하는 데 특별한 의미를 가질 수 있다고 제안했지만, 큰 영향력을 얻지 못했다. 1950년대 레프 란다우와 오스카 클라인을 포함한 여러 저자들은 플랑크 규모 정도의 양이 양자장론의 타당성의 한계를 나타낸다고 주장했다. 존 아치볼드 휠러는 1955년에 시공간의 양자 요동이 플랑크 규모에서 중요해진다고 제안했지만, 당시 플랑크 단위 체계를 알지 못했다. 1959년 C. A. 미드는 플랑크 길이 정도의 거리를 측정하거나, 플랑크 시간 정도의 시간을 측정하는 것은 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리와 관련된 특별한 의미를 갖는다는 것을 보여주었다.