곡선의 길이

1. 개요

곡선의 길이는 곡선 상의 두 점 사이의 거리를 측정한 값이다. 유클리드 공간 또는 거리 공간에서 연속 함수로 표현될 수 있으며, 구간을 분할하여 다각형 경로로 근사할 수 있다. 곡선이 매끄러울 경우, 분할을 무한히 세분화하면 적분을 통해 호의 길이를 정의할 수 있다. 17세기에는 미적분학의 발달과 함께 호의 길이를 계산하는 방법이 발전했으며, 현대에는 적분을 이용하여 계산한다. 극좌표, 구면 좌표, 원통 좌표 등 다양한 좌표계에서 호의 길이를 계산하는 공식이 존재하며, 대부분의 경우 닫힌 형식으로 해를 구할 수 없어 수치 적분을 사용한다. 일부 곡선은 무한 길이를 가지며, 유사 리만 다양체로 일반화하여 정의할 수 있다.

2. 정의

평면의 곡선은 곡선상의 점들을 (직선) 선분으로 연결하여 다각형 경로를 생성하여 근사할 수 있다. 각 선분의 길이는 (예를 들어, 유클리드 공간에서 피타고라스 정리를 사용하여) 쉽게 계산할 수 있으므로 근사의 총 길이는 각 선분의 길이를 합산하여 구할 수 있으며, 이 근사는 (누적) 현 거리라고 알려져 있다.

곡선이 이미 다각형 경로가 아닌 경우, 점차 더 많은 수의 짧은 선분을 사용하면 곡선 길이를 더 잘 근사할 수 있다. 곡선을 연결된 (직선) 선분으로 근사하여 곡선 길이를 결정하는 것을 곡선의 교정이라고 한다. 연속적인 근사의 길이는 감소하지 않고 무한정 증가할 수 있지만, 매끄러운 곡선의 경우 선분의 길이가 임의로 작아지면 유한한 극한에 가까워진다.

일부 곡선의 경우, 모든 다각형 근사(교정)의 길이에 대한 상한인 가장 작은 수 $L$이 존재한다. 이러한 곡선을 가선이라고 하며, 호의 길이는 숫자 $L$로 정의된다.

부호 있는 호의 길이는 곡선에서 원점으로 간주되는 기준점에 대한 방향 또는 "방향" 감각을 전달하도록 정의할 수 있다(참고: 곡선 방향 및 부호 있는 거리).

$f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash R^n$을 단사이고 연속 미분 가능 (즉, 도함수가 연속 함수임) 함수라고 하자. $f$로 정의된 곡선의 길이는 세그먼트 수가 무한대에 가까워질 때 $[a,b]$의 정규 분할에 대한 선형 세그먼트 길이의 합의 극한으로 정의될 수 있다. 이는 다음을 의미한다.

$$L(f)\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash bigg|f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\backslash bigg|$$

여기서 $t\_i\; =\; a\; +\; i(b\; -\; a)/N\; =\; a\; +\; i\backslash Delta\; t$이고 $\backslash Delta\; t\; =\; \backslash frac\{b-a\}\{N\}\; =\; t\_i\; -\; t\_\{i-1\}$ ($i\; =\; 0,\; 1,\; \backslash dotsc,\; N$). 이 정의는 호의 표준 정의와 동등하다.

$$L(f)\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash bigg|f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\backslash bigg|\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left|\backslash frac\{f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\}\{\backslash Delta\; t\}\backslash right|\backslash Delta\; t\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash Big|f\text{'}(t)\backslash Big|\backslash \; dt.$$

마지막 등식은 다음 단계로 증명된다.

# 미적분학의 제2 기본 정리는 다음을 보여준다. $$f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\; =\; \backslash int\_\{t\_\{i-1\}\}^\{t\_i\}\; f\text{'}\; (t)\backslash \; dt\; =\; \backslash Delta\; t\; \backslash int\_0^1\; f\text{'}\; (t\_\{i-1\}\; +\; \backslash theta(t\_i\; -\; t\_\{i-1\}))\backslash \; d\backslash theta$$ 여기서 $t\; =\; t\_\{i-1\}\; +\; \backslash theta(t\_i\; -\; t\_\{i-1\})$는 $\backslash theta\; \backslash in\; [0,1]$에서 $[t\_\{i-1\},t\_i]$로 매핑되고 $dt\; =\; (t\_i\; -\; t\_\{i-1\})\; \backslash ,\; d\; \backslash theta\; =\; \backslash Delta\; t\; \backslash ,\; d\; \backslash theta$이다. 아래 단계에서 다음의 동등한 표현이 사용된다.$$$$
\frac{f(t_i) - f(t_{i-1})}{\Delta t} = \int_0^1 f' (t_{i-1} + \theta(t_i - t_{i-1}))\ d\theta.

# 함수 $\backslash left|f\text{'}\backslash right|$는 닫힌 구간 $[a,b]$에서 실수 집합으로의 연속 함수이므로, 하이네-칸토어 정리에 따라 균등 연속이므로, 양의 실수 $\backslash varepsilon$에 대한 양의 실수이자 단조 감소하지 않는 함수 $\backslash delta(\backslash varepsilon)$가 존재하여 이면 여기서 $\backslash Delta\; t\; =\; t\_i\; -\; t\_\{i-1\}$ 이고 $\backslash theta\; \backslash in\; [0,1]$이다. 다음 수식의 극한 $N\; \backslash to\; \backslash infty$를 고려해보자. $$$$
\sum_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i) - f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t - \sum_{i=1}^N \left|f'(t_i)\right|\Delta t.

위 단계의 결과를 사용하여, 다음이 된다.

$$$$
\sum_{i=1}^N \left|\int_0^1 f' (t_{i-1} + \theta(t_i - t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t - \sum_{i=1}^N \left|f'(t_i)\right|\Delta t.


항들을 재배열하면 다음이 된다.

$$\backslash begin\{align\}$$
& \Delta t \sum_{i=1}^N \left( \left|\int_0^1 f' (t_{i-1} + \theta(t_i - t_{i-1}))\ d\theta \right| - \int_0^1 \left|f'(t_i)\right| d\theta \right) \\
&\qquad \leqq \Delta t \sum_{i=1}^N \left( \int_0^1 \left| f' (t_{i-1} + \theta(t_i - t_{i-1})) \right| \ d\theta - \int_0^1 \left|f'(t_i)\right| d\theta \right) \\
&\qquad = \Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta
\end{align}

여기서 가장 왼쪽에 있는 $$
\left|f'(t_i)\right| = \int_0^1 \left|f'(t_i)\right| d \theta
가 사용된다. 에 의해, 다음이 된다.

$$$$
\Delta t \sum_{i=1}^N \left( \left|\int_0^1 f' (t_{i-1} + \theta(t_i - t_{i-1}))\ d\theta \right| - \left|f'(t_i)\right| \right) < \varepsilon N \Delta t


$\backslash left|f\text{'}(t\_i)\backslash right|\; =\; \backslash int\_0^1\; \backslash left|f\text{'}(t\_i)\backslash right|\; d\; \backslash theta$, $\backslash varepsilon\; N\; \backslash Delta\; t\; =\; \backslash varepsilon\; (b\; -\; a)$를 사용하여, 극한 $N\; \backslash to\; \backslash infty$에서 $\backslash delta(\backslash varepsilon)\; \backslash to\; 0$이므로 $\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0$이므로, 왼쪽이 $0$에 접근한다. 즉,
$$
\sum_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i) - f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t = \sum_{i=1}^N \left|f'(t_i)\right|\Delta t
이고, 이 등식의 오른쪽은 $\backslash left|f\text{'}(t)\backslash right|$에 대한 리만 적분이다. 이 호의 길이 정의는 연속 미분 가능한 함수 $f:\; [a,\; b]\; \backslash to\; \backslash R^n$로 표현된 곡선의 길이가 $[a,\; b]$에서 항상 유한하다는 것을 보여준다. 즉, 가장 길이를 잴 수 있다.

도함수의 노름의 적분으로 매끄러운 곡선의 호의 길이 정의는 다음 정의와 동등하다.

$$L(f)\; =\; \backslash sup\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash bigg|f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\backslash bigg|$$

여기서 상한은 $[a,\; b]$의 모든 가능한 분할 에 대해 취해진다. 이 정의는 $f$가 미분 가능하지 않고 단순히 연속적인 경우에도 유효하다.

곡선은 무한히 많은 방식으로 매개변수화될 수 있다. $\backslash varphi:\; [a,\; b]\; \backslash to\; [c,\; d]$를 임의의 연속 미분 가능한 전단사라고 하자. 그러면 $g\; =\; f\backslash circ\backslash varphi^\{-1\}:\; [c,\; d]\; \backslash to\; \backslash R^n$은 처음에 $f$로 정의된 곡선의 다른 연속 미분 가능한 매개변수화이다. 곡선의 호의 길이는 곡선을 정의하는 데 사용된 매개변수화에 관계없이 동일하다.

$$\backslash begin\{align\}$$
L(f) &= \int_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt = \int_a^b \Big|g'(\varphi(t))\varphi'(t)\Big|\ dt \\
&= \int_a^b \Big|g'(\varphi(t))\Big|\varphi'(t)\ dt \quad \text{경우 }\varphi\text{가 감소하지 않음} \\
&= \int_c^d \Big|g'(u)\Big|\ du \quad \text{치환 적분 사용}\\
&= L(g).
\end{align}

유클리드 공간이나 더 일반적인 거리 공간에서 곡선 는 실수 직선 내의 닫힌 구간 에서 거리 공간으로의 연속 사상 의 상이다.

구간 에 대한 구간의 분할
:
을 고려하면, 곡선 위에 유한 개의 점 를 취할 수 있다. 에서 까지의 거리를 각각 , 로 나타내면, 이것은 이 두 점을 잇는 선분의 길이이다.

곡선 의 호의 길이 는
:
로 주어진다. 단, 상한 은 구간 의 분할 개수 을 얼마든지 크게 하여 만들 수 있는 모든 분할에 걸쳐 취한다.

호의 길이 은 유한하거나 무한할 수 있는데, 이면 는 유한장(rectifiable^영어; 구장 가능), 즉 길이를 잴 수 있다고 하며, 그렇지 않으면 무한장(non-rectifiable^영어; 구장 불가능)이라고 한다. 이 호의 길이 정의에서, 는 미분가능 함수 로 정의될 필요는 없다. 사실, 일반적인 거리 공간에서 생각할 경우, 미분 가능성을 정의하는 것은 일반적으로 기대할 수 없다.

곡선은 다양한 방법으로 매개변수 표시될 수 있다. 따라서 곡선 가 정의 사상 외에 매개변수 표시 를 갖는 경우를 고려한다. 및 가 단사일 때, 연속 단조 사상 가 존재하여 가 성립하고, 역 사상 이 존재한다. 분명히, 임의의
: $\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{n\; -\; 1\}\; d(f(t\_i),\; f(t\_\{i+1\}))$
형태의 합은, 라고 하면,
: $\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{n\; -\; 1\}\; d(g(u\_i),\; g(u\_\{i+1\}))$
형태의 합과 같으며, 그 역도 마찬가지이다. 따라서 호의 길이는, 매개변수 선택에 의존하지 않는다는 의미에서, 곡선에 내재된 성질임을 알 수 있다.

곡선에 대한 이 호의 길이 정의는, 실수값 함수에 대한 전변동의 정의와 유사하다.

3. 역사

아르키메데스는 고갈법을 통해 곡선 아래 면적을 구하는 방법을 개척했다. 사람들은 곡선 안에 다각형을 새겨 넣어 변의 길이를 계산함으로써 곡선 길이의 근사값을 구했다. 더 많은 선분을 사용하고 각 선분의 길이를 줄이면 더 정확한 근사값을 얻을 수 있었다. 특히, 많은 변을 가진 다각형을 원에 새겨 넣어 π의 근사값을 구할 수 있었다.

17세기에는 소진법을 바탕으로 여러 초월 곡선의 길이를 구하는 기하학적 방법이 개발되었다. 1645년 에반젤리스타 토리첼리는 로그 나선의 길이를 구했고, 1658년 크리스토퍼 렌은 사이클로이드의 길이를, 1691년 고트프리트 라이프니츠는 현수선의 길이를 구했다.

1659년, 존 월리스는 윌리엄 네일이 반입방 포물선의 길이를 구하는 방법을 발견했다고 발표했다.

미적분학이 발전하기 전에, 헨드릭 판 호라트와 피에르 드 페르마는 호의 길이 결정 문제를 적분 문제로 변환하는 방법을 독립적으로 발견했다. 1659년 판 호라트는 호 길이 결정 문제를 곡선 아래 면적(즉, 적분) 결정 문제로 변환할 수 있음을 보여주는 구성을 발표했다. 그는 포물선 아래 면적을 구해야 하는 반입방 포물선의 호 길이를 결정했다. 1660년, 페르마는 De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (직선과 비교한 곡선에 대한 기하학적 논문)에서 동일한 결과를 포함하는 더 일반적인 이론을 발표했다.

페르마는 곡선의 길이를 구하기 위해, x = a 에서의 접선을 구하고, a를 작은 양만큼 증가시켜 곡선의 길이를 근사하는 방법을 사용했다. 그는 피타고라스 정리를 사용하여 짧은 선분의 길이를 구하고, 이 선분들을 합산하여 호의 길이를 근사했다.

3.1. 고대

대부분의 기간 동안 위대한 수학자들조차 불규칙한 호의 길이를 계산하는 것을 불가능하다고 생각했지만, 아르키메데스는 고갈법으로 곡선 아래 면적을 구하는 방법을 개척했다. 사람들은 곡선 안에 다각형을 새겨 넣어 변의 길이를 계산하여 길이의 근사값을 구했다. 더 많은 선분을 사용하고 각 선분의 길이를 줄임으로써 점점 더 정확한 근사값을 얻을 수 있었다. 특히, 많은 변을 가진 다각형을 원에 새겨 넣음으로써 π의 근사값을 구할 수 있었다.

3.2. 17세기

17세기에는 소진법을 바탕으로 여러 초월 곡선의 길이를 구하는 기하학적 방법이 개발되었다. 1645년 에반젤리스타 토리첼리는 로그 나선(일부 자료에서는 1650년대 존 월리스)의 길이를 구했고, 1658년 크리스토퍼 렌은 사이클로이드의 길이를, 1691년 고트프리트 라이프니츠는 현수선의 길이를 구했다.

1659년, 월리스는 윌리엄 네일이 반입방 포물선의 길이를 구하는 방법을 발견했다고 인정했다.

미적분학이 발전하기 전에, 헨드릭 판 호라트와 피에르 드 페르마는 호의 길이 결정 문제를 적분 문제로 변환하는 방법을 독립적으로 발견했다.

1659년, 판 호라트는 호 길이 결정 문제를 곡선 아래 면적(즉, 적분) 결정 문제로 변환할 수 있음을 보여주는 구성을 발표했다. 그는 포물선 아래 면적을 구해야 하는 반입방 포물선의 호 길이를 결정했다. 1660년, 페르마는 De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (직선과 비교한 곡선에 대한 기하학적 논문)에서 동일한 결과를 포함하는 더 일반적인 이론을 발표했다.

페르마는 다음 곡선을 사용했다.

:$y\; =\; x^\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash ,$

이 곡선의 x = a에서의 접선은 기울기가

:$\{3\; \backslash over\; 2\}\; a^\backslash frac\{1\}\{2\}$

이므로 접선은 다음 방정식을 갖는다.

:$y\; =\; \{3\; \backslash over\; 2\}\; a^\backslash frac\{1\}\{2\}(x\; -\; a)\; +\; f(a).$

다음으로, 그는 a를 작은 양인 a + ε로 증가시켜 세그먼트 AC가 A에서 D까지의 곡선 길이에 대한 비교적 좋은 근사치를 만들었다. 세그먼트 AC의 길이를 구하기 위해 그는 피타고라스 정리를 사용했다.

:$\backslash begin\{align\}$
AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\
&= \varepsilon^2 + {9 \over 4} a \varepsilon^2 \\
&= \varepsilon^2 \left(1 + {9 \over 4} a\right)
\end{align}

이것을 풀면

:$AC\; =\; \backslash varepsilon\; \backslash sqrt\{1\; +\; \{9\; \backslash over\; 4\}\; a\; \backslash ,\}.$

호 길이를 근사하기 위해, 페르마는 짧은 세그먼트들의 시퀀스를 합산했다.

4. 적분을 이용한 호의 길이 계산

평면의 곡선은 곡선상의 점들을 (직선) 선분으로 연결하여 다각형 경로를 생성하여 근사할 수 있다. 각 선분의 길이는 (예를 들어, 유클리드 공간에서 피타고라스 정리를 사용하여) 쉽게 계산할 수 있으므로, 근사의 총 길이는 각 선분의 길이를 합산하여 구할 수 있다. 이 근사는 (누적) 현 거리라고 알려져 있다.

곡선이 이미 다각형 경로가 아닌 경우, 점차 더 많은 수의 짧은 선분을 사용하면 곡선 길이를 더 잘 근사할 수 있다. 곡선을 연결된 (직선) 선분으로 근사하여 곡선 길이를 결정하는 것을 곡선의 교정이라고 한다. 연속적인 근사의 길이는 감소하지 않고 무한정 증가할 수 있지만, 매끄러운 곡선의 경우 선분의 길이가 임의로 작아지면 유한한 극한에 가까워진다.

일부 곡선의 경우, 모든 다각형 근사(교정)의 길이에 대한 상한인 가장 작은 수 $L$이 존재한다. 이러한 곡선을 잴 수 있는 곡선이라고 하며, 호의 길이는 숫자 $L$로 정의된다.

$f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash R^n$을 단사이고 연속 미분 가능 (즉, 도함수가 연속 함수) 함수라고 하자. $f$로 정의된 곡선의 길이는 세그먼트 수가 무한대에 가까워질 때 $[a,b]$의 정규 분할에 대한 선형 세그먼트 길이의 합의 극한으로 정의될 수 있다. 이는 다음을 의미한다.

:$$L(f)\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash bigg|f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\backslash bigg|$$

여기서 $t\_i\; =\; a\; +\; i(b\; -\; a)/N\; =\; a\; +\; i\backslash Delta\; t$이고 $\backslash Delta\; t\; =\; \backslash frac\{b-a\}\{N\}\; =\; t\_i\; -\; t\_\{i-1\}$ for $i\; =\; 0,\; 1,\; \backslash dotsc,\; N.$ 이 정의는 호의 표준 정의와 동등하다.

:$$L(f)\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash bigg|f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\backslash bigg|\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left|\backslash frac\{f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\}\{\backslash Delta\; t\}\backslash right|\backslash Delta\; t\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash Big|f\text{'}(t)\backslash Big|\backslash \; dt.$$

연속 미분 가능한 함수 $f:\; [a,\; b]\; \backslash to\; \backslash R^n$로 표현된 곡선의 길이는 $[a,\; b]$에서 항상 유한하다.

도함수의 노름의 적분으로 매끄러운 곡선의 호의 길이 정의는 다음 정의와 동등하다.

:$$L(f)\; =\; \backslash sup\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash bigg|f(t\_i)\; -\; f(t\_\{i-1\})\backslash bigg|$$

여기서 상한은 $[a,\; b]$의 모든 가능한 분할 에 대해 취해진다. 이 정의는 $f$가 미분 가능하지 않고 단순히 연속적인 경우에도 유효하다.

곡선은 무한히 많은 방식으로 매개변수화될 수 있다. $\backslash varphi:\; [a,\; b]\; \backslash to\; [c,\; d]$를 임의의 연속 미분 가능한 전단사라고 하자. 그러면 $g\; =\; f\backslash circ\backslash varphi^\{-1\}:\; [c,\; d]\; \backslash to\; \backslash R^n$은 처음에 $f$로 정의된 곡선의 다른 연속 미분 가능한 매개변수화이다. 곡선의 호의 길이는 곡선을 정의하는 데 사용된 매개변수화에 관계없이 동일하다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
L(f) &= \int_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt = \int_a^b \Big|g'(\varphi(t))\varphi'(t)\Big|\ dt \\
&= \int_a^b \Big|g'(\varphi(t))\Big|\varphi'(t)\ dt \quad \text{경우 }\varphi\text{가 감소하지 않음} \\
&= \int_c^d \Big|g'(u)\Big|\ du \quad \text{치환 적분 사용}\\
&= L(g).
\end{align}

$\backslash R^2$에서 평면 곡선이 $y\; =\; f(x)$ 방정식으로 정의되고, 여기서 $f$가 연속 미분 가능하면, 이는 $x\; =\; t$ 및 $y\; =\; f(t)$인 매개변수 방정식의 특별한 경우이다. 각 무한소 호 세그먼트의 유클리드 거리는 다음과 같다.

:$$\backslash sqrt\{dx^2\; +\; dy^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; \backslash left(\backslash frac\{dy\}\{dx\}\backslash right)^2\; \backslash ,\}dx.$$

호의 길이는 다음과 같다.

:$$s=\backslash int\_a^b\; \backslash sqrt\{1\; +\; \backslash left(\backslash frac\{dy\}\{dx\}\backslash right)^2\; \backslash ,\}dx.$$

호의 길이에 대한 폐쇄 형식의 해가 있는 곡선에는 현수선, 원, 사이클로이드, 로그 나선, 포물선, 절반 입방 포물선 및 직선이 포함된다. 타원 및 쌍곡선 호의 길이에 대한 폐쇄 형식 해가 없다는 것은 타원 적분의 개발로 이어졌다.

4.1. 수치 적분

대부분의 경우, 단순한 곡선을 포함하여 호의 길이에 대한 폐쇄형 해가 없으므로 수치 적분이 필요하다. 호 길이 적분의 수치 적분은 대개 매우 효율적이다. 예를 들어, 호 길이 적분을 수치 적분하여 단위 원의 1/4 길이를 구하는 문제를 고려해 보자. 단위 원의 윗부분은 $y\; =\; \backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}.$로 매개변수화할 수 있다. 구간 $x\; \backslash in\; \backslash left[-\backslash sqrt\{2\}/2,\; \backslash sqrt\{2\}/2\backslash right]$는 원의 1/4에 해당한다. $dy/dx\; =\; -x\; \backslash big/\; \backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}$이고 $1\; +\; (dy/dx)^2\; =\; 1\backslash big/\backslash left(1\; -\; x^2\backslash right),$이므로, 단위 원의 1/4 길이는 다음과 같다.

:$$\backslash int\_\{-\backslash sqrt\{2\}/2\}^\{\backslash sqrt\{2\}/2\}\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}\}\backslash ,\; .$$

이 적분에 대한 15점 가우스-크론로드 규칙 추정값은 1.570796326808177이고, 실제 길이

:$$\backslash arcsin\; x\backslash bigg|^\{\backslash sqrt\{2\}/2\}\_\{-\backslash sqrt\{2\}/2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$$

와 1.3e-11만큼 차이가 나고, 16점 가우스 구적법 규칙 추정값 1.570796326794727은 실제 길이와 1.7e-13만큼 차이가 난다. 즉, 16번의 피적분 함수 계산만으로 이 적분을 거의 머신 엡실론에 가깝게 계산할 수 있다.

4.2. 다양한 좌표계에서의 호의 길이

극좌표, 구면 좌표, 원통 좌표 등 다양한 좌표계에서 곡선의 길이를 구하는 방법을 살펴본다.

극좌표는 평면 위의 점을 거리와 각도로 나타내는 좌표계이며, 구면 좌표는 3차원 공간에서 점을 거리, 극각, 방위각으로 나타내는 좌표계이다. 원통 좌표는 3차원 공간에서 점을 거리, 각도, 높이로 나타내는 좌표계이다. 이러한 좌표계들에서 곡선의 길이는 각각 다르게 표현된다.

4.2.1. 극좌표

극좌표로 표현된 곡선 C'(t) = (r(t), θ(t))가 주어졌다고 가정한다. 극좌표에서 직교 좌표로 변환하는 공식은 다음과 같다.

x'(r, θ) = (rcos^영어θ, rsin^영어θ).

호의 길이 적분식의 피적분 함수는 $\backslash left|\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\backslash circ\backslash mathbf\{C\}\backslash right)\text{'}(t)\backslash right|$이다. 벡터장의 연쇄 법칙에 따르면 $D(\backslash mathbf\{x\}\; \backslash circ\; \backslash mathbf\{C\})\; =\; \backslash mathbf\{x\}\_r\; r\text{'}\; +\; \backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\; \backslash theta\text{'}.$이므로, 호의 길이 적분식의 제곱된 피적분 함수는 다음과 같다.

$\backslash left(\backslash mathbf\{x\_r\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\_r\}\backslash right)\backslash left(r\text{'}\backslash right)^2\; +\; 2\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_r\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\backslash right)r\text{'}\backslash theta\text{'}\; +\; \backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\backslash right)\backslash left(\backslash theta\text{'}\backslash right)^2\; =\; \backslash left(r\text{'}\backslash right)^2\; +\; r^2\backslash left(\backslash theta\text{'}\backslash right)^2.$

따라서 극좌표로 표현된 곡선의 호의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash right)^2\; +\; r^2\backslash left(\backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}\backslash right)^2\; \backslash ,\}\; dt\; =$
\int_{\theta(t_1)}^{\theta(t_2)} \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2 \,} d\theta.

두 번째 식은 t=θ로 매개변수화된 극좌표 그래프 r = r(θ)에 대한 식이다.

4.2.2. 구면 좌표

$\backslash mathbf\{C\}(t)\; =\; (r(t),\; \backslash theta(t),\; \backslash phi(t))$를 $\backslash theta$가 양의 $z$축에서 측정된 극각이고 $\backslash phi$가 방위각인 구면 좌표로 표현된 곡선이라고 하자. 구면 좌표에서 직교 좌표로 변환하는 매핑은 다음과 같다.

:$$\backslash mathbf\{x\}(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; (r\; \backslash sin\backslash theta\; \backslash cos\backslash phi,\; r\backslash sin\backslash theta\; \backslash sin\backslash phi,\; r\backslash cos\backslash theta).$$

연쇄 법칙을 사용하면 $D(\backslash mathbf\{x\}\backslash circ\backslash mathbf\{C\})\; =\; \backslash mathbf\{x\}\_r\; r\text{'}\; +\; \backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\backslash theta\text{'}\; +\; \backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash phi\}\backslash phi\text{'}.$임을 알 수 있다. $i$와 $j$가 다른 모든 점곱 $\backslash mathbf\{x\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\_j$는 0이므로, 이 벡터의 제곱된 노름은 다음과 같다.

:$$\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_r\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\_r\backslash right)\backslash left(r\text{'}^2\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash theta\}\backslash right)\backslash left(\backslash theta\text{'}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash phi\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\_\{\backslash phi\}\backslash right)\backslash left(\backslash phi\text{'}\backslash right)^2\; =\; \backslash left(r\text{'}\backslash right)^2\; +\; r^2\backslash left(\backslash theta\text{'}\backslash right)^2\; +\; r^2\; \backslash sin^2\backslash theta\; \backslash left(\backslash phi\text{'}\backslash right)^2.$$

따라서 구면 좌표로 표현된 곡선의 호의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$$\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash right)^2\; +\; r^2\backslash left(\backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}\backslash right)^2\; +\; r^2\backslash sin^2\backslash theta\; \backslash left(\backslash frac\{d\backslash phi\}\{dt\}\backslash right)^2\; \backslash ,\}\; dt.$$

4.2.3. 원통 좌표

원통 좌표로 표현된 곡선의 호의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash right)^2\; +\; r^2\backslash left(\backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac\{dz\}\{dt\}\backslash right)^2\; \backslash ,\}\; dt.$

5. 간단한 경우

원의 반지름을 r이라고 할 때, 원주의 길이는 \(C = 2\pi r\)로 표현된다. 반원의 경우 호의 길이는 \(s = \pi r\)이다. 중심각 \(\theta\)가 라디안이면 \(s = r\theta\)로 간단히 나타낼 수 있다. 현수선, 사이클로이드, 로그 나선, 포물선, 반입방 포물선 등은 닫힌 형태로 호의 길이를 표현할 수 있다. 반면 타원과 쌍곡선의 호의 길이는 닫힌 형태로 표현할 수 없어 타원 적분으로 나타낸다.

5.1. 원호

호의 길이는 라틴어로 길이(또는 크기)를 뜻하는 단어 spatium이기 때문에 s로 표기한다.

다음에서 $r$은 원의 반지름, $d$는 지름, $C$는 원주, $s$는 원의 호의 길이, $\backslash theta$는 호가 원의 중심에서 이루는 각도를 나타낸다. 거리 $r,\; d,\; C,$ 및 $s$는 동일한 단위로 표현된다.

* $C\; =\; 2\backslash pi\; r,$는 $C\; =\; \backslash pi\; d.$와 같다. 이 방정식은 $\backslash pi.$의 정의이다.
* 호가 반원인 경우 $s\; =\; \backslash pi\; r.$이다.
* 임의의 원형 호의 경우:
* $\backslash theta$가 라디안인 경우 $s\; =\; r\backslash theta.$이다. 이는 라디안의 정의이다.
* $\backslash theta$가 도인 경우 $s\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; r\; \backslash theta\}\{180^\backslash circ\},$는 $s\; =\; \backslash frac\{C\; \backslash theta\}\{360^\backslash circ\}.$와 같다.
* $\backslash theta$가 그라드인 경우(100 그라드, 또는 등급, 또는 그래디언트는 한 직각) $s\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; r\; \backslash theta\}\{200\backslash text\{\; grad\}\},$는 $s\; =\; \backslash frac\{C\backslash theta\}\{400\backslash text\{\; grad\}\}.$와 같다.
* $\backslash theta$가 회전인 경우(한 회전은 완전한 회전 또는 360°, 또는 400 그라드, 또는 $2\backslash pi$ 라디안) $s\; =\; C\backslash theta/1\backslash text\{\; turn\}$이다.

6. 무한 길이 곡선

이미 언급했듯이, 일부 곡선은 꺾은선 근사의 길이에 상계가 없어 길이를 얼마든지 크게 할 수 있다. 이러한 곡선은 길이가 무한하다고 표현한다. 곡선 위의 임의의 호(적어도 두 점 이상을 포함하는)가 무한 길이를 갖는 연속 곡선이 존재한다. 그러한 곡선의 예시로는 코흐 곡선과 0을 한쪽 끝으로 하는 임의의 열린 구간에서 f(x) = x \cdot \sin(1/x) 이고 f(0) = 0으로 정의되는 함수의 그래프 등이 있다. 이러한 무한 길이 곡선의 크기를 측정하기 위해 하우스도르프 차원이나 Hausdorff measure^영어가 사용되기도 한다.

7. (유사-) 리만 다양체로의 일반화

M^영어을 유사 리만 다양체, g^영어를 (유사-) 계량 텐서라고 하고, γ:[0,1]→M^영어을 M^영어의 곡선으로, n^영어개의 매개변수 방정식으로 정의하면 다음과 같다.

:$\backslash gamma(t)=[\backslash gamma^1(t),\; \backslash dots,\; \backslash gamma^n(t)],\backslash quad\; t\backslash in\; [\; 0,1]$

:$\backslash gamma(0)\; =\; \backslash mathbf\; x,\; \backslash ,\backslash ,\backslash gamma(1)\; =\; \backslash mathbf\; y$

γ^영어의 길이는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash ell(\backslash gamma)\; =\; \backslash int\backslash limits\_0^1\; ||\backslash gamma\text{'}(t)||\_\{\backslash gamma(t)\}\; dt$

또는 국소 좌표 x^영어를 선택하면 다음과 같다.

:$\backslash ell(\backslash gamma)\; =\; \backslash int\backslash limits\_0^1\; \backslash sqrt\{\backslash pm\; \backslash sum\_\{i,j=1\}^n\; g\_\{ij\}(x(\backslash gamma(t)))\backslash frac\{dx^i(\backslash gamma(t))\}\{dt\}\backslash frac\{dx^j(\backslash gamma(t))\}\{dt\}\}dt$

여기서 $\backslash gamma\text{'}(t)\; \backslash in\; T\_\{\backslash gamma(t)\}\; M$는 t^영어에서 γ^영어의 접선 벡터이다. 제곱근의 부호는 주어진 곡선에 대해 제곱근이 실수인지 확인하기 위해 한 번 선택된다. 시공간 곡선에 대해 양의 부호가 선택되고, 유사-리만 다양체에서는 시간꼴 곡선에 대해 음의 부호가 선택될 수 있다. 따라서 곡선의 길이는 음이 아닌 실수이다. 일반적으로 일부는 공간꼴이고 일부는 시간꼴인 곡선은 고려되지 않는다.

상대성 이론에서 시간꼴 곡선(세계선)의 호의 길이는 세계선을 따라 경과된 고유 시간이며, 공간꼴 곡선의 호의 길이는 곡선을 따른 고유 거리이다.