호프 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 역사와 어원
5. 응용
참조

1. 개요

호프 대수는 가환환 R을 계수로 갖는 대수 구조로, 곱셈, 단위원, 쌍대곱셈, 쌍대단위원, 앤티포드라는 연산을 갖는다. 이들은 특정 공리들을 만족하며, 대수 구조와 쌍대대수 구조가 호환되어 이중대수를 이룬다. 호프 대수는 자기 쌍대적이며, 앤티포드는 호프 대수의 중요한 특징 중 하나이다. 호프 대수는 부분 호프 대수, 호프 정환과 같은 관련 개념을 가지며, 군형 원소와 원시 원소와 같은 특수한 원소를 포함한다.

호프 대수는 1941년 하인츠 호프에 의해 콤팩트 리 군의 코호몰로지 계산을 위해 도입되었으며, 이론 물리학과 표현론 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 양자군은 호프 대수의 변형으로, 비가환 기하학에서 중요한 역할을 한다.

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호프 대수
개요
'3차원 호프 올뭉치(Hopf fibration). 원은 원과 선을 따라 투영된다.'
분야	추상대수학
정의
유형	대수 구조
정의	'대수, 쌍대수, 호환 조건을 만족하는 사상(코곱, counit) 및 antipode를 갖춘 모듈'
연산
곱	결합적
단위	존재
쌍곱	쌍결합적
쌍단위	존재
antipode	존재
성질
결합 법칙	만족
교환 법칙	충족될 수도, 그렇지 않을 수도 있음
관련 구조
관련 구조	군, 환, 대수, 쌍대수, 리 대수
하위 구조
하위 구조	양자군

2. 정의

''R''가 단위원을 가진 가환환이라고 하자. ''R''-계수를 가진 호프 대수 ''H''는 다음과 같은 구조를 갖는다.

(곱셈) $\nabla\colon H\otimes H\to H$
(단위원) $\eta\colon R\to H$
(쌍대곱셈) $\Delta\colon H\to H\otimes H$
(쌍대단위원) $\epsilon\colon H\to R$
(앤티포드) $S\colon H\to H$

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. (

a,b,c\in H

,

r\in R

)

$H$ 는 $R$ 에 대한 가군이고, $\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,S$ 모두 ''R''-선형 변환이다.
$(H,\nabla,\eta)$ 는 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉,
(결합법칙) $\nabla\circ(\operatorname{id}\otimes\nabla)=\nabla\circ(\nabla\otimes\operatorname{id})$
(단위원의 존재) $\nabla\circ(\operatorname{id}\otimes\eta)=\nabla\circ(\eta\otimes\operatorname{id})=\operatorname{id}$
$(H,\Delta,\epsilon)$ 은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
(쌍대결합법칙) $(\operatorname{id}\otimes\Delta)\circ\Delta=(\Delta\otimes\operatorname{id})\circ\Delta$
(쌍대단위원의 존재) $(\operatorname{id}\otimes\epsilon)\circ\Delta=(\epsilon\otimes\operatorname{id})\circ\Delta=\operatorname{id}$
대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, ''H''는 이중대수를 이룬다. 즉,
(곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) $\Delta\circ\nabla=(\nabla\otimes\nabla)\circ(\operatorname{id}\otimes\tau\otimes\operatorname{id})\circ(\Delta\otimes\Delta)$ . 여기서 $\tau\colon a\otimes b\to b\otimes a$ 이다.
(곱셈과 쌍대단위원의 호환성) $\epsilon\otimes\epsilon=\epsilon\circ\nabla$
(쌍대곱셈과 단위원의 호환성) $\eta\otimes\eta=\Delta\circ\eta$
(단위원과 쌍대단위원의 호환성) $\epsilon\circ\eta=\operatorname{id}$
(앤티포드) $\nabla\circ(S\otimes\operatorname{id})\circ\Delta=\eta\circ\epsilon=\nabla\circ(\operatorname{id}\otimes S)\circ\Delta$

마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림으로 나타낼 수 있다.

형식적으로, 호프 대수는 체 ''K''에 대한 (결합적이고 공결합적인) 쌍대대수 ''H''를 ''K''-선형 사상]] ''S'': ''H'' → ''H''(앤티포드)를 갖는것으로 정의한다.

스위들러 표기법에서 이 속성은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon(c)1\qquad\mbox{ for all }c\in H.

대수와 마찬가지로, 위의 정의에서 밑에 있는 체 ''K''를 가환환 ''R''로 대체할 수 있다.^[4]

호프 대수의 정의는 자기 쌍대적이다. 따라서 ''H''의 쌍대를 정의할 수 있다면(''H''가 유한 차원인 경우 항상 가능), 자동으로 호프 대수가 된다.^[5]

2. 1. 구조 상수

기저 벡터 공간의 기저

\{e_k\}

를 고정하면, 곱셈, 쌍대곱셈, 앤티포드(대합 사상)에 대한 구조 상수를 사용하여 호프 대수를 정의할 수 있다.

곱셈:

::

e_i\nabla e_j = \sum_k \mu^k_{\;ij} e_k

쌍대곱셈:

::

\Delta e_i = \sum_{j,k} \nu^{\;jk}_i e_j\otimes e_k

앤티포드 (대합 사상):

::

S e_i = \sum_j \tau_i^{\;j} e_j

이 구조 상수들은 다음과 같은 관계식을 만족시켜야 한다.

결합 법칙:

::

\mu^k_{\;ij}\mu^m_{\;kn}=\mu^k_{\;jn}\mu^m_{\;ik}

쌍대결합법칙:

::

\nu_k^{\;ij}\nu_i^{\;mn}=\nu_k^{\;mi}\nu_i^{\;nj}

앤티포드 관련 조건 (위 다이어그램의 가환성):

::

\nu_k^{\;ij}\tau_j^{\;m}\mu^n_{\;im}=\nu_k^{\;jm}\tau_j^{\,\;i}\mu^n_{\;im}

2. 2. 앤티포드의 성질

앤티포드 ''S''는 ''K''-선형 역사상을 갖는 경우가 많은데, 이는 유한 차원인 경우,^[6] 또는 ''H''가 가환적 또는 공가환적인 경우 (또는 더 일반적으로 준삼각) 자동으로 성립한다.

일반적으로 ''S''는 반준동형사상이므로,^[6] ''S''²는 준동형사상이며, 따라서 ''S''가 가역적이면 자기동형사상이 된다.

만약 ''S''² = id_''H''이면, 호프 대수는 '''대합적'''이라고 한다(그리고 그에 따른 가환적 대수는 *-대수이다). 만약 ''H''가 표수가 0인 체 위의 유한 차원 반단순, 가환적 또는 공가환적이면 대합적이다.

쌍대대수 ''B''가 앤티포드 ''S''를 허용하면, ''S''는 유일하다("쌍대대수는 최대 1개의 호프 대수 구조를 허용한다").^[7] 따라서 앤티포드는 우리가 선택할 수 있는 추가적인 구조를 제시하지 않는다. 호프 대수가 된다는 것은 쌍대대수의 속성이다.

앤티포드는 군에서 ''g''를 ''g''⁻¹로 보내는 역 사상과 유사하다.^[8]

2. 3. 부분 호프 대수

호프 대수 ''H''의 부분 대수 ''A''가 호프 부분 대수가 되려면 ''H''의 부분 쌍대대수이고, 앤티포드 ''S''가 ''A''를 ''A''로 사상해야 한다.^[9] 다시 말해, 호프 부분 대수 ''A''는 ''H''의 곱셈, 코곱셈, 코단위, 앤티포드가 ''A''로 제한될 때 자체적으로 호프 대수가 되는 것이며, ''H''의 항등원 1이 ''A''에 포함되어야 한다.

워렌 니콜스와 베티나 죌러의 니콜스-죌러 자유 정리(Nichols–Zoeller freeness theorem)는 ''H''가 유한 차원일 경우, 자연스러운 ''A''-모듈 ''H''가 유한 계수를 갖는 자유 모듈임을 보여준다. 이는 부분군에 대한 라그랑주 정리의 일반화이다.^[9] 이 정리와 적분 이론의 결과로, 반단순 유한 차원 호프 대수의 호프 부분 대수는 자동적으로 반단순이 된다.

호프 부분 대수 ''A''가 호프 대수 ''H''에서 오른쪽 정규라는 것은 모든 ''h''∈''H''에 대해 ''ad_r''(''h'')(''A'') ⊆ ''A''의 안정성 조건을 만족하는 경우이다. 여기서 오른쪽 수반 사상 ''ad_r''는 모든 ''a''∈''A'', ''h''∈''H''에 대해 ''ad_r''(''h'')(''a'') = ''S''(''h''₍₁₎)''ah''₍₂₎로 정의된다. 호프 부분 대수 ''A''가 ''H''에서 왼쪽 정규라는 것은 ''ad_l''(''h'')(''a'') = ''h''₍₁₎''aS''(''h''₍₂₎)로 정의되는 왼쪽 수반 사상에 대해 안정적일 경우이다. 앤티포드 ''S''가 전단사일 경우, 두 정규성 조건은 동치이며, 이 경우 ''A''는 정규 호프 부분 대수라고 한다.

''H''에서 정규 호프 부분 대수 ''A''는 ''HA''⁺ = ''A''⁺''H'' 조건을 만족한다(여기서 ''A''⁺는 ''A''의 코단위의 커널을 나타낸다). 이 정규성 조건은 ''HA''⁺가 ''H''의 호프 아이디얼(코단위의 커널 내의 대수 아이디얼, 코대수 코아이디얼이며 앤티포드에 대해 안정적)임을 의미한다. 결과적으로 몫 호프 대수 ''H''/''HA''⁺와 에피모피즘 ''H'' → ''H''/''A''⁺''H''가 존재하며, 이는 군론에서 정규 부분군과 몫군의 이론과 유사하다.^[10]

2. 4. 호프 정환

'''호프 정환'''(Hopf order^영어)은 분수체 ''K''를 갖는 정역 ''R'' 위의 정역이며, ''K'' 위의 호프 대수 ''H''에서 대수와 쌍대대수 연산에 닫혀 있는 정역이다.^[35] 특히, 여곱 Δ는 ''O''를 ''O''⊗''O''로 보낸다.^[35]

2. 5. 군형 원소와 원시 원소

'''군형 원소'''는 Δ(''x'') = ''x''⊗''x''를 만족하는 0이 아닌 원소 ''x''이다. 군형 원소들은 반대자를 역원으로 하는 군을 이룬다.^[12] '''원시 원소''' ''x''는 Δ(''x'') = ''x''⊗1 + 1⊗''x''를 만족한다.^[13]^[14]

군의 원이란 영이 아닌 원소 로서 를 만족하는 것이다. 군의 원들은 대합 사상에 의해 주어진 역원을 갖는 군을 이룬다.^[36] '''원시 원소''' 는 를 만족한다.^[37]^[38]

3. 예시

다음은 호프 대수의 몇 가지 예시이다.

조건	쌍대곱	쌍대단위원	앤티포드
$G$ 는 임의의 군	Δ(g) = g ⊗ g	ε(g) = 1	S(g) = g⁻¹
V는 임의의 벡터 공간	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ V)	ε(x) = 0	S(x) = −x (x ∈ V)
$\mathfrak g$ 는 리 대수	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ $\mathfrak g$ )	ε(x) = 0	S(x) = −x

의존 대상	공곱셈	코단위	반대원	가환	코가환	비고
군 G	Δ(g) = g ⊗ g (G의 모든 g에 대해)	ε(g) = 1 (G의 모든 g에 대해)	S(g) = g⁻¹ (G의 모든 g에 대해)	G가 아벨 군일 경우에만 해당	예	군 대수 KG
유한 군 G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1_G)	S(f)(x) = f(x⁻¹)	예	G가 아벨 군일 경우에만 해당	유한 군에서 K로 가는 함수, K^G (점별 덧셈 및 곱셈 포함)
콤팩트 군 G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1_G)	S(f)(x) = f(x⁻¹)	예	G가 아벨 군일 경우에만 해당	콤팩트 군에서의 대표 함수, 반대로, 유한 하르 적분을 가진 C 상의 모든 가환적이며 가역적인 축소된 호프 대수는 이러한 방식으로 발생하며, 이는 Tannaka–Krein 쌍대성의 한 가지 공식을 제공한다.^[15]
Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1_G)	S(f)(x) = f(x⁻¹)	예	G가 아벨 군일 경우에만 해당	대수적 군 상의 정칙 함수, 반대로, 체 위의 모든 가환 호프 대수는 이러한 방식으로 군 스킴에서 발생하며, 이는 범주의 반동치를 제공한다.^[16]
벡터 공간 V	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x in V, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(x) = 0	S(x) = −x (T¹(V)의 모든 x에 대해) (그리고 더 높은 텐서 거듭제곱으로 확장)	dim(V)=0,1일 경우에만 해당	예	텐서 대수 T(V), 대칭 대수 및 외대수 (텐서 대수의 몫)도 공곱셈, 코단위 및 반대원의 이러한 정의를 가진 호프 대수입니다.
리 대수 g	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (g의 모든 x에 대해) (이 규칙은 교환자와 호환되므로 모든 U로 고유하게 확장될 수 있음)	ε(x) = 0 (g의 모든 x에 대해) (다시, U로 확장)	S(x) = −x	g가 아벨 군일 경우에만 해당	예	보편 포락 대수 U(g)
K는 표수가 2가 아닌 체	Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(c) = 1 및 ε(x) = 0	S(c) = c⁻¹ = c 및 S(x) = −cx	아니요	아니요	스위들러 호프 대수 H=K[c, x]/c² = 1, x² = 0 and xc = −cx. 기본 벡터 공간은 {1, c, x, cx''}에 의해 생성되므로 차원이 4입니다. 이것은 비가환적이고 비코가환적인 호프 대수의 가장 작은 예입니다.
	완전 동차 대칭 함수 h_k (k ≥ 1)의 관점에서:	ε(h_k) = 0	S(h_k) = (−1)^k e_k	예	예	대칭 함수 환^[17]

유한 군의 함수는 군환과 동일시될 수 있지만, 이는 더 자연스럽게 쌍대적으로 생각된다. 군환은 요소의 ''유한'' 합으로 구성되므로, 합산된 요소에 대한 함수를 평가하여 군의 함수와 쌍을 이룬다.

4. 역사와 어원

하인츠 호프의 이름을 땄다.

호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.^[56] 리 군(Lie group) $G$ 의 코호몰로지 대수(체 $K$ 위에서)는 호프 대수이다. 곱셈은 컵 곱에 의해 주어지고, 코곱셈

: $H^*(G,K) \rightarrow H^*(G\times G,K) \cong H^*(G,K)\otimes H^*(G,K)$

는 군 곱셈 $G\times G\to G$ 에 의해 주어진다. 이 관찰은 사실 호프 대수 개념의 시초가 되었다. 이 구조를 사용하여 호프는 리 군의 코호몰로지 대수에 대한 구조 정리를 증명했다.

'''정리 (호프)'''^[18] 표수가 0인 체 위의 유한 차원, 등급 가환, 등급 코가환 호프 대수 $A$ 가 주어졌을 때, $A$ (대수로서)는 홀수 차수의 생성원들을 갖는 자유 외대수이다.

5. 응용

호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위해 사용된다.^[54]^[55]

리 군의 코호몰로지 대수는 호프 대수이다. 곱셈은 컵 곱으로 주어지고, 여곱은 군 곱셈에 의해 주어진다. 이러한 관찰은 호프 대수 개념의 시초가 되었다.

양자군과 비가환 기하학에서 호프 대수의 변형을 통해 "양자화된" 대수군을 다룬다. 이는 가환적이지도, 코가환적이지도 않은 호프 대수의 "변형" 또는 "양자화"이다.

표현론에서 호프 대수의 가군 M, N에 대해, M⊗N, K (자명 표현), M^* (쌍대 표현)도 호프 대수의 가군이 된다. Δ, ε, 그리고 ''S'' 사이의 관계는 벡터 공간의 특정 자연스러운 준동형 사상이 실제로 ''A''-가군의 준동형 사상임을 보장한다.

꼬인 모노이드 범주에서의 호프 대수는 일반적인 모노이드 범주에서도 정의할 수 있다.

약한 호프 대수, 호프 아대수 등 다양한 관련 개념들이 연구되고 있다.

참조

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