구조 (논리학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대수적 구조
- 2.2. 비대수적 구조
3. 역사
4. 언어
5. 만족 (Satisfaction)
- 5.1. 만족 가능성 (Satisfiability)
- 5.2. 모형 (Model)
6. 부분 구조 (Substructure)
- 6.1. 유도된 부분 구조 (Induced Substructure)
7. 준동형 사상 (Homomorphism)
- 7.1. 임베딩 (Embedding)
8. 정의 가능성 (Definability)
- 8.1. 매개변수를 사용한 정의 가능성 (Definability with Parameters)
- 8.2. 암묵적 정의 가능성 (Implicit Definability)
9. 다중 정렬 구조 (Many-sorted Structure)
10. 기타 일반화
11. 한국 사회에 대한 함의 (Implications for Korean Society)
참조

1. 개요

구조는 수학적 논리에서 사용되는 개념으로, 논의 영역과 서명, 그리고 서명의 해석 함수로 구성된 삼중항으로 정의된다. 구조는 대수적 구조와 비대수적 구조로 나뉘며, 대수적 구조는 관계를 포함하지 않는 구조를, 비대수적 구조는 관계를 포함하는 구조를 의미한다. 구조는 언어, 만족, 부분 구조, 준동형 사상, 정의 가능성 등의 개념과 연관되며, 다중 정렬 구조, 부분 대수, 고계 언어 구조 등으로 일반화될 수 있다. 또한, 모형 이론, 보편 대수학, 그래프 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

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구조 (논리학)
구조 (수학적 논리)
분야	수학적 논리학, 모델 이론, 보편 대수학
연구 대상	수학적 구조의 추상적 속성
주요 개념	관계 함수 작업 구문 의미론 모델 동형사상 자동형사상 원소적 동치 부분구조
추가 정보
관련 분야	수학 논리학 전산학

2. 정의

구조는 집합(전체, universe), 연산(operation) 집합, 관계(relation) 집합, 그리고 각 연산 및 관계에 대한 항수(arity)를 나타내는 함수로 구성된다.^[5]

'''부호수'''(符號數, signature^영어) $(F,R,\operatorname{arity}_F,\operatorname{arity}_R)$ 는 다음과 같은 튜플이다.

$F$ 는 연산의 집합이다.
$R$ 는 관계의 집합이다.
$\operatorname{arity}_F\colon F\to\mathbb N$ 는 함수로, $f\in F$ 에 대하여 $\operatorname{arity}_F(f)=n$ 이면, $f$ 를 ''' $n$ 항 연산'''( $n$ -ary operation^영어)이라고 한다.
$\operatorname{arity}_R\colon R\to\mathbb N$ 는 함수로, $r\in R$ 에 대하여 $\operatorname{arity}_R(r)=n$ 이라면, $r$ 를 ''' $n$ 항 관계'''( $n$ -ary relation^영어)라고 한다.

부호수

(F,R,\operatorname{arity}_F,\operatorname{arity}_R)

의 '''구조'''

(M,F_M^n,R_M^n)_{n\in\mathbb N}

는 다음과 같다.

$M$ 은 집합이며, 구조의 '''전체'''(全體, universe^영어)라고 한다.
각 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $F_M^n\colon\operatorname{arity}_F^{-1}(n)\to M^{M^n}$ 이다. $n$ 항 연산 $f$ 의 $M$ 에서의 '''해석'''(解釋, interpretation^영어)은 $f_M$ 이라고 쓴다.
각 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $R_M^n\colon\operatorname{arity}_R^{-1}(n)\to\mathcal P(M^n)$ 이다. $n$ 항 관계 $r$ 의 $M$ 에서의 '''해석'''(解釋, interpretation^영어)은 $r_M$ 이라고 쓴다.

형식적으로, '''구조'''는 '''영역'''

A,

서명

\sigma,

그리고 서명이 영역에서 어떻게 해석될지를 나타내는 '''해석 함수'''

I

로 구성된 삼중항

\mathcal{A} = (A, \sigma, I)

로 정의될 수 있다.

구조의 영역은 임의의 집합이다. 이는 구조의 기저 집합, (특히 보편 대수학에서) 운반체, (특히 모형 이론에서) 전체 집합 또는 논의 영역이라고도 불린다. 고전 일차 논리에서 구조의 정의는 공집합을 허용하지 않는다.^[6]

구조의 시그니처

\sigma = (S, \operatorname{ar})

는 '''함수 기호''' 및 '''관계 기호'''의 집합

S

와 각 기호

s

에 자연수

n = \operatorname{ar}(s)

를 할당하는 함수

\operatorname{ar} : \ S \to \N_0

로 구성된다. 기호

s

의 자연수

n=\operatorname{ar}(s)

는 '''항수'''라고 불린다.

'''해석 함수'''

I

는

\mathcal A

의 기호에 함수와 관계를 할당한다. 아리티가

n

인 각 함수 기호

f

에는 도메인에 대한

n

항 함수

f^{\mathcal A} = I(f)

가 할당된다. 아리티가

n

인 각 관계 기호

R

에는 도메인에 대한

n

항 관계

R^{\mathcal A} = I(R)\subseteq A^{\operatorname{ar(R)}}

가 할당된다. 널러리(

= \, 0

항) 함수 기호

c

는 '''상수 기호'''라고 불리는데, 그 이유는 해석

I(c)

가 도메인의 상수 원소와 동일시될 수 있기 때문이다.

2. 1. 대수적 구조

관계가 없는 구조는 대수적 구조라고 하며, 군, 환, 체 등이 이에 해당한다. 표준 시그니처

\sigma_f

는 체에 대해 두 개의 이항 함수 기호

\mathbf{+}

와

\mathbf{\times}

로 구성되며, 단항 함수 기호

\mathbf{-}

및 두 개의 상수 기호

\mathbf{0}

과

\mathbf{1}

을 포함한다.

이 시그니처에 대한 구조는 요소 집합

A

와 두 개의 이항 함수, 단항 함수, 그리고 두 개의 특별한 요소로 구성된다. 유리수

\Q,

실수

\Reals

및 복소수

\Complex,

는 이러한 구조의 예시이다.

\begin{alignat}{3}\mathcal Q &= (\Q, \sigma_f, I_{\mathcal Q}) \\\mathcal R &= (\Reals, \sigma_f, I_{\mathcal R}) \\\mathcal C &= (\Complex, \sigma_f, I_{\mathcal C}) \\\end{alignat}

표준 시그니처는 다음과 같다.

\sigma_f = (S_f, \operatorname{ar}_f)

S_f = \{+, \times, -, 0, 1\}

및

\begin{alignat}{3}\operatorname{ar}_f&(+) &&= 2, \\\operatorname{ar}_f&(\times) &&= 2, \\\operatorname{ar}_f&(-) &&= 1, \\\operatorname{ar}_f&(0) &&= 0, \\\operatorname{ar}_f&(1) &&= 0. \\\end{alignat}

해석 함수

I_{\mathcal Q}

는 다음과 같이 정의된다.

$I_{\mathcal Q}(+) : \Q \times \Q \to \Q$ 는 유리수의 덧셈
$I_{\mathcal Q}(\times) : \Q \times \Q \to \Q$ 는 유리수의 곱셈
$I_{\mathcal Q}(-) : \Q \to \Q$ 는 각 유리수 $x$ 를 $-x,$ 로 변환
$I_{\mathcal Q}(0) \in \Q$ 는 숫자 $0,$
$I_{\mathcal Q}(1) \in \Q$ 는 숫자 $1$

I_{\mathcal R}

과

I_{\mathcal C}

는 유사하게 정의된다.

정수의 링

\Z

는 체가 아니지만, 동일한 방식으로

\sigma_f

구조를 가진다.

2. 2. 비대수적 구조

순서체의 시그니처에는

\lt

또는

\le

와 같은 추가적인 이항 관계가 필요하다. 따라서 이러한 시그니처에 대한 구조는 대수적 구조가 아니다.

집합론의 일반적인 시그니처에는 단일 이항 관계

\in

이 포함된다. 이 시그니처에 대한 구조는 요소 집합과 이러한 요소에 대한 이항 관계로서의

\in

관계의 해석으로 구성된다.

3. 역사

"모형"이라는 용어는 1940년 철학자 윌러드 밴 오먼 콰인이 처음 사용하였으며, 이는 집합론 발전에 선구적인 역할을 한 수학자 리하르트 데데킨트를 언급한 것이다.^[3]^[4] 19세기 이후, 공리 집합의 일관성을 증명하는 주요 방법 중 하나는 그에 대한 모형을 제공하는 것이었다.

4. 언어

1차 논리 언어는 구조를 표현하는 데 사용될 수 있다. 이 언어는 변수, 연산 기호, 관계 기호, 논리 기호 등으로 구성된다.

부호수 $(F,R,\operatorname{arity}_F,\operatorname{arity}_R)$ 의 1차 논리 언어 $\mathcal L$ 은 공식과 항으로 구성된다. 여기서,

항(項, term^영어)은 변수 $x_i$ ( $i\in\mathbb N$ )이거나, 항 $t_1,\dots,t_n$ 및 $n$ 항 연산 $f\in F$ 에 대하여 $f(t_1,\dots,t_n)$ 형태이다.
공식(公式, formula^영어)은 항 $t_1,\dots,t_n$ 및 $n$ 항 관계 $r\in R$ 에 대한 $r(t_1,\dots,t_n)$ 형태이거나, 항 $t_1,t_2$ 에 대한 $t_1=t_2$ 형태, 또는 기존 공식들로부터 논리 기호 $\lnot$ , $\land$ , $\forall$ 를 사용하여 만들어진다.

공식에 나타나는 변수 중,

\forall x_i\colon

형태로 나타나지 않는 변수를 자유 변수, 나타나는 변수를 제한 변수라고 한다. 자유 변수가 없는 공식은 문장, 문장들의 집합은 이론이라고 부른다.

4. 1. 항 (Term)

term^영어은 1차 논리 언어에서 공식과 함께 사용되는 요소이다. 항은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

변수 x_i^영어는 항이다. (여기서 i^영어는 자연수이다.)
만약 t₁^영어, …, t_n^영어이 항이고, f^영어가 n^영어항 연산이라면, f(t₁, …, t_n)^영어은 항이다.

4. 2. 공식 (Formula)

1차 논리 언어에서 공식(公式, formula^영어)은 항과 관계 기호를 사용하여 구성되는 논리식이다. 공식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

항 $t_1,\dots,t_n$ 및 $n$ 항 관계 $r\in R$ 에 대하여, $r(t_1,\dots,t_n)$ 는 공식이다.
항 $t_1,t_2$ 에 대하여, $t_1=t_2$ 는 공식이다.
공식 $\phi$ 에 대하여, $\lnot\phi$ 는 공식이다.
공식 $\phi$ 및 $\psi$ 에 대하여, 만약 $\phi$ 에 등장하는 제한 변수가 $\psi$ 에 등장하지 않으며, 마찬가지로 $\psi$ 에 등장하는 제한 변수가 $\phi$ 에 등장하지 않는다면, $\phi\land\psi$ 는 공식이다.
변수 $x_i$ 및 공식 $\phi$ 에 대하여, 만약 $\phi$ 가 이미 $\forall x_i\colon$ 를 포함하지 않는다면, $\forall x_i\colon\phi$ 는 공식이다.

만약

\phi

속에 변수

x_i

가 등장하지만

\forall x_i\colon

가 등장하지 않는다면,

x_i

를 자유 변수(自由變數, free variable^영어)라고 하고,

\forall x_i\colon

가 등장한다면

x_i

를 제한 변수(制限變數, bound variable^영어)라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장(文章, sentence^영어)이라고 한다. 문장들의 집합을 이론(理論, theory^영어)이라고 한다.

4. 3. 문장 (Sentence)

자유 변수가 없는 공식이다. sentence|^영어

4. 4. 이론 (Theory)

이론(theory^영어)은 문장들의 집합이다.

5. 만족 (Satisfaction)

부호수 $\sigma$ 의 언어에 속하는 공식 $\phi$ 가 $n$ 개의 자유 변수 $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$ 을 갖는다고 하자. 부호수 $\sigma$ 의 구조 $M$ 및 $\vec a\in M^n$ 에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, $M$ 이 $\phi$ 를 치환 $\vec x\mapsto\vec a$ 아래 '''만족시킨다'''(satisfy^영어)고 하고, $M\models\phi[\vec a/\vec x]$ 라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 $=$ , $\lnot$ , $\land$ , $\forall$ 은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호 $\langle\cdots\rangle$ 속에 적었다.

$M\models\langle t_1=t_2\rangle[\vec a/\vec x]\iff t_1[\vec a/\vec x]=t_2[\vec a/\vec x]$ . 여기서 $t[\vec a/\vec x]$ 는 항 $t$ 속에 등장하는 모든 변수 $x_i$ 를 이에 대응하는 $a_i$ 로 치환하고, $t$ 속에 등장하는 모든 연산 $f\in F$ 를 $f_M$ 으로 치환하여 얻은 원소 $\in M$ 이다.
$M\models\langle R(t_1,\dots,t_n)\rangle[\vec a/\vec x]\iff R_M(t_1[\vec a/\vec x],\dots,t_n[\vec a/\vec x])$
$M\models\langle\phi\land\chi\rangle\iff(M\models\phi)\land(M\models\chi)$
$M\models\langle\lnot\phi\rangle\iff\lnot(M\models\phi)$
$M\models\langle\forall y\colon\phi(y)\rangle[\vec a/\vec x]\iff\forall b\in M\colon M\models\phi[(\vec a,b)/(\vec x,y)]$

5. 1. 만족 가능성 (Satisfiability)

부호수

\sigma

의 언어에서,

n

개의 자유 변수

\vec x

를 갖는 공식

\phi

에 대하여,

M\models\phi[\vec a/\vec x]

인

\sigma

-구조

M

및

\vec a\in M^n

이 존재한다면,

\phi

를 '''만족 가능 공식'''(滿足可能命題, satisfiable formula^영어)이라고 한다.

이론

\mathcal T

의 '''모형'''(模型, model^영어)은 모든

\phi\in\mathcal T

에 대하여

M\models\phi

인

\sigma

-구조

M

이다. 모형을 갖는 이론을 '''만족 가능 이론'''(滿足可能理論, satisfiable theory^영어)이라고 한다. (이는 만족 가능 문장들로 구성된 이론보다 강한 조건이다.)

5. 2. 모형 (Model)

이론

\mathcal T

의 '''모형'''(模型, model^영어)은 모든

\phi\in\mathcal T

에 대하여

M\models\phi

인

\sigma

-구조

M

이다. 모형을 갖는 이론을 '''만족 가능 이론'''(滿足可能理論, satisfiable theory^영어)이라고 한다. (이는 만족 가능 문장들로 구성된 이론보다 강한 조건이다.)

구조는 때때로 "일차 구조"라고 불린다. 이는 오해의 소지가 있는데, 구조의 정의는 어떤 특정 논리와도 관련이 없으며, 실제로 구조는 보편 대수학에서 사용되는 것과 같은 일차 논리의 매우 제한적인 단편과 2차 논리 모두에 적합한 의미론적 객체이기 때문이다. 일차 논리 및 모형 이론과 관련하여, 구조는 "무엇의 모형인가?"라는 질문에 명확한 답이 없을 때에도 종종 '''모형'''이라고 불린다.

각 일차 구조

\mathcal{M} = (M, \sigma, I)

는

\mathcal{M}

의 언어와 각

M

의 원소에 대한 상수 기호를 포함하는 언어 내의 모든 공식

\phi

에 대해 정의된 '''만족 관계'''

\mathcal{M} \vDash \phi

를 가지며, 이는 해당 원소로 해석된다. 이 관계는 타르스키의 T-스키마를 사용하여 귀납적으로 정의된다.

구조

\mathcal{M}

은

\mathcal{M}

의 언어가

T

의 언어와 같고

T

의 모든 문장이

\mathcal{M}

에 의해 만족될 경우 이론

T

의 '''모형'''이라고 한다. 따라서, 예를 들어 "환"은 각 환 공리를 만족하는 환의 언어에 대한 구조이며, ZFC 집합론의 모형은 각 ZFC 공리를 만족하는 집합론의 언어 내의 구조이다.

6. 부분 구조 (Substructure)

어떤 구조의 부분 집합이 그 구조의 연산에 대해 닫혀 있으면, 그 부분 집합은 원래 구조의 부분 구조를 이룬다.

구조 $\mathcal A$ 의 영역의 부분 집합 $B \subseteq |\mathcal A|$ 가 닫혀 있다는 것은, 모든 자연수 $n,$ 모든 $n$ 항 함수 기호 $f$ ( $\mathcal A$ 의 시그니처 내) 및 모든 원소 $b_1, b_2, \dots, b_n \in B$ 에 대해, $f$ 를 $n$ -튜플 $b_1b_2\dots b_n$ 에 적용한 결과가 다시 $B$ 의 원소( $f(b_1, b_2, \dots, b_n) \in B$ )가 되는 것을 의미한다.

모든 부분 집합 $B\subseteq|\mathcal A|$ 에 대해 $B$ 를 포함하는 $|\mathcal A|$ 의 가장 작은 닫힌 부분 집합이 존재하는데, 이를 $B$ 에 의해 생성된 닫힌 부분 집합 또는 $B$ 의 hull이라고 하며, $\langle B\rangle$ 또는 $\langle B\rangle_{\mathcal A}$ 로 표기한다. 연산자 $\langle\rangle$ 는 $|\mathcal A|$ 의 멱집합에 대한 유한적 폐포 연산자이다.

구조의 닫힌 부분 집합(또는 유도된 부분 구조)은 격자를 형성한다. 두 부분 집합의 만남은 그들의 교집합이며, 두 부분 집합의 결합은 그들의 합집합에 의해 생성된 닫힌 부분 집합이다. 보편 대수학은 구조의 부분 구조의 격자를 자세히 연구한다.

$\sigma = \{+, \times, -, 0, 1\}$ 를 체에 대한 표준 시그니처라고 할 때, 유리수는 실수의 부분 구조를 형성하고, 실수는 복소수의 부분 구조를 형성한다. 유리수는 체 공리를 만족하는 실수(또는 복소수)의 가장 작은 부분 구조이다.

정수 집합은 체가 아닌 실수의 더 작은 부분 구조를 제공한다. 실제로 정수는 이 시그니처를 사용하여 공집합에 의해 생성된 실수의 부분 구조이다. 이 시그니처에서 체의 부분 구조에 해당하는 추상 대수학의 개념은 부분체가 아니라 부분환의 개념이다.

그래프 이론에서, $G$ 를 변으로 연결된 두 개의 꼭짓점으로 구성된 그래프라고 하고, $H$ 를 동일한 꼭짓점으로 구성되지만 변이 없는 그래프라고 할 때, $H$ 는 $G$ 의 부분 그래프이지만 유도된 부분 구조는 아니다.

6. 1. 유도된 부분 구조 (Induced Substructure)

\mathcal A

가

\mathcal B

의 (유도된) 부분 구조라고 불리는 경우는 다음과 같다.

$\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 는 동일한 시그니처 $\sigma(\mathcal A) = \sigma(\mathcal B)$ 를 가진다.
$\mathcal A$ 의 영역은 $\mathcal B$ 의 영역에 포함된다: $|\mathcal A|\subseteq |\mathcal B|$ .
모든 함수 및 관계 기호의 해석은 $|\mathcal A|$ 에서 일치한다.

이 관계에 대한 일반적인 표기법은

\mathcal A \subseteq \mathcal B

이다.

만약

\mathcal A = (A, \sigma, I)

이고

B \subseteq A

가 닫힌 부분 집합이면,

(B, \sigma, I')

는

\mathcal A

의 유도된 부분 구조이며, 여기서

I'

는

\mathcal A

에서의 해석을

B

로 제한하여

\sigma

의 모든 기호에 할당한다. 반대로, 유도된 부분 구조의 영역은 닫힌 부분 집합이다.

그래프를 정의하는 가장 명백한 방법은 단일 이진 관계 기호

E

로 구성된 시그니처

\sigma

를 가진 구조이다. 그래프의 꼭짓점은 구조의 영역을 형성하며, 두 개의 꼭짓점

a

와

b

에 대해

(a, b)\!\in \text{E}

는

a

와

b

가 변으로 연결되어 있음을 의미한다. 이 인코딩에서 유도된 부분 구조의 개념은 부분 그래프의 개념보다 더 제한적이다. 그래프 이론에서 유도된 부분 구조에 해당하는 개념은 유도 부분 그래프의 개념이다.

7. 준동형 사상 (Homomorphism)

같이 보기: 보편 대수학의 기본적인 구성

같은 시그니처 σ를 가진 두 구조 $\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 가 주어졌을 때, $\mathcal A$ 에서 $\mathcal B$ 로의 '''(σ-)준동형사상'''은 함수와 관계를 보존하는 사상 $h:|\mathcal A|\rightarrow|\mathcal B|$ 이다. 더 정확하게 말하면 다음과 같다.

σ의 모든 ''n''-항 함수 기호 ''f''와 모든 원소 $a_1,a_2,\dots,a_n\in|\mathcal A|$ 에 대해 다음 등식이 성립한다.

::

h(f(a_1,a_2,\dots,a_n))=f(h(a_1),h(a_2),\dots,h(a_n))

.

σ의 모든 ''n''-항 관계 기호 ''R''과 모든 원소 $a_1,a_2,\dots,a_n\in|\mathcal A|$ 에 대해 다음 함의가 성립한다.

::

(a_1,a_2,\dots,a_n)\in R^{\mathcal{A}} \implies (h(a_1),h(a_2),\dots,h(a_n))\in R^{\mathcal{B}}

:(여기서

R^{\mathcal{A}}

,

R^{\mathcal{B}}

는 각각 구조

\mathcal{A}

와

\mathcal{B}

에서 객체 이론의 관계 기호

R

의 해석이다).

\mathcal A

에서

\mathcal B

로의 준동형사상 ''h''는 일반적으로

h: \mathcal A\rightarrow\mathcal B

로 표시되지만, 기술적으로 함수 ''h''는 두 구조

\mathcal{A}

,

\mathcal{B}

의 영역

|\mathcal{A}|

,

|\mathcal{B}|

사이의 함수이다.

모든 시그니처 σ에 대해 σ-구조를 객체로, σ-준동형사상을 사상으로 가지는 구체적인 범주 σ-'''Hom'''이 있다.

객체 이론의 모든 ''n''-항 관계 기호 ''R''과

(b_1,b_2,\dots,b_n)\in R^{\mathcal{B}}

를 만족하는 모든 원소

b_1,b_2,\dots,b_n\in|\mathcal B|

에 대해,

(a_1,a_2,\dots,a_n)\in R^{\mathcal{A}}

이고

b_1=h(a_1),\,b_2=h(a_2),\,\dots,\,b_n=h(a_n).

을 만족하는

a_1,a_2,\dots,a_n\in|\mathcal A|

가 존재하면, 준동형사상

h: \mathcal A\rightarrow\mathcal B

는 '''강한''' 준동형사상이라고 불린다. 강한 준동형사상은 위에서 정의된 범주 σ-'''Hom'''의 부분 범주를 생성한다.

다음 문제는 ''준동형 사상 문제''로 알려져 있다.

:유한 관계 시그니처의 두 유한 구조

\mathcal A

와

\mathcal B

가 주어졌을 때, 준동형 사상

h:\mathcal A\rightarrow\mathcal B

를 찾거나 그러한 준동형 사상이 존재하지 않음을 보여라.

모든 제약 만족 문제 (CSP)는 준동형 사상 문제로 변환될 수 있다.^[8] 따라서, CSP의 복잡성은 유한 모형 이론의 방법을 사용하여 연구할 수 있다.

데이터베이스 이론에서 관계형 모형의 데이터베이스는 본질적으로 관계형 구조와 동일하며, 데이터베이스에 대한 결합 질의는 데이터베이스 모형과 동일한 시그니처의 다른 구조로 설명할 수 있다. 관계형 모형에서 질의를 나타내는 구조로의 준동형 사상은 질의에 대한 해답과 동일하므로, 결합 질의 문제는 준동형 사상 문제와도 동등하다.

7. 1. 임베딩 (Embedding)

σ-준동형사상

h:\mathcal A\rightarrow\mathcal B

는 다음 조건을 만족하면 (σ-)'''임베딩'''이라고 한다.

일대일 함수이고,
σ의 모든 ''n''-항 관계 기호 ''R''과 모든 원소 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 에 대해 다음 동치가 성립한다.

::

(a_1,a_2,\dots,a_n)\in R^{\mathcal{A}} \iff(h(a_1),h(a_2),\dots,h(a_n))\in R^{\mathcal{B}}

:(여기서

R^{\mathcal{A}}

,

R^{\mathcal{B}}

는 각각 구조

\mathcal{A}

,

\mathcal{B}

에서 객체 이론 σ의 관계 기호 ''R''의 해석을 의미한다).

따라서 임베딩은 일대일인 강한 준동형사상과 같다.

σ-구조와 σ-임베딩의 범주 σ-'''Emb'''는 σ-'''Hom'''의 구체적인 부분 범주이다.

유도된 부분 구조는 σ-'''Emb'''에서 부분 대상에 해당한다. σ가 함수 기호만 가지고 있다면, σ-'''Emb'''는 σ-'''Hom'''의 단사 사상의 부분 범주이다. 이 경우, 유도된 부분 구조는 또한 σ-'''Hom'''의 부분 대상에 해당한다.

위에서 보았듯이, 그래프를 구조로 표준 인코딩할 때 유도된 부분 구조는 정확히 유도된 부분 그래프이다. 그러나 그래프 간의 준동형 사상은 그래프를 코딩하는 두 구조 간의 준동형 사상과 동일하다. 이전 절의 예에서, ''G''의 부분 그래프 ''H''가 유도되지 않았음에도 불구하고 항등 사상 id: ''H'' → ''G''는 준동형 사상이다. 이 사상은 실제로 범주 σ-'''Hom'''에서의 단사 사상이며, 따라서 ''H''는 유도된 부분 구조가 아닌 ''G''의 부분 대상이다.

8. 정의 가능성 (Definability)

구조 $\mathcal{M}$의 우주(영역) $M$에 대한 $n$항 관계 $R$은 특정한 조건을 만족할 때 정의 가능하다고 한다. 이는 베스 정의 가능성에서 언급하는 '명시적으로 정의 가능'한 경우와 같으며, $\emptyset$-정의 가능하다고도 표현한다.

관계 $R$이 정의 가능하다는 것은, 다음 조건을 만족하는 공식 $\varphi(x_1, \ldots, x_n)$이 존재한다는 것을 의미한다.

$R = \{ (a_1, \ldots, a_n ) \in M^n : \mathcal{M} \vDash \varphi(a_1,\ldots,a_n)\}$

즉, 다음 관계가 성립하는 공식 $\varphi$가 존재하면 $R$은 정의 가능하다.

$(a_1,\ldots,a_n ) \in R \Leftrightarrow \mathcal{M} \vDash \varphi(a_1,\ldots,a_n)$

$M$의 요소 $m$이 $\mathcal{M}$에서 정의 가능하다는 것은, 다음을 만족하는 공식 $\varphi(x)$가 존재함을 의미한다.

$\mathcal{M}\vDash \forall x ( x = m \leftrightarrow \varphi(x))$

8. 1. 매개변수를 사용한 정의 가능성 (Definability with Parameters)

관계

R

은 파라미터를 사용하여 '''정의 가능'''하다고 한다. 즉,

R

을

\varphi

를 사용하여 정의할 수 있는

\mathcal{M}

에서 파라미터를 가진 공식

\varphi

가 존재한다. 구조의 모든 요소는 요소 자체를 파라미터로 사용하여 정의할 수 있다.^[1]

일부 저자는 ''정의 가능''을 ''파라미터 없이 정의 가능''을 의미하는 데 사용하며, 다른 저자는 ''파라미터를 사용하여 정의 가능''을 의미하는 데 사용한다. 일반적으로 ''정의 가능''이 ''파라미터 없이 정의 가능''을 의미한다는 관례는 집합론자 사이에서 더 일반적이며, 반대 관례는 모형 이론가 사이에서 더 일반적이다.^[1]

8. 2. 암묵적 정의 가능성 (Implicit Definability)

어떤 모델

\mathcal{M}

의 언어와 새로운 기호

R

을 포함하는 확장된 언어에 공식

\varphi

가 존재하고, 관계

R

이

\mathcal{M} \vDash \varphi

를 만족하는 유일한 관계일 때,

R

은

\mathcal{M}

에서 '''암묵적으로 정의 가능'''하다고 한다.

베스의 정리에 따르면, 모든 암묵적으로 정의 가능한 관계는 명시적으로 정의 가능하다.

9. 다중 정렬 구조 (Many-sorted Structure)

구조는 때때로 보다 일반적인 '''다중 정렬 구조'''와 구별하기 위해 '''단일 정렬 구조'''라고도 불린다. 다중 정렬 구조는 임의의 수의 영역을 가질 수 있다. '''정렬'''은 시그니처의 일부이며, 서로 다른 영역의 이름 역할을 한다. 다중 정렬 시그니처는 또한 다중 정렬 구조의 함수와 관계가 어떤 정렬에 정의되는지도 규정한다. 따라서 함수 기호 또는 관계 기호의 아리티(arity)는 자연수가 아닌 튜플과 같은 더 복잡한 객체가 되어야 한다.

예를 들어, 벡터 공간은 다음과 같은 방식으로 2중 정렬 구조로 간주될 수 있다. 벡터 공간의 2중 정렬 시그니처는 두 개의 정렬 ''V''(벡터용)와 ''S''(스칼라용)와 다음 함수 기호로 구성된다.

함수 기호	아리티(arity)
+_S 및 ×_S	(S, S; S)
−_S	(S; S)
0_S 및 1_S	(S)
+_V	(V, V; V)
−_V	(V; V)
0_V	(V)
×	(S, V; V)

만약 ''V''가 체 ''F''에 대한 벡터 공간이라면, 해당 2중 정렬 구조 $\mathcal V$ 는 벡터 영역 $|\mathcal V|_V=V$ , 스칼라 영역 $|\mathcal V|_S=F$ 와 벡터 0 $0_V^{\mathcal V}=0\in|\mathcal V|_V$ , 스칼라 0 $0_S^{\mathcal V}=0\in|\mathcal V|_S$ , 또는 스칼라 곱 $\times^{\mathcal V}:|\mathcal V|_S\times|\mathcal V|_V\rightarrow|\mathcal V|_V$ 와 같은 명백한 함수로 구성된다.

다중 정렬 구조는 약간의 노력을 기울이면 피할 수 있음에도 불구하고 편리한 도구로 자주 사용된다. 그러나 명시적으로 일반화를 수행하는 것은 간단하고 지루하기 때문에(따라서 보람이 없기 때문에) 엄격한 방식으로 정의되는 경우는 드물다.

대부분의 수학적 노력에서 정렬에는 그다지 주의를 기울이지 않는다. 그러나 다중 정렬 논리는 자연스럽게 형식 이론으로 이어진다. 바트 야콥스가 말했듯이, "논리는 항상 형식 이론에 대한 논리이다." 이러한 강조는 다시 범주론적 논리로 이어진다. 왜냐하면 형식 이론에 대한 논리는 형식 이론을 포착하는 다른("기저") 범주 위에 섬유화된 논리를 포착하는 하나("전체")의 범주에 범주론적으로 해당하기 때문이다.^[9]

10. 기타 일반화

형식 이론에서 각 변수는 고유한 '형식'을 가지며, 이는 귀납적으로 정의된다. 두 형식 δ와 σ가 주어지면, σ 형식의 객체에서 δ 형식의 객체로 가는 함수를 나타내는 형식 σ → δ도 있다. 형식 언어에 대한 구조는 각 형식에 대한 별도의 객체 집합을 포함해야 하며, 함수 형식의 경우 해당 형식의 각 객체가 나타내는 함수에 대한 완전한 정보를 가지고 있어야 한다.^[1]

고계 논리에는 여러 가능한 의미론이 있다. 완전한 고계 의미론을 사용할 때, 구조는 유형 0의 객체에 대한 우주만 필요하며, T-스키마는 고계 유형에 대한 양화사가 그것이 비인용적으로 참일 때에만 모델에 의해 충족되도록 확장된다. 일차 의미론을 사용할 때는 다중 정렬 일차 언어의 경우와 같이 각 고계 유형에 대해 추가적인 정렬이 추가된다.^[1]

집합론 및 범주론 연구에서 때때로 전체가 진정한 모임인 구조를 고려하는 것이 유용한데, 이러한 구조는 "집합 모델"과 구별하기 위해 '클래스 모델'이라고 불린다. 영역이 진정한 모임인 경우, 각 함수 및 관계 기호도 진정한 모임으로 나타낼 수 있다.

버트런드 러셀의 ''수학 원리(Principia Mathematica)''에서도 구조는 진정한 모임을 그 영역으로 가질 수 있었다.

10. 1. 부분 대수 (Partial Algebra)

부분 함수는 정의역의 하위 집합에서만 정의되는 함수이다. 부분 구조, 준동형 사상, 항등식과 같은 개념을 일반화하는 여러 방법이 있다.^[1] 곱셈의 경우 0은 곱셈의 역수를 갖지 않기 때문에 실패하는데, 이를 처리하기 위해 0⁻¹=0으로 정의하기도 한다.^[1]

10. 2. 타입 언어 구조 (Structures for Typed Languages)

형식 이론에서, 각각의 변수에는 고유한 '''형식'''이 있다. 형식은 귀납적으로 정의된다. 두 형식 δ와 σ가 주어지면, σ 형식의 객체에서 δ 형식의 객체로 가는 함수를 나타내는 형식 σ → δ도 있다. 형식 언어에 대한 구조(일반적인 일차 논리 의미론에서)는 각 형식에 대한 별도의 객체 집합을 포함해야 하며, 함수 형식의 경우 구조는 해당 형식의 각 객체가 나타내는 함수에 대한 완전한 정보를 가지고 있어야 한다.

10. 3. 고계 언어 구조 (Structures for Higher-order Languages)

고계 논리에는 여러 가지 가능한 의미론이 있다. 완전한 고계 의미론을 사용할 때, 구조는 유형 0의 객체에 대한 우주만 필요하며, T-스키마는 고계 유형에 대한 양화사가 그것이 비인용적으로 참일 때에만 모델에 의해 충족되도록 확장된다. 일차 의미론을 사용할 때는 다중 정렬 일차 언어의 경우와 같이 각 고계 유형에 대해 추가적인 정렬이 추가된다.^[1]

10. 4. 진정한 모임 구조 (Structures that are Proper Classes)

집합론 및 범주론 연구에서, 때때로 전체가 진정한 모임인 구조를 고려하는 것이 유용하다. 이러한 구조는 "집합 모델"과 구별하기 위해 '''클래스 모델'''이라고 불린다. 영역이 진정한 모임인 경우, 각 함수 및 관계 기호도 진정한 모임으로 나타낼 수 있다.

버트런드 러셀의 ''수학 원리(Principia Mathematica)''에서도 구조는 진정한 모임을 그 영역으로 가질 수 있었다.

11. 한국 사회에 대한 함의 (Implications for Korean Society)

한국 사회는 민주주의, 시장 경제, 복지 국가 등 다양한 구조가 복합적으로 작용하는 사회이다. 중도 진보적 관점에서 이러한 구조는 사회 정의, 평등, 지속 가능성 등의 가치를 실현하는 방향으로 발전해야 한다.

참조

_[1] 문서
_[2] 서적 Philosophy of technology and engineering sciences Elsevier 2009
_[3] 서적 Oxford English Dictionary, s.v. "model, n., sense I.8.b", July 2023 https://doi.org/10.1[...] Oxford University Press
_[4] 서적 Mathematical logic Norton 1940
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 간행물 Constraints and universal algebra 1998
_[9] 간행물 Categorical Logic and Type Theory https://books.google[...] Elsevier 1999

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