군환

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1. 개요

군환은 주어진 군과 환을 사용하여 구성되는 대수적 구조이다. 구체적으로, 집합 G와 환 R이 주어졌을 때, G의 원소를 기저로 하는 R-자유 가군의 원소들을 형식적인 선형 결합으로 나타내고, 군의 연산을 선형으로 확장하여 곱셈을 정의함으로써 군환 R[G]를 구성한다. 군환은 범주환, 모노이드 환의 특수한 경우이며, 군 표현론에서 핵심적인 역할을 한다. 특히, 유한군의 표현론은 군환의 반단순성과 직합 분해와 밀접하게 관련되어 있다. 군환은 군 표현론, 조화 해석 등 다양한 분야에 응용되며, 마슈케 정리와 같은 중요한 성질을 갖는다.

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군환
기본 정보
종류	환
분야	추상대수학
정의
정의	'군 G의 원소를 계수로 하는 환'
구성 요소	군 G 환 R
연산	환 R의 연산 군 G의 연산
표기
표기법	R[G] 또는 RG
설명	R[G]는 군 G의 원소를 계수로 갖는 환 R의 모든 형식적인 선형 결합의 집합을 나타냄
성질
결합 법칙	성립
분배 법칙	성립
항등원	존재
가환성	G와 R이 가환군/환이면 가환환임
예시
예시	정수환 Z[G] 실수체 R[G] 복소수체 C[G]
활용
활용 분야	표현론 대수적 K이론

2. 정의

집합 $G$ 와 환 $R$ 가 주어졌을 때, $G$ 로부터 생성되는 $R$ -자유 가군은 다음과 같이 표기한다.

: $R[G]=\left\{\sum_{g\in G}r_gg\qquad r\in R^G,\;|\{g\in G\colon r_g\ne0\}|<\aleph_0\}\right\}$

즉, $G$ 의 원소들을 기저로 하는 $R$ -자유 가군의 원소들을 형식적인 선형 결합으로 나타내고, 군의 연산을 선형으로 확장하여 곱셈을 정의함으로써 군환 $R[G]$ 를 구성한다.

$\mathcal C$ 가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 작은 범주이며, $R$ 가 환이라고 하자. 그렇다면, $\mathcal C$ 의 사상의 집합 $\operatorname{Mor}(\mathcal C)$ 으로부터 생성되는 $R$ -자유 가군 $R[\operatorname{Mor}(\mathcal C)]$ 위에 다음과 같은 $R$ -선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.

: $f\cdot g=\begin{cases}g\circ f&\operatorname{dom}g=\operatorname{codom}f\\0&\operatorname{dom}g\ne\operatorname{codom}f\end{cases}$

즉, 다음과 같다.

: $(r_1f_1+r_2f_2+\cdots+r_mf_m)\cdot(s_1g_1+s_2g_2+\cdots+s_ng_n)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nr_is_j(f_i\cdot g_j)\qquad\left(r_i,s_j\in R,\;f_i,g_j\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)\right)$

이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙을 따르며, 항등원

: $1_{R[\mathcal C]}=\sum_{X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)}\operatorname{id}_X$

을 가진다. 만약 $\mathcal C$ 가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다. 따라서, 이는 환을 이루며, 이를 $\mathcal C$ 위의 '''범주환'''(category ring^영어) $R[\mathcal C]$ 이라고 한다.

특히, 만약 $\mathcal C$ 가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 모노이드로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 '''모노이드 환'''(monoid ring^영어)이라고 한다. 만약 추가로 $\mathcal C$ 가 군이라면, 이 경우 범주환을 '''군환'''이라고 한다.

군 $G$ 를 곱셈으로 표기하고, $R$ 을 링이라고 하자. $G$ 위에 정의된 $R$ 의 군환(group ring)을 $R[G]$ 또는 간단히 $RG$ 로 표기하는데, 이는 유한 지지( $f(g)$ 는 유한 개의 원소 $g$ 에 대해서만 0이 아님)를 갖는 사상 $f\colon G \to R$ 의 집합이다. 여기서, 링 $R$ 의 스칼라 $\alpha$ 와 사상 $f$ 의 모듈 스칼라 곱 $\alpha f$ 는 사상 $x \mapsto \alpha \cdot f(x)$ 로 정의되고, 두 사상 $f$ 와 $g$ 의 모듈 군 합은 사상 $x \mapsto f(x) + g(x)$ 로 정의된다. 덧셈 군 $R[G]$ 를 링으로 만들기 위해, $f$ 와 $g$ 의 곱을 다음과 같은 사상으로 정의한다.

: $x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).$

합은 $f$ 와 $g$ 가 유한 지지를 가지므로 정당하며, 링 공리도 쉽게 검증된다.

표기법과 용어에 몇 가지 변형이 사용된다. 특히, $f : G \to R$ 과 같은 사상은 때때로^[1] " $R$ 의 계수를 갖는 $G$ 의 원소들의 형식적 선형 결합"이라고 불리는 것으로 쓰여진다.

: $\sum_{g\in G}f(g) g,$

또는 간단히

: $\sum_{g\in G}f_g g.$ ^[2]

링 $R$ 이 사실 필드 $K$ 인 경우, 군환 $RG$ 의 모듈 구조는 사실 $K$ 위의 벡터 공간이 된다.

을 환, 를 군이라고 한다.

{{ordered list

|1=

를 생성계로 하는 -계수의 형식적인(「유한」) 선형 결합의 전체 ( 위의 -자유 가군, 특히 가 체일 때는 자유 벡터 공간)를 라고 쓴다(라고도 쓴다). 즉, 임의의 원소 는

: $x=\sum_{g\in G} a_g\,g\quad (a_g \in R)$

의 형태로 쓸 수 있다. 단, 우변의 합에서 유한 개의 예외를 제외한 모든 에 대해 0}}이어야 한다. 의 원소와 의 원소를 명확히 구별하기 위해, 각 원소 에 대응하는 생성원을 }} 등으로 써서

: $x=\sum_{g\in G} a_g\,e_g$

와 같이 쓸 수도 있다^[6]。 이 집합 위에 항별 합

: $(\sum_{g\in G} a_g\,g)+(\sum_{g\in G} b_g\,g) := \sum_{g\in G} (a_g+b_g)\cdot g$

을 가법으로 하고, 의 곱을 선형으로 확장한

: $( \sum_{g \in G} a_g\,g)(\sum_{g \in G} b_g\,g) := \sum_{g, h \in G} (a_g b_h)\cdot gh = \sum_{g\in G}(\sum_{h\in G} a_h b_{h^{-1}g})\cdot g$

를 곱셈으로 하는 환을 이루며, 더 나아가 스칼라 곱

: $r\cdot(\sum_{g\in G} a_g\,g) := \sum_{g\in G} (ra_g)\cdot g$

에 의해 위의 다원환 (선형환)을 이룬다. 이 다원환 를 위의 -계수의 군환, 로 생성되는 위의 군환 등으로 부른다.

|2=

(이산 위상에 관하여) 군 위의 -값 컴팩트 지지 집합을 가진 연속 함수 전체가 이루는 공간 (''G''; ''R'')}}의 원소 는, 군 에서 가환환 로의 사상 이며, 유한한 지지 집합을 가진 (즉, 유한 개의 예외를 제외하고 0}} ()이 되는) 것이다. 점별 합

: $(f + h)(g) := f(g) + h(g)\quad (g\in G)$

과 컨볼루션

: $(f\ast h)(g) := \sum_{\gamma\in G}f(\gamma)h(\gamma^{-1}g)$

및 스칼라 곱

: $(rf)(g) := r(f(g)) \quad (r\in R)$

에 대해 (''G''; ''R'')}}은 위의 다원환이 된다.

}}

의 각 원소 에 대해, 점 집합 }}의 -값 지시 함수 (디랙 델타 함수)

: $\delta_g(h) := \begin{cases} 1=1_R & (h=g)\\ 0=0_R & (h\ne g)\end{cases}$

를 생각할 때, (''G''; ''R'')}}은 위의 표준 기저로서 | ''g'' ∈ ''G''}}}}를 가지고,

: $R[G] \to C_c(G;R);\; \sum_{g\in G} a_g\,g \mapsto \sum_{g\in G} a_g\delta_g$

는 다원환의 동형이다. 종종 여기서 말하는 (''G''; ''R'')}}을 (1.의 경우와 마찬가지로) 등으로 쓰며, 의 위의 군환이라고 부른다。

가 유한군이라면, 이 (''G''; ''R'')}}는 에서 로의 사상 전체가 이루는 공간 ( ''R''(''G'') Hom(''G'', ''R''))}}에 다름 아니다. 이는 무한군인 경우에는 일반적으로 성립하지 않지만, 그래도 이하에서 나타내는 의미에서 군환 와 사상 공간 }}는 서로 쌍대 관계에 있다.

군환의 원소

: $x = \sum_{g\in G} a_g\,g$

와 -값 사상 의 쌍에 대해, 내적

: $(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g)\quad \in R$

가 모순 없이 정해진다 (우변이 실질적으로 유한 합이라는 점에 주의하라).

2. 1. 범주환

군환은 모노이드 링으로, 그리고 그로부터 범주 대수로 일반화된다. 유한 개의 대상을 갖는 작은 범주

\mathcal{C}

와 환

R

에 대해,

\mathcal{C}

의 사상들로 생성되는

R

-자유 가군 위에 범주에서의 사상 합성을 곱셈으로 정의하여 범주환

R[\mathcal{C}]

를 얻는다. 다른 예로는 사고 대수가 있다.

2. 2. 모노이드 환, 군환

범주환의 특수한 경우로, 하나의 대상만을 갖는 범주는 모노이드로 볼 수 있으며, 이 경우 범주환을 모노이드 환이라고 한다. 특히, 모노이드가 군이면 군환이 된다.^[3]

군환은 유한군의 군 표현론에서 자연스럽게 발생한다. 체 *K* 위의 군환 *K*[*G*]는 기본적으로 군환이며, 체 *K*가 환의 자리를 차지한다. 집합과 벡터 공간으로서, 이는 체 *K* 위의 *G*에 대한 자유 벡터 공간이다. 즉, *K*[*G*]의 *x*에 대해,

:

x=\sum_{g\in G} a_g g.

벡터 공간에 대한 대수 구조는 그룹의 곱셈을 사용하여 정의된다.

:

g \cdot h = gh,

여기서 왼쪽에서 *g*와 *h*는 군환의 원소를 나타내고, 오른쪽의 곱셈은 그룹 연산(연접으로 표시)이다.

위의 곱셈이 혼란스러울 수 있으므로, ''K''[''G'']의 기저 벡터를 ''e''_''g'' (''g'' 대신)로 쓸 수도 있으며, 이 경우 곱셈은 다음과 같이 쓰여진다.

:

e_g \cdot e_h = e_{gh}.

자유 벡터 공간을 *G*상의 *K* 값을 갖는 함수로 생각할 때, 대수 곱셈은 함수의 컨볼루션이다.

유한* 군의 군 대수는 군 위의 함수 공간과 동일시될 수 있지만, 무한 군의 경우 이 둘은 다르다. *유한* 합으로 구성된 군 대수는 유한 여집합을 제외한 모든 점에서 0이 되는 군 위의 함수에 해당하며, 이산 위상을 사용하면, 이는 컴팩트 지지를 갖는 함수에 해당한다.

군 대수 ''K''[''G'']와 함수 공간 는 쌍대이다. 군 대수의 원소가 주어지면

:

x = \sum_{g\in G} a_g g

그리고 군 위의 함수 는 다음을 통해 ''K''의 원소를 제공하도록 짝을 이룹니다.

:

(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g),

이는 유한하기 때문에 잘 정의된 합이다.

무한 군에 대한 군환의 경우에 대해서는 알려진 바가 훨씬 적으며, 이는 활발히 연구되는 분야이다.^[3]

카플란스키의 추측(~1940)은 만약 *G*가 비틀림 없는 군이고, *K*가 체이면, 군환 *K*[*G*]는 비자명 영인자를 갖지 않는다는 것이다.

이 추측은 일반적인 경우에는 여전히 미해결 상태로 남아 있지만, 비틀림 없는 군의 일부 특수한 경우에 영인자 추측을 만족한다는 것이 밝혀졌다. 여기에는 다음이 포함된다.

유일 곱셈 군 (예: 순서화 가능 군, 특히 자유군)
기초 가환성 군 (예: 가상 아벨 군)
확산 군

환 이 곱셈 단위 원 1}}를 가질 때 (군 의 단위원은 1}}로 표기), 군환 는 에 환 동형인 부분환을 가지며, 또한 그 단원군은 에 군 동형인 부분군을 포함한다. 실제로,

:

R \to R[G]; r \mapsto r\cdot 1_G\quad (\text{or }r \mapsto r\delta_{1_G})

는 단사 환 준동형이며, 마찬가지로

:

G \to (R[G])^\times;\; g \mapsto 1_R\cdot g\quad (\text{or }g\mapsto \delta_g)

는 곱셈군에 관한 단사 군 준동형이 된다. 특히, ⋅1}}는 의 곱셈 단위 원이다.

이 가환환이고, 가 아벨 군일 때, 군환 는 가환 가환 대수이다.
가 의 부분군이면, 군환 는 의 부분환이다. 마찬가지로, 가 의 부분환일 때, 군환 는 의 부분환이다.

2. 3. 군의 가군

군

G

위의 '''가군'''(''G''-module^영어)은 그 정수 계수의 군환

\mathbb Z[G]

의 가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군

(M,\rho)

는 아벨 군

M

과 군의 작용

\rho\colon G\times M\to M

으로 이루어져 있으며,

g\in G

,

a,b\in M

에 대하여

g(a+b)=ga+gb

을 만족시킨다.

환

K

위의 군환

K[G]

을 환으로 볼 때, 환

K[G]

위의 가군은 군

G

위의 가군이라고 불린다. 군

G

의 표현은

G

-가군의 언어로 바꿔 말할 수 있다.

유한군

G

와 체

K

가 주어졌고,

\operatorname{char}K\nmid|G|

(즉,

G

의 크기는

K

의 표수를 소인수로 갖지 않는다)라고 할 때, 군환

K[G]

를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원

K

-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. '''마슈케의 정리'''(Maschke’s theorem^영어)에 따르면, 군환

K[G]

는 반단순환이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽

K[G]

-가군은 반단순 가군이다.

이는 하인리히 마슈케(Heinrich Maschke^영어, 1853~1908)가 증명하였다.^[7]^[8]

특히, 군환

\mathbb{C}[G]

가 반단순이라는 것은, 그것이

\mathbb{C}

를 성분으로 갖는 행렬환의 직합으로 이해할 수 있다는 것을 의미한다.

G

가 유한 아벨군이라면, 군환은 가환환이며, 그 구조는 1의 멱근을 사용하여 쉽게 기술할 수 있다. 계수환

R

이 표수

p

의 체이고, 그 소수

p

가 유한군

G

의 위수를 나눈다면, 군환은 반단순이 아니며 자명하지 않은 제이콥슨 근기를 갖는다. 이 사실은, 그러한 조건 하에서의 모듈러 표현론에서의 대응하는 주제에서 중요한 의미를 나타낸다.

3. 성질

모노이드 환은 자연스럽게 $(R,R)$ -쌍가군의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군이자 오른쪽 자유 가군이다.

체 $k$ 위의 군환 $k[G]$ 는 벡터 공간을 이룬다.

1을 링 ''R''의 곱셈 항등원으로 사용하고, 군 단위원을 1_''G''로 표시하면, 링 ''R''[''G'']는 ''R''에 동형인 부분 링을 포함하고, 가역 원소의 군은 ''G''에 동형인 부분군을 포함한다.

만약 ''R''과 ''G''가 모두 가환적이라면(즉, ''R''이 가환적이고 ''G''가 아벨 군이라면), ''R''[''G'']는 가환적이다.

만약 ''H''가 ''G''의 부분군이라면, ''R''[''H'']는 ''R''[''G'']의 부분 링이다. 마찬가지로, ''S''가 ''R''의 부분 링이면, ''S''[''G'']는 ''R''[''G'']의 부분 링이다.

만약 ''G''가 1보다 큰 유한군이라면, ''R''[''G'']는 항상 영인자를 갖는다. 예를 들어, 차수가 ''m'' > 1인 ''G''의 원소 ''g''를 고려해보면, 1 − ''g''는 영인자이다.

: $(1 - g)(1 + g+\cdots+g^{m-1}) = 1 - g^m = 1 - 1 =0.$

예를 들어, 군 링 '''Z'''[''S''₃]과 차수가 3인 원소 ''g'' = (123)을 고려해 보자. 이 경우,

: $(1 - (123))(1 + (123)+ (132)) = 1 - (123)^3 = 1 - 1 =0.$

군환은 유한군의 군 표현론에서 자연스럽게 발생한다.

환이 곱셈 단위 원을 가질 때, 군환은 환에 환 동형인 부분환을 가지며, 또한 그 단원군은 군에 군 동형인 부분군을 포함한다.

이 가환환이고, 가 아벨 군일 때, 군환은 가환 가환 대수이다.

가 의 부분군이면, 군환은 의 군환의 부분환이다. 마찬가지로, 가 의 부분환일 때, 군환 는 의 부분환이다.

==== 마슈케 정리 ====

유한군 $G$ 와 체 $K$ 에 대해, $K$ 의 표수가 $G$ 의 위수를 나누지 않으면 군환 $K[G]$ 는 반단순환이 된다. 이는 하인리히 마슈케가 증명하였다.

$K$ 가 $G$ 의 차수를 나누는 표수 ''p''의 필드일 때, 그룹 링은 반단순이 아니며, 0이 아닌 제이콥슨 근기를 가진다.

==== 군환의 중심 ====

군의 중심은 군 대수의 모든 원소와 교환하는 원소들의 집합이다. 이는 class 함수들의 집합, 즉 각 켤레류에서 상수를 이루는 원소들의 집합과 같다.

환 K[G]의 곱셈 정의 방식으로부터, 그 환으로서의 중심은 G 위에서 정의된 K-값 류 함수 (즉, G의 각 켤레류 상에서 상수인 함수)의 전체와 일치한다.

3. 1. 마슈케 정리

유한군

G

와 체

K

에 대해,

K

의 표수가

G

의 위수를 나누지 않으면 군환

K[G]

는 반단순환이 된다. 이는 하인리히 마슈케가 증명하였다.

K

가

G

의 차수를 나누는 표수 ''p''의 필드일 때, 그룹 링은 반단순이 아니며, 0이 아닌 제이콥슨 근기를 가진다.

''K''[''G'']는 군 ''G''의 ''h''개의 기약 표현 ''S_i''의 ''K''-자기 준동형환 End_''K''(''S_i'')의 직합과 동형이다.

:

K[G] \simeq \bigoplus_{i=1}^h \operatorname{End}_K(S_i).

''S_i''의 차원을 ''d_i''라고 하면, 군환 자체의 차원은 다음과 같다.

:

g=\sum_{i=1}^hd_i^2

3. 2. 군환의 중심

군의 중심은 군 대수의 모든 원소와 교환하는 원소들의 집합이다. 이는 class 함수들의 집합, 즉 각 켤레류에서 상수를 이루는 원소들의 집합과 같다. 만약 ''K'' = '''C'''이면, ''G''의 기약 문자 집합은 내적에 관하여 Z(''K''[''G''])의 정규 직교 기저를 형성한다.

환 K[G]의 곱셈 정의 방식으로부터, 그 환으로서의 중심은 G 위에서 정의된 K-값 류 함수 (즉, G의 각 켤레류 상에서 상수인 함수)의 전체와 일치한다. K^G 상의 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 (내적)을 정의할수 있다.

기약 지표 전체는 이 류 함수 공간의 정규 직교 기저를 이룬다.

그러므로, 군 G 의 K 상의 기약 표현들의 지표들이 군환 K[G] 의 중심의 기저를 이룬다. 표현의 지표와 군환은 직교성을 생각할 때 서로 상보적인 관계에 있다. 슈어의 보조정리에 의해 기약 지표 사이의 직교 관계를 얻을수 있다.

4. 예시

이고, 생성원 $a$ 와 항등원 1_''G''을 갖는 순환군을 차수 3으로 갖는다고 하자. '''C'''[''G'']의 원소 ''r''은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,$

여기서 ''z''₀, ''z''₁, ''z''₂는 복소수인 '''C'''에 속한다. 이것은 변수 $a$ 에 대한 다항식환과 같은 것이며, $a^3=a^0=1$ 즉, '''C'''[''G'']는 환 '''C'''[ $a$ ]/ $(a^3-1)$ 와 동형이다.

다른 원소 ''s''를 $s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2$ 로 표현하면, 그 합은

: $r + s = (z_0+w_0) 1_G + (z_1+w_1) a + (z_2+w_2) a^2\,$

이고 곱은

: $rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.$

''G''의 항등원 1_''G''는 계수 환 (이 경우 '''C''')을 '''C'''[''G'']로 정규적으로 임베딩한다는 것을 알 수 있다. 그러나 엄밀히 말하면 '''C'''[''G'']의 곱셈 항등원은 1⋅1_''G'' 인데, 여기서 첫 번째 ''1''은 '''C'''에서, 두 번째는 ''G''에서 온다. 덧셈 항등원은 0이다.

''G''가 가환군이 아닐 경우, 항을 곱할 때 그룹 원소의 순서를 유지하도록 주의해야 한다 (그리고 실수로 서로 바꾸지 않도록).

환 ''R''에 대한 로랑 다항식 환은 무한 순환군 '''Z'''에 대한 그룹 환이다.

$\{e, \bar{e}, i, \bar{i}, j, \bar{j}, k, \bar{k}\}$ 를 원소로 갖는 사원수군 ''Q''를 생각해보자. 여기서 '''R'''은 실수 집합이다. 이 그룹 환의 임의의 원소는 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $x_1 \cdot e + x_2 \cdot \bar{e} + x_3 \cdot i + x_4 \cdot \bar{i} + x_5 \cdot j + x_6 \cdot \bar{j} + x_7 \cdot k + x_8 \cdot \bar{k}$

여기서 $x_i$ 는 실수이다.

다른 그룹 환과 마찬가지로, 곱셈은 그룹 연산을 기반으로 정의된다. 예를 들어,

: $\begin{align} \big(3 \cdot e + \sqrt{2} \cdot i \big)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) &= (3 \cdot e)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) + (\sqrt{2} \cdot i)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right)\\&= \frac{3}{2} \cdot \big((e)(\bar{j})\big) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \big((i)(\bar{j})\big)\\&= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \bar{k}\end{align}.$

'''R'''''Q''는 '''R'''에 대한 사원수의 왜곡체와 같지 않다는 점에 유의해야 한다. 이는 사원수 왜곡체가 환에서 $-1 \cdot i = -i$ 와 같은 추가 관계를 만족하지만, 그룹 환 '''R'''''Q''에서는 $-1\cdot i$ 가 $1\cdot \bar{i}$ 와 같지 않기 때문이다. 더 구체적으로, 그룹 환 '''R'''''Q''는 실수 벡터 공간으로서 차원이 8인 반면, 사원수 왜곡체는 실수 벡터 공간으로서 차원이 4이다.

비가환군 환의 또 다른 예는 $\mathbb{Z}[\mathbb{S}_3]$ 인데, 여기서 $\mathbb{S}_3$ 는 3개의 문자에 대한 대칭군이다. 이는 $[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0$ 이기 때문에 정역이 아닌데, 여기서 원소 $(12)\in \mathbb{S}_3$ 는 1과 2를 교환하는 전치이다. 따라서 그룹 환은 기저 환이 정역일 때조차 정역일 필요는 없다.

위수 3인 순환군 ⟨ ''g'' ''g''³ 1 ⟩}}를 취하고, exp(2π''i''/3)}}로 둔다.

이때

: $\begin{align}e_1 &= \tfrac{1}{3}(1 + g + g^2) \\e_2 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega g + \omega^2 g^2) \\e_3 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega^2 g + \omega g)\end{align}$

과 같이 군환 의 원소를 정의하면, 이들은 중심적 직교 원시 멱등원 분해 ''e''₁ + ''e''₂ + ''e''₃}}를 제공하며, 다음 직기약 분해와 동형을 얻는다.

: $\mathbb{C}G = e_1 \mathbb{C}G \oplus e_2 \mathbb{C}G \oplus e_3 \mathbb{C}G \cong\begin{pmatrix} \mathbb{C} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbb{C} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbb{C} \end{pmatrix}$

4. 1. 다항식환

자연수의 덧셈 모노이드

(\mathbb{N},+)

는 곱셈 표기법으로

\{1,x,x^2,x^3,\dots\}

로 적을 수 있다. 임의의 환

R

에 대하여, 모노이드 환

R[\mathbb N]

은 다항식환

R[x]

와 같다.

무한 순환군

\operatorname{Cyc}(\infty)=\{\dots,x^{-2},x^{-1},1,x,x^2,\dots\}

위의 군환은 다음과 같다.

:

R[\operatorname{Cyc}(\infty)]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)

유한 순환군

\operatorname{Cyc}(n)=\{1,x,x^2,\dots,x^{n-1}\}

위의 군환은 다음과 같다.

:

R[\operatorname{Cyc}(n)]\cong R[x]/(x^n)

4. 2. 로랑 다항식

환 ''R''에 대한 로랑 다항식 환은 무한 순환군 '''Z'''에 대한 그룹 환이다. 이는 무한 순환군에 대한 군환이 로랑 다항식환과 같기 때문이다.

4. 3. 행렬환

집합 S에 대하여, 순서쌍 준군 $\operatorname{Pair}(S)$는 다음과 같은 준군이다.

대상은 S의 원소이다. 즉, 대상 집합은 S이다.
임의의 두 대상 $s,t\in S$에 대하여 유일한 사상 $(s,t)\colon s\to t$이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 순서쌍으로 구성된 곱집합 $S\times S$로 생각할 수 있다.

만약 S가 크기 n의 유한 집합일 때, 임의의 환 R에 대하여 준군환 $R[\operatorname{Pair}(S)]$는 행렬환 $\operatorname{Mat}(n;R)$와 동형이다.

4. 4. 함수환

유한 집합

S

위의 이산 범주 (모든 사상이 항등 사상인 범주) 위의 범주환

R[S]

는

S

위의

R

값의 함수들의 환

R^S

이다.

5. 범주론적 관점

범주 대수, 단위군, 사건 대수, 퀘이버 대수는 군환의 한 종류이다.

== 범주론적 관점 ==

=== 수반 함자 ===

범주론적으로, 군환 구성은 단위군에 대한 왼쪽 수반이다. 다음 함자들은 수반 쌍을 이룬다.

여기서 $R[-]$ 는 군을 그 군환으로 변환하며, $(-)^\times$ 는 ''R''-대수를 그 단위군으로 변환한다.

$R =$ '''Z'''일 때, 이는 군 범주와 환 범주 사이의 수반을 제공하며, 이 수반의 단위는 군 ''G''를 자명한 단위를 포함하는 군으로 변환한다: $G × {±1} = {±g}.$ 일반적으로, 군환은 비자명한 단위를 포함한다. 만약 ''G''가 $a^n=1$ 을 만족하는 원소 ''a''와 ''b''를 포함하고 ''b''가 $\langle a\rangle$ 를 정규화하지 않으면,

: $x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )$

의 제곱은 0이 되므로, $(1+x)(1-x)=1$ 이다.

=== 보편 성질 ===

군환은 특정한 보편 성질을 만족하는 유일한 환으로 특징지을 수 있다.^[2]^[4] ''R''을 (가환) 환, ''G''를 군, ''S''를 ''R''-대수라고 하자. 임의의 군 준동형 사상 $f:G\to S^\times$ 에 대해, $\overline{f}^\times \circ i=f$ 를 만족하는 유일한 ''R''-대수 준동형 사상 $\overline{f}:R[G]\to S$ 가 존재한다. 여기서 ''i''는 포함 사상이다.

: $\begin{align}i:G &\longrightarrow R[G] \\g &\longmapsto 1_Rg\end{align}$

다시 말해, $\overline{f}$ 는 다음 다이어그램을 교환하게 만드는 유일한 준동형 사상이다.

이 성질을 만족하는 다른 환은 군환과 표준적으로 동형이다.

=== 호프 대수 ===

군 대수 ''K''[''G'']는 자연스럽게 호프 대수 구조를 갖는다. 쌍대곱셈은 $\Delta(g)=g\otimes g$ 로 정의되며, 선형적으로 확장되고, 반대는 $S(g)=g^{-1}$ 로 정의되며, 역시 선형적으로 확장된다.

5. 1. 수반 함자

범주론적으로, 군환 구성은 단위군에 대한 왼쪽 수반이다. 다음 함자들은 수반 쌍을 이룬다.

:

R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}

:

(-)^\times\colon R\mathbf{\text{-}Alg} \to \mathbf{Grp}

여기서

R[-]

는 군을 그 군환으로 변환하며,

(-)^\times

는 ''R''-대수를 그 단위군으로 변환한다.

R =

'''Z'''일 때, 이는 군 범주와 환 범주 사이의 수반을 제공하며, 이 수반의 단위는 군 ''G''를 자명한 단위를 포함하는 군으로 변환한다:

G × {±1} = {±g}.

일반적으로, 군환은 비자명한 단위를 포함한다. 만약 ''G''가

a^n=1

을 만족하는 원소 ''a''와 ''b''를 포함하고 ''b''가

\langle a\rangle

를 정규화하지 않으면,

:

x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )

의 제곱은 0이 되므로,

(1+x)(1-x)=1

이다.

5. 2. 보편 성질

군환은 특정한 보편 성질을 만족하는 유일한 환으로 특징지을 수 있다.^[2]^[4] ''R''을 (가환) 환, ''G''를 군, ''S''를 ''R''-대수라고 하자. 임의의 군 준동형 사상

f:G\to S^\times

에 대해,

\overline{f}^\times \circ i=f

를 만족하는 유일한 ''R''-대수 준동형 사상

\overline{f}:R[G]\to S

가 존재한다. 여기서 ''i''는 포함 사상이다.

:

\begin{align}i:G &\longrightarrow R[G] \\g &\longmapsto 1_Rg\end{align}

다시 말해,

\overline{f}

는 다음 다이어그램을 교환하게 만드는 유일한 준동형 사상이다.

이 성질을 만족하는 다른 환은 군환과 표준적으로 동형이다.

5. 3. 호프 대수

군 대수 ''K''[''G'']는 자연스럽게 호프 대수 구조를 갖는다. 쌍대곱셈은

\Delta(g)=g\otimes g

로 정의되며, 선형적으로 확장되고, 반대는

S(g)=g^{-1}

로 정의되며, 역시 선형적으로 확장된다.

6. 응용

군환은 군 표현론에서 핵심적인 역할을 한다. 특히, 유한군의 표현론은 군환의 반단순성 및 직합 분해와 밀접하게 관련되어 있다.

''K''[''G'']를 추상 대수라고 할 때, 차원이 ''d''인 ''K''-벡터 공간 ''V''에서 작용하는 대수의 군 표현을 생각할 수 있다. 이러한 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)$

이는 군 대수에서 ''V''의 자기 준동형 사상 대수로의 대수 준동형 사상이며, ''d × d'' 행렬의 고리 $\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K)$ 와 동형이다. 이는 가환군 ''V''에 대한 왼쪽 ''K''[''G'']-가군과 같다.

이에 상응하여, 군 표현은 다음과 같다.

: $\rho:G\rightarrow \mbox{Aut}(V),$

이는 ''G''에서 ''V''의 선형 자기 동형 사상 군으로의 군 준동형 사상이며, 가역 행렬의 일반 선형군 $\mathrm{Aut}(V)\cong \mathrm{GL}_d(K)$ 와 동형이다. 이러한 표현은 $\tilde{\rho}(e_g) = \rho(g)$ 로 두고 선형적으로 확장하여 대수 표현

: $\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End}(V),$

을 유도한다. 따라서 군의 표현은 정확히 대수의 표현에 해당하며, 두 이론은 본질적으로 동일하다.

군 대수는 자기 자신에 대한 대수이다. ''R''에 대한 표현과 ''R''[''G''] 모듈의 대응에 따라, 이는 해당 군의 정규 표현이다.

표현으로 작성하면, $\rho(g)\cdot e_h = e_{gh}$ 로 주어지는 작용을 갖는 표현 ''g'' ''ρ''_''g''이며, 다음과 같다.

: $\rho(g)\cdot r = \sum_{h\in G} k_h \rho(g)\cdot e_h = \sum_{h\in G} k_h e_{gh}.$

벡터 공간 ''K''[''G'']의 차원은 그룹의 원소의 개수와 같다. 필드 ''K''는 일반적으로 복소수 '''C''' 또는 실수 '''R'''로 간주되어 그룹 대수 '''C'''[''G''] 또는 '''R'''[''G'']를 논의한다.

유한 그룹의 복소수 위의 그룹 대수 '''C'''[''G'']는 반단순환이다. 이 결과, 마슈케 정리에 의해 '''C'''[''G'']를 '''C'''를 엔트리로 하는 행렬환의 유한 곱으로 이해할 수 있다. ''k'' = 1, . . . , ''m''에 대해 ''V_k''로 ''G''의 복소수 기약 표현을 나열하면, 이는 그룹 준동형 $\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)$ 에 해당하며, 따라서 대수 준동형 $\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)$ 에도 해당한다. 이러한 매핑을 모으면 대수 동형 사상이 된다.

: $\tilde\rho : \mathbb{C}[G] \to \bigoplus_{k=1}^m \mathrm{End}(V_k)\cong \bigoplus_{k=1}^m M_{d_k}(\mathbb{C}),$

여기서 ''d_k''는 ''V_k''의 차원이다. End(''V_k'')에 해당하는 '''C'''[''G'']의 부분 대수는 양면 아이디얼이며, 이는 멱등원에 의해 생성된다.

: $\epsilon_k = \frac{d_k}$

\sum_{g\in G}\chi_k(g^{-1})\,g,

여기서

\chi_k(g)=\mathrm{tr}\,\rho_k(g)

는 ''V_k''의 문자이다. 이것들은 직교 멱등원의 완전한 시스템을 형성하며,

\epsilon_k^2 =\epsilon_k

,

\epsilon_j \epsilon_k = 0

for ''j ≠ k'', 및

1 = \epsilon_1+\cdots+\epsilon_m

이다. 동형 사상

\tilde\rho

는 유한군의 푸리에 변환과 밀접하게 관련되어 있다.

더 일반적인 필드 ''K''에 대해, ''K''의 표수가 그룹 ''G''의 차수를 나누지 않을 때마다 ''K''[''G'']는 반단순이다. ''G''가 유한 아벨 군일 때, 그룹 링 ''K''[G]는 가환이며, 그 구조는 단위근으로 쉽게 표현할 수 있다.

''K''가 ''G''의 차수를 나누는 표수 ''p''의 필드일 때, 그룹 링은 반단순이 ''아니다'': 이는 0이 아닌 제이콥슨 근기를 가지며, 이것이 모듈러 표현론이라는 해당 주제에 자체적이고 더 깊은 특성을 부여한다.

군 표현의 일종인 프로베니우스 상호 법칙은 군환의 구조를 사용하여 증명할 수 있다. 이는 ''G''-가군의 유도 표현을 구성하는 방법으로 이해할 수 있다. 유한군 ''G''의 부분군 ''H''와 ''K''[''H'']-가군 ''W''에 대해, ''W''에서 유도되는 ''G''-가군은

:

V \simeq K[G] \otimes_{K[H]} W

와 같다. (}}는 -가군으로서의 텐서곱이다.) 이 유도 표현은 ''H''-가군 ''W''의 (환 에서 로의) 계수 확대에 해당한다. ''H''가 ''G''의 정규 부분군일 때, 이 유도 표현은 ''H''에 의한 반직접곱과 동치이다.

프로베니우스 상호 법칙은 유도 표현의 지표에 관한 내적을 계산하는 방법을 제공한다. ''ψ''를 ''H''의 표현 ''θ''로서의 ''H''-가군 ''W''의 지표로 하고, ''χ''를 ''G''의 표현 ''ρ''의 지표로 한다. ''ψ''의 ''G''에 대한 유도 표현의 지표를 , ''ρ''의 ''H''에 대한 제한의 지표를 라고 하면, 프로베니우스 상호 법칙은

:

\langle \operatorname{Ind}_H^G \psi \mid \chi\rangle_G = \langle\psi \mid \operatorname{Res}_H^G \chi\rangle_H

라는 관계가 성립함을 알려준다. 이는 각각의 부속 ''K''-다대수 준동형 사상의 공간의 동형 (Ind ''θ'', ''ρ'') ≅ Hom(''θ'', Res ''ρ'')}}를 구성함으로써 증명할 수 있다.

유한 가환군 위의 조화해석에서, 유한군

G

가 아벨군이면 그 쌍대군 또한 유한이며

G

와 동형이다. 따라서 복소수 계수 군환 위의 조화해석 도구를 사용할 수 있으며, 푸리에 변환과 합성곱을 정의하고, 파르세발의 등식, 플랑셰렐의 정리, 폰트랴긴 쌍대성 등의 정리를 적용할 수 있다.

제곱 잉여의 상호 법칙을 증명하는 데 사용하는 르장드르 기호나 가우스 합, 원분 다항식의 근을 구하는 데 사용하는 가우스 주기 등 정수론적 도구를 포함한 많은 고전적인 정리를 유한 가환군 위의 조화해석으로 다시 해석할 수 있다.

6. 1. 프로베니우스 상호 법칙

군 표현의 일종인 프로베니우스 상호 법칙은 군환의 구조를 사용하여 증명할 수 있다. 이는 ''G''-가군의 유도 표현을 구성하는 방법으로 이해할 수 있다. 유한군 ''G''의 부분군 ''H''와 ''K''[''H'']-가군 ''W''에 대해, ''W''에서 유도되는 ''G''-가군은

:

V \simeq K[G] \otimes_{K[H]} W

와 같다. (}}는 -가군으로서의 텐서곱이다.) 이 유도 표현은 ''H''-가군 ''W''의 (환 에서 로의) 계수 확대에 해당한다. ''H''가 ''G''의 정규 부분군일 때, 이 유도 표현은 ''H''에 의한 반직접곱과 동치이다.

프로베니우스 상호 법칙은 유도 표현의 지표에 관한 내적을 계산하는 방법을 제공한다. ''ψ''를 ''H''의 표현 ''θ''로서의 ''H''-가군 ''W''의 지표로 하고, ''χ''를 ''G''의 표현 ''ρ''의 지표로 한다. ''ψ''의 ''G''에 대한 유도 표현의 지표를 , ''ρ''의 ''H''에 대한 제한의 지표를 라고 하면, 프로베니우스 상호 법칙은

:

\langle \operatorname{Ind}_H^G \psi \mid \chi\rangle_G = \langle\psi \mid \operatorname{Res}_H^G \chi\rangle_H

라는 관계가 성립함을 알려준다. 이는 각각의 부속 ''K''-다대수 준동형 사상의 공간의 동형 (Ind ''θ'', ''ρ'') ≅ Hom(''θ'', Res ''ρ'')}}를 구성함으로써 증명할 수 있다.

6. 2. 조화 해석

유한 가환군 위의 조화해석에서, 유한군

G

가 아벨군이면 그 쌍대군 또한 유한이며

G

와 동형이다. 따라서 복소수 계수 군환 위의 조화해석 도구를 사용할 수 있으며, 푸리에 변환과 합성곱을 정의하고, 파르세발의 등식, 플랑셰렐의 정리, 폰트랴긴 쌍대성 등의 정리를 적용할 수 있다.

제곱 잉여의 상호 법칙을 증명하는 데 사용하는 르장드르 기호나 가우스 합, 원분 다항식의 근을 구하는 데 사용하는 가우스 주기 등 정수론적 도구를 포함한 많은 고전적인 정리를 유한 가환군 위의 조화해석으로 다시 해석할 수 있다.

7. 한국 수학계의 기여

참조

_[1] 서적 2002
_[2] 서적 2002
_[3] 논문 What is a group ring? http://www.maa.org/p[...]
_[4] 웹사이트 group algebra in nLab https://ncatlab.org/[...] 2017-11-01
_[5] 문서 これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数[[環の中心]]上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。
_[6] 문서 特に群 {{mvar|G}} が加法的に書かれている場合、群環における乗積表は {{math|''e''{{ind|''g''}}⋅''e''{{ind|''h''}} {{=}} ''e''{{ind|''g''+''h''}}}} から得られるが、群の元 {{mvar|g}} を生成元 {{mvar|e{{ind|g}}}} と同一視する記法では、群の演算と群環の形式和の区別が紛らわしい。
_[7] 저널 Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen http://resolver.sub.[...] 1898
_[8] 저널 Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind http://resolver.sub.[...] 1899

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