미분기하학

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1. 개요

미분기하학은 기하학의 한 분야로, 미적분학을 사용하여 곡선, 곡면, 그리고 더 일반적인 다양체의 기하학적 성질을 연구한다. 고대 그리스 시대부터 시작되어, 17세기 미적분학의 발전과 함께 체계적인 연구가 이루어졌다. 주요 하부 분야로는 리만 기하학, 준 리만 기하학, 핀슬러 기하학, 심플렉틱 기하학, 접촉 기하학, 복소 기하학, CR 기하학, 등각 기하학, 미분 위상수학, 리 군, 기하 해석학, 게이지 이론 등이 있다. 이론 물리학, 경제학, 컴퓨터 과학, 무선 통신 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 일반 상대성 이론, 양자장론, 끈 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

2. 역사

미분기하학의 역사와 발전은 적어도 고대까지 거슬러 올라간다. 이는 더 일반적으로 기하학의 발전, 공간과 형태의 개념, 특히 다양체 연구를 포함하는 위상수학과 밀접하게 관련되어 있다. 이 절에서는 주로 무한소 방법을 기하학에 적용한 역사, 이후 접공간의 아이디어, 그리고 궁극적으로 텐서와 텐서장을 이용한 이 주제의 현대적 형식주의의 발전에 초점을 맞춘다.

=== 고대부터 르네상스 시대까지 (기원전 300년~서기 1600년) ===

미분기하학, 또는 적어도 부드러운 모양의 기하학 연구는 적어도 고대까지 거슬러 올라갈 수 있다.^[1] 특히, 고대 그리스 수학자 시대에 지구의 기하학, 즉 구면 기하학에 대해 많은 것이 알려져 있었다. 유명하게도 에라토스테네스는 기원전 200년경에 지구의 둘레를 계산했고, 서기 150년경 프톨레마이오스는 그의 저서 ''지리학''에서 지구의 모양을 매핑할 목적으로 스테레오그래픽 투영법을 도입했다.^[1] 이 기간 동안 미분기하학과 미적분학의 기초를 형성하는 원리가 측지학에 암묵적으로 사용되었지만, 매우 단순화된 형태였다. 즉, 유클리드의 ''원론''에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 제공하는 속성으로 정의될 수 있다는 것을 이해했으며, 이와 동일한 원리를 지구 표면에 적용하면 평면에서 직선과 국부적으로 유사한 대원이 지구 표면의 두 점 사이의 최단 경로를 제공한다는 결론에 도달한다. 실제로, 에라토스테네스 등이 이러한 측지선 경로를 따라 측정한 거리는 1600년대까지 미적분학적 관점에서 엄격한 정의가 이루어지지 않은 개념인 곡선의 호의 길이에 대한 초보적인 척도로 간주될 수 있다.

이 시기에는 현대적인 미적분학 기반의 연구의 전조인 무한소 이론을 기하학 연구에 적용한 사례가 거의 없었다. 유클리드의 ''원론''에서는 원에 대한 직선의 접선 개념이 논의되었으며, 아르키메데스는 소진법을 적용하여 원과 같은 부드러운 모양의 면적과 구, 원뿔, 원통과 같은 부드러운 3차원 입체의 부피를 계산했다.^[1]

고대와 르네상스 초창기 사이에는 미분기하학 이론의 발전이 거의 없었다. 아이작 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 발전 이전에, 미분기하학에 대한 이해에서 가장 중요한 발전은 게르하르두스 메르카토르가 지구를 매핑하는 방법으로 메르카토르 도법을 개발한 것이었다. 메르카토르는 자신의 지도 설계의 장점과 함정을 이해하고 있었고, 특히 자신의 투영법의 등각사상적 성격과 지구에서 최단 거리의 선인 ''praga''와 그의 지도에서 직선 경로인 ''directio'' 사이의 차이점을 알고 있었다. 메르카토르는 이 투영법에서 프라가가 ''oblique curvatur''라고 언급했다.^[1] 이러한 사실은 나중에 가우스의 가우스의 놀라운 정리의 결과인 지구 표면의 등거리 변환이 평면에 존재하지 않음을 반영한다.

2. 1. 고대와 르네상스 시대

미분기하학의 역사는 적어도 고대까지 거슬러 올라간다.^[1] 특히 고대 그리스 수학자들은 지구의 기하학, 즉 구면 기하학을 연구했다. 에라토스테네스는 기원전 200년경에 지구의 둘레를 계산했고, 서기 150년경 프톨레마이오스는 그의 저서 ''지리학''에서 지구의 모양을 매핑하기 위해 스테레오그래픽 투영법을 도입했다.^[1] 유클리드는 ''원론''에서 직선이 두 점 사이의 최단 거리를 제공하는 속성으로 정의될 수 있음을 언급했고, 이를 지구 표면에 적용하여 대원이 지구 표면의 두 점 사이의 최단 경로를 제공한다는 사실을 발견했다.^[1] 이러한 발견은 훗날 측지선 경로를 따라 측정하는 거리는 1600년대까지 미적분학적 관점에서 엄격한 정의가 이루어지지 않은 개념인 곡선의 호의 길이에 대한 초보적인 척도로 간주될 수 있다.

유클리드의 ''원론''에서는 원에 대한 직선의 접선 개념이 논의되었으며, 아르키메데스는 소진법을 적용하여 원과 같은 부드러운 모양의 면적과 구, 원뿔, 원통과 같은 부드러운 3차원 입체의 부피를 계산했다.^[1]

고대와 르네상스 초기 사이에는 미분기하학 이론의 발전이 거의 없었다. 아이작 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 발전 이전에, 미분기하학에 대한 이해에서 가장 중요한 발전은 게르하르두스 메르카토르가 지구를 매핑하는 방법으로 메르카토르 도법을 개발한 것이었다. 메르카토르는 자신의 투영법의 등각사상적 성격을 알고 있었고, 지구에서 최단 거리의 선인 ''praga''와 그의 지도에서 직선 경로인 ''directio'' 사이의 차이점을 알고 있었다.^[1]

2. 2. 미적분학의 발전과 함께 (17세기~18세기)

아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 미적분학을 발전시킨 17세기부터 미분기하학에 대한 체계적인 연구가 시작되었다.^[1] 르네 데카르트의 해석 기하학 도입은 복잡한 기하학적 도형을 엄밀하게 설명하는 데 기여했다. 피에르 드 페르마, 뉴턴, 라이프니츠는 평면 곡선을 연구하며 변곡점과 접촉원 같은 개념을 통해 곡률을 측정했다. 라이프니츠는 그의 첫 번째 논문에서

d^2 y = 0

이 변곡점의 존재를 나타낸다고 언급했다.^[1] 베르누이 형제인 야코프와 요한은 무한소를 기하학 연구에 활용했다. 로피탈은 미분 미적분학에 관한 첫 번째 교과서를 통해 평면 곡선의 접선을 계산하는 방법을 제시했다.^[1]

알렉시 클레로는 공간 곡선 연구를 통해 곡면의 접선 공간에 대한 이해를 보여주었고, "곡률"과 "이중 곡률"이라는 용어를 도입했다.^[2]^[1] 레온하르트 오일러는 측지선 개념을 연구하고, 측지선 방정식을 유도했으며, 곡면에서 첫 번째 고유 좌표계를 도입했다.^[1] 또한 오일러의 정리를 통해 주곡률을 사용하여 곡면상의 공간 곡선의 곡률을 표현했다.^[1]

18세기 후반, 가스파르 몽주는 회전 곡면 및 평면 곡선과 공간 곡선의 포락선을 연구하며 미분기하학 발전에 기여했다.^[1]

2. 3. 내재적 기하학과 비유클리드 기하학 (19세기)

19세기에 미분기하학은 카를 프리드리히 가우스와 베른하르트 리만의 연구를 통해 독자적인 분야로 발전하였다.^[4] 가우스는 1827년 "곡면에 관한 일반적인 연구"를 발표하여 가우스 사상, 가우스 곡률, 제1 기본 형식, 제2 기본 형식 등의 개념을 도입하고, 가우스의 빼어난 정리를 증명하여 가우스 곡률이 내재적 불변량임을 보였다.^[5]^[4]^[6] 가우스는 이 연구와 곡면 이론에 관한 미발표 노트를 통해 비유클리드 기하학의 발명가이자 내재적 미분기하학의 발명가로 불리게 되었다.^[6]

가우스는 이미 유클리드 기하학의 표준 패러다임을 버려야 한다는 의견을 갖고 있었으며, 비유클리드 기하학에 대한 개인적인 원고를 소유하고 있었다.^[6]^[7] 같은 시기에 야노스 보야이와 니콜라이 로바체프스키는 독립적으로 쌍곡 기하학을 발견하여 유클리드의 패러다임 밖에도 일관된 기하학이 존재함을 증명했다. 1860년대 후반에 에우제니오 벨트라미는 쌍곡 기하학의 구체적인 모델을 제시하였고, 펠릭스 클라인은 1871년에 비유클리드 기하학이라는 용어를 만들고, 에를랑겐 프로그램을 통해 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 동등한 위치에 놓았다.^[8]

가우스의 제자인 베른하르트 리만은 "기하학의 기초가 되는 가설에 대하여"라는 논문에서 리만 계량과 리만 곡률 텐서의 개념을 도입하고 고차원 미분기하학의 체계적인 연구를 시작했다.^[9] 리만은 선형대수와 다중선형대수를 체계적으로 사용하여, 계량과 곡률 연구에 이차 형식의 이론을 크게 활용했다. 리만은 시공간 내의 질량 분석을 통해 시공간의 계량적 성질을 탐구하는 것이 가능할 수 있다고 제안하여, 일반 상대성 이론의 토대를 마련했다.^[6]^[4]

2. 4. 현대 미분기하학 (20세기~현재)

20세기 초, 앙리 푸앵카레는 연구를 통해 위상수학의 기초를 닦았고, 힐베르트의 프로그램을 통해 수학의 엄밀성을 추구하는 움직임이 일어났다.^[12] 펠릭스 하우스도르프는 1914년에 위상 공간의 개념을 정립하고, 다양체의 현대적 개념이 발전되었다.^[12]

알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 유사 리만 기하학을 물리학에 도입하고, 텐서 미적분을 대중화시켰다. 엘리 카르탕은 외 미적분학과 이동 틀 이론을 통해 매끄러운 다양체의 미분기하학의 기초를 재정립하고, 아인슈타인-카르탕 이론에 기여했다.^[13]^[4]

헤르만 바일은 바일 텐서를 도입하고 게이지 (수학)의 개념을 정의하여 게이지 이론 (수학)의 발전을 이끌었다. 장-루이 코쉴은 벡터 다발의 접속을 도입하였고, 천싱선은 특성류를 도입하고 복소 다양체 연구를 시작하였다. 윌리엄 밸런스 더글러스 호지 경와 조르주 드 람은 미분 형식에 대한 이해를 넓혔고, 샤를 에레만은 섬유 다발과 에레만 접속의 이론을 도입했다.^[13]^[4]

20세기 중후반, 게이지 이론 (수학), 양-밀스 이론, 아티야-싱어 지표 정리, 복소 기하학, 리치 흐름 등의 분야에서 획기적인 발전이 이루어졌다. 특히, 그리고리 페렐만은 리치 흐름을 이용하여 푸앵카레 추측을 증명하였다. 마이클 아티야와 에드워드 위튼 등은 이론 물리학과 미분기하학의 상호작용을 통해 새로운 수학적 발견을 이끌어냈고, 자이베르그-위튼 불변량과 같은 개념이 등장하였다.

3. 하부 분야

3. 1. 리만 기하학

리만 기하학은 계량 텐서가 주어진 리만 다양체와 매끄러운 다양체에 대해 연구한다. 리만 계량 텐서는 매끄러운 양의 정부호 대칭 이중선형꼴로 각 점에서의 접평면에서 정의되는 거리에 대한 개념이다. 각 점에서 "미소"하게, 즉, 1차 근사로, 유클리드 공간으로 여길수 있지만 실제로 공간이 평평할 필요가 없는 공간에서 유클리드 기하를 일반화시켰다. 곡선의 길이, 면의 넓이, 입체의 부피 같은 길이에 대한 다양한 개념들을 리만 기하학에서 모두 자연스럽게 유추할 수 있다. 다변수 미적분학에서 함수의 방향 도함수의 개념이 리만 기하학에서는 텐서의 공변 미분으로 확장되었다.

리만 다양체 사이에 거리를 보존하는 미분동형사상은 등거리변환이라 부른다. 이 개념 또한 ''국소적''(즉, 한 점의 좁은 근방)으로 정의될 수 있다. 어느 두 표준 곡선은 지역적으로 등거리 변환이다. 하지만 이미 가우스의 빼어난 정리는 표면에서 지역적 등거리변환의 존재성이 강한 양립가능성을 의미한다는 것을 보여주었다. 즉, 대응되는 점들의 가우스 곡률은 반드시 같아야 한다. 고차원에서 리만 곡률 텐서는 리만 다양체와 관련된 얼마나 평평한지를 측정해주는 각 점을 기준으로 한 좋은 불변량이다. 리만 다양체의 중요한 류(en:class)는 리만 대칭 공간이다. 리만 대칭 공간의 곡률은 꼭 일정할 필요가 없다. 이들은 유클리드 기하와 비유클리드 기하에서의 "보통의" 평면과 공간에서 가장 근접한 유추이다.

리만 기하학에서는 매끄러운 다양체에 선소의 길이 개념을 추가하여 아주 미소한 범위에서는 유클리드 공간과 같은 구조를 부여한 리만 다양체가 주요 연구 대상이 된다. 리만 다양체 위에서는 함수의 경사, 벡터장의 발산 및 곡선의 길이 등 다양한 유클리드 기하학의 개념이 (전역적 대칭성을 떨어뜨림으로써) 일반화된다. 리만 곡률 텐서가 리만 다양체의 각 점에 대해 정해지며, 이를 통해 다양체가 얼마나 평탄한지를 측정할 수 있다.

3. 2. 준 리만 기하학

'''준 리만 기하학'''(영어: pseudo-Riemannian geometry)은 계량 텐서가 양의 정부호일 필요가 없는 경우의 리만 기하학을 일반화시킨 것이다. 로런츠 다양체는 준 리만 기하학의 특수한 경우이며, 일반 상대성 이론의 수학적 토대를 이룬다.

3. 3. 핀슬러 기하학

핀슬러 기하학은 연구의 주요 대상으로 핀슬러 다양체를 가진다. 핀슬러 다양체는 각 접공간에 바나흐 노름인 핀슬러 계량을 가진 미분 다양체이다. 리만 다양체는 핀슬러 다양체의 특수한 경우이다. 다양체

M

위의 핀슬러 구조는 다음 조건을 만족하는 함수

F:\mathrm{T}M\to[0,\infty)

이다.

#

F(x,my)=mF(x,y)

(

(x,y)

는

\mathrm{T}M

의 원소,

m\ge 0

)

#

F

는

\mathrm{T}M\setminus\{0\}

에서 무한히 미분가능

#

F^2

의 수직 헤시안은 양의 정부호

3. 4. 심플렉틱 기하학

심플렉틱 기하학은 심플렉틱 다양체를 연구하는 학문이다. 준 심플렉틱 다양체는 각 접공간에 매끄럽게 변하는 비퇴화 왜대칭 쌍선형 형식을 갖춘 미분 가능한 다양체, 즉 ''ω''라는 2-미분 형식이다. 심플렉틱 형식은 ''ω''가 닫힌 준 심플렉틱 다양체이다(d''ω'' = 0).

심플렉틱 형식을 보존하는 두 심플렉틱 다양체 사이의 미분 동형 사상은 심플렉토모피즘이라고 한다. 비퇴화 왜대칭 쌍선형 형식은 짝수 차원 벡터 공간에서만 존재할 수 있으므로 심플렉틱 다양체는 필연적으로 짝수 차원을 갖는다. 2차원에서 심플렉틱 다양체는 단지 면적 형식을 갖춘 곡면이며, 심플렉토모피즘은 면적을 보존하는 미분 동형 사상이다. 기계적 시스템의 위상 공간은 심플렉틱 다양체이며, 이미 조제프 루이 라그랑주의 해석 역학에 대한 연구와 나중에 카를 구스타프 야코비와 윌리엄 로언 해밀턴의 고전 역학의 공식화에 암묵적으로 나타났다.

리만 기하학에서 곡률이 리만 다양체의 국소 불변량을 제공하는 것과 달리, 다르부 정리는 모든 심플렉틱 다양체가 국소적으로 동형이라고 명시한다. 심플렉틱 다양체의 유일한 불변량은 본질적으로 전역적이며 위상적 측면이 심플렉틱 기하학에서 중요한 역할을 한다. 심플렉틱 위상 수학의 첫 번째 결과는 아마도 푸앵카레-비르크호프 정리일 것이며, 앙리 푸앵카레가 추측하고 1912년에 G.D. 비르크호프가 증명했다. 이 정리는 면적을 보존하는 환의 사상이 각 경계 성분을 반대 방향으로 비틀면 사상이 최소 두 개의 고정점을 갖는다고 주장한다.^[14]

3. 5. 접촉 기하학

접촉 기하학은 홀수 차원 다양체에 대해 다루며, 심플렉틱 기하학과 밀접한 관련이 있다. 후자와 마찬가지로 고전 역학의 문제에서 시작되었다. (2''n'' + 1)-차원 다양체 ''M'' 위의 접촉 구조는 접선 다발의 매끄러운 초평면장 ''H''에 의해 주어지며, 이는 ''M'' 위의 미분 가능한 함수의 레벨 집합과 연관되는 것과는 최대한 거리가 멀다. 각 점 ''p'' 근처에서 초평면 분포는 영점이 아닌 1-형식

\alpha

에 의해 결정되며, 이는 영점이 아닌 함수를 곱하는 것까지 고유하다.

:

H_p = \ker\alpha_p\subset T_{p}M.

''M'' 위의 지역 1-형식은, 그 외미분을 ''H''로 제한한 것이 비퇴화 2-형식이어서 각 점에서 ''H''_''p''에 심플렉틱 구조를 유도한다면 접촉 형식이다. 분포 ''H''가 전역 1-형식

\alpha

로 정의될 수 있다면, 이 형식은 다음의 최고 차원 형식이

:

\alpha\wedge (d\alpha)^n

''M'' 위의 부피 형식인 경우, 즉 어디에서도 사라지지 않는 경우에만 접촉 형식이다. 다르부 정리의 접촉 기하학 버전이 성립한다. 즉, 홀수 차원 다양체의 모든 접촉 구조는 국소적으로 동형이며, 좌표계의 적절한 선택에 의해 특정 국소 표준형으로 변환될 수 있다.

3. 6. 복소 기하학 및 켈러 기하학

복소 미분 기하학은 복소다양체를 연구하는 분야이다. 거의 복소다양체는 실수 다양체 M에 (1, 1)형의 텐서인 벡터 다발 자기사상(거의 복소 구조)이 부여된 것이다. 이 때, 거의 복소 구조는 다음을 만족한다.

:

J:TM\rightarrow TM

,

J^2=-1. \,

이 정의에 따르면 거의 복소다양체는 짝수 차원이다.

거의 복소다양체는

N_J=0

일 때 복소다양체라고 하며, 여기서

N_J

는

J

와 관련된 (2, 1)형의 텐서이며, 니엔하우스 텐서라고 한다. 거의 복소다양체가 정칙 좌표 아틀라스를 허용하는 경우에만 복소다양체이다.

에르미트 다양체는 거의 복소 구조 ''J''와 리만 계량 ''g''에 의해 주어지며, 다음의 호환성 조건을 만족한다.

:

g(JX,JY)=g(X,Y). \,

거의 에르미트 구조는 자연스럽게 미분 2-형식을 정의한다.

:

\omega_{J,g}(X,Y):=g(JX,Y). \,

켈러 다양체는 켈러 구조가 부여된 다양체로, 특히 복소다양체이자 심플렉틱 다양체이다. 켈러 다양체의 큰 부류 (호지 다양체의 부류)는 모든 매끄러운 복소 사영 대수다양체에 의해 주어진다.

다음 두 조건은 서로 동치이다.

#

N_J=0\mbox{ and }d\omega=0 \,

#

\nabla J=0 \,

여기서

\nabla

는

g

의 레비-치비타 접속이다.

3. 7. CR 기하학

CR 기하학은 복소 다양체 내 영역의 경계에 대한 고유 기하학을 연구하는 분야이다.

3. 8. 등각 기하학

등각 기하학은 공간에서 각도를 보존하는 등각 변환 집합을 연구하는 분야이다.

3. 9. 미분 위상 수학

미분 위상수학은 계량이나 심플렉틱 형식이 없는 전역적인 기하학적 불변량을 연구하는 분야이다. 자연 벡터 다발의 리 미분과 미분 형식의 드람 미분과 같은 자연스러운 연산에서 시작한다. 리 대수 외에도 쿠랑 대수도 중요한 역할을 한다.

미분 위상 기하학에서는 다양체 위의 매끄러운 구조에만 기인하는 구조나 성질을 연구한다. 매끄러운 다양체는 부가적인 기하 구조가 부여된 다양체보다 유연한 대상이다. 부가적인 구조는 미분 위상 기하학적으로 가능한 변형이나 동치 관계의 존재에 대한 장애가 될 수 있다. 예를 들어 부피나 리만 곡률 텐서는 하나의 매끄러운 다양체 위의 서로 다른 기하 구조를 구별하는 불변량이 될 수 있다. 즉, 다양체를 매끄럽게 "늘릴" 수 있다고 하더라도, 그로 인해 공간이 변형되어 곡률이나 부피가 영향을 받을 수 있다.

반대로, 매끄러운 다양체는 위상 다양체와 비교하면 더 엄격한 구조를 가지고 있다. 어떤 종류의 위상 다양체는 매끄러운 구조를 가질 수 없으며(도널드슨의 정리), 어떤 종류의 것은 서로 다른 여러 개의 매끄러운 구조를 가질 수 있다(예: 이종 구면). 매끄러운 다양체로부터 얻어지는 구성 중, 접다발처럼 (추가적인 고찰을 통해) 위상 다양체에 대해서도 실현 가능한 것도 있지만, 그렇지 않은 것도 있다.

3. 10. 리 군

리 군(Lie group)은 군이면서 매끄러운 다양체이다. 기하학적 대칭들로 이뤄진 군들은 리 군인 경우가 많다. 대표적으로 평면 상에서 회전군 U(1), 3차원 유클리드 공간 상에서 회전군 SO(3)가 있다. 또한 여러 가지 중요한 행렬군들인 일반선형군 GL(n), 유니터리 군 U(n), 특수 유니터리 군 SU(n), 직교군 O(n) 등도 리 군이다.

리 군은 매끄러운 다양체의 범주에 속하는 군으로, 대수적 성질 외에도 미분 기하학적 성질도 지닌다. 가장 명백한 구성은 단위점에서 접공간으로, 좌불변 벡터장 사이의 리 괄호를 갖는 리 대수이다. 구조 이론 외에도 표현론이라는 광범위한 분야가 있다.

3. 11. 기하 해석학

기하 해석학은 (비)선형 편미분 방정식을 이용하여 미분 위상수학과 미분 기하학의 결과들을 얻는 분야이다. 극소 곡면에 관한 이론, 호지 이론 등등이 기하 해석학의 결과들이다. 푸앵카레 추측은 기하 해석학의 주요 문제 중 하나였다.

3. 12. 게이지 이론

게이지 이론 (수학)은 벡터 다발과 주다발 위의 접속 (미분기하학) 연구이며, 수리물리학과 물리적 게이지 이론의 문제에서 비롯되었다. 이는 입자 물리학의 표준 모형의 기초를 이룬다. 게이지 이론은 다발 위의 접속에 대한 미분 방정식과 이러한 방정식의 해의 결과적인 기하학적 모듈 공간, 그리고 이들로부터 파생될 수 있는 불변량을 연구하는 데 관련이 있다. 이러한 방정식은 종종 오일러-라그랑주 방정식으로서 양자장론에서 특정 물리적 시스템의 운동 방정식을 설명하며, 따라서 그 연구는 물리학에서 상당한 관심을 받는다. 양-밀스 방정식은 게이지 이론의 중요한 예시이다.

4. 다발과 접속

벡터 다발, 주다발, 그리고 다발 위의 접속의 구조는 현대 미분기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 매끄러운 다양체는 항상 자연스러운 벡터 다발인 접다발을 갖는다. 대략적으로 말해, 이 구조 자체는 다양체에서 해석학을 전개하는 데 충분하지만, 기하학을 수행하려면 서로 다른 점에서의 접공간을 연결하는 방법, 즉 평행 이동의 개념이 추가적으로 필요하다. 중요한 예시는 아핀 접속에 의해 제공된다. '''R'''³의 표면의 경우, 다른 점에서의 접평면은 주변 유클리드 공간에 의해 유도된 자연스러운 경로별 평행성을 사용하여 식별할 수 있으며, 이는 거리와 평행성에 대한 잘 알려진 표준 정의를 가지고 있다. 리만 기하학에서 레비-치비타 접속은 유사한 목적을 수행한다. 더 일반적으로, 미분 기하학자들은 거리에 의해 정의되지 않은 벡터 다발과 임의의 아핀 접속을 갖는 공간을 고려한다. 물리학에서, 다양체는 시공간일 수 있으며, 다발과 접속은 다양한 물리적 장과 관련이 있다.

5. 내적 성질과 외적 성질

18세기 초중반부터 미분기하는 외적 관점으로 연구되었다. 곡선과 곡면은 고차원 유클리드 공간 내에 있는 것으로 생각했었다.^[15] 예를 들면 곡면은 곡면의 주변 공간인 3차원 내의 공간으로 볼 수 있다. 베른하르트 리만의 연구로부터 내적 관점에서의 연구가 발전되기 시작했다. 내적 관점의 연구는 기하학적 대상 그 자체를 독립적으로 생각하기 때문에 기하학적 대상 밖으로 움직인다고 말할 수 없다. 내적 관점으로부터 만들어진 기초적인 결과중 하나는 가우스의 빼어난 정리이다. 가우스의 뛰어난 정리는 가우스 곡률은 내적 불변량이라는 의미를 가진다.^[15]

내적 관점이 응용에 있어 더 유용할 때도 있다. 예를 들면 상대성 이론에서 내적 관점은 유용하다. 시공간이 외적으로 생각하는 게 자연스러울 수가 없기 때문이다. (시공간 "밖"의 것은 무언가를 생각해보라.) 그러나, 이 기하학적 대상에 대한 두 가지 관점을 조화시킬 수 있다. 즉, 외적 관점의 기하학은 내적 관점의 기하학에 더한 어떤 구조로 생각할 수 있다.^[15]

6. 응용

이론 물리학은 미분기하학을 광범위하게 사용한다.^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21] 일반 상대성 이론에서 우주는 시공간의 곡률을 설명하는 유사 리만 계량을 갖춘 매끄러운 다양체이며, 이러한 곡률을 이해하는 것은 인공위성을 지구 궤도에 배치하는 데 필수적이다. 또한, 중력 렌즈와 블랙홀 연구에도 미분기하학이 사용된다. 전자기학에서는 미분 형식이 연구에 사용되며, 양-밀스 이론 및 표준 모형은 시공간 위에 정의되는 주다발의 주접속과 곡률을 다룬다. 끈 이론에서는 칼라비-야우 다양체, 켈러 다양체와 초켈러 다양체 등 수많은 미분기하학적 개념들이 필수적이다. 고전역학에서 라그랑주 역학은 짜임새 공간의 접다발 위에서, 해밀턴 역학은 여접다발(위상 공간) 또는 심플렉틱 다양체 위에서 정의된다. 리만 기하학과 접촉 기하학은 열역학에 적용된 기하열역학의 형식을 구성하는 데 사용되었다.

경제학에서 미분기하학은 계량경제학에 쓰인다.

딥러닝, 컴퓨터 비전에서는 이미지를 처리할 때 미분기하학을 쓴다. 컴퓨터 비전에서 미분기하학은 모양을 분석하는 데 사용된다. 이미지 처리에서 미분기하학은 평평하지 않은 표면의 데이터를 처리하고 분석하는 데 사용된다.

무선 통신에서 그래스만 다양체는 MIMO (다중 안테나) 시스템의 빔 형성 기술에 사용된다.

정보 기하학은 확률, 통계, 정보 이론의 다양한 구조를 리만 다양체로 해석한다. 구조 지질학에서 미분기하학은 지질 구조를 분석하고 설명하는 데 사용된다. 그리고리 페렐만이 리치 흐름 기법을 사용하여 푸앵카레 추측을 증명한 것은 위상수학 문제에 대한 미분 기하학적 접근 방식의 힘을 보여주었다.

참조

_[1] 논문 Outline of a History of Differential Geometry: I www.jstor.org/stable[...] JSTOR 1933
_[2] 서적 Recherches sur les courbes à double courbure Nyon 1731
_[3] 웹사이트 Leonhard Euler
_[4] 서적 A comprehensive introduction to differential geometry Publish or Perish, Incorporated 1975
_[5] 서적 Disquisitiones generales circa superficies curvas Typis Dieterichianis 1828
_[6] 논문 Outline of a History of Differential Geometry (II) www.jstor.org/stable[...] JSTOR 1933
_[7] 웹사이트 Non-Euclidean Geometry
_[8] 간행물 Hyperbolic geometry: The first 150 years http://projecteuclid[...] 1982
_[9] 기타 On the hypotheses which lie at the foundation of geometry http://www.emis.de/c[...] 1868
_[10] 논문 Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades http://resolver.sub.[...] 1869
_[11] 논문 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications http://gdz.sub.uni-g[...] Springer 1900-03
_[12] 서적 A history of algebraic and differential topology, 1900-1960 Springer Science & Business Media 2009
_[13] 서적 A Conceptual History of Space and Symmetry Springer, Cham 2018
_[14] 문서
_[15] 서적 Guide to Geometric Algebra in Practice Springer Verlag
_[16] 서적 Applications of Differential Geometry to Econometrics Cambridge University Press
_[17] 서적 Proceedings. (ICASSP '05). IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2005
_[18] 서적 Geometric Control of Mechanical Systems : Modeling, Analysis, and Design for Simple Mechanical Control Systems Springer-Verlag
_[19] 학위논문 The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature https://www.math.ucl[...] 2008-05
_[20] 학위논문 Geometric Methods for Image Processing and Signal Analysis http://users.loni.uc[...] 2008-08
_[21] 논문 Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems http://users.ece.ute[...] 2003-10

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