위상 함자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

위상 함자는 함자 $Π\colon \mathcal{E} \to \mathcal{B}$에 대해 정의되며, 모든 $Π$-구조 원천이 시작 올림을 갖고, 모든 $Π$-구조 흡입이 끝 올림을 갖는 함자를 의미한다. 이는 시작 구조와 끝 구조의 올림을 통해 정의된다. 위상 함자는 충실한 함자이며, 위상 공간, 가측 공간, 균등 공간 등 다양한 구체적 범주의 망각 함자가 위상 함자의 예시이다. 1974년 호르스트 헤를리히에 의해 개념이 도입되었다.

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위상 함자

2. 정의

함자 $\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B$ 가 주어졌을 때, 만약 모든 $\Pi$ -구조 원천이 시작 올림을 갖는다면, 또는 이와 동치인 조건으로 모든 $\Pi$ -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다면, 이 함자 $\Pi$ 를 '''위상 함자'''(topological functor^영어)라고 부른다.^[6]^[1]^[4] 이는 특정 시작 구조나 끝 구조가 항상 존재함을 보장하는 함자를 의미하며, 이러한 시작 올림과 끝 올림은 보편 성질을 통해 정의된다.

2. 1. 원천과 흡입

범주

\mathcal E

의 '''원천'''(源泉, source|소스^영어)

(X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I})

은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[6]

$X\in\mathcal E$ 는 대상이다.
$(Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E$ 는 $\mathcal E$ 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
$(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}$ 는 $\mathcal E$ 의 사상들의 모임이다.

마찬가지로,

\mathcal E

의 '''흡입'''(吸入, sink|싱크^영어)

(X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I})

은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$X\in\mathcal E$ 는 대상이다.
$(Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E$ 는 $\mathcal E$ 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
$(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}$ 는 $\mathcal E$ 의 사상들의 모임이다.

만약

I

가 공집합이라면, 원천

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

은 단순히 대상

X

이며, 만약

I

가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상

X\to Y

이다.

2. 2. 시작 원천과 끝 흡입

범주

\mathcal E

의 원천

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

및 함자

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

가 주어졌다고 하자. 만약

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

가 다음 보편 성질을 만족시킨다면,

(f_i)_{i\in I}

를 '''

\Pi

-시작 원천'''(始作源泉, initial source^영어)이라고 한다.^[6]

임의의 대상 $X'\in\mathcal E$ 및 사상 $\hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X)$ 및 사상족 $(f'_i\colon X'\to Y_i)_{i\in I}$ 에 대하여, 만약 모든 $i\in I$ 에 대해 $\Pi(f_i)\circ\hat g=\Pi(f'_i)$ 가 성립한다면, 다음 두 조건을 만족시키는 사상 $g\colon X'\to X$ 가 유일하게 존재한다.
* $\hat g=\Pi(g)$
* 모든 $i\in I$ 에 대해 $f_i\circ g=f'_i$

이 조건은 다음 가환 도식으로 시각화할 수 있다. 아래 도식에서 왼쪽은 범주

\mathcal E

에서의 사상들을, 오른쪽은 함자

\Pi

에 의해 범주

\mathcal B

로 옮겨진 사상들을 나타낸다. 주어진

\hat g

와

f'_i

들에 대해 오른쪽 도식이 가환 그림이 될 때 (즉,

\Pi(f_i)\circ\hat g=\Pi(f'_i)

), 왼쪽 도식 역시 가환 그림이 되도록 하는 (

f_i\circ g=f'_i

) 유일한 사상

g

가 존재하며, 이

g

는

\Pi(g) = \hat g

를 만족시킨다.

\begin{matrix}\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\\hline\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'_i}\!\!\!\!\!\!\\X&\underset{f_i}\to&Y_i\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'_i}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&\underset{\Pi f_i}\to&\Pi Y_i\end{matrix}\end{matrix}

마찬가지로, 시작 원천의 쌍대 개념인 '''

\Pi

-끝 흡입'''(-吸入,

\Pi

-final sink^영어)을 정의할 수 있다.

만약

I

가 한원소 집합이라면, 즉 원천이 단 하나의 사상

f\colon X\to Y

으로 이루어진 경우,

\Pi

-시작 원천은 '''데카르트 사상'''이라고 불린다.

2. 3. 올림

두 범주

\mathcal E

,

\mathcal B

사이의 함자

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

가 주어졌다고 가정하자.

\mathcal B

의 원천

(\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}

에서, 만약 각

\hat Y_i

에 대해

\hat Y_i=\Pi(Y_i)

를 만족하는

\mathcal E

의 대상

Y_i

가 존재한다면, 이 원천

(\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}

를 '''

\Pi

-구조 원천'''(

\Pi

-structured source^영어)이라고 부른다.^[6] 마찬가지로 '''

\Pi

-구조 흡입'''(

\Pi

-structured sink^영어)도 정의할 수 있다.

\Pi

-구조 원천

(\hat f_i\colon\hat X\to \Pi(Y_i))_{i\in I}

의 '''올림'''(lifting^영어)은 다음 조건을 만족하는

\mathcal E

의 원천

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

이다:

\Pi(X)=\hat X

이고, 모든

i\in I

에 대해

\Pi(f_i)=\hat f_i

이다.

:

\begin{matrix}\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\\hline\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle\exists f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists f_i}\\Y_i\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}\hat X\\{\scriptstyle\hat f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat f_i}\\\Pi Y_i\end{matrix}\end{matrix}

\Pi

-구조 흡입의 '''올림'''도 비슷하게 정의된다.

시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질을 통해 정의되기 때문에, 만약 존재한다면 유일한 동형 사상을 제외하고는 유일하다.

만약 어떤

\Pi

-구조 원천

(\hat f_i\colon\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}

이 시작 올림

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

을 가진다면, 대상

X

를 원천

(\hat f_i\colon\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}

에 대한

\hat X

의 '''시작

\mathcal E

-구조'''(initial

\mathcal E

-structure^영어)라고 한다. 비슷하게,

\Pi

-구조 흡입에 대한 '''끝

\mathcal E

-구조'''(final

\mathcal E

-structure^영어)도 정의할 수 있다.

2. 4. 위상 함자

함자

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 '''위상 함자'''(topological functor^영어)라고 한다.^[6]^[1]^[4]

모든 $\Pi$ -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
모든 $\Pi$ -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.^[2]

구체적 범주

(\mathcal E,F)

에서, 만약

F\colon\mathcal E\to\operatorname{Set}

가 위상 함자라면, 이를 '''위상 구체적 범주'''(位相具體的範疇, topological concrete category^영어)라고 하며, 흔히 '''위상 범주'''(位相範疇, topological category^영어)로 줄여 부른다.

3. 성질

모든 위상 함자는 충실한 함자이다.^[6]

위상 함자 $\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to X$ 가 $\mathcal E$ 의 사상이며, $\Pi(X)=\Pi(Y)=\hat X$ 이며 $\Pi(f)=\Pi(g)=\operatorname{id}_{\hat X}$ 라면, $X=Y$ 이다.

(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)

\mathsf P

가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.

완비 범주
쌍대 완비 범주
정멱 범주
쌍대 정멱 범주

위상 함자

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

에 대하여, 만약

\mathcal B

가

\mathsf P

라면,

\mathcal E

역시

\mathsf P

이다.

임의의 범주

\mathcal E

에 대하여, 위상 함자

\mathcal E\to\operatorname{Set}

들은 자연 동형 아래 유일하다.^[3]

4. 예시

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ ^[4]
위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{Top}$ ^[4]
콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{KolmTop}$ ^[4]
T1 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{T_1Top}$ ^[4]
하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{HausTop}$ ^[4]
콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{CompHausTop}$ ^[4]
균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 $\operatorname{Unif}$ ^[4]
가측 공간과 가측 함수의 범주 $\operatorname{Measble}$
원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $\operatorname{Proset}$ ^[4]
부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $\operatorname{Poset}$ ^[4]
확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 $\operatorname{\infty pMet}$ ^[5]
로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 $\operatorname{\infty qpMet}$ ^[5]

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.

차분한 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{SoberTop}$
정규 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{NormTop}$
정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{NormHausTop}$
장소와 장소 사상의 범주 $\operatorname{Loc}$
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 $\operatorname{Diff}$

4. 1. 위상 공간

위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(initial topology^영어)과 끝 위상(final topology^영어)이라고 불린다.

집합

X

와 위상 공간들의 족

(Y_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,

X

위의 시작 위상은 모든 함수

f_i

를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로,

X

의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

:

\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(U)\mid U\in\operatorname{Open}(Y_i)\}

여기서

\operatorname{Open}(Y_i)

는

Y_i

의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로, 집합

X

와 위상 공간들의 족

(Y_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,

X

위의 끝 위상은 모든 함수

f_i

를 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로,

X

의 끝 위상은 다음과 같다.

:

U\in\operatorname{Open}(X)\iff\forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in\operatorname{Open}(Y_i)

4. 2. 가측 공간

집합

X

와 가측 공간들의 족

(Y_i,\Sigma_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면

X

위의 시작 시그마 대수(initial sigma-algebra|^영어)는 모든 함수

f_i

들을 가측 함수로 만드는 가장 엉성한(즉, 가장 작은) 시그마 대수이다. 이는 위상 함자의 맥락에서 시작 구조에 해당한다. 구체적으로,

X

의 시작 시그마 대수는 다음 집합족으로 생성된다.

:

\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(S)\mid S\in\Sigma_i\}

마찬가지로, 집합

X

와 가측 공간들의 족

(Y_i,\Sigma_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면

X

위의 끝 시그마 대수(final sigma-algebra|^영어)는 모든 함수

f_i

들을 가측 함수로 만드는 가장 섬세한(즉, 가장 큰) 시그마 대수이다. 이는 위상 함자의 맥락에서 끝 구조에 해당한다. 구체적으로,

X

의 끝 시그마 대수

\Sigma

는 다음 조건을 만족하는 부분집합

S \subseteq X

들의 모임이다.

:

S\in\Sigma\iff\forall i\in I\colon f_i^{-1}(S)\in\Sigma_i

4. 3. 균등 공간

집합

X

와 균등 공간들의 족

(Y_i,\mathcal E_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

가 주어졌다고 가정하자. 여기서

I

는 고유 모임일 수도 있다. 이때

X

위의 시작 균등 구조(initial uniform structure^eng)는 모든 함수

f_i

를 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조를 말한다. 구체적으로,

X

의 시작 균등 구조는 다음 집합족으로부터 생성된다.

:

\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(E)\mid E\in\mathcal E_i\}

마찬가지로, 집합

X

와 균등 공간들의 족

(Y_i,\mathcal E_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}

가 주어졌다고 가정하자. 여기서도

I

는 고유 모임일 수 있다. 이때

X

위의 끝 균등 구조(final uniform structure^eng)는 모든 함수

f_i

를 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조를 말한다. 구체적으로,

X

의 끝 균등 구조

\mathcal E

는 다음 조건을 만족하는 집합

E

들의 모임으로 정의된다.

:

E\in\mathcal E\iff\forall i\in I\colon f_i^{-1}(E)\in\mathcal E_i

4. 4. 유계형 집합

집합

X

와 유계형 집합들의 족

(Y_i,\mathcal B_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면

X

위의 시작 유계형(initial bornology^영어)은 모든 함수

f_i

를 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로,

X

의 부분 집합

B

가 시작 유계형

\mathcal B

에 속하기 위한 필요충분조건은 모든

i\in I

에 대하여

f_i(B)

가

\mathcal B_i

에 속하는 것이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

B\in\mathcal B\iff\forall i\in I\colon f_i(B)\in\mathcal B_i

마찬가지로, 집합

X

와 유계형 집합들의 족

(Y_i,\mathcal B_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면

X

위의 끝 유계형(final bornology^영어)은 모든 함수

f_i

를 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로,

X

의 끝 유계형은 다음 집합족으로 생성된다.

:

\bigcup_{i\in I}\{f_i(B)\colon B\in\mathcal B_i\}

4. 5. 원순서 집합

집합

X

와 원순서 집합들의 족

(Y_i,\lesssim_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 이때

X

위의 시작 원순서(initial preorder^영어)는 주어진 함수

f_i

들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로,

X

의 시작 원순서는 다음과 같이 정의된다.

:

a\lesssim b\iff\forall i\in I\colon f_i(a)\lesssim_if_i(b)

반대로, 집합

X

와 원순서 집합들의 족

(Y_i,\lesssim_i)_{i\in I}

및 함수족

(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. (

I

는 고유 모임일 수 있다.) 이때

X

위의 끝 원순서(final preorder^영어)는 주어진 함수

f_i

들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로,

X

의 끝 원순서

\lesssim

는 다음 집합으로 생성되는 원순서이다.

:

\bigcup_{i\in I}\{(f_i(a),f_i(b))\colon a\lesssim_ib,\;a,b\in Y_i\}

5. 역사

1974년에 호르스트 헤를리히(Horst Herrlich^de, 1937~2015)가 도입하였다.^[6]

참조

_[1] 저널 Topological categories 1984-09
_[2] 저널 Topological functors as total categories http://www.tac.mta.c[...] 2014-08-12
_[3] 저널 Topological functors and factorizations 1975
_[4] 서적 Beyond topology American Mathematical Society 2009
_[5] 서적 Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad Clarendon Press 1997
_[6] 저널 Topological functors 1974-06

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