분할 거듭제곱 환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 분할 거듭제곱 포락
- 3.2. 분할 거듭제곱 미분
4. 예
5. 응용
참조

1. 개요

분할 거듭제곱 환은 가환환 R과 R의 아이디얼 I, 그리고 각 자연수 n에 대해 정의된 함수 γn: I → R로 구성된다. 이 데이터는 특정 조건들을 만족해야 하며, 분할 거듭제곱 구조, 분할 거듭제곱 아이디얼, 분할 거듭제곱 환, 분할 거듭제곱 환 준동형, 분할 거듭제곱 스킴 등으로 확장된다. 분할 거듭제곱 구조는 켈러 미분 이론을 일반화하고, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의하는 데 사용된다. 또한 분할 거듭제곱 구조는 코-슈어 함자 구성에도 활용된다.

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분할 거듭제곱 환
정의
영어	Divided power ring
프랑스어	Anneau à puissances divisées
설명	가환환의 아이디얼에 대한 추가 구조
상세 내용
유형	가환대수학
관련 개념	아이디얼 가환환 다항식 환

2. 정의

'''분할 거듭제곱 환'''(分割-제곱環, divided power ring^영어) $(R, \mathfrak I, \gamma)$ 은 가환환 $R$ , $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak I \subseteq R$ , 그리고 각 자연수 $n \in \mathbb N$ 에 대한 함수 $\gamma_n \colon \mathfrak I \to R$ 로 구성된다. 이때, $\gamma_n$ 을 $(R, \mathfrak I)$ 위의 '''분할 거듭제곱 구조'''(分割-構造, divided power structure^영어, structure à puissances divisées^프랑스어)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

: $\gamma_0(x) = 1 \qquad \forall x \in \mathfrak I$

: $\gamma_1(x) = x \qquad \forall x \in \mathfrak I$

: $\gamma_n(x) \in \mathfrak I \qquad \forall n \in \mathbb Z^+, \; x \in \mathfrak I$

: $\gamma_n(x+y) = \sum_{i=0}^n \gamma_{n-i}(x)\gamma_n(y) \qquad \forall n \in \mathbb N, \; x, y \in \mathfrak I$

: $\gamma_n(rx) = r^n \gamma_n(x) \qquad \forall n \in \mathbb N, \; r \in R, \; x \in \mathfrak I$

: $\gamma_m(x) \gamma_n(x) = \binom{m+n}m \gamma_{m+n}(x) \qquad \forall m, n \in \mathbb N, \; x \in \mathfrak I$

: $\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(mn)!}{(m!)^n n!} \gamma_{mn}(x) \qquad \forall m \in \mathbb Z^+, \; n \in \mathbb N, \; x \in \mathfrak I$

$\gamma_n(x)$ 대신 $x^{[n]}$ 와 같은 표기를 사용하기도 한다.

가환환 A^영어와 아이디얼 I^영어에 대한 '''분할 거듭제곱 구조''' (또는 프랑스어 ''puissances divisées''를 따서 '''PD-구조''')는 위와 같은 조건을 만족하는 맵 $\gamma_n : I \to A$ (''n'' = 0, 1, 2, ...)의 모임이다.^[1]

분할 거듭제곱 환, 분할 거듭제곱 환 준동형, 분할 거듭제곱 스킴의 정의는 다음과 같다.

2. 1. 분할 거듭제곱 환

가환환 ''R''과 ''R''의 아이디얼

\mathfrak I\subseteq R

및 각 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여 함수

\gamma_n\colon\mathfrak I\to R

가 주어졌을 때, 이 데이터가 다음 조건들을 만족시킨다면

(R,\mathfrak I,\gamma)

를 '''분할 거듭제곱 환'''이라고 한다. 여기서

\gamma_n

을

(R,\mathfrak I)

위의 '''분할 거듭제곱 구조'''라고 한다.

:

\gamma_0(x) = 1\qquad\forall x\in\mathfrak I

:

\gamma_1(x) = x\qquad\forall x\in\mathfrak I

:

\gamma_n(x)\in\mathfrak I\qquad\forall n\in\mathbb Z^+,\;x\in\mathfrak I

:

\gamma_n(x+y)=\sum_{i=0}^n\gamma_{n-i}(x)\gamma_n(y)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;x,y\in\mathfrak I

:

\gamma_n(rx)=r^n\gamma_n(x)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;r\in R,\;x\in\mathfrak I

:

\gamma_m(x) \gamma_n(x) = \binom{m+n}m \gamma_{m+n}(x)\qquad\forall m,n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I

:

\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(mn)!}{(m!)^nn!}\gamma_{mn}(x)\qquad\forall m\in\mathbb Z^+,\;n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I

\gamma_n(x)

대신

x^{[n]}

와 같은 표기를 사용하기도 한다. 분할 거듭제곱 구조가 명확할 때는

\gamma_n(x)

는 종종

x^{[n]}

로 표기된다.

'''분할 거듭제곱 아이디얼'''은 주어진 분할 거듭제곱 구조를 가진 아이디얼을 지칭하며, '''분할 거듭제곱 환'''은 주어진 분할 거듭제곱 구조를 가진 아이디얼을 갖는 환을 지칭한다. 분할 거듭제곱 대수의 준동형사상은 그 원본과 대상에 대한 분할 거듭제곱 구조를 존중하는 환 준동형사상이다.

2. 2. 분할 거듭제곱 환 준동형

두 분할 거듭제곱 환 $(R,\mathfrak I,\gamma)$와 $(S,\mathfrak J,\delta)$ 사이의 '''준동형''' $f\colon R\to S$는 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.

$f(\mathfrak I)S\subseteq\mathfrak J$
$f(\gamma_n(x))=\delta_n(f(x))\qquad\forall n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I$

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.

2. 3. 분할 거듭제곱 스킴

'''분할 거듭제곱 스킴'''(divided power scheme^영어)은 다음 데이터로 주어진다.

스킴 $(X,\mathcal O_X)$
$\mathcal O_X$ 위의 아이디얼 층 $\mathcal I$
$X$ 의 각 (자리스키) 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 $\gamma_n\colon\mathcal I(U)\to \mathcal O_X(U)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 두 (자리스키) 열린집합 $V\subseteq U\subseteq X$ 및 $n>0$ 에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.)

:

\begin{matrix}\mathcal I(U)&\overset{\gamma_n}\to&\mathcal I(U)\\{\scriptstyle\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\\\mathcal I(V)&\underset{\gamma_n}\to&\mathcal I(V)\end{matrix}

분할 거듭제곱 스킴 사이의 '''사상''' 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.

3. 성질

임의의 분할 거듭제곱 환 $(R,\mathfrak I,\gamma)$ 에서 다음이 성립한다.

: $r^n=n!\gamma_n(r)\qquad(\forall n\in\mathbb N,\;r\in\mathfrak I)$

만약 $R$ 에서 $n!=0$ 이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.

'''증명:'''

분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,

: $r\gamma_n(r)=\gamma_1(r)\gamma_n(r)=\binom{n+1}1\gamma_{n+1}(r)=(n+1)\gamma_{n+1}(r)$

이다. 이를 반복하면

: $r^n=1\cdot r^{n-1}\gamma_1(r)=1\cdot2\cdot r^{n-2}\gamma_2(r)=\dotsb=n!\gamma_n(r)$

을 얻는다.

3. 1. 분할 거듭제곱 포락

다음이 주어졌다고 하자.

분할 거듭제곱 환 $(A,\mathfrak I,\gamma)$
가환환 $B$
환 준동형 $f\colon A\to B$
$B$ 의 아이디얼 $\mathfrak J\subseteq B$ . 또한, $f(\mathfrak I)B\subseteq\mathfrak J$ 라고 하자.

그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환

(\bar B,\bar{\mathfrak J},\delta)

가 항상 존재함을 보일 수 있다.

:임의의 분할 거듭제곱 환

(C,\mathfrak K,\varepsilon)

에 대하여,

::

\hom_{\operatorname{PDRing}/(A,\mathfrak I,\gamma)}\left((\bar B,\bar{\mathfrak J},\delta),(C,\mathfrak K,\varepsilon)\right)=\hom_{\operatorname{CRingIdeal}/(A,\mathfrak I)}\left((B,\mathfrak J),(C,\mathfrak K)\right)

여기서

$\operatorname{PDRing}$ 은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
$\operatorname{CRingIdeal}$ 은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉,
* $\operatorname{CRingIdeal}$ 의 대상 $(R,\mathcal I)$ 은 가환환 $R$ 와 그 속의 아이디얼 $\mathfrak I\subseteq R$ 의 순서쌍이다.
* $\operatorname{CRingIdeal}$ 의 사상 $f\colon (R,\mathcal I)\to (S,\mathfrak J)$ 은 $f(\mathfrak I)S\subseteq\mathfrak J$ 인 환 준동형 $f\colon R\to S$ 이다.
$/$ 은 조각 범주를 뜻한다.

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환

(\bar B,\bar{\mathfrak J},\delta)

을

(B,\mathfrak J)

위의 '''분할 거듭제곱 포락'''(divided power envelope^영어)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

만약

A

가 임의의 환이라면, 다음과 같은 분할 거듭제곱 환이 존재한다.

:

A \langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle

이 환은 변수

:

x_1, x_2, \ldots, x_n

에 대한 '분할 거듭제곱 다항식'으로 구성되며, 이는 다음과 같은 형태의 '분할 거듭제곱 단항식'의 합이다.

:

c x_1^{[i_1]} x_2^{[i_2]} \cdots x_n^{[i_n]}

여기서

c \in A

이다. 여기서 분할 거듭제곱 아이디얼은 상수 계수가 0인 분할 거듭제곱 다항식의 집합이다.

더 일반적으로, 만약

M

이

A

-가군이라면, 다음과 같은 보편

A

-대수가 존재한다.

:

\Gamma_A(M),

PD 아이디얼은

:

\Gamma_+(M)

이며, 다음과 같은

A

-선형 사상이 존재한다.

:

M \to \Gamma_+(M).

(분할 거듭제곱 다항식의 경우는

M

이 유한 랭크의

A

위의 자유 가군인 특별한 경우이다.)

만약

I

가 환

A

의 임의의 아이디얼이라면,

A

의 원소의 분할 거듭제곱을 갖는

A

를 확장하여

I

에 대한 '''분할 거듭제곱 덮개'''를 얻는 보편 구성이 존재한다.

3. 2. 분할 거듭제곱 미분

켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 '''분할 거듭제곱 드람 복합체'''를 정의할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
분할 거듭제곱 환 $(R,\mathfrak I,\gamma)$
환 준동형 $f\colon K\to R$

켈러 미분의 가군과 유사하게, '''분할 거듭제곱 미분 가군'''(分割-微分加群, module of divided-power differentials^영어)

\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}

를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는

\mathrm db

들로 생성되는

K

-가군으로 정의할 수 있다.

:

\mathrm d(r+s)=\mathrm db+\mathrm ds\qquad(r,s\in R)

:

\mathrm d(rs)=(\mathrm dr)s+r(\mathrm ds)\qquad(r,s\in R)

:

\mathrm df(\lambda)=0\qquad\forall \lambda\in K

:

\mathrm d(\gamma_n(r))=\gamma_{n-1}\mathrm dr\qquad\forall n\in\mathbb Z^+,\;r\in R

이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.

이제, 켈러 미분과 마찬가지로

:

\Omega^n_{R/K,\mathfrak I,\gamma}=\bigwedge^n_R\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\delta}

:

\mathrm d\colon\left(r_0(\mathrm dr_1\wedge \dotsb \wedge \mathrm dr_n)\right)\mapsto\mathrm dr_0\wedge \mathrm dr_1\wedge \cdots \wedge \mathrm dr_n\qquad(r_0,r_1,\dotsc,r_n\in R)

를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다.

:

\Omega^0_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^1_{R/K,J,\delta}\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^2_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^3_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow{\mathrm d}\dotsb

이를 '''분할 거듭제곱 드람 복합체'''(分割-de Rham複合體, divided-power de Rham complex^영어)라고 한다.

이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층

\mathcal O_{R/S}

가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다.

4. 예

만약 ''M''이 ''A''-가군이면, $S^\bullet M$ 을 ''A'' 위의 ''M''의 대칭 대수라고 하자. 그러면 이중 공간 $(S^\bullet M)^\vee = \text{Hom}_A(S^\bullet M, A)$ 는 분할 거듭제곱 환의 표준 구조를 갖는다. 사실, 이는 ''M''이 유한 계수를 가지면 $\Gamma_A(\check{M})$ 의 자연스러운 완비 공간과 표준적으로 동형이다.

4. 1. 표수 0의 대수

체 표수가 0인

K

위의 가환 결합 대수

A

의 임의의 아이디얼

\mathfrak I\subseteq A

위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.

:

\gamma_n(x) = \frac1{n!} \cdot x^n

A

에서는

n!

이 가역원이므로,

x^n=n!\gamma_n(x)

이고,

\gamma_n(x)=x^n/n!

이다. 물론, 이 경우

\mathfrak I=A

로 놓을 수 있다.

$\Z$ 위의 자유 분할 거듭제곱 대수 한 개 생성자는 다음과 같다.

::

\Z\langle{x}\rangle:=\Z\left [x,\tfrac{x^2}{2},\ldots,\tfrac{x^n}{n!},\ldots \right]\subset \Q[x].

만약 ''A''가 $\Q$ 위의 대수이면, 모든 아이디얼 ''I''는 $\gamma_n(x) = \tfrac{1}{n!} \cdot x^n$ 인 유일한 분할 거듭제곱 구조를 갖는다.^[1]

4. 2. 자유 분할 거듭제곱 구조

가환환

\mathbb Z\langle{x}\rangle:=\mathbb Z\left[x,\frac{x^2}{2},\ldots,\frac{x^n}{n!},\dotsc\right]\subset \mathbb Q[x]

의 주 아이디얼

(x)

위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.

:

\gamma_n(x) = \frac{x^n}{n!}\qquad\forall n\in\mathbb N

이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유

\mathbb{Z}

-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 "자유"라는 것은 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.

\mathbb{Z}

위의 자유 분할 거듭제곱 대수는 한 개의 생성자를 가지며 다음과 같다.

:

\mathbb{Z}\langle{x}\rangle:=\mathbb{Z}\left [x,\tfrac{x^2}{2},\ldots,\tfrac{x^n}{n!},\ldots \right]\subset \mathbb{Q}[x].

^[1]

4. 3. 분할 거듭제곱 다항식환

가환환

R

와 유한 집합

I

가 주어졌을 때, '''분할 거듭제곱 단항식'''(分割-單項式, divided power monomial^영어)은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.

:

r\prod_{i\in I}x_i^{[n_i]}\qquad((n_i)_{i\in I}\in \mathbb N^I,\;r\in R)

이러한 분할 거듭제곱 단항식들의 유한 개의 합으로 구성된 가환

R

-결합 대수

R\langle (x_i)_{i\in I}\rangle

를 '''분할 거듭제곱 다항식환'''(分割-多項式環, divided power polynomial ring^영어)이라고 한다.

이 안에서, 양의 차수(즉,

\textstyle\sum_in_i>0

인 것)를 가진 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.

:

\lambda_n(x_i^{[m]})=\frac{(mn)!}{(m!)^nn!}x_i^{[mn]}\qquad(m,n\in\mathbb N,\;i\in I)

임의의 환 ''A''에 대해, 다음과 같은 분할 거듭제곱 환이 존재한다.

:

A \langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle

이 환은 변수

:

x_1, x_2, \ldots, x_n

에 대한 ''분할 거듭제곱 다항식''으로 구성되며, 이는 다음과 같은 형태의 ''분할 거듭제곱 단항식''의 합이다.

:

c x_1^{[i_1]} x_2^{[i_2]} \cdots x_n^{[i_n]}

여기서

c \in A

이다. 여기서 분할 거듭제곱 아이디얼은 상수 계수가 0인 분할 거듭제곱 다항식의 집합이다.

4. 4. 양의 표수

체 위의 가환 결합 대수의 경우,

x^n = n! \gamma_n(x)

는 성립하더라도,

n!

로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 양의 표수에서는 분할 거듭제곱 구조가 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어,

소수 $p$ 의 표수를 갖는 가환환 $A$
$\mathfrak I^p=0$ 인 멱영 아이디얼 $\mathfrak I\subseteq A$

에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.

:

\gamma_n(x)=\begin{cases}x^n/n!&n0&n\ge p\end{cases}

일반적으로 양의 표수를 갖는 환에서 주의할 점은, 아이디얼

\mathfrak I^p

과, 모든

x \in\mathfrak I

에 대해

x^p

로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 것이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.^[1]

5. 응용

분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자 및 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용되며, 양의 표수를 가지는 환에서 발생하는 기술적인 어려움들을 극복하는 데 사용된다. 멱영 아이디얼 위에 분할 거듭제곱 구조를 적용하여 대수기하학에서 유용하게 활용된다. 또한, 분할 거듭제곱 함자는 코-슈어 함자의 구성에도 사용된다.

5. 1. PD 미분 연산자

분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들을 극복할 수 있다.

표수

p

인 가환환

A

위의 다항식환

A[x]

에서, 미분의 곱 규칙에 따라

p\mid n

일 경우

:

(x^n)'=0

이 된다. 이 때문에 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하는 문제가 발생한다.

이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 특수한 곱을 정의한다.

:

x^{[m]}y^{[n]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}x^my^n

이 경우 미분은 다음과 같이 정의된다.

:

(x^{[n]})'=x^{[n-1]}

이렇게 하면 문제가 되었던

n

이 사라진다.

즉, 가환환

A

에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 다항식환을 정의할 수 있다.

:

A\langle x_1,x_2,\cdots,x_n\rangle=\left\{\sum_{i_1,\cdots,i_n}a_{i_1,\cdots,i_n}x_1^{[i_1]}\cdots x_n^{[i_n]}|a_{i_1,\cdots,i_n}\in A\right\}

분할 거듭제곱 외피는 PD 미분 연산자 이론의 기본 도구이며, 여기서 양의 표수에서 발생하는 기술적인 어려움을 극복하는 데 사용된다.

5. 2. 결정 코호몰로지

분할 거듭제곱 구조는 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

구체적으로, 양의 표수

p

의 경우, 에탈 코호몰로지는

\ell\ne p

인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수

p

의 가환환

A

위의 다항식환

A[x]

에서, 미분의 곱 규칙은 다음과 같다.

:

(x^n)'=nx^{n-1}

만약

p\mid n

일 경우

:

(x^n)'=0

이 된다. 이 때문에 쿠머 열(Kummer sequence)이

\ell=p

에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는

n

을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의한다.

:

x^{[m]}y^{[n]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}x^my^n

그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면

:

(x^{[n]})'=x^{[n-1]}

가 되며, 문제가 되는

n

이 사라지게 된다.

즉, 가환환

A

에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.

:

A\langle x_1,x_2,\cdots,x_n\rangle=\left\{\sum_{i_1,\cdots,i_n}a_{i_1,\cdots,i_n}x_1^{[i_1]}\cdots x_n^{[i_n]}|a_{i_1,\cdots,i_n}\in A\right\}

이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.

5. 3. 코-슈어 함자

분할 거듭제곱 함자는 코-슈어 함자의 구성에 사용된다.^[1]

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