분할 거듭제곱 환

1. 개요

분할 거듭제곱 환은 가환환 R과 R의 아이디얼 I, 그리고 각 자연수 n에 대해 정의된 함수 γn: I → R로 구성된다. 이 데이터는 특정 조건들을 만족해야 하며, 분할 거듭제곱 구조, 분할 거듭제곱 아이디얼, 분할 거듭제곱 환, 분할 거듭제곱 환 준동형, 분할 거듭제곱 스킴 등으로 확장된다. 분할 거듭제곱 구조는 켈러 미분 이론을 일반화하고, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의하는 데 사용된다. 또한 분할 거듭제곱 구조는 코-슈어 함자 구성에도 활용된다.

2. 정의

분할 거듭제곱 환(分割-제곱環, divided power ring^영어) $(R,\; \backslash mathfrak\; I,\; \backslash gamma)$은 가환환 $R$, $R$의 아이디얼 $\backslash mathfrak\; I\; \backslash subseteq\; R$, 그리고 각 자연수 $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$에 대한 함수 $\backslash gamma\_n\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\; I\; \backslash to\; R$로 구성된다. 이때, $\backslash gamma\_n$을 $(R,\; \backslash mathfrak\; I)$ 위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造, divided power structure^영어, structure à puissances divisées^프랑스어)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

:$\backslash gamma\_0(x)\; =\; 1\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_1(x)\; =\; x\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(x)\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I\; \backslash qquad\; \backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z^+,\; \backslash ;\; x\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(x+y)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; \backslash gamma\_\{n-i\}(x)\backslash gamma\_n(y)\; \backslash qquad\; \backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; \backslash ;\; x,\; y\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(rx)\; =\; r^n\; \backslash gamma\_n(x)\; \backslash qquad\; \backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; \backslash ;\; r\; \backslash in\; R,\; \backslash ;\; x\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_m(x)\; \backslash gamma\_n(x)\; =\; \backslash binom\{m+n\}m\; \backslash gamma\_\{m+n\}(x)\; \backslash qquad\; \backslash forall\; m,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; \backslash ;\; x\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(\backslash gamma\_m(x))\; =\; \backslash frac\{(mn)!\}\{(m!)^n\; n!\}\; \backslash gamma\_\{mn\}(x)\; \backslash qquad\; \backslash forall\; m\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z^+,\; \backslash ;\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; \backslash ;\; x\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; I$

$\backslash gamma\_n(x)$ 대신 $x^\{[n]\}$와 같은 표기를 사용하기도 한다.

가환환 A^영어와 아이디얼 I^영어에 대한 분할 거듭제곱 구조 (또는 프랑스어 puissances divisées를 따서 PD-구조)는 위와 같은 조건을 만족하는 맵 $\backslash gamma\_n\; :\; I\; \backslash to\; A$ (n = 0, 1, 2, ...)의 모임이다.

분할 거듭제곱 환, 분할 거듭제곱 환 준동형, 분할 거듭제곱 스킴의 정의는 다음과 같다.

2.1. 분할 거듭제곱 환

가환환 R과 R의 아이디얼 $\backslash mathfrak\; I\backslash subseteq\; R$ 및 각 자연수 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여 함수 $\backslash gamma\_n\backslash colon\backslash mathfrak\; I\backslash to\; R$가 주어졌을 때, 이 데이터가 다음 조건들을 만족시킨다면 $(R,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma)$를 분할 거듭제곱 환이라고 한다. 여기서 $\backslash gamma\_n$을 $(R,\backslash mathfrak\; I)$ 위의 분할 거듭제곱 구조라고 한다.

:$\backslash gamma\_0(x)\; =\; 1\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_1(x)\; =\; x\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(x)\backslash in\backslash mathfrak\; I\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+,\backslash ;x\backslash in\backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(x+y)=\backslash sum\_\{i=0\}^n\backslash gamma\_\{n-i\}(x)\backslash gamma\_n(y)\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;x,y\backslash in\backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(rx)=r^n\backslash gamma\_n(x)\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;r\backslash in\; R,\backslash ;x\backslash in\backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_m(x)\; \backslash gamma\_n(x)\; =\; \backslash binom\{m+n\}m\; \backslash gamma\_\{m+n\}(x)\backslash qquad\backslash forall\; m,n\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;x\backslash in\backslash mathfrak\; I$
:$\backslash gamma\_n(\backslash gamma\_m(x))\; =\; \backslash frac\{(mn)!\}\{(m!)^nn!\}\backslash gamma\_\{mn\}(x)\backslash qquad\backslash forall\; m\backslash in\backslash mathbb\; Z^+,\backslash ;n\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;x\backslash in\backslash mathfrak\; I$

$\backslash gamma\_n(x)$ 대신 $x^\{[n]\}$와 같은 표기를 사용하기도 한다. 분할 거듭제곱 구조가 명확할 때는 $\backslash gamma\_n(x)$는 종종 $x^\{[n]\}$로 표기된다.

분할 거듭제곱 아이디얼은 주어진 분할 거듭제곱 구조를 가진 아이디얼을 지칭하며, 분할 거듭제곱 환은 주어진 분할 거듭제곱 구조를 가진 아이디얼을 갖는 환을 지칭한다. 분할 거듭제곱 대수의 준동형사상은 그 원본과 대상에 대한 분할 거듭제곱 구조를 존중하는 환 준동형사상이다.

2.2. 분할 거듭제곱 환 준동형

두 분할 거듭제곱 환 $(R,\mathfrak I,\gamma)$와 $(S,\mathfrak J,\delta)$ 사이의 준동형 $f\colon R\to S$는 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.

* $f(\mathfrak I)S\subseteq\mathfrak J$
* $f(\gamma_n(x))=\delta_n(f(x))\qquad\forall n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I$

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.

2.3. 분할 거듭제곱 스킴

분할 거듭제곱 스킴(divided power scheme^영어)은 다음 데이터로 주어진다.

* 스킴 $(X,\backslash mathcal\; O\_X)$
* $\backslash mathcal\; O\_X$ 위의 아이디얼 층 $\backslash mathcal\; I$
* $X$의 각 (자리스키) 열린집합 $U\backslash subseteq\; X$에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 $\backslash gamma\_n\backslash colon\backslash mathcal\; I(U)\backslash to\; \backslash mathcal\; O\_X(U)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 임의의 두 (자리스키) 열린집합 $V\backslash subseteq\; U\backslash subseteq\; X$ 및 $n>0$에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.)

:$\backslash begin\{matrix\}$
\mathcal I(U)&\overset{\gamma_n}\to&\mathcal I(U)\\
{\scriptstyle\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\\
\mathcal I(V)&\underset{\gamma_n}\to&\mathcal I(V)
\end{matrix}

분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.

3. 성질

임의의 분할 거듭제곱 환 $(R,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma)$에서 다음이 성립한다.

:$r^n=n!\backslash gamma\_n(r)\backslash qquad(\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;r\backslash in\backslash mathfrak\; I)$

만약 $R$에서 $n!=0$이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.

증명:

분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,

:$r\backslash gamma\_n(r)=\backslash gamma\_1(r)\backslash gamma\_n(r)=\backslash binom\{n+1\}1\backslash gamma\_\{n+1\}(r)=(n+1)\backslash gamma\_\{n+1\}(r)$

이다. 이를 반복하면

:$r^n=1\backslash cdot\; r^\{n-1\}\backslash gamma\_1(r)=1\backslash cdot2\backslash cdot\; r^\{n-2\}\backslash gamma\_2(r)=\backslash dotsb=n!\backslash gamma\_n(r)$

을 얻는다.

3.1. 분할 거듭제곱 포락

다음이 주어졌다고 하자.

* 분할 거듭제곱 환 $(A,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma)$
* 가환환 $B$
* 환 준동형 $f\backslash colon\; A\backslash to\; B$
* $B$의 아이디얼 $\backslash mathfrak\; J\backslash subseteq\; B$. 또한, $f(\backslash mathfrak\; I)B\backslash subseteq\backslash mathfrak\; J$라고 하자.

그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(\backslash bar\; B,\backslash bar\{\backslash mathfrak\; J\},\backslash delta)$가 항상 존재함을 보일 수 있다.

:임의의 분할 거듭제곱 환 $(C,\backslash mathfrak\; K,\backslash varepsilon)$에 대하여,
::$\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{PDRing\}/(A,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma)\}\backslash left((\backslash bar\; B,\backslash bar\{\backslash mathfrak\; J\},\backslash delta),(C,\backslash mathfrak\; K,\backslash varepsilon)\backslash right)=\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{CRingIdeal\}/(A,\backslash mathfrak\; I)\}\backslash left((B,\backslash mathfrak\; J),(C,\backslash mathfrak\; K)\backslash right)$

여기서

* $\backslash operatorname\{PDRing\}$은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
* $\backslash operatorname\{CRingIdeal\}$은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉,
$\backslash operatorname\{CRingIdeal\}$의 대상 $(R,\backslash mathcal\; I)$은 가환환 $R$와 그 속의 아이디얼 $\backslash mathfrak\; I\backslash subseteq\; R$의 순서쌍이다.
$\backslash operatorname\{CRingIdeal\}$의 사상 $f\backslash colon\; (R,\backslash mathcal\; I)\backslash to\; (S,\backslash mathfrak\; J)$은 $f(\backslash mathfrak\; I)S\backslash subseteq\backslash mathfrak\; J$인 환 준동형 $f\backslash colon\; R\backslash to\; S$이다.
* $/$은 조각 범주를 뜻한다.

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(\backslash bar\; B,\backslash bar\{\backslash mathfrak\; J\},\backslash delta)$을 $(B,\backslash mathfrak\; J)$ 위의 분할 거듭제곱 포락(divided power envelope^영어)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

만약 $A$가 임의의 환이라면, 다음과 같은 분할 거듭제곱 환이 존재한다.

:$A\; \backslash langle\; x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n\; \backslash rangle$

이 환은 변수

:$x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n$

에 대한 '분할 거듭제곱 다항식'으로 구성되며, 이는 다음과 같은 형태의 '분할 거듭제곱 단항식'의 합이다.

:$c\; x\_1^\{[i\_1]\}\; x\_2^\{[i\_2]\}\; \backslash cdots\; x\_n^\{[i\_n]\}$

여기서 $c\; \backslash in\; A$이다. 여기서 분할 거듭제곱 아이디얼은 상수 계수가 0인 분할 거듭제곱 다항식의 집합이다.

더 일반적으로, 만약 $M$이 $A$-가군이라면, 다음과 같은 보편 $A$-대수가 존재한다.

:$\backslash Gamma\_A(M),$

PD 아이디얼은

:$\backslash Gamma\_+(M)$

이며, 다음과 같은 $A$-선형 사상이 존재한다.

:$M\; \backslash to\; \backslash Gamma\_+(M).$

(분할 거듭제곱 다항식의 경우는 $M$이 유한 랭크의 $A$ 위의 자유 가군인 특별한 경우이다.)

만약 $I$가 환 $A$의 임의의 아이디얼이라면, $A$의 원소의 분할 거듭제곱을 갖는 $A$를 확장하여 $I$에 대한 분할 거듭제곱 덮개를 얻는 보편 구성이 존재한다.

3.2. 분할 거듭제곱 미분

켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 $K$
* 분할 거듭제곱 환 $(R,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma)$
* 환 준동형 $f\backslash colon\; K\backslash to\; R$

켈러 미분의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군(分割-微分加群, module of divided-power differentials^영어) $\backslash Omega^1\_\{R/K,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma\}$를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 $\backslash mathrm\; db$들로 생성되는 $K$-가군으로 정의할 수 있다.

:$\backslash mathrm\; d(r+s)=\backslash mathrm\; db+\backslash mathrm\; ds\backslash qquad(r,s\backslash in\; R)$
:$\backslash mathrm\; d(rs)=(\backslash mathrm\; dr)s+r(\backslash mathrm\; ds)\backslash qquad(r,s\backslash in\; R)$
:$\backslash mathrm\; df(\backslash lambda)=0\backslash qquad\backslash forall\; \backslash lambda\backslash in\; K$
:$\backslash mathrm\; d(\backslash gamma\_n(r))=\backslash gamma\_\{n-1\}\backslash mathrm\; dr\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+,\backslash ;r\backslash in\; R$

이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.

이제, 켈러 미분과 마찬가지로

:$\backslash Omega^n\_\{R/K,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma\}=\backslash bigwedge^n\_R\backslash Omega^1\_\{R/K,\backslash mathfrak\; I,\backslash delta\}$
:$\backslash mathrm\; d\backslash colon\backslash left(r\_0(\backslash mathrm\; dr\_1\backslash wedge\; \backslash dotsb\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\; dr\_n)\backslash right)\backslash mapsto\backslash mathrm\; dr\_0\backslash wedge\; \backslash mathrm\; dr\_1\backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\; dr\_n\backslash qquad(r\_0,r\_1,\backslash dotsc,r\_n\backslash in\; R)$

를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다.

:$\backslash Omega^0\_\{R/K,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma\}\backslash xrightarrow\{\backslash mathrm\; d\}\backslash Omega^1\_\{R/K,J,\backslash delta\}\backslash xrightarrow\{\backslash mathrm\; d\}\backslash Omega^2\_\{R/K,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma\}\backslash xrightarrow\{\backslash mathrm\; d\}\backslash Omega^3\_\{R/K,\backslash mathfrak\; I,\backslash gamma\}\backslash xrightarrow\{\backslash mathrm\; d\}\backslash dotsb$

이를 분할 거듭제곱 드람 복합체(分割-de Rham複合體, divided-power de Rham complex^영어)라고 한다.

이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층 $\backslash mathcal\; O\_\{R/S\}$가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다.

4. 예

만약 M이 A-가군이면, $S^\backslash bullet\; M$을 A 위의 M의 대칭 대수라고 하자. 그러면 이중 공간 $(S^\backslash bullet\; M)^\backslash vee\; =\; \backslash text\{Hom\}\_A(S^\backslash bullet\; M,\; A)$는 분할 거듭제곱 환의 표준 구조를 갖는다. 사실, 이는 M이 유한 계수를 가지면 $\backslash Gamma\_A(\backslash check\{M\})$의 자연스러운 완비 공간과 표준적으로 동형이다.

4.1. 표수 0의 대수

체 표수가 0인 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$의 임의의 아이디얼 $\backslash mathfrak\; I\backslash subseteq\; A$ 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.
:$\backslash gamma\_n(x)\; =\; \backslash frac1\{n!\}\; \backslash cdot\; x^n$
$A$에서는 $n!$이 가역원이므로, $x^n=n!\backslash gamma\_n(x)$ 이고, $\backslash gamma\_n(x)=x^n/n!$이다. 물론, 이 경우 $\backslash mathfrak\; I=A$로 놓을 수 있다.

* $\backslash Z$ 위의 자유 분할 거듭제곱 대수 한 개 생성자는 다음과 같다.
::$\backslash Z\backslash langle\{x\}\backslash rangle:=\backslash Z\backslash left\; [x,\backslash tfrac\{x^2\}\{2\},\backslash ldots,\backslash tfrac\{x^n\}\{n!\},\backslash ldots\; \backslash right]\backslash subset\; \backslash Q[x].$

* 만약 A가 $\backslash Q$ 위의 대수이면, 모든 아이디얼 I는 $\backslash gamma\_n(x)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{n!\}\; \backslash cdot\; x^n$인 유일한 분할 거듭제곱 구조를 갖는다.

4.2. 자유 분할 거듭제곱 구조

가환환 $\backslash mathbb\; Z\backslash langle\{x\}\backslash rangle:=\backslash mathbb\; Z\backslash left[x,\backslash frac\{x^2\}\{2\},\backslash ldots,\backslash frac\{x^n\}\{n!\},\backslash dotsc\backslash right]\backslash subset\; \backslash mathbb\; Q[x]$의 주 아이디얼 $(x)$ 위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.
:$\backslash gamma\_n(x)\; =\; \backslash frac\{x^n\}\{n!\}\backslash qquad\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N$
이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 $\backslash mathbb\{Z\}$-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 "자유"라는 것은 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.

$\backslash mathbb\{Z\}$ 위의 자유 분할 거듭제곱 대수는 한 개의 생성자를 가지며 다음과 같다.
:$\backslash mathbb\{Z\}\backslash langle\{x\}\backslash rangle:=\backslash mathbb\{Z\}\backslash left\; [x,\backslash tfrac\{x^2\}\{2\},\backslash ldots,\backslash tfrac\{x^n\}\{n!\},\backslash ldots\; \backslash right]\backslash subset\; \backslash mathbb\{Q\}[x].$

4.3. 분할 거듭제곱 다항식환

가환환 $R$와 유한 집합 $I$가 주어졌을 때, 분할 거듭제곱 단항식(分割-單項式, divided power monomial^영어)은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.
:$r\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}x\_i^\{[n\_i]\}\backslash qquad((n\_i)\_\{i\backslash in\; I\}\backslash in\; \backslash mathbb\; N^I,\backslash ;r\backslash in\; R)$
이러한 분할 거듭제곱 단항식들의 유한 개의 합으로 구성된 가환 $R$-결합 대수 $R\backslash langle\; (x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}\backslash rangle$를 분할 거듭제곱 다항식환(分割-多項式環, divided power polynomial ring^영어)이라고 한다.

이 안에서, 양의 차수(즉, $\backslash textstyle\backslash sum\_in\_i>0$인 것)를 가진 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.
:$\backslash lambda\_n(x\_i^\{[m]\})=\backslash frac\{(mn)!\}\{(m!)^nn!\}x\_i^\{[mn]\}\backslash qquad(m,n\backslash in\backslash mathbb\; N,\backslash ;i\backslash in\; I)$

임의의 환 A에 대해, 다음과 같은 분할 거듭제곱 환이 존재한다.

:$A\; \backslash langle\; x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n\; \backslash rangle$

이 환은 변수

:$x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n$

에 대한 분할 거듭제곱 다항식으로 구성되며, 이는 다음과 같은 형태의 분할 거듭제곱 단항식의 합이다.

:$c\; x\_1^\{[i\_1]\}\; x\_2^\{[i\_2]\}\; \backslash cdots\; x\_n^\{[i\_n]\}$

여기서 $c\; \backslash in\; A$이다. 여기서 분할 거듭제곱 아이디얼은 상수 계수가 0인 분할 거듭제곱 다항식의 집합이다.

4.4. 양의 표수

체 위의 가환 결합 대수의 경우, $x^n\; =\; n!\; \backslash gamma\_n(x)$는 성립하더라도, $n!$로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 양의 표수에서는 분할 거듭제곱 구조가 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어,
* 소수 $p$의 표수를 갖는 가환환 $A$
* $\backslash mathfrak\; I^p=0$인 멱영 아이디얼 $\backslash mathfrak\; I\backslash subseteq\; A$
에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.
:$\backslash gamma\_n(x)=\backslash begin\{cases\}$
x^n/n!&n0&n\ge p
\end{cases}

일반적으로 양의 표수를 갖는 환에서 주의할 점은, 아이디얼 $\backslash mathfrak\; I^p$과, 모든 $x\; \backslash in\backslash mathfrak\; I$에 대해 $x^p$로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 것이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

5. 응용

분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자 및 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용되며, 양의 표수를 가지는 환에서 발생하는 기술적인 어려움들을 극복하는 데 사용된다. 멱영 아이디얼 위에 분할 거듭제곱 구조를 적용하여 대수기하학에서 유용하게 활용된다. 또한, 분할 거듭제곱 함자는 코-슈어 함자의 구성에도 사용된다.

5.1. PD 미분 연산자

분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들을 극복할 수 있다.

표수 $p$인 가환환 $A$ 위의 다항식환 $A[x]$에서, 미분의 곱 규칙에 따라 $p\backslash mid\; n$일 경우
:$(x^n)\text{'}=0$
이 된다. 이 때문에 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하는 문제가 발생한다.

이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 특수한 곱을 정의한다.
:$x^\{[m]\}y^\{[n]\}=\backslash frac\{(m+n)!\}\{m!n!\}x^my^n$
이 경우 미분은 다음과 같이 정의된다.
:$(x^\{[n]\})\text{'}=x^\{[n-1]\}$
이렇게 하면 문제가 되었던 $n$이 사라진다.

즉, 가환환 $A$에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 다항식환을 정의할 수 있다.
:$A\backslash langle\; x\_1,x\_2,\backslash cdots,x\_n\backslash rangle=\backslash left\backslash \{\backslash sum\_\{i\_1,\backslash cdots,i\_n\}a\_\{i\_1,\backslash cdots,i\_n\}x\_1^\{[i\_1]\}\backslash cdots\; x\_n^\{[i\_n]\}|a\_\{i\_1,\backslash cdots,i\_n\}\backslash in\; A\backslash right\backslash \}$

분할 거듭제곱 외피는 PD 미분 연산자 이론의 기본 도구이며, 여기서 양의 표수에서 발생하는 기술적인 어려움을 극복하는 데 사용된다.

5.2. 결정 코호몰로지

분할 거듭제곱 구조는 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

구체적으로, 양의 표수 $p$의 경우, 에탈 코호몰로지는 $\backslash ell\backslash ne\; p$인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수 $p$의 가환환 $A$ 위의 다항식환 $A[x]$에서, 미분의 곱 규칙은 다음과 같다.
:$(x^n)\text{'}=nx^\{n-1\}$
만약 $p\backslash mid\; n$일 경우
:$(x^n)\text{'}=0$
이 된다. 이 때문에 쿠머 열(Kummer sequence)이 $\backslash ell=p$에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 $n$을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의한다.
:$x^\{[m]\}y^\{[n]\}=\backslash frac\{(m+n)!\}\{m!n!\}x^my^n$
그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면
:$(x^\{[n]\})\text{'}=x^\{[n-1]\}$
가 되며, 문제가 되는 $n$이 사라지게 된다.

즉, 가환환 $A$에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.
:$A\backslash langle\; x\_1,x\_2,\backslash cdots,x\_n\backslash rangle=\backslash left\backslash \{\backslash sum\_\{i\_1,\backslash cdots,i\_n\}a\_\{i\_1,\backslash cdots,i\_n\}x\_1^\{[i\_1]\}\backslash cdots\; x\_n^\{[i\_n]\}|a\_\{i\_1,\backslash cdots,i\_n\}\backslash in\; A\backslash right\backslash \}$

이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.

5.3. 코-슈어 함자

분할 거듭제곱 함자는 코-슈어 함자의 구성에 사용된다.