디오판토스 근사

3. 주요 정리

실수 $\backslash alpha$를 유리수 $p/q$로 근사할 때, 그 정확도를 측정하는 가장 기본적인 방법은 둘 사이의 차이인 $|\backslash alpha\; -\; p/q|$의 절댓값을 보는 것이다. 하지만 분모 $q$와 분자 $p$를 충분히 크게 하면 이 값은 얼마든지 작게 만들 수 있으므로, 이것만으로는 근사의 '질'을 평가하기 어렵다. 따라서 디오판토스 근사에서는 보통 $|\backslash alpha\; -\; p/q|$를 분모 $q$에 대한 특정 함수 $\backslash phi(q)$(주로 $q$의 음수 거듭제곱 형태)와 비교하여 근사의 정확성을 평가한다.

이러한 비교를 통해 근사 정확도의 하한 또는 상한을 얻고자 한다.

• 하한: 특정 종류의 실수 $\backslash alpha$에 대해, "모든 (또는 거의 모든) 유리수 $p/q$에 대하여 $|\backslash alpha\; -\; p/q|\; >\; \backslash phi(q)$ 가 성립한다"는 형태의 정리가 있다. 이는 해당 실수 $\backslash alpha$를 유리수로 얼마나 '나쁘게' 근사할 수밖에 없는지를 보여준다. 즉, 특정 수준 이하로 정밀하게 근사하는 것이 불가능함을 의미한다. 어떤 경우에는 '모든 유리수' 대신 '유한 개를 제외한 모든 유리수'라는 조건이 붙기도 한다.

• 상한: 특정 종류의 실수 $\backslash alpha$에 대해, " 를 만족하는 유리수 $p/q$가 무한히 많이 존재한다"는 형태의 정리가 있다. 이는 해당 실수 $\backslash alpha$를 유리수로 얼마나 '잘' 근사할 수 있는지를 보여준다.

3. 1. 리우빌의 정리

3. 2. 투에-지겔-로스 정리

클라우스 로스는 1955년 최종적인 형태인 투에-지겔-로스 정리 (또는 로스의 정리)를 증명했다. 이 정리는 다음과 같다:

만약 ''α''가 무리수인 대수적 수이고 임의의 양수 ''ε'' > 0 이 주어졌을 때, ''α''와 ''ε''에만 의존하는 어떤 양의 상수 ''c''(''α'', ''ε'')가 존재하여, 모든 정수 ''p''와 ''q'' (''q'' > 0)에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash left|\; \backslash alpha\; -\; \backslash frac\{p\}\{q\}\; \backslash right|\; >\; \backslash frac\{c(\backslash alpha,\; \backslash varepsilon)\}\{q^\{2+\backslash varepsilon\}\}$

이 결과는 지수 $2+\backslash varepsilon$가 최적이라는 의미를 갖는다. 즉, 지수를 2로 낮추면 (즉, ''ε'' = 0으로 두면) 정리는 성립하지 않는다. 이는 디리클레 근사 정리로부터 알 수 있다.

D. 리두(D. Ridout)는 1957년, 근사하는 유리수 ''p''/''q''의 분모 ''q''와 분자 ''p''를 구성하는 소인수에 제한을 가함으로써 로스의 정리를 더욱 일반화한 로스-리두 정리를 발표했다.

'''로스-리두 정리''' (1957년):

''α''를 2차 이상의 실수 대수적 수라고 하자. ''P''₁, ..., ''P''_''s'' 와 ''Q''₁, ..., ''Q''_''t'' 를 서로 다른 소수들이라고 하고, ''d''를 양의 정수라고 하자. 또한, ''λ'', ''ρ''를 $0\; \backslash le\; \backslash lambda\; \backslash le\; 1$, $0\; \backslash le\; \backslash rho\; \backslash le\; 1$ 을 만족하는 실수라고 하자. 양의 정수 ''p'', ''q''가 다음 조건을 만족한다고 가정하자:

:(*) $p\; =\; p^*\; P\_1^\{\backslash sigma\_1\}\backslash cdots\; P\_s^\{\backslash sigma\_s\},\; \backslash quad\; q\; =\; q^*\; Q\_1^\{\backslash tau\_1\}\backslash cdots\; Q\_t^\{\backslash tau\_t\}$

여기서 ''σ''₁, ..., ''σ''_''s'', ''τ''₁, ..., ''τ''_''t''는 음이 아닌 정수이고, $1\; \backslash le\; p^*\; \backslash le\; dp^\backslash lambda,\; \backslash quad\; 1\; \backslash le\; q^*\; \backslash le\; dq^\backslash rho$ 를 만족한다.

이때, 임의의 $\backslash kappa\; >\; \backslash lambda\; +\; \backslash rho$ 에 대해, ''α'', ''κ'', ''λ'', ''ρ'', ''d'', ''P''₁, ..., ''P''_''s'', ''Q''₁, ..., ''Q''_''t'' 에만 의존하는 양의 상수 ''c''가 존재하여,

:$\backslash left|\backslash alpha\; -\; \backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right|\; >\; \backslash frac\{c\}\{q^\{\backslash kappa\}\}$

가 (*)를 만족하는 모든 ''p''/''q''에 대해 성립한다.

참고로, 로스의 정리는 로스-리두 정리에서 소인수 제한이 없는 경우, 즉 ''λ'' = 1, ''ρ'' = 1 로 두고 ''κ'' 를 $2+\backslash varepsilon$ (단, $\backslash varepsilon\; >\; 0$)으로 잡은 특수한 경우에 해당한다.

3. 3. 베이커의 정리 (유효한 결과)

• $\backslash alpha\; =\; \backslash sqrt[3]\{2\}$ (''d''=3) 인 경우, $c\; \backslash approx\; 10^\{-6\},\; \backslash kappa\; \backslash approx\; 2.955$ 로 계산될 수 있다.
• $\backslash alpha\; =\; \backslash sqrt[3]\{17\}$ (''d''=3) 인 경우, $c\; \backslash approx\; 10^\{-9\},\; \backslash kappa\; \backslash approx\; 2.4$ 로 계산될 수 있다.

4. 최적 디오판토스 근사

실수 $\backslash alpha$가 주어졌을 때, $\backslash alpha$의 최적 디오판토스 근사를 정의하는 두 가지 방법이 있다.

첫 번째 정의에 따르면,^[1] 유리수 $p/q$는 를 만족하는 다른 모든 유리수 $p\text{'}/q\text{'}$에 대해 다음 부등식을 만족할 경우 $\backslash alpha$의 최적 디오판토스 근사이다.

:

이 정의는 주어진 분모 $q$ 이하의 분모를 가지는 유리수 중에서 $\backslash alpha$에 가장 가까운 유리수를 찾는 것을 의미한다.

두 번째 정의에 따르면,^[2][3] 위의 부등식은 다음과 같이 대체된다.

:

이 정의는 $|q\backslash alpha\; -\; p|$ 값, 즉 $q\backslash alpha$와 가장 가까운 정수 $p$ 사이의 거리를 최소화하는 유리수 $p/q$를 찾는 것을 의미한다.

두 번째 정의를 만족하는 최적 근사는 첫 번째 정의도 만족하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[4]

연분수 이론은 실수의 최적 근사를 계산하는 데 유용하다. 두 번째 정의에 따른 최적 근사는 해당 실수의 정규 연분수 표현의 수렴자와 일치한다.^[3][4][5] 첫 번째 정의에 따른 최적 근사를 찾기 위해서는 수렴자뿐만 아니라 반수렴자도 고려해야 한다.^[1]

예를 들어, 자연로그의 밑 $e\; =\; 2.718281828459045235...$의 정규 연분수 표현은 다음과 같다.

:$[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\backslash ldots\backslash ;]$

두 번째 정의에 따른 $e$의 최적 근사는 다음과 같다.

:$3,\; \backslash tfrac\{8\}\{3\},\; \backslash tfrac\{11\}\{4\},\; \backslash tfrac\{19\}\{7\},\; \backslash tfrac\{87\}\{32\},\; \backslash ldots\backslash ,$

이는 연분수 전개의 수렴자들이다. 반면, 첫 번째 정의에 따른 $e$의 최적 근사는 다음과 같다.

:$3,\; \backslash tfrac\{5\}\{2\},\; \backslash tfrac\{8\}\{3\},\; \backslash tfrac\{11\}\{4\},\; \backslash tfrac\{19\}\{7\},\; \backslash tfrac\{49\}\{18\},\; \backslash tfrac\{68\}\{25\},\; \backslash tfrac\{87\}\{32\},\; \backslash tfrac\{106\}\{39\},\; \backslash ldots\backslash ,$

여기에는 수렴자 외에 반수렴자($\backslash tfrac\{5\}\{2\},\; \backslash tfrac\{49\}\{18\},\; \backslash tfrac\{68\}\{25\},\; \backslash tfrac\{106\}\{39\}$ 등)도 포함된다.

일반적으로 임의의 무리수 $\backslash alpha$에 대해, 부등식

:

를 만족하는 정수 $x,\; y$ ($y>0$)를 찾는 것이 디오판토스 근사의 기본적인 문제 중 하나이다. 디리클레의 디오판토스 근사 정리에 따르면, 이러한 정수쌍 $(x,\; y)$는 무수히 많이 존재한다. 위 부등식을 변형하면 다음과 같다.

:

이는 임의의 무리수 $\backslash alpha$에 대해 오차가 $1/y^2$보다 작은 근사 유리수 $x/y$가 무한히 많이 존재함을 의미한다. 분모 $y$가 커질수록 더 정밀한 근사가 가능해진다.

예를 들어 원주율 $\backslash pi$를 소수점 이하 3자리까지 십진법으로 나타내면 $3.141$이고, 이는 분수로 $3141/1000$이다. 이때 오차는 다음과 같다.

:

하지만 디오판토스 근사는 이보다 훨씬 작은 분모를 사용하면서도 더 좋은 근삿값을 찾을 수 있음을 보여준다. 예를 들어 $355/113$은 다음과 같은 오차를 가진다.

:

분모가 1000보다 훨씬 작은 113임에도 불구하고 오차는 훨씬 작다. 이는 디오판토스 근사가 무리수를 유리수로 근사하는 매우 효율적인 방법을 제공함을 시사한다.

디오판토스 근사 부등식을 만족하는 $x,\; y$가 무한히 많다는 사실은 비둘기집 원리를 사용하여 증명할 수 있다. 이 증명 과정을 응용하면 $\backslash pi$의 좋은 근삿값들을 분모가 작은 순서대로 찾을 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

|3-1\pi| &< 1 \\

|22-7\pi| &< 1/7 \\

|333-106\pi| &< 1/106 \\

|355-113\pi| &< 1/113

\end{align}

여기서 얻어지는 $\backslash pi$의 근삿값 3, 22/7, $333/106$, $355/113$ 등은 고대부터 알려진 원주율의 근삿값과 일치하며, 이는 $\backslash pi$의 연분수 전개와 밀접한 관련이 있다. $\backslash pi$의 연분수 전개는 다음과 같다.

:$\backslash pi\; =\; [3;\; 7,\; 15,\; 1,\; 292,\; 1,\; \backslash ldots]\; =\; 3+\backslash cfrac\{1\}\{7+\backslash cfrac\{1\}\{15+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{292+\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}$

이 전개를 중간에서 끊어서 계산하면 디오판토스 근삿값을 얻을 수 있다. 예를 들어,

• $[3]\; =\; 3$
• $[3;\; 7]\; =\; 3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{7\}\; =\; \backslash tfrac\{22\}\{7\}$
• $[3;\; 7,\; 15]\; =\; 3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{7\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{15\}\}\; =\; 3\; +\; \backslash tfrac\{15\}\{106\}\; =\; \backslash tfrac\{333\}\{106\}$
• $[3;\; 7,\; 15,\; 1]\; =\; 3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{7\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{15\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{1\}\}\}\; =\; 3\; +\; \backslash tfrac\{16\}\{113\}\; =\; \backslash tfrac\{355\}\{113\}$

4. 1. 나쁘게 근사 가능한 수

5. 디오판토스 근사의 정확도 측정

실수 $\backslash alpha$를 유리수 $p/q$로 근사하는 디오판토스 근사의 정확도를 측정하는 가장 직접적인 방법은 두 수의 차이, 즉 오차 $\backslash left|\backslash alpha\; -\; \backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right|$를 보는 것이다. 하지만 이 오차 값은 분모 $q$와 분자 $p$의 절댓값을 충분히 크게 하면 얼마든지 작게 만들 수 있으므로, 단순히 오차의 크기만으로는 근사의 '질'을 평가하기 어렵다. 따라서 근사의 정확도는 일반적으로 이 오차 값을 분모 $q$에 대한 어떤 함수 $\backslash phi(q)$ (주로 $q$의 음수 거듭제곱 형태, 예를 들어 $1/q^2$)와 비교하여 평가한다. 즉, 분모 $q$가 커지는 것에 비해 오차가 얼마나 빠르게 작아지는지를 보는 것이다.

이러한 비교는 크게 두 가지 관점에서 이루어진다: 하한과 상한.

• 하한 (Lower bounds): 특정 조건을 만족하는 실수 $\backslash alpha$와 모든 (또는 거의 모든) 유리수 $p/q$에 대해 오차가 특정 값보다 항상 크다는 것을 보이는 정리이다. 형식적으로는 "실수의 어떤 부분 집합의 모든 원소 $\backslash alpha$와 (유한 개를 제외한) 모든 유리수 $p/q$에 대해 $\backslash left|\backslash alpha\; -\; \backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right|\; >\; \backslash phi(q)$를 만족한다"와 같은 형태로 나타난다. 이는 특정 종류의 수(예: 대수적 수)는 유리수로 얼마나 '잘' 근사될 수 없는지에 대한 한계를 제시한다.
• 상한 (Upper bounds): 특정 조건을 만족하는 실수 $\backslash alpha$에 대해, 오차가 특정 값보다 작은 유리수 $p/q$가 무한히 많이 존재한다는 것을 보이는 정리이다. 형식적으로는 "실수의 어떤 부분 집합의 모든 원소 $\backslash alpha$에 대해, 를 만족하는 무한히 많은 유리수 $p/q$가 존재한다"의 형태를 띤다. 이는 특정 종류의 수(예: 모든 무리수)가 적어도 얼마나 '잘' 근사될 수 있는지를 보장한다.

• 리우빌의 정리 (1840년대): 대수적 수의 근사에 대한 최초의 중요한 하한을 제시했다. 만약 $x$가 유리수체 상의 차수가 $n$인 무리수 대수적 수라면, $x$에만 의존하는 어떤 양의 상수 $c(x)\; >\; 0$가 존재하여 모든 정수 $p,\; q$ ($q\; >\; 0$)에 대해 다음 부등식이 성립한다.

• 튀에-지겔-로스 정리: 리우빌의 정리를 개선하려는 약 1세기에 걸친 노력의 결과물이다. 악셀 튀에 (1909), 카를 루드비히 지겔 (1921), 프리먼 다이슨 (1947), 그리고 클라우스 로스 (1955)의 연구를 통해 완성되었다. 이 정리에 따르면, 만약 $x$가 무리수 대수적 수이고 임의의 작은 양수 $\backslash varepsilon\; >\; 0$가 주어지면, $x$와 $\backslash varepsilon$에 의존하는 양의 상수 $c(x,\; \backslash varepsilon)$가 존재하여 모든 정수 $p,\; q$ ($q\; >\; 0$)에 대해 다음 부등식이 성립한다.

• 슈미트의 부분 공간 정리: 튀에-지겔-로스 정리를 여러 개의 대수적 수를 동시에 근사하는 경우로 일반화한 결과이다. 만약 $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n$이 대수적 수이고 $1,\; x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n$이 유리수 위에서 선형 독립이면, 임의의 양수 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해 다음 연립 부등식을 만족하는 유리수 $n$-튜플 $(p\_1/q,\; \backslash dots,\; p\_n/q)$은 유한 개만 존재한다.

• 디리클레 근사 정리: 모든 무리수 $\backslash alpha$에 대해, 다음 부등식을 만족하는 유리수 $p/q$가 무한히 많이 존재함을 보장한다.

• 후르비츠 정리 (1891): 아돌프 후르비츠는 디리클레의 결과를 더욱 강화하여, 모든 무리수 $\backslash alpha$에 대해 다음 부등식을 만족하는 유리수 $p/q$가 무한히 많이 존재함을 증명했다.^[7]

• 단순히 소수점 이하 세 자리까지 끊으면 $\backslash pi\; \backslash approx\; 3.141\; =\; 3141/1000$이다. 이때 오차는 은 아니지만, $1/1000$보다는 작다.
• 디오판토스 근사 이론(특히 연분수 전개와 관련하여)은 더 작은 분모를 가지면서도 더 좋은 근사값을 찾을 수 있음을 시사한다. 예를 들어, 잘 알려진 근사값 22/7은 $|22/7\; -\; \backslash pi|\; \backslash approx\; 0.00126$으로, $1/7^2\; \backslash approx\; 1/49\; \backslash approx\; 0.0204$보다 작으므로 디리클레 근사 정리의 조건을 만족한다.
• 더 좋은 근사값인 355/113의 경우, $|355/113\; -\; \backslash pi|\; \backslash approx\; 0.000000267$이다. 이는 $1/113^2\; \backslash approx\; 1/12769\; \backslash approx\; 0.000078$보다 훨씬 작으며, 심지어 후르비츠 정리가 보장하는 $1/(\backslash sqrt\{5\}\; \backslash cdot\; 113^2)\; \backslash approx\; 1/28553\; \backslash approx\; 0.000035$보다도 작다.

• $p=3,\; q=1$:
• $p=22,\; q=7$:
• $p=333,\; q=106$:
• $p=355,\; q=113$:
• $p=103993,\; q=33102$:

6. 디오판토스 근사의 상한

디오판토스 근사의 기본적인 문제는 임의의 무리수 $\backslash alpha$에 대해,

:

를 만족하는 정수 $x,\; y$ ($y\; \backslash neq\; 0$)를 찾는 것이다. 이 부등식은 다음과 같이 다시 쓸 수도 있다.

:

이는 "임의의 무리수 $\backslash alpha$에 대해, 오차가 $\backslash frac\{1\}\{y^2\}$ 이하인 근사 유리수 $\backslash frac\{x\}\{y\}$를 찾는다"는 문제로 바꿔 말할 수 있다. 디리클레의 디오판토스 근사 정리에 따르면, 이러한 조건을 만족하는 정수 $x,\; y$는 무수히 많이 존재한다.

예를 들어 원주율 $\backslash pi$를 소수점 이하 세 자리까지 표현하면 $3.141$이고, 이를 분수로 나타내면 $\backslash frac\{3141\}\{1000\}$이다. 이때 오차는 이다. 하지만 디오판토스 근사는 더 작은 분모를 가지면서도 더 정확한 근사가 가능함을 보여준다. 실제로 $\backslash frac\{355\}\{113\}$는 $\backslash pi$의 매우 좋은 근사값으로,

:

을 만족한다. 이는 분모 $113$이 $1000$보다 훨씬 작음에도 불구하고 오차는 $\backslash frac\{1\}\{113^2\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{12769\}$보다 훨씬 작다는 것을 의미한다.

디오판토스 근사 부등식을 만족하는 $x,\; y$가 무한히 많다는 것은 비둘기집 원리를 이용하여 증명할 수 있다. 이 증명 과정을 통해 $\backslash pi$에 대한 좋은 근사값들을 분모가 작은 순서대로 찾을 수 있는데, 몇 가지 예시는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

|3-1\pi| &< 1 \\

|22-7\pi| &< 1/7 \\

|333-106\pi| &< 1/106 \\

|355-113\pi| &< 1/113

\end{align}

여기서 얻어지는 근사값 $3$, $\backslash frac\{22\}\{7\}$, $\backslash frac\{333\}\{106\}$, $\backslash frac\{355\}\{113\}$ 등은 역사적으로도 잘 알려진 원주율의 근사분수이다.

이러한 디오판토스 근사값들은 연분수 전개와 깊은 관련이 있다. 예를 들어 $\backslash pi$의 연분수 전개는 다음과 같다.

:$\backslash pi\; =\; [3;\; 7,\; 15,\; 1,\; 292,\; \backslash dots]\; =\; 3+\backslash cfrac\{1\}\{7+\backslash cfrac\{1\}\{15+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{292+\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}$

이 전개 과정에서 계산을 중간에 멈추면 좋은 근사값을 얻을 수 있다. 예를 들어, $7$에서 멈추면 $[3;\; 7]\; =\; 3\; +\; \backslash frac\{1\}\{7\}\; =\; \backslash frac\{22\}\{7\}$를 얻고, $15$에서 멈추면 $[3;\; 7,\; 15]\; =\; 3\; +\; \backslash frac\{1\}\{7\; +\; \backslash frac\{1\}\{15\}\}\; =\; \backslash frac\{333\}\{106\}$을 얻는다. 그 다음 항까지 계산하면 $[3;\; 7,\; 15,\; 1]\; =\; \backslash frac\{355\}\{113\}$이 된다. 이런 방식으로 계속 근사값을 구할 수 있으며, 예를 들어 다섯 번째 근사값은 $\backslash frac\{103993\}\{33102\}$이고, 이는 를 만족하는 좋은 근사이다.

6. 1. 일반적인 상한

6. 2. 동치인 실수

6. 3. 라그랑주 스펙트럼

7. 계량 디오판토스 근사

계량 디오판토스 근사는 '거의 모든' 실수에 대한 근사 성질을 연구하는 분야이다.

양의 정수에 대한 양의 실수 값 함수 $\backslash psi$ (즉, 양의 수열)가 주어져 있고 $q\; \backslash psi(q)$가 감소하지 않는다고 가정하자. 어떤 실수 ''x''가 무한히 많은 유리수 ''p''/''q''에 대해 다음 부등식을 만족하면, 그 실수 ''x''를 $\backslash psi$-''근사 가능''하다고 한다.

: