반단순 가군

3. 성질

• 반단순 가군의 부분 가군과 몫가군 역시 반단순 가군이다.
• 반단순 가군들의 직합 역시 반단순 가군이다.
• 반단순환 위의 모든 가군은 반단순 가군이다.
• 가군 $M$이 유한 생성 가군이고 반단순 가군일 필요충분조건은 아르틴 가군이고 가군의 근기가 0인 것이다.
• 환 $R$ 위의 반단순 가군 $M$의 자기준동형환 $\backslash operatorname\{End\}\_RM$은 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 반원시환이다.
• 환 $R$ 위의 반단순 가군 $M$은 $R$에서 $M$의 아벨 군 자기 사상 환으로의 환 준동형 사상으로 생각할 수도 있다. 이 준동형 사상의 이미지는 반원시환이며, 모든 반원시 환은 이러한 이미지와 동형이다.

4. 반단순환

환이 자기 자신에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군일 때, 그 환을 '''(왼쪽) 반단순환'''이라고 한다. 왼쪽 반단순환은 오른쪽 반단순환과 동치이므로, 보통 좌우 구분 없이 '''반단순환'''이라고 부른다.

반단순환은 호몰로지 대수의 관점에서 특징지을 수 있다. 즉, 환 ''R''이 반단순이라는 것은 왼쪽 (또는 오른쪽) ''R''-가군의 모든 짧은 완전열이 분리된다는 것과 동치이다. 다시 말해, 짧은 완전열

:$0\; \backslash to\; A\; \backslash xrightarrow\{f\}\; B\; \backslash xrightarrow\{g\}\; C\; \backslash to\; 0$

에 대해, 합성 $g\; \backslash circ\; s$가 $C$ 위의 항등 함수가 되게 하는 준동형 사상 $s\; :\; C\; \backslash to\; B$ (단면, section)가 존재한다. 이는 $B$가 $A$와 $C$의 직합 $A\; \backslash oplus\; C$와 동형임을 의미한다. 좀 더 정확하게는 $B\; \backslash cong\; f(A)\; \backslash oplus\; s(C)$이다.

특히, 반단순환 위의 모든 가군은 단사 가군이자 사영 가군이다. 모든 사영 가군은 평탄 가군이므로, 반단순환은 폰 노이만 정칙환이다.

반단순환은 대수학에서 중요한 대상이다. 예를 들어, 기저 환 ''R''이 반단순이면 모든 ''R''-가군은 자동으로 반단순이 된다. 또한, 모든 단순 (왼쪽) ''R''-가군은 ''R''의 극소 왼쪽 아이디얼과 동형이며, 이는 ''R''이 왼쪽 Kasch 환임을 뜻한다.

반단순환은 아르틴 환이자 노에터 환이다. 이러한 성질로부터, 환이 반단순이라는 것은 그 환이 아르틴 환이고 야코브슨 근기가 {0}인 것과 동치라는 사실을 알 수 있다.

아르틴 반단순환이 중심 부분환으로서 체를 포함하는 경우, 이를 반단순 대수라고 한다.

4. 1. 반단순환의 예

• 가환환의 경우, 다음 네 가지 속성은 동치이다: 반단순환인 것; 아르틴 환이고 환원 환인 것; 환원 환인 뇌터 환이고 크룰 차원이 0인 것; 유한한 체의 곱으로 동형인 것.
• 마슈케 정리: 만약 ''K''가 체이고 ''G''가 위수 ''n''인 유한군이라면, 군환 ''K''[''G'']는 ''K''의 표수가 ''n''을 나누지 않을 때에만 반단순환이다. 이는 군 표현론에서 중요한 결과이다.
• 아르틴-웨더번 정리: 단위원을 갖는 환 ''R''은 각 ''D''_''i''가 나눗셈 환이고 각 ''n''_''i''가 양의 정수인 $M\_\{n\_1\}(D\_1)\; \backslash times\; M\_\{n\_2\}(D\_2)\; \backslash times\; \backslash dots\; \backslash times\; M\_\{n\_r\}(D\_r)$와 동형일 때에만 반단순환이다. 여기서 $M\_n(D)$는 ''D''를 원소로 하는 ''n'' × ''n'' 행렬환을 나타낸다.
• 반단순 비단위환의 예로는 체 ''K''에 대한 행과 열이 유한한 무한 행렬의 환 $M\_\{\backslash infty\}(K)$가 있다.

5. 예

나눗셈환 $D$ 위의 모든 가군은 반단순 가군이다. 이는 나눗셈환이 반단순환이기 때문이다. 이 경우, 단순 가군은 나눗셈환 $D$ 스스로이며, 모든 자유 가군은 $D$의 직합과 동형이다. 특히, 체 위의 모든 벡터 공간은 반단순 가군이다.

정수환 $\backslash mathbb\; Z$ 위의 가군은 아벨 군과 같다. 정수환 위의 단순 가군은 (아벨 군인 단순군이므로) 소수 $p$에 대해 크기가 $p$인 순환군 $\backslash operatorname\{Cyc\}(p)$이다. 따라서, 정수환 위의 반단순 가군은 이러한 소수 크기 순환군들의 직합으로 나타낼 수 있다. 반면에, 정수환 $\backslash mathbb\; Z$ 자체는 자기 자신 위의 가군으로 보았을 때 반단순 가군이 아니다. 예를 들어, 부분가군 $2\backslash mathbb\; Z$ (짝수 전체의 집합)은 $\backslash mathbb\; Z$의 직합 성분(direct summand)이 아니기 때문이다. 즉, $\backslash mathbb\; Z\; =\; 2\backslash mathbb\; Z\; \backslash oplus\; P$ 를 만족하는 부분가군 $P$가 존재하지 않는다.

6. 단순환과 반단순환

용어와 달리, '''모든 단순환이 반단순환인 것은 아니다'''라는 점에 유의해야 한다. 이는 환이 "너무 클" 수 있기 때문인데, 즉 환이 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환이 아닐 수 있다는 의미이다. 만약 단순환 ''R''이 극소(최소) 왼쪽 아이디얼 또는 오른쪽 아이디얼을 갖는다면, ''R''은 반단순환이 된다.

단순환이지만 반단순환이 아닌 대표적인 예시로는 바일 대수가 있다. 예를 들어, 유리수체 '''Q''' 상에서의 바일 대수 $A\; =\; \backslash mathbf\{Q\}\backslash langle\; x,\; y\; \backslash rangle\; /\; (xy\; -\; yx\; -\; 1)$는 단순 비가환 정역이다. 이러한 유형의 환(비-아르틴 단순환)은 여러 비가환환론 교재에서 더 자세히 다루어진다. 예를 들어, 램(Lam)의 저서 3장 등에서 논의된다. 바일 대수에 대한 가군론은 잘 연구되어 있으며, 이는 반단순환의 가군론과는 상당히 다른 양상을 보인다.

7. 제이콥슨 반단순

환의 모든 극대 왼쪽 아이디얼들의 교집합이 영 아이디얼 {0}일 때, 즉 제이콥슨 근기가 {0}일 때, 이 환을 제이콥슨 반단순(Jacobson semisimple)이라고 부른다. 다른 이름으로는 J-반단순 또는 반소수환, 반원시환 등이 있다.

자기 자신 위의 가군으로서 반단순환인 모든 환은 제이콥슨 근기가 {0}이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 제이콥슨 근기가 {0}이라고 해서 항상 (자기 자신 위의 가군으로서) 반단순환인 것은 아니다. 제이콥슨 반단순환이 반단순환이 될 필요충분조건은 그 환이 아르틴 환이라는 것이다. 이러한 이유로, 반단순환을 혼동을 피하기 위해 아르틴 반단순환(artinian semisimple ring)이라고 부르기도 한다.

예를 들어, 정수환 '''Z'''는 제이콥슨 근기가 {0}이므로 J-반단순환이다. 하지만 '''Z'''는 아르틴 환이 아니므로, 아르틴 반단순환은 아니다.