궤도역학

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1. 개요
2. 역사
3. 궤도역학의 기본 원리
4. 궤도 계산
- 4.1. 케플러 방정식
- 4.2. 섭동
5. 궤도 기동
참조

1. 개요

궤도역학은 우주 비행체의 궤도를 계산하고 예측하는 학문으로, 17세기 케플러와 뉴턴의 연구를 통해 발전했다. 케플러의 법칙과 뉴턴의 만유인력의 법칙을 기반으로 하며, 궤도 결정, 궤도 기동, 궤도 전이 등의 기술을 포함한다. 대한민국은 1990년대부터 우주 개발에 참여하여 궤도역학 기술을 축적해 왔으며, 한국형 발사체 개발과 달 탐사 계획을 통해 기술 발전을 추진하고 있다. 궤도역학은 궤도의 종류, 탈출 속도, 섭동, 중력 보조, 행성간 수송 네트워크 등 다양한 개념을 다루며, 우주선의 궤도를 변경하고 우주 공간을 탐사하는 데 필수적인 역할을 한다.

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호만 전이 궤도는 우주선을 낮은 원형 궤도에서 높은 원형 궤도로 이동시키는 데 사용되는 타원 궤도로, 두 번의 엔진 점화를 통해 궤도를 변경하며, 특정 조건 하에서 최소 에너지를 사용하는 궤도 전이 방법이다.
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궤도역학
개요
궤도 모식도
분야	고전역학
하위 분야	천체역학, 우주항행학
설명
설명	질량을 가진 물체의 운동을 다루는 고전역학의 한 분야
관련 개념	케플러 법칙, 뉴턴의 운동 법칙, 만유인력의 법칙, 중심력
응용	인공위성 궤도 계산, 행성 운동 예측, 우주 탐사
역사
주요 인물	요하네스 케플러, 아이작 뉴턴, 조제프루이 라그랑주, 피에르시몽 라플라스
주요 발전	케플러의 행성 운동 법칙 발견, 뉴턴의 만유인력 법칙 발표, 라그랑주-해밀턴 역학 개발
기본 원리
주요 법칙	케플러 법칙, 뉴턴의 운동 법칙, 만유인력의 법칙
에너지 보존	궤도 운동에서 역학적 에너지 (운동 에너지 + 위치 에너지)는 보존됨
각운동량 보존	중심력 하에서 각운동량은 보존됨
궤도 요소
궤도 요소	궤도 경사 승교점 경도 근일점 인수 이심률 장반축 진근점 이각
궤도 종류
원궤도	이심률이 0인 궤도
타원 궤도	이심률이 0과 1 사이인 궤도
포물선 궤도	이심률이 1인 궤도
쌍곡선 궤도	이심률이 1보다 큰 궤도
정지 궤도	지구 자전 주기와 동일한 주기를 가지는 궤도
태양 동기 궤도	태양과의 상대적인 위치가 항상 일정한 궤도
궤도 변경
궤도 변경 방법	호만 전이 궤도, 이중 타원 궤도 전이, 스윙바이
델타-V (Δv)	궤도 변경에 필요한 속도 변화량
응용 분야
인공위성	통신 위성, 기상 위성, 지구 관측 위성, 군사 위성
우주 탐사	행성 탐사, 소행성 탐사, 혜성 탐사
기타	GPS, 갈릴레오, 글로나스

2. 역사

요하네스 케플러는 행성 궤도를 높은 정확도로 모델링하는 데 성공한 최초의 인물로, 1605년에 케플러의 법칙을 발표했다.^[1] 아이작 뉴턴은 1687년 저서 《프린키피아》에서 천체 운동에 대한 더 일반적인 법칙을 발표했다.^[2]

20세기에 우주 비행이 등장하기 전까지 궤도역학은 천체역학과 거의 구별되지 않았다. 스푸트니크 시대에는 이 분야를 '우주 동역학'이라고 불렀다.^[1] 시간의 함수로 위치를 결정하는 케플러 문제를 해결하는 데 사용되는 것과 같은 기본적인 기술은 두 분야에서 동일하며, 이 분야의 역사는 거의 완전히 공유된다.

3. 궤도역학의 기본 원리

궤도역학은 뉴턴의 만유인력 법칙과 뉴턴 운동 법칙을 기반으로 한다. 요하네스 케플러는 행성 궤도를 높은 정확도로 모델링하는 데 성공한 최초의 인물로, 1605년에 케플러의 법칙을 발표했다. 아이작 뉴턴은 1687년 자신의 저서 프린키피아에서 천체 운동에 대한 더 일반적인 법칙을 발표했다.^[2]

궤도역학의 규칙은 직관에 반하는 경우도 있다. 예를 들어, 동일한 원형 궤도에 있는 두 우주선이 도킹하려는 경우, 뒤따르는 우주선이 단순히 엔진을 점화하여 더 빨리 갈 수는 없다. 그렇게 하면 궤도 형태가 바뀌어 고도가 높아지고, 실제로 선두 우주선에 비해 속도가 느려져 목표 지점을 놓치게 된다.

천체역학의 표준 가정이 적용되지 않는 경우, 실제 궤적은 계산된 것과 달라진다. 예를 들어, 대기 항력은 저궤도에 있는 물체에 대한 복잡한 요소이다. 이러한 규칙들은 쌍성계와 같이 질량이 비슷한 두 개 이상의 물체를 설명할 때는 상당히 부정확하다. 천체역학은 더 광범위한 상황에 적용할 수 있는 더 일반적인 규칙을 사용한다.

3. 1. 케플러의 법칙

천체역학의 표준 가정 하에서, 고전역학으로 근사화된 상황에서 다음의 규칙들이 유용하다. 이 규칙들은 행성을 공전하는 인공위성에 대한 것이지만, 태양과 같은 별 주위를 공전하는 소천체의 궤도와 같은 다른 상황에도 적용될 수 있다.

케플러의 행성 운동 법칙:
궤도는 타원이며, 더 무거운 물체가 타원의 한 초점에 위치한다. 이의 특수한 경우로, 행성이 중심에 있는 원형 궤도 (원은 타원의 특수한 경우)가 있다.
행성에서 인공위성으로 그은 선은 궤도의 어떤 부분을 측정하든 ''같은 시간 안에 같은 면적''을 휩쓴다.
인공위성의 공전 주기의 제곱은 행성으로부터의 평균 거리의 세제곱에 비례한다.
힘을 가하지 않으면 (예: 로켓 엔진을 점화하는 것과 같이) 인공위성 궤도의 주기와 형태는 변하지 않는다.
낮은 궤도 (또는 타원 궤도의 낮은 부분)에 있는 인공위성은 행성에 더 가까이 있기 때문에 중력의 인력이 더 강해, 높은 궤도 (또는 타원 궤도의 높은 부분)에 있는 인공위성보다 행성 표면에 대해 더 빠르게 움직인다.
인공위성 궤도의 한 지점에서만 추력을 가하면, 궤도의 다른 부분은 변하더라도, 다음 궤도마다 동일한 지점으로 되돌아온다. 따라서 한 번의 짧은 추력 적용만으로는 하나의 원형 궤도에서 다른 원형 궤도로 이동할 수 없다.
원형 궤도에서, 인공위성의 운동과 반대 방향으로 추력을 가하면 궤도가 타원으로 변한다. 인공위성은 하강하여 발사 지점에서 180도 떨어진 가장 낮은 궤도 지점(근점)에 도달한 다음, 다시 상승한다. 결과 궤도의 주기는 원래 원형 궤도의 주기보다 짧다. 인공위성의 운동 방향으로 추력을 가하면 발사 지점에서 180도 떨어진 가장 높은 지점(원점)을 갖는 타원 궤도가 생성된다. 결과 궤도의 주기는 원래 원형 궤도의 주기보다 길다.

케플러의 행성 운동 법칙은 궤도 물체가 중심 인력체의 중력의 영향만 받는다고 가정할 때 뉴턴의 법칙에서 파생될 수 있다. 엔진 추력 또는 추진력이 존재할 때 뉴턴의 법칙은 여전히 적용되지만 케플러의 법칙은 무효화된다. 추력이 멈추면 결과 궤도는 달라지지만 위에 설명된 케플러의 법칙에 의해 다시 설명된다. 세 가지 법칙은 다음과 같다.

# 모든 행성의 궤도는 태양이 초점 중 하나에 있는 타원이다.

# 행성과 태양을 연결하는 선은 동일한 시간 간격 동안 동일한 면적을 쓸어낸다.

# 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도의 장반경의 세제곱에 직접적으로 비례한다.

3. 2. 탈출 속도

탈출 속도의 공식은 다음과 같이 유도된다. 임의의 우주선의 비에너지 (단위 질량당 에너지)는 비중력 위치 에너지와 비운동 에너지 두 가지 요소로 구성된다. 질량 ''M''인 행성과 관련된 비중력 위치 에너지는 다음과 같다.^[2]

:

\epsilon_p = - \frac{G M}{r} \,

여기서 ''G''는 중력 상수이고 ''r''은 두 물체 사이의 거리이다.

물체의 비운동 에너지는 다음과 같다.

:

\epsilon_k = \frac{v^2}{2} \,

여기서 ''v''는 속도이다.

따라서 총 비 궤도 에너지는 다음과 같다.

:

\epsilon = \epsilon_k+\epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{G M}{r} \,

에너지 보존에 의해,

\epsilon

은 우주선과 중심체 중심 사이의 거리

r

에 의존할 수 없다. 즉, 비 궤도 에너지를 일정하게 유지하려면 ''v''가 ''r''에 따라 달라져야 한다. 따라서 이 수량이 음수가 아니어야 무한

r

에 도달할 수 있으며, 이는 다음을 의미한다.^[2]

:

v\geq\sqrt{\frac{2 G M}{r}}.

지구 표면에서의 탈출 속도는 약 11km/s이지만, 태양의 중력으로 인해 물체를 무한대로 보낼 만큼 충분하지 않다. 태양-지구 거리와 같은 태양으로부터의 위치에서 태양계를 탈출하려면 약 42km/s의 속도가 필요하지만, 지구에서 발사된 우주선의 경우, 추진 시스템으로 인한 추가 가속이 지구의 궤도 이동 방향과 동일하다면 지구의 궤도 속도에 대한 "부분 크레딧"이 제공된다.^[2]

3. 3. 궤도의 종류

궤도 이심률에 따라 원 궤도, 타원 궤도, 포물선 궤도, 쌍곡선 궤도로 나뉜다.

원 궤도: 궤도 이심률이 0인 궤도이다. 중심 천체의 중력 중심으로부터 거리 ''r''에 있는 원 궤도상의 천체의 속도는 $\ v = \sqrt{\frac{GM} {r}\ }$ 로 주어진다. 여기서 $G$ 는 중력 상수이며, ''GM''은 표준 중력 매개변수라고 불린다.

타원 궤도: 궤도 이심률이 0보다 크고 1보다 작은 궤도이다. 궤도 긴반지름을 ''a''라고 할 때, 궤도 주기( $T$ )는 $T=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}$ 로 계산된다. 궤도 속도( $v\,$ )는 $v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}$ 로 계산된다. 질량당 궤도 에너지( $\epsilon\,$ )는 ${v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0$ 형태가 된다.

포물선 궤도: 궤도 이심률이 1인 궤도이다. 포물선 궤도상의 임의의 점의 속도는 $v=\sqrt{2\mu\over{r}}$ 이다.

쌍곡선 궤도: 궤도 이심률이 1보다 큰 궤도이다. 쌍곡선 궤도를 공전하는 천체는 무한 원점에서 쌍곡선 초과 속도( $v_\infty\,\!$ )에 도달하며, $v_\infty=\sqrt{\mu\over{-a}}\,\!$ 로 계산된다.

4. 궤도 계산

궤도 계산은 주어진 초기 조건에서 물체의 미래 위치와 속도를 예측하는 과정이다. 궤도역학은 우주 비행이 등장하기 전까지 천체역학과 거의 구분되지 않았으며, 스푸트니크 시대에는 '우주 동역학'이라고 불렸다.^[1] 기본적인 기술은 두 분야에서 동일하며, 역사를 공유한다.

요하네스 케플러는 케플러의 행성 운동 법칙을 발표하여 행성 궤도를 높은 정확도로 모델링했다. 아이작 뉴턴은 프린키피아에서 더 일반적인 천체 운동 법칙을 발표했고, 에드먼드 핼리는 이를 핼리 혜성 등 혜성 궤도 확립에 사용했다. 레온하르트 오일러는 뉴턴의 방법을 해석적으로 공식화했고, 요한 하인리히 람베르트는 타원 및 쌍곡선 궤도로 일반화했다.

카를 프리드리히 가우스는 세레스 "회수"에 기여하며 궤도 결정 이론을 발전시켰다. 이 이론은 소행성 추적 및 GPS 수신기에 활용된다. 현대 궤도 결정 및 예측은 위성, 우주 탐사선 운용에 필수적이다.

천체역학은 1930년대 새뮤얼 헤릭에 의해 개발되었고, 로버트 고다드의 격려를 받았다. 1960년대 컴퓨터 발달로 수치 기법이 발전하며 인류의 달 탐사를 가능하게 했다.

천체역학의 기본 법칙은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 뉴턴의 운동 법칙이며, 미분적분학을 도구로 사용한다. 단순화를 위해 외부 물체, 태양풍, 대기 항력 등의 간섭은 무시하는 경우가 많지만, 더 복잡한 계산도 가능하다.

케플러의 행성 운동 법칙은 뉴턴 법칙에서 유도 가능하며, 엔진 추력이 있을 때는 적용되지 않는다. 궤도는 원뿔 곡선이며, 극좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

: $r = \frac{ p }{1 + e \cos \theta}$

: $\mu= G(m_1+m_2)\,$

: $p=h^2/\mu\,$

여기서,

μ는 표준 중력 매개변수
G는 중력 상수
m₁과 m₂는 천체 1과 천체 2의 질량
h는 천체 1에 대한 천체 2의 질량당 각운동량
θ는 진 근점각
''p''는 반통경
''e''는 궤도 이심률

이다.

궤도 이심률(e)에 따라 궤도는 다음과 같이 분류된다.

0 < e < 1: 타원 궤도. 근지점( $r_p=\frac{p}{1+e}$ )과 원지점( $r_a=\frac{p}{1-e}$ )을 가진다.
e = 1: 포물선 궤도. 속도는 $v=\sqrt{2\mu\over{r}}$ 이다.
e > 1: 쌍곡선 궤도. 점근선의 진 근점 이각은 $\theta_\infty = \cos^{-1} \left( -\frac1e \right)$ 이다.

단순한 궤도 변환은 전통적 접근이 효과적이나, 비행 시간 등은 복잡하다. 범용 변수 공식은 다양한 궤도에 적용 가능하며 섭동 이론에도 일반화된다.

4. 1. 케플러 방정식

케플러 방정식은 평균 근점 이각과 이심 근점각 사이의 관계를 나타내는 방정식이다. 이 방정식을 풀면 주어진 시간에 대한 물체의 위치를 알 수 있다.^[1]

궤도 계산에는 주로 케플러 방정식이 역사적으로 사용되어 왔다.^[1]

:

M = E - \epsilon \cdot \sin E

.

여기서,

''M''은 평균 근점 이각
''E''는 이심 근점각
$\displaystyle \epsilon$ 는 궤도 이심률

이다.

케플러 공식에서 근점에서 진 근점 이각

\theta

에 도달하기까지의 시간은 두 단계로 구한다.^[1]

# 진 근점각

\theta

에서 이심 근점각

E

를 구한다.

# 이심 근점각

E

에서 시간

t

를 구한다.

주어진 시간에서 이심 근점각을 구하는 것은 더 어렵다. 케플러 방정식은

E

에 대해 초월 함수이므로 대수 함수적으로 풀 수 없고, 역함수를 통해 해석 함수적으로 풀 수 있다.^[1]

모든 실수

\textstyle \epsilon

에 대해 적용할 수 있는 케플러 방정식의 해는 다음과 같다.^[1]

:

E =\begin{cases}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{M^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left(\frac{\theta}{ \sqrt[3]{\theta - \sin(\theta)} } ^n \right)\right),  & \epsilon = 1  \\\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ M^n }{ n! } }\lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left(\frac{ \theta }{ \theta - \epsilon \cdot \sin(\theta)} ^n \right)\right), &  \epsilon \ne  1\end{cases}

이 값을 구하면 다음 식이 나온다.^[1]

:

E =\begin{cases} \displaystylex + \frac{1}{60} x^3 + \frac{1}{1400}x^5 + \frac{1}{25200}x^7 + \frac{43}{17248000}x^9 + \frac{ 1213}{7207200000 }x^{11} +\frac{151439}{12713500800000 }x^{13} \cdots \ | \ x = ( 6 M )^\frac{1}{3},  & \epsilon = 1  \\\\\displaystyle\frac{1}{1-\epsilon} M

\frac{\epsilon}{( 1-\epsilon)^4 } \frac{M^3}{3!}

+ \frac{(9 \epsilon^2 + \epsilon)}{(1-\epsilon)^7 } \frac{M^5}{5!}

\frac{(225 \epsilon^3 + 54 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{10} } \frac{M^7}{7!}

+ \frac{ (11025\epsilon^4 + 4131 \epsilon^3 + 243 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{13} } \frac{M^9}{9!} \cdots, & \epsilon \ne 1\end{cases}

4. 2. 섭동

실제 궤도는 지구의 비대칭 중력장, 대기 항력, 다른 천체의 중력 등 다양한 요인에 의해 영향을 받는다.^[4] 이러한 영향들을 섭동이라고 한다. 섭동으로 인해 궤도 요소는 시간이 지남에 따라 변한다.

섭동의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

지구 적도 융기는 승교점과 근지점의 세차 운동을 유발한다.
지구 중력장의 테셀 조화 함수는 추가적인 섭동을 도입한다.
달과 태양의 중력 섭동은 궤도를 변경한다.
대기 항력은 추가적인 추력이 없을 경우 장반경을 감소시킨다.

섭동의 영향을 계산하는 것은 궤도 요소의 변화를 나타내는 함수를 찾는 것이다. 매우 긴 시간 동안 작은 섭동이 누적되면 궤도가 카오스적으로 변할 수 있다. 하지만, 궤도 유지, 지상 궤도 조정 등의 작업을 위해 섭동을 활용할 수도 있다.

5. 궤도 기동

우주 비행에서 궤도 기동은 우주선 추진 시스템을 사용하여 우주선의 궤도를 변경하는 것을 말한다. 지구에서 멀리 떨어진 우주선의 경우, 예를 들어 태양 주위를 도는 궤도에 있는 우주선의 궤도 기동은 ''심우주 기동(DSM)''이라고 한다.

궤도 기동은 추진 시스템을 사용하여 우주선의 속도와 방향을 조절함으로써 이루어진다. 궤도 기동에는 궤도 전이, 중력 보조, 행성간 수송 네트워크 등의 방법이 사용된다.

5. 1. 궤도 전이

궤도 전이는 일반적으로 우주선이 하나의 궤도에서 다른 궤도로 이동할 수 있도록 하는 타원 궤도이다. 일반적으로 시작 시 한 번의 연소, 종료 시 한 번의 연소가 필요하며, 때로는 중간에 한 번 이상의 연소가 필요하다.^[3]

호만 전이 궤도는 최소한의 델타-v를 필요로 한다.
이중 타원 전이는 궤도 비율이 11.94 이상인 경우 호만 전이 궤도보다 에너지가 적게 들 수 있지만,^[5] 호만 전이에 비해 이동 시간이 늘어난다는 단점이 있다.
더 빠른 전이는 델타-v가 더 많이 소모된다는 단점과 함께 원래 궤도와 목적지 궤도 모두와 교차하는 궤도를 사용할 수 있다.
저추력 엔진(예: 전기 추진)을 사용하는 경우, 초기 궤도가 최종 목표 원형 궤도보다 과동기 궤도이면, 원지점에서 속도 방향으로 지속적으로 추력을 가하여 최적의 전이 궤도를 얻을 수 있다. 그러나 이 방법은 저추력으로 인해 시간이 훨씬 더 오래 걸린다.^[6]

비동면 궤도 간의 궤도 전이의 경우, 경사각 변화 추력은 궤도면이 교차하는 지점("노드")에서 이루어져야 한다. 목표는 속도 벡터의 방향을 면 사이의 각도와 같은 각도로 변경하는 것이므로, 속도 벡터의 크기가 가장 작을 때, 즉 우주선이 원지점 부근의 노드에 있을 때 이 추력의 거의 전부를 가해야 한다. 그러나 전이 궤도 주입 추력을 원하는 경사각 변화 방향으로 약간 기울여 근지점 부근의 노드에서 궤도 경사각 변화의 작은 부분을 만들 수도 있다.

5. 2. 중력 보조

중력 보조는 우주선이 행성을 지나가면서 다른 방향과 속도로 이동하게 하는 기술이다. 이는 연료를 더 싣는 대신 우주선의 속도를 높이거나 늦추는 데 유용하다.

이 기동은 먼 거리에서 탄성 충돌로 근사할 수 있지만, 비행은 물리적 접촉을 포함하지 않는다. 뉴턴의 제3법칙(작용 반작용)에 따라 우주선이 얻는 운동량은 행성이 잃어야 하며, 그 반대도 마찬가지이다. 그러나 행성은 우주선보다 훨씬 더 질량이 크기 때문에 행성의 궤도에 미치는 영향은 무시할 수 있다.^[3]

오베르트 효과는 특히 중력 보조 작전 중에 사용할 수 있다. 이 효과는 추진 시스템이 고속에서 더 잘 작동한다는 것이며, 따라서 궤도 변경은 중력이 작용하는 물체에 가까울 때 가장 효과적이다. 이것은 유효 델타-v를 증폭시킬 수 있다.

5. 3. 행성간 수송 네트워크 (Interplanetary Transport Network)

컴퓨터를 사용하여 태양계 행성과 위성의 중력에서 비선형성을 이용하는 경로를 검색하는 것이 가능해졌다. 예를 들어, 지구의 트로이 점 중 하나에 근접하게 지나가는 고(高) 지구 궤도에서 화성으로의 궤도를 계획하는 것이 가능하다. 일반적으로 행성간 수송 네트워크라고 불리는 이러한 고도로 섭동적이고 심지어 혼돈적인 궤도 궤적은 이론적으로는 라그랑주 점에 도달하는 데 필요한 연료 외에는 연료가 필요하지 않다(실제로 궤적을 유지하려면 약간의 궤도 수정이 필요하다). 이들의 가장 큰 문제점은 매우 느릴 수 있으며, 여러 해가 걸릴 수 있다는 것이다. 또한 발사 창도 매우 멀리 떨어져 있을 수 있다.

그러나 제네시스와 같은 프로젝트에 사용되었다. 이 우주선은 지구-태양 L1 점을 방문하여 매우 적은 추진제를 사용하여 귀환했다.

참조

_[1] 서적 Introduction to Space Dynamics Wiley 1961
_[2] 서적 Fundamentals of Astrodynamics https://books.google[...] Courier Corporation 1971
_[3] 간행물 A historical review of the theory of gravity-assists in the pre-spaceflight era http://urlib.net/8JM[...] 2020-08
_[4] 웹사이트 Tesseral Harmonic 2019-10-07
_[5] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer 2001
_[6] 서적 Optimal Transfer Orbit Trajectory using Electric Propulsion https://patents.goog[...] USPTO 1997

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