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스와미 바라티 크리슈나의 베다 수학

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목차

1. 개요

스와미 바라티 크리슈나 티르타의 베다 수학은 16개의 격언(수트라)과 하위 수트라를 사용하여 수학적 계산을 빠르게 수행하는 방법을 제시하는 책이다. 이 책은 1965년에 출판되었으며, 베다, 특히 아타르바 베다의 부록 텍스트인 파리시스타에 기반한다고 주장하지만, 그 기원에 대한 논란이 있다. 비평가들은 베다 수학이 실제로는 고대 수학과 거의 관련이 없으며, 교육 및 민족주의적 목적을 위해 사용될 수 있다고 주장한다. 반면, 긍정적인 평가도 있으며, 수학 학습에 대한 학생들의 참여를 높일 수 있다는 의견도 있다. 베다 수학은 인도 교육 과정에 도입되기도 했다.

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2. 베다 수학의 수트라(Sutras)

스와미 바라티 크리슈나 티르타의 저서에 따르면 베다 수학은 중요한 수학적 도구를 암시하는 16개의 주요 ''수트라''(Sutras)와 13개의 하위 수트라(Sub-sutras)로 구성되어 있다.[2] 이 수트라들은 은유적인 격언 형태를 띠고 있으며, 매우 간결한 문장으로 이루어져 있다.

크리슈나 티르타는 이 수트라들의 적용 범위가 정역학, 공압, 천문학, 금융 등 매우 광범위하며,[2][3] 이를 익히면 수학적 능력이 크게 향상될 수 있다고 주장했다.[2] 그러나 STS 학자인 S. G. 다니와 같은 일부 학자들은 베다 수학의 수트라들이 주로 초등 및 중등 수학 수준의 계산을 빠르게 하기 위한 일종의 '기법'이나 '트릭' 모음에 가깝다고 보기도 한다.[2] 또한 수트라의 표현 자체가 추상적이어서 다양한 해석이 가능하며, 크리슈나 티르타가 이를 여러 수학적 맥락에 적용했다고 지적한다.[2]

2. 1. 16가지 주요 수트라

이 책은 스와미 바라티 크리슈나 티르타가 중요한 수학적 도구를 암시한다고 주장하는 16개의 ''수트라''와 13개의 하위 수트라 형식의 은유적 격언을 담고 있다.[2] 16가지 주요 수트라는 다음과 같다.

  • 하나 앞의 수보다 하나 많게
  • 모두 9에서, 마지막은 10에서
  • 수직 방향으로, 십자 방향으로
  • 이항하여 적용하기
  • 사무카야가 같다면 사무카야는 0이다
  • 1이 비례하면 다른 것은 0이다
  • 더하기, 빼기
  • 완성 혹은 미완성
  • 미적분
  • 버리기
  • 특정적, 일반적
  • 마지막 수의 나머지
  • 끝자리 수, 뒤에서 두 번째 자리 수의 두 배
  • 하나 앞의 수보다 하나 적게
  • 덧셈의 결과
  • 모두 곱한 수(승수)


이 수트라들의 적용 범위는 정역학과 공압에서 천문학 및 금융 분야에 이르기까지 다양하다고 크리슈나 티르타는 설명한다.[2][3] 그는 자신의 책의 범위를 넘어선 고급 수학은 없으며, 매일 몇 시간씩 1년 동안 이 책을 공부하는 것은 표준화된 교육 시스템에서 약 20년을 수학 분야에서 전문적으로 훈련하는 것과 같다고 주장했다.[2]

STS 학자인 S. G. 다니는 '''베다 수학: 신화와 현실'''[2]에서 이 책이 주로 초등학교, 중학교 및 고등학교의 산수와 대수에서 더 빠른 결과를 얻기 위해 적용할 수 있는 "트릭"의 모음이라고 평가한다. 다니는 여기서 "트릭"이 단순한 손재주가 아니라, 흔히 간과되는 상황의 특별한 특징을 관찰하고 활용하는 방법(예: 끝자리가 5인 수의 제곱 계산 시 5가 10의 절반임을 이용하는 것)을 의미한다고 설명한다.[2] 그에 따르면, 수트라와 하위 수트라는 "얼마나 덜" 또는 "이전 것보다 하나 적음"과 같이 창의적인 해석이 가능한 추상적인 문학적 표현이며, 크리슈나 티르타는 동일한 ''슬로카''를 조작하여 다양한 맥락에서 광범위하게 다른 수학적 등식을 생성하는 방식으로 이를 활용했다는 것이다.[2]

3. 베다 수학의 계산법

스와미 바라티 크리슈나 티르타는 그의 저서에서 16개의 주요 수트라(격언)와 13개의 하위 수트라를 제시하며, 이것들이 중요한 수학적 도구를 암시한다고 주장했다.[2] 이 수트라들은 은유적 표현으로 이루어져 있으며, 그 적용 범위는 정역학, 공압, 천문학, 금융 등 매우 다양하다고 설명된다.[2][3] 티르타는 베다 수학만으로 모든 수학 분야를 다룰 수 있으며, 1년간 베다 수학을 공부하는 것이 일반 교육 시스템에서 20년간 수학을 전문적으로 훈련받는 것과 맞먹는 효과가 있다고까지 주장했다.[2]

그러나 STS 학자 S. G. 다니는 저서 '''베다 수학: 신화와 현실'''에서 베다 수학이 주로 초등학교, 중학교, 고등학교 수준의 산술과 대수학에서 계산 속도를 높이는 데 유용한 "기법(trick)"들의 모음집에 가깝다고 평가했다.[2] 다니에 따르면, 수트라와 하위 수트라는 "얼마나 덜", "이전 것보다 하나 적음"과 같이 매우 추상적인 문학적 표현으로 되어 있어 해석의 여지가 크며, 크리슈나 티르타는 동일한 śloka|슬로카sa(산스크리트 운문)를 다양한 맥락에 적용하여 서로 다른 수학적 등식을 유도하는 방식으로 이를 활용했다.[2]

베다 수학에서 제시하는 계산법들은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 제곱, 방정식 풀이 등 다양한 영역을 포함한다. 일부 계산법(알고리즘)은 실제 효율성 검증에서 긍정적인 결과를 보이기도 했으나,[15][16][17][18] 대부분의 경우 기존의 표준적인 계산 방법보다 시간 복잡도가 높아 실제 수학 계산이나 응용 분야에서 널리 사용되지는 못하고 있다.[19]

3. 1. 덧셈

베다 수학의 덧셈은 일반적으로 학교에서 배우는 방식과 달리 높은 자리 수부터 계산하는 특징이 있다. 예를 들어 45 + 27을 계산하는 과정은 다음과 같다.

# 십의 자리 수인 40과 20을 먼저 더하여 60을 얻고 이를 기억한다. (40 + 20 = 60)

# 일의 자리 수인 5와 7을 더하여 12를 얻는다. 여기서 일의 자리인 2를 기억하고, 십의 자리인 10은 자리올림 처리한다. (5 + 7 = 12)

# 앞서 계산한 십의 자리 합 60과 자리올림한 10을 더하여 70을 만든다. (60 + 10 = 70)

# 마지막으로 70과 일의 자리 합에서 얻은 2를 더하여 최종 결과인 72를 얻는다. (70 + 2 = 72)

이 과정을 숫자의 흐름으로 보면 40 → 60 → 70 → 72 와 같이 진행된다.

이와 비교하여 일반적인 덧셈 방법은 낮은 자리 수부터 계산한다. 동일한 45 + 27 예시를 보면 다음과 같다.

# 일의 자리 수인 5와 7을 더하여 12를 얻는다. 일의 자리인 2를 쓰고, 십의 자리인 10은 자리올림으로 처리한다. (5 + 7 = 12)

# 십의 자리 수인 40과 20을 더하여 60을 얻는다. (40 + 20 = 60)

# 앞서 자리올림한 10과 60을 더하여 70을 만든다. (60 + 10 = 70)

# 마지막으로 70과 일의 자리 계산 결과인 2를 합쳐 최종 결과 72를 얻는다. (70 + 2 = 72)

두 방법 모두 결과는 같지만, 계산을 시작하는 자리 수의 순서에 차이가 있다. 베다 수학은 높은 자리부터, 일반적인 방식은 낮은 자리부터 계산한다.

3. 2. 뺄셈

베다 수학의 뺄셈은 보수를 활용하는 방법을 사용한다. 대표적인 방법 중 하나는 빼는 수를 다루기 쉬운 10의 배수 형태로 변형하여 계산하는 것이다.

예를 들어, 97에서 19를 빼는 계산은 다음과 같다.

  • 빼는 수 19에 1을 더하여 가장 가까운 10의 배수인 20으로 만든다. 이때 더한 1은 보수의 개념을 활용한 것이다.
  • 원래 식에서 20을 먼저 뺀다: 97 - 20 = 77
  • 앞에서 빼는 수에 더했던 보수 1을 결과 77에 다시 더해준다: 77 + 1 = 78
  • 따라서 97 - 19의 결과는 78이다.


또 다른 방법은 '모든 자리는 9에서, 마지막 자리는 10에서'라는 원칙을 이용하는 것이다. 이 방법은 특히 100, 1000 등 10의 거듭제곱 수에서 다른 수를 뺄 때 효과적이다.

예를 들어, 1000에서 146을 빼는 계산은 다음과 같다.

  • 빼는 수 146의 각 자리 숫자를 오른쪽부터 확인한다.
  • 가장 오른쪽, 즉 1의 자리 숫자인 6은 10에서 뺀다: 10 - 6 = 4
  • 나머지 앞자리 숫자인 1(백의 자리)과 4(십의 자리)는 각각 9에서 뺀다: 9 - 1 = 8, 9 - 4 = 5
  • 이렇게 각 자리에서 구한 숫자 8, 5, 4를 순서대로 조합하면 854가 된다.
  • 따라서 1000 - 146의 결과는 854이다.

3. 3. 곱셈

베다 수학의 곱셈 방법은 일반적인 방식과 다른 특별하고 다양한 접근법을 사용한다. 일반적인 곱셈과의 주된 차이점은 높은 자릿수부터 계산하여 아래 자릿수로 내려간다는 점이다.

베다 수학에서 활용되는 다양한 곱셈 방법은 다음과 같다.

'''암산'''

예를 들어 45 × 27을 암산으로 계산하는 과정은 다음과 같다.

# 40 × 20 = 800을 계산하고 800을 기억한다.

# 40 × 7 = 280을 계산한다. 결과 280 중 200은 이전 결과 800에 더해 1000으로 기억하고, 80은 따로 기억한다. (현재 기억: 1000, 80)

# 5 × 20 = 100을 계산한다. 결과 100을 이전 결과 1000에 더해 1100으로 기억한다. (현재 기억: 1100, 80)

# 5 × 7 = 35를 계산한다. 결과 35 중 30은 이전 결과 80에 더해 110으로 만들고, 5는 따로 기억한다. 110 중 100은 이전 결과 1100에 더해 1200으로 기억하고, 10은 따로 기억한다. (현재 기억: 1200, 10, 5)

# 기억한 숫자들을 모두 더한다: 1200 + 10 + 5 = 1215. 따라서 45 × 27 = 1215이다.

'''필산 1: 교차 곱셈'''

예를 들어 53 × 77을 필산으로 계산하는 과정은 다음과 같다.

# 계산할 식을 세로로 쓴다.

# 십의 자리 수끼리 곱한다: 5 × 7 = 35.

# 대각선 방향으로 수를 교차하여 곱한 뒤 더한다: (5 × 7) + (3 × 7) = 35 + 21 = 56.

# 일의 자리 수끼리 곱한다: 3 × 7 = 21.

# 위에서 얻은 세 수 35, 56, 21을 이용하여 결과를 조합한다. 각 단계의 결과에서 십의 자리 수는 다음 단계로 올림하여 더한다.

#* 일의 자리 계산 결과 21에서 1을 남기고 2를 올린다.

#* 교차 곱셈 결과 56에 올림수 2를 더하면 58이 된다. 8을 남기고 5를 올린다.

#* 십의 자리 계산 결과 35에 올림수 5를 더하면 40이 된다.

#* 남은 수들을 순서대로 조합하면 4081이다. 따라서 53 × 77 = 4081이다.

'''필산 2: 보수 계산'''

100과 같이 계산하기 쉬운 수를 기준(기본수)으로 삼아 보수를 이용하는 방법이다. 예를 들어 88 × 97을 계산하는 과정은 다음과 같다.

# 계산할 식을 쓰고, 100을 기본수로 하여 각 수의 보수를 구한다. 88의 보수는 12 (100 - 88), 97의 보수는 3 (100 - 97)이다. 각 수의 오른쪽에 보수를 적는다.

#* 88 12

#* 97 3

# 한 수에서 다른 수의 보수를 교차하여 뺀다. 결과는 동일하다: 88 - 3 = 85 또는 97 - 12 = 85. 이 수 85가 결과의 앞부분이 된다.

# 두 보수를 곱한다: 12 × 3 = 36. 이 수 36이 결과의 뒷부분이 된다. (만약 보수의 곱이 기본수의 0 개수, 즉 여기서는 2자리보다 크면 올림 처리를 한다.)

# 앞부분(85)과 뒷부분(36)을 이어 붙여 8536을 얻는다. 따라서 88 × 97 = 8536이다.

'''특수한 경우의 곱셈 방법들'''

  • '''11 곱하기:''' 36 × 11

# 곱하는 수 11을 (10 + 1)로 생각한다.

# 36 × 10 = 360.

# 360 + (36 × 1) = 396.

  • '''19, 29 등 (10의 배수 - 1) 곱하기:''' 32 × 19

# 곱하는 수 19를 (20 - 1)로 생각한다.

# 32 × 20 = 640.

# 640 - (32 × 1) = 608.

  • '''5의 배수 곱하기:''' 14 × 45

# 곱하려는 수 14를 (7 × 2)로 변형한다.

# 2 × 45 = 90.

# 7 × 90 = 630.

  • '''25 곱하기 (100 ÷ 4):''' 48 × 25

# 곱하려는 수 48에 100을 곱한다: 48 × 100 = 4800.

# 위 결과를 4로 나눈다: 4800 ÷ 4 = 1200.

  • '''75 곱하기 (300 ÷ 4 또는 3 × 25):''' 24 × 75

# 곱하려는 수 24를 (6 × 4)로, 곱하는 수 75를 (3 × 25)로 변형한다.

# (6 × 3) × (4 × 25) = 18 × 100 = 1800.

  • '''10의 자리가 1인 두 수의 곱셈:''' 13 × 12

# 곱하려는 수(13)에 곱하는 수의 일의 자리(2)를 더한다: 13 + 2 = 15.

# 두 수의 일의 자리끼리 곱한다: 3 × 2 = 6.

# 첫 번째 결과(15)에 10을 곱하고 두 번째 결과(6)를 더한다: (15 × 10) + 6 = 156.

  • '''10의 자리가 같고 1의 자리가 다른 두 수의 곱셈:''' 23 × 22

# 곱하려는 수(23)에 곱하는 수의 일의 자리(2)를 더한다: 23 + 2 = 25.

# 두 수의 일의 자리끼리 곱한다: 3 × 2 = 6.

# 첫 번째 결과(25)에 십의 자리 수(2)와 10을 곱하고 두 번째 결과(6)를 더한다: (25 × 2 × 10) + 6 = 500 + 6 = 506.

  • '''1의 자리가 5인 두 수의 곱셈:''' 55 × 75

# 십의 자리 수끼리 곱한다: 5 × 7 = 35.

# 십의 자리 수를 더하고 2로 나눈다: (5 + 7) ÷ 2 = 6.

# 첫 번째 결과(35)와 두 번째 결과(6)를 더한 값에 100을 곱하고, 25를 더한다: (35 + 6) × 100 + 25 = 41 × 100 + 25 = 4125. (단, 이 방법은 십의 자리 수의 합이 짝수일 때 적용된다. 홀수일 경우 약간 변형된다.)

  • '''10의 자리가 같고 1의 자리 합이 10인 두 수의 곱셈:''' 81 × 89

# 십의 자리 수(8)에 1을 더한 값(9)과 원래 십의 자리 수(8)를 곱한다: (8 + 1) × 8 = 9 × 8 = 72.

# 두 수의 일의 자리끼리 곱한다: 1 × 9 = 9. (결과가 한 자리 수면 앞에 0을 붙여 09로 만든다.)

# 첫 번째 결과(72)와 두 번째 결과(09)를 이어 붙인다: 7209.

  • '''1의 자리가 같고 10의 자리 합이 10인 두 수의 곱셈 (예시):''' 43 × 63

# 십의 자리 수끼리 곱한 값에 일의 자리 수를 더한다: (4 × 6) + 3 = 24 + 3 = 27.

# 두 수의 일의 자리끼리 곱한다: 3 × 3 = 9. (결과가 한 자리 수면 앞에 0을 붙여 09로 만든다.)

# 첫 번째 결과(27)와 두 번째 결과(09)를 이어 붙인다: 2709. (주의: 이 방법은 특정 경우에만 성립하는 예시일 수 있다.)

  • '''평균을 이용한 곱셈 (두 수의 차가 짝수):''' 19 × 21

# 두 수의 평균을 구한다: (19 + 21) ÷ 2 = 20.

# 평균(20)과 각 수의 차이를 구한다: 20 - 19 = 1 (또는 21 - 20 = 1).

# 평균의 제곱에서 차이의 제곱을 뺀다: (20 × 20) - (1 × 1) = 400 - 1 = 399. 이는 곱셈 공식 (a+b)(a-b) = a²-b²을 이용한 것이다 (여기서 a=20, b=1).

  • '''100에 가까운 두 수의 곱셈 (보수 이용):''' 98 × 97

# 100을 기준으로 각 수의 보수를 구한다: 100 - 98 = 2, 100 - 97 = 3.

# 100에서 두 보수의 합을 뺀다: 100 - (2 + 3) = 100 - 5 = 95. (또는 한 수에서 다른 수의 보수를 뺀다: 98 - 3 = 95 또는 97 - 2 = 95)

# 두 보수를 곱한다: 2 × 3 = 6. (결과가 두 자리 수가 되도록 앞에 0을 붙여 06으로 만든다.)

# 첫 번째 결과(95)와 두 번째 결과(06)를 이어 붙인다: 9506. (이는 위의 '필산 2: 보수 계산'과 동일한 원리이다.)

  • '''100보다 약간 큰 두 수의 곱셈:''' 103 × 104

# 한 수(103)에 다른 수의 100 초과분(4)을 더한다: 103 + 4 = 107. (또는 104 + 3 = 107)

# 두 수의 100 초과분을 곱한다: 3 × 4 = 12.

# 첫 번째 결과(107)와 두 번째 결과(12)를 이어 붙인다: 10712.

3. 4. 제곱

베다 수학에서 제곱을 계산하는 한 가지 방법은 기준 수와의 차이를 이용하는 것이다. 예를 들어 9의 제곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.

# 9에 가장 가까운 10의 거듭제곱인 10을 기준 수로 삼는다.

# 기준 수 10과 9의 차이(1)를 구한다.

# 원래 수 9에서 이 차이(1)를 빼서 결과의 앞부분을 구한다 (9 - 1 = 8).

# 차이(1)를 제곱하여 결과의 뒷부분을 구한다 (12 = 1).

# 앞부분(8)과 뒷부분(1)을 이어 붙여 81을 얻는다.

비슷한 방식으로 82 = 64, 72 = 49 등을 계산할 수 있다.

다른 수들의 거듭제곱 계산 예시는 다음과 같다.

:11^2 = (11+1)\cdot 10+1^2 = 121.\,

:12^2 = (12+2)\cdot 10+2^2 = 144.\,

:14^2 = (14+4)\cdot 10+4^2 = 18\cdot10+16 = 196.\,

:25^2 = [(25+5)\cdot 2]\cdot 10+5^2 = 625.\,

:35^2 = [(35+5)\cdot 3]\cdot 10+5^2 = 40\cdot3\cdot10+25 = 1225.\,

소스에서는 위 계산들이 a^2 = (a+b)(a-b) + b^2 공식을 이용한다고 설명하지만, 제시된 계산 과정은 이 공식과 직접적으로 일치하지 않는 부분이 있을 수 있다. 예를 들어 11의 제곱은 11과 기준 수 10의 차이 1을 이용하여 (11+1) \times 10 + 1^2로 계산되었고, 25나 35의 제곱은 끝자리 5를 이용한 다른 규칙([(25+5)\cdot 2]\cdot 10+5^2, [(35+5)\cdot 3]\cdot 10+5^2)을 따른 것으로 보인다.

3. 5. 방정식 풀이

베다 수학에서는 방정식 풀이에 독특한 접근법을 사용한다. 산스크리트어로 방정식 풀이를 의미하는 '''사무카야'''라는 개념과 관련된 सूत्र|수트라sa(Sutra)를 활용한다.

=== 사무카야가 같다면 사무카야는 0이다 ===

가장 기본적인 수트라 중 하나는 '''사무카야가 같다면 사무카야는 0이다'''이다. 이는 특정 조건에서 방정식의 해가 0임을 직관적으로 알 수 있게 해준다.

예를 들어, 간단한 일차방정식 "12''x'' - 3''x'' = 4''x'' + 5''x''"를 보자. 좌변과 우변을 정리하면 9''x'' = 9''x''가 된다. 양변의 ''x'' 항의 계수 합(사무카야)이 같으므로, 이 수트라에 따라 해는 ''x'' = 0이다.

다른 예시로 (''x'' + 7) (''x'' + 9) = (''x'' + 3) (''x'' + 21) 방정식을 살펴보자. 이 방정식의 양변에서 상수항의 곱(사무카야)을 비교하면 7 × 9 = 63이고, 3 × 21 = 63으로 같다. 따라서 이 경우에도 해는 ''x'' = 0이다.

=== 분수방정식 풀이 ===

분수방정식 풀이에도 베다 수학의 원리가 적용된다.

예를 들어, {1 \over 2x-1} + {1 \over 3x-1} = 0 을 풀어보자.

이 식을 통분하여 정리하면 분자는 (3''x'' - 1) + (2''x'' - 1) = 5''x'' - 2가 된다. 분자가 0이 되어야 하므로, 5''x'' - 2 = 0 이라는 일차방정식을 얻는다. 따라서 해는 ''x'' = 2/5이다.

계수가 크고 분자와 분모가 모두 일차식인 분수방정식 {2x+9 \over 2x+7}={2x+7 \over 2x+9} 를 살펴보자.

이 형태의 방정식 (''N''1/''D''1 = ''N''2/''D''2)에서 분자들의 합과 분모들의 합이 같다면 (''N''1 + ''N''2 = ''D''1 + ''D''2), 그 합은 0이 된다.

즉, (2''x'' + 9) + (2''x'' + 7) = (2''x'' + 7) + (2''x'' + 9) 이므로, 이 합인 4''x'' + 16 = 0 이 된다. 따라서 해는 ''x'' = -4이다.

다른 조건으로, 만약 ''N''1 − ''D''1 = ''N''2 − ''D''2 라면, 이때는 사무카야가 0이 되어 해는 0이다. (단, 이 예시에는 해당하지 않는다.)

또 다른 형태의 분수방정식 {1 \over x-7}+{1 \over x-9}={1 \over x-6}+{1 \over x-10} 를 보자.

이 경우, 각 변의 분모들의 합을 비교한다. 좌변 분모의 합은 (''x'' - 7) + (''x'' - 9) = 2''x'' - 16이고, 우변 분모의 합은 (''x'' - 6) + (''x'' - 10) = 2''x'' - 16이다. 양변의 분모 합(''D''1 + ''D''2 = ''D''3 + ''D''4)이 같으므로, 이 합을 0으로 두면 2''x'' - 16 = 0 이 되어 해는 ''x'' = 8이다.

=== 고차 방정식과 복소수화 ===

주어진 방정식을 간단하게 만들어 풀 수도 있다. 예를 들어, 정수형 삼차방정식 (x-3)^3+(x-9)^3=2(x-6)^3 은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

각 항의 밑에 해당하는 (''x'' - 3), (''x'' - 9), (''x'' - 6)을 이용하여 일차식으로 만들면, (''x'' - 3) + (''x'' - 9) = 2(''x'' - 6) 이 된다. 좌변을 정리하면 2''x'' - 12 = 2(''x'' - 6) 이므로, 이는 항등식이지만, 원래 식의 구조를 보면 (''x'' - 6) = 0 이어야 함을 유추할 수 있다. 따라서 ''x'' = 6 이 하나의 해가 된다.

방정식을 복소수화하여 푸는 경우도 있다. 예를 들어 {(x+3)^3 \over (x+5)^3}={x+1 \over x+7} 와 같은 형태는 ''N''1 + ''D''1 = ''N''2 + ''D''2 조건을 적용할 수 있다.

(x+3) + (x+5) = (x+1) + (x+7)

2''x'' + 8 = 2''x'' + 8

이 경우, 분자와 분모의 합이 같다는 조건을 활용하여 2''x'' + 8 = 0 으로 두면, 해는 ''x'' = -4 가 된다. (이는 특정 조건 하에서의 풀이법이다.)

=== 연립방정식 풀이 ===

베다 수학은 연립방정식 풀이에도 효율적인 방법을 제공한다.

==== 계수의 비례 관계 이용 ====

연립방정식에서 계수 간의 비례 관계를 이용할 수 있다.

예시:

:6''x'' + 7''y'' = 8

:19''x'' + 14''y'' = 16

두 번째 식의 ''y'' 계수(14)는 첫 번째 식의 ''y'' 계수(7)의 두 배이고, 상수항(16) 역시 첫 번째 식의 상수항(8)의 두 배이다. 즉, ''y'' 항과 상수항 사이에 1:2의 비례 관계가 성립한다. 이 경우, 비례 관계에 포함되지 않은 ''x'' 항의 사무카야는 0이 되어야 하므로, ''x'' = 0 이다. 이를 첫 번째 식에 대입하면 7''y'' = 8 이므로 ''y'' = 8/7 이다. 따라서 해는 {''x'' = 0, ''y'' = 8/7} 이다.

만약 계수가 정확한 비를 이루지 않는다면, 비례 관계를 만들기 위해 식을 조정할 수 있다. 예를 들어 19''x'' + 14''y'' = 16 식을 2로 나누면 (19/2)''x'' + 7''y'' = 8 이 된다. 이를 원래의 6''x'' + 7''y'' = 8 과 비교하여 풀 수 있다.

==== 계수가 교차된 형태 ====

변수의 계수가 서로 교차된 형태의 연립방정식은 식을 더하고 빼는 방식으로 간단히 풀 수 있다.

예시:

:45''x'' − 23''y'' = 113

:23''x'' − 45''y'' = 91

1. 두 식 더하기: (45''x'' − 23''y'') + (23''x'' − 45''y'') = 113 + 91

68''x'' − 68''y'' = 204

양변을 68로 나누면: ''x'' − ''y'' = 3

2. 두 식 빼기 (첫 번째 식 - 두 번째 식): (45''x'' − 23''y'') − (23''x'' − 45''y'') = 113 − 91

22''x'' + 22''y'' = 22

양변을 22로 나누면: ''x'' + ''y'' = 1

3. 새로 얻은 두 식 연립: (''x'' − ''y'') + (''x'' + ''y'') = 3 + 1 → 2''x'' = 4 → ''x'' = 2

(''x'' + ''y'') − (''x'' − ''y'') = 1 - 3 → 2''y'' = -2 → ''y'' = -1

따라서 위 연립방정식의 해는 {''x'' = 2, ''y'' = -1} 이다.

==== 일반적인 연립방정식 만들기 ====

다음과 같은 특정 형태의 연립방정식은 해가 간단하게 나온다.

:''ax'' + ''by'' + ''cz'' = ''a''

:''bx'' + ''cy'' + ''az'' = ''b''

:''cx'' + ''ay'' + ''bz'' = ''c''

이 형태의 연립방정식의 해는 일반적으로 ''x'' = 1, ''y'' = 0, ''z'' = 0 이다.

3. 6. 분수 계산 (1/19)

분수 1/19는 분모 19가 2나 5로 나누어떨어지지 않기 때문에, 소수로 변환하려면 직접 나눗셈을 해야 한다. 이는 계산이 복잡하고 시간이 오래 걸릴 수 있다. 베다 수학의 특정 방법을 사용하면 2배 연산과 자리올림만으로 비교적 간단하게 계산할 수 있다.

계산 과정은 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하며 다음과 같다.

1. 가장 오른쪽에 숫자 1을 쓴다.

`...1`

2. 바로 앞의 숫자(1)를 두 배 한 값(2)을 그 왼쪽에 쓴다.

`...21`

3. 다시 맨 왼쪽 숫자(2)를 두 배 한 값(4)을 그 왼쪽에 쓴다.

`...421`

4. 같은 방식으로 맨 왼쪽 숫자(4)를 두 배 한 값(8)을 그 왼쪽에 쓴다.

`...8421`

5. 맨 왼쪽 숫자(8)를 두 배 하면 16이 된다. 이때 일의 자리 숫자인 6만 왼쪽에 쓰고, 십의 자리 숫자인 1은 다음 계산을 위한 자리올림 수로 기억한다. (올림수: 1)

`...68421`

6. 다시 맨 왼쪽 숫자(6)를 두 배 하고 이전 단계의 올림수 1을 더한다. (6 × 2 + 1 = 13). 일의 자리 숫자인 3만 왼쪽에 쓰고, 십의 자리 숫자인 1은 다시 올림수로 기억한다. (올림수: 1)

`...368421`

7. 이 과정을 계속 반복한다. 분모가 19일 경우, 소수점 아래 순환마디는 18자리(19-1)가 된다. 18자리까지 계산을 진행하면 다음과 같다. (괄호 안은 올림수)

  • `...7368421` (3 × 2 + 1 = 7, 올림수: 0)
  • `...47368421` (7 × 2 + 0 = 14, 올림수: 1)
  • `...947368421` (4 × 2 + 1 = 9, 올림수: 0)
  • `...8947368421` (9 × 2 + 0 = 18, 올림수: 1)
  • `...78947368421` (8 × 2 + 1 = 17, 올림수: 1)
  • `...578947368421` (7 × 2 + 1 = 15, 올림수: 1)
  • `...1578947368421` (5 × 2 + 1 = 11, 올림수: 1)
  • `...31578947368421` (1 × 2 + 1 = 3, 올림수: 0)
  • `...631578947368421` (3 × 2 + 0 = 6, 올림수: 0)
  • `...2631578947368421` (6 × 2 + 0 = 12, 올림수: 1)
  • `...52631578947368421` (2 × 2 + 1 = 5, 올림수: 0)
  • `...052631578947368421` (5 × 2 + 0 = 10, 올림수: 1)


8. 18자리 계산 후 마지막 올림수 1이 발생하는데, 이는 계산 시작 시 사용했던 숫자 1과 연결되어 순환함을 나타낸다.

최종적으로 얻어진 18자리 숫자는 `052631578947368421`이다. 따라서 1/19를 소수로 나타내면 다음과 같다.

1/19 = 0.052631578947368421... (순환마디: 052631578947368421)

3. 7. x를 곱하기

'''5를 곱하는 경우'''

어떤 수에 5를 곱하는 것은 간단하다. 곱하는 수 x의 일의 자리 수가 1씩 커질 때마다 결과값도 5씩 커진다.

  • '''42 × 5 = 210'''
  • '''43 × 5 = 215''' (곱하는 수가 홀수이면 결과값의 일의 자리는 항상 5가 된다.)


'''6을 곱하는 경우'''

어떤 수에 6을 곱할 때는 다음 규칙을 따른다.

# 각 자리의 숫자에 그 오른쪽 자리 숫자의 절반(1/2)을 더한다.

# 만약 원래 자리의 숫자가 홀수이면, 위 계산 결과에 5를 추가로 더한다.

예시: '''6 × 357 = 2142'''

계산 과정은 오른쪽 자리부터 시작한다.

# '''일의 자리 (7):''' 7은 홀수이므로 5를 더한다. 7 + 5 = 12. 결과값의 일의 자리에 2를 쓰고 1은 다음 자리로 올린다.

# '''십의 자리 (5):''' 5에 오른쪽 자리 숫자인 7의 절반(3)을 더하고, 5는 홀수이므로 5를 추가로 더한다. 이전 자리에서 올라온 1도 더한다. 5 + 3 + 5 + 1(올림) = 14. 결과값의 십의 자리에 4를 쓰고 1은 다음 자리로 올린다.

# '''백의 자리 (3):''' 3에 오른쪽 자리 숫자인 5의 절반(2)을 더하고, 3은 홀수이므로 5를 추가로 더한다. 이전 자리에서 올라온 1도 더한다. 3 + 2 + 5 + 1(올림) = 11. 결과값의 백의 자리에 1을 쓰고 1은 다음 자리로 올린다.

# '''천의 자리 (0):''' 가장 왼쪽 자리 앞에는 0이 있다고 가정한다. 0에 오른쪽 자리 숫자인 3의 절반(1)을 더하고, 이전 자리에서 올라온 1을 더한다. 0 + 1 + 1(올림) = 2. 결과값의 천의 자리에 2를 쓴다.

최종 결과는 2142이다.

'''7을 곱하는 경우'''

예시: '''46 × 7 = 322'''

원본 자료에 제시된 방법은 다음과 같으나, 다소 복잡하게 설명되어 있다.

# 10에서 곱하는 수의 일의 자리 숫자를 뺀다.

# 만약 곱하는 수에 십의 자리 이상이 있다면, 9에서 그 윗자리 숫자를 빼서 더한다. 이 과정을 계속 반복한다.

# 마지막으로 가장 왼쪽 자리 숫자에서 1을 뺀 값을 결과의 가장 왼쪽에 쓴다.

'''9를 곱하는 경우'''

9를 곱하는 방법은 '모든 수를 9에서 빼고 마지막은 10에서 빼는' 베다 수학의 니킬람 수트라와 유사한 원리를 적용한다.

# '''오른쪽 끝 자리부터 시작:''' 10에서 해당 자리 숫자를 뺀다. 결과가 10 이상이면 일의 자리만 쓰고 십의 자리는 다음 계산으로 올린다.

# '''다음 왼쪽 자리로 이동:''' 9에서 해당 자리 숫자를 뺀 후, 바로 오른쪽 자리 숫자를 더하고, 이전 계산에서 올림수가 있었다면 그것도 더한다. 결과가 10 이상이면 일의 자리만 쓰고 십의 자리는 다음 계산으로 올린다.

# '''가장 왼쪽 자리까지 반복:''' 위 과정을 계속 반복한다.

# '''마지막 단계:''' 가장 왼쪽 자리 숫자에서 1을 뺀 값을 결과의 가장 왼쪽에 추가한다.

예시: '''2130 × 9 = 19170'''

계산 과정은 오른쪽 자리부터 시작한다.

# '''일의 자리 (0):''' 10 - 0 = 10. 결과의 일의 자리에 0을 쓰고, 1은 올림수로 남겨둔다.

# '''십의 자리 (3):''' 9 - 3 = 6. 여기에 오른쪽 자리 숫자(0)와 올림수(1)를 더한다. 6 + 0 + 1 = 7. 결과의 십의 자리에 7을 쓴다.

# '''백의 자리 (1):''' 9 - 1 = 8. 여기에 오른쪽 자리 숫자(3)를 더한다. 8 + 3 = 11. 결과의 백의 자리에 1을 쓰고, 1은 올림수로 남겨둔다.

# '''천의 자리 (2):''' 9 - 2 = 7. 여기에 오른쪽 자리 숫자(1)와 올림수(1)를 더한다. 7 + 1 + 1 = 9. 결과의 천의 자리에 9를 쓴다.

# '''마지막 단계:''' 가장 왼쪽 자리 숫자(2)에서 1을 뺀다. 2 - 1 = 1. 이 1을 결과의 가장 왼쪽에 쓴다.

최종 결과는 19170이다.

4. 베다 수학의 기원과 진위 논란

스와미 바라티 크리슈나 티르타는 자신이 저술한 베다 수학이 고대 힌두교 성전인 베다를 수년간 연구한 끝에 발견한 것이라고 주장했다. 그는 이 내용이 아타르바 베다의 부록인 ''파리시스타''에 포함된 16개의 수트라(격언)와 13개의 하위 수트라 형식의 은유적 격언에 기반한다고 설명했다.[2] 이 수트라들은 정역학, 공압, 천문학, 금융 등 다양한 분야에 적용될 수 있으며, 티르타는 자신의 책에 담긴 내용 외에 더 이상의 고급 수학은 존재하지 않고, 이 책을 1년간 공부하면 일반적인 교육 과정에서 20년간 수학을 전문적으로 훈련받는 것과 맞먹는 효과를 얻을 수 있다고 주장했다.[2][3]

그러나 이러한 주장은 여러 학자에게 비판받고 있다. STS 학자인 S. G. 다니는 저서 '''베다 수학: 신화와 현실'''에서 이 책이 주로 초등학교, 중학교, 고등학교 수준의 산수와 대수학 문제 풀이 속도를 높이는 데 사용될 수 있는 "트릭" 모음집에 가깝다고 평가했다.[2] 다니에 따르면, 수트라와 하위 수트라는 "얼마나 덜" 또는 "이전 것보다 하나 적음"과 같이 매우 추상적인 문학적 표현으로, 크리슈나 티르타는 이를 자의적으로 해석하여 동일한 ''슬로카''(시구)에서 맥락에 따라 전혀 다른 수학 공식을 도출해냈다.[2]

베다 수학의 기원에 대한 크리슈나 티르타의 주장 역시 논란의 대상이다. 그는 수트라의 정확한 출처에 대해 서지적 근거를 제시하지 않았다.[2] 책의 편집자인 V. S. 아그라왈라는 베다가 모든 지식의 보고로 여겨지므로 어떤 지식이든 베다 어딘가에 존재한다고 추정할 수 있다는 논리로 크리슈나 티르타의 주장을 옹호하며, 그의 작품 자체를 일종의 ''파리시스타''로 간주하기도 했다. 하지만 다니를 비롯해 킴 플로프커, K.S. 슈클라, 얀 호겐다이크 등 다수의 수학자 및 과학사 학자들은 실제 베다 문헌 어디에도 크리슈나 티르타가 언급한 수트라나 하위 수트라가 존재하지 않는다고 지적했다.[2][4][5][3] 고대 인도 수학을 연구한 슈클라가 크리슈나 티르타에게 표준 아타르바 베다 판본의 파리시스타에서 해당 수트라의 위치를 구체적으로 밝혀달라고 요구하자, 그는 해당 내용이 표준 판본에는 없으며 자신이 우연히 접한, 아직 발견되지 않은 다른 판본에만 존재한다고 답변했다.[2] 또한 산스크리트 학자들은 책에 사용된 언어 스타일이 고대 베다 시대의 것이 아니라 현대 산스크리트의 특징을 보인다고 분석했다.[2]

내용적인 측면에서도 베다 수학은 역사적 사실과 부합하지 않는다는 비판이 제기된다. 다니는 책의 내용이 베다 시대의 수학은 물론이고 그 이후 인도 수학의 발전과도 "실질적으로 공통점이 없다"고 평가했다.[2] 슈클라 역시 각 장을 분석하며 동일한 결론에 도달했다. 예를 들어, 베다 수학 책에서 사용되는 소수 개념은 베다 시대에는 존재하지 않았으며 인도에는 16세기가 되어서야 도입되었다.[3] 아리아바타, 브라마굽타, 바스카라와 같은 고대 인도의 저명한 수학자들은 모두 분수를 기반으로 계산했다.[2] 또한, 역사적으로 베다 시대 인도에서는 미분이나 적분에 대한 지식이 없었으며,[2] 원뿔 곡선에 대한 해석 기하학 역시 마찬가지였다. 그럼에도 크리슈나 티르타의 책에서는 해석 기하학이 베다 수학의 중요한 부분을 차지한다고 주장하는데, 이는 현재까지 알려진 모든 역사적 증거와 명백히 배치된다.[2][3]

5. 베다 수학과 교육

인도 공과대학교 봄베이(IIT 봄베이)의 수학자 S. G. 다니는 스와미 바라티 크리슈나 티르타의 저서가 개념적 엄밀함 없이 수학을 단순한 방법론의 집합으로 제시하여 수학 교육에 해를 끼치고, 의심스러운 역사 서술로 인도의 과학 기술 연구(STS)에도 부정적인 영향을 주었다고 비판했다.[2] 그는 베다 수학 체계가 교육 보조 도구로 제한적으로 사용될 수는 있지만, 공적 자금과 에너지를 들여 보급하는 것은 경계해야 하며, 오히려 진정한 베다 연구가 소외되고 있다고 지적했다.[2] 저명한 천체물리학자 자얀트 날리카르 역시 비슷한 우려를 표명했다.[8]

역사학자 하토시 싱 발은 크리슈나 티르타의 시도가 식민 통치 하 마콜레이주의에 반대했던 그의 민족주의적 배경을 고려할 때 어느 정도 이해될 수 있지만, 결과적으로 힌두 민족주의 세력이 역사를 자의적으로 해석하고 악용할 토대를 마련했다고 평가했다. 토마스 트라우트만 역시 비슷한 시각을 보였다.[4][9] 미라 난다는 인도 인민당(BJP)을 포함한 여러 우익 문화 운동이 인도의 지식 체계를 성인 전기처럼 미화하며 크리슈나 티르타를 스리니바사 라마누잔과 같은 위대한 인물로 추앙하려는 경향이 있다고 지적했다.[20]

반면, 일부에서는 베다 수학의 방법들이 학생들의 수학에 대한 흥미를 유발하고 대중의 참여를 높일 수 있다는 긍정적인 측면을 언급하기도 했다.[10][11][12] 종교와 과학을 조화시키려는 시도로 보는 시각도 존재한다.[13]

베다 수학은 특히 힌두 민족주의 성향의 인도 인민당(BJP)이 집권하면서 교육 정책의 주요 의제로 부상했다. BJP 집권 초기, 마디아 프라데시와 우타르 프라데시 주의 학교 교육 과정에 베다 수학이 포함되었다.[6][20][21][22]

이후 디나나트 바트라와 같은 인물들은 국립 교육 연구 및 훈련 위원회(NCERT)의 정규 교육 과정에 베다 수학을 포함시키기 위한 캠페인을 지속적으로 벌였다.[23] NCERT는 실제로 베다 점성술과 같은 다른 유사 과학 과목들과 함께 베다 수학을 표준 학문 과정에 도입하려는 제안을 내놓았다. 그러나 이는 S. G. 다니를 비롯한 많은 학자들과 수학자들의 강력한 반대에 부딪혔다. 이들은 베다 수학의 학문적 엄밀성 부족과 역사 왜곡 문제를 지적하며, 이러한 움직임이 교육을 정치적으로 이용하려는 사프란화 시도라고 비판했다. 결국 이 계획은 보류되었다.[3][24][25][26][27][28] 동시에 발표된 한 공식 보고서는 마드라사(이슬람 학교) 교육 시스템을 현대화한다는 명목으로 베다 수학을 포함시킬 것을 주장하기도 했다.[29]

2014년 BJP가 재집권한 이후 베다 수학 보급은 더욱 힘을 얻었다. 3개의 대학이 관련 과정을 개설했고, 베다 수학을 다루는 텔레비전 채널이 생겨났으며, 관련 교육 및 연구에 대한 정부 지원금도 증가했다.[30][31][32][33] 2022년에는 히마찰 프라데시 주의 초등 교육 과정에 베다 수학이 도입되었고,[34][35] 같은 해 카르나타카 주 정부도 베다 수학 교육을 위한 예산을 배정했다. BJP 주도의 이러한 움직임은 학계와 달리트 그룹으로부터 교육의 질 저하와 특정 이념 강요라는 비판을 받고 있다.[36][37]

6. 베다 수학에 대한 평가

과학 기술학(STS) 학자인 S. G. 다니는 저서 '''베다 수학: 신화와 현실'''[2]에서 이 책이 주로 초등학교, 중학교, 고등학교 수준의 산수와 대수 문제에서 빠른 계산 결과를 얻기 위한 "트릭" 모음이라고 평가한다. 그는 이 책에 제시된 수트라와 하위 수트라가 "얼마나 덜" 또는 "이전 것보다 하나 적음"과 같이 모호하고 추상적인 문학적 표현으로 되어 있어 창의적인 해석의 여지가 많다고 지적했다. 크리슈나 티르타는 실제로 동일한 ''슬로카''를 다양한 맥락에 적용하여 서로 다른 수학적 등식을 유도하는 방식으로 이러한 모호성을 활용했다.[2]

인도 공과대학교 봄베이의 S. G. 다니는 이 책의 질에 의문을 제기하며, 개념적 엄밀함 없이 수학을 단순한 방법론의 집합으로 제시하여 수학 교육에 해를 끼치고, 의심스러운 역사 기록 기준을 고수하여 인도의 과학 기술 연구(STS) 분야에도 부정적인 영향을 미쳤다고 비판했다.[2] 다니는 티르타의 시스템이 교육 보조 도구로 사용될 수는 있겠지만, 제한적인 방식으로 활용되어야 하며 공적 자금과 노력이 그 보급에 과도하게 투입되는 것을 경계해야 한다고 주장했다. 또한 그는 티르타의 시스템이 여러 정부 및 민간 기관의 지원을 받는 동안 정작 인도 내의 진정한 베다 연구는 소외되고 있다고 지적했다.[2] 자얀트 날리카르 역시 비슷한 우려를 표명한 바 있다.[8]

하토시 싱 발은 크리슈나 티르타의 시도가 식민 통치 시기 그의 민족주의적 성향(마콜레이주의에 반대하며 영적 활동을 접고 대학 교장직을 맡음)을 고려할 때 어느 정도 이해될 수 있지만, 결과적으로 힌두 민족주의 정당들이 역사를 민족주의적으로 왜곡하고 악용할 수 있는 토대를 제공했다고 비판했다. 토마스 트라우트만 역시 베다 수학의 발전을 비슷한 시각으로 분석했다.[4][9] 미라 난다는 BJP를 포함한 다양한 우익 문화 운동이 인도의 지식 체계를 성인 전기처럼 묘사하며 크리슈나 티르타를 스리니바사 라마누잔과 같은 위대한 인물로 격상시키려는 시도를 지적했다.[20]

반면, 일부 학자들은 베다 수학의 방법들을 긍정적으로 평가하며, 학생들이 수학에 흥미를 느끼게 하고 수학에 대한 대중의 참여를 높일 수 있는 잠재력을 언급하기도 했다.[10][11][12] 또 다른 이들은 이 책을 종교와 과학을 조화시키려는 시도로 해석하기도 한다.[13]

다니는 크리슈나 티르타의 방법들이 그의 수학적 훈련과 오랫동안 숫자를 다루어 온 경험에서 비롯되었을 것이라고 추측한다.[2] 실제로 베다 수학과 유사한 계산 시스템으로는 트라첸버그 시스템이나 레스터 마이어스(Lester Meyers)의 1947년 저서 《고속 수학(High-speed Mathematics)》에 소개된 기술 등이 있다.[2] 알렉스 벨로스는 베다 수학의 일부 계산법이 근세 유럽의 계산 관련 서적에서도 발견된다고 지적했다.[14]

일부 베다 수학 알고리즘은 효율성 측면에서 긍정적인 평가를 받기도 했지만,[15][16][17][18] 대부분의 알고리즘은 기존의 표준적인 계산 방법보다 시간 복잡도가 높아 효율성이 떨어진다는 비판이 있다. 이는 베다 수학이 실제 생활에서 널리 활용되지 못하는 이유 중 하나로 설명된다.[19]

참조

[1] 서적 The history of mathematics : a brief course Wiley
[2] 기타
[3] 간행물 De Veda's en de berekeningen van goeroe Tirthaji http://www.fi.uu.nl/[...] 2004-03
[4] 잡지 The Fraud of Vedic Maths https://openthemagaz[...] 2019-11-25
[5] 서적 Mathematics in India Princeton University Press 2009-01-18
[6] 서적 Vedic Mathematics: Vedic Or Mathematics: A Fuzzy and Neutrosophic Analysis https://arxiv.org/ft[...] American Research Press 2013-05-23
[7] 문서 Biographical sketch by Manjula Trivedi, 1965 in book Vedic Mathematics, pages x, xi.
[8] 서적 The Scientific Edge: The Indian Scientist from Vedic to Modern Times https://books.google[...] Penguin UK 2003-08-04
[9] 서적 Languages and Nations : Conversations in Colonial South India. https://www.questia.[...] University of California Press 2019-10-21
[10] 간행물 Public engagement with mathematics in India https://www.currents[...] 2003
[11] 뉴스 Everything Vedic in 'Vedic Maths' http://www.thehindu.[...] 2016-01-04
[12] 웹사이트 tecmath https://www.youtube.[...] 2020-03-14
[13] 간행물 Reviews 2019-08-09
[14] 서적 Alex's Adventures in Numberland Bloomsbury
[15] 간행물 Performance Evaluation of Squaring Operation by Vedic Mathematics 2011-01-01
[16] 서적 2013 International Multi-Conference on Automation, Computing, Communication, Control and Compressed Sensing (IMac4s) IEEE
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