와선

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1. 개요
2. 수학적 정의 및 종류
- 2.1. 2차원 소용돌이 (Spirals)
- 2.2. 3차원 나선 (Helices)
3. 자연에서의 나선과 소용돌이
4. 예술 및 상징에서의 나선과 소용돌이
5. 혼용 사례 및 주의점
참조

1. 개요

와선은 극좌표에서 반지름이 각도의 단조 연속 함수로 표현되는 2차원 곡선으로, 아르키메데스 나선, 로그 나선 등이 대표적이다. 3차원 나선은 축을 중심으로 회전하면서 축 방향으로 이동하는 곡선으로, 원뿔 나선, 구면 나선 등이 있다. 자연 현상에서 조개 껍데기, 태풍, 은하의 팔 등에서 발견되며, 예술과 상징에서도 중요한 의미를 지닌다. 한국어에서는 '나선'과 '소용돌이'를 엄밀히 구분하지 않고 사용하는 경우도 있으나, 학술적인 글쓰기에서는 정확한 구분이 필요하다.

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와선

2. 수학적 정의 및 종류

극좌표를 사용하면 나선과 소용돌이를 쉽게 표현할 수 있다. 극좌표에서 반지름 $r$ 은 각도 $\theta$ 의 단조 연속 함수로 나타낼 수 있다.

$r=r(\varphi)\; .$

데카르트 좌표에서는 각도를 매개 변수로 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi\; .$

옆 그림에서 아래쪽 검은색 곡선은 아르키메데스 나선을 나타내고, 녹색 곡선은 나선, 빨간색 곡선은 원뿔 나선을 나타낸다.

American Heritage Dictionary에서는 "나선"을 다음과 같이 두 가지로 정의한다.^[5]

1. 고정된 중심점을 중심으로 회전하면서 중심점으로부터 거리가 계속 증가하거나 감소하는 평면 위의 곡선.

2. 축을 중심으로 회전하면서 축에 평행하게 이동하는, 일정하거나 계속 변하는 거리를 갖는 3차원 곡선. 나선.

첫 번째 정의는 2차원 평면 곡선을 설명하며, 축음기 레코드의 홈이나 나선 은하의 팔이 이에 해당한다. 두 번째 정의는 3차원 곡선으로, 원뿔 나선, 볼루트 스프링, 소용돌이, DNA 가닥 등이 있다.

2. 1. 2차원 소용돌이 (Spirals)

극좌표에서 반지름

r

이 각도

\theta

의 단조 함수로 표현되는 곡선이다. 데카르트 좌표에서는 각도를 매개변수로 나타낸다. 대표적인 2차원 소용돌이는 다음과 같다.

아르키메데스 나선: $r=a \theta$
쌍곡선 나선: $r = a/ \theta$
Fermat's spiral|페르마 나선^영어: $r= a\theta^{1/2}$
리투스: $r = a\theta^{-1/2}$
로그 나선: $r=ae^{k\theta}$
코르누 나선 (클로토이드)
피보나치 나선 및 황금 나선
테오도로스 나선: 인접한 직각 삼각형으로 구성된 아르키메데스 나선의 근사치
원의 인볼루트

예를 들어, 아르키메데스 나선은 카펫을 감을 때 생성된다.^[6]

쌍곡선 나선은 특별한 중심 투영으로 나선이 이미지로 나타난다(그림 참조). 쌍곡선 나선은 원 반전으로 아르키메데스 나선의 이미지이기 때문에 때때로 ''역'' 나선이라고도 한다.^[7]

로그 나선이라는 이름은 방정식

\varphi=\tfrac{1}{k}\cdot \ln \tfrac{r}{a}

에서 유래되었다. 로그 나선의 근사치는 자연에서 발견된다.

처음 5개의 예제 체계에 맞지 않는 나선은 다음과 같다.

코르누 나선은 두 개의 점근점을 갖는다.
테오도로스 나선은 다각형이다.
피보나치 나선은 일련의 원호로 구성된다.
원의 인볼루트는 아르키메데스 나선처럼 보이지만 그렇지 않다. (인볼루트#예시 참조)

2. 2. 3차원 나선 (Helices)

American Heritage Dictionary에서는 "나선"을 다음 두 가지로 정의한다.^[5]

1. 고정된 중심점을 중심으로 회전하면서 중심점으로부터 거리가 계속 증가하거나 감소하는 평면 위의 곡선.

2. 축을 중심으로 회전하면서 축에 평행하게 이동하는, 일정하거나 계속 변하는 거리를 갖는 3차원 곡선. 나선.

두 번째 정의는 나선의 3차원 형태를 포함한다.

원뿔 또는 볼루트 스프링(배터리 상자에서 AA 또는 AAA 배터리의 음극 단자를 잡고 접촉하는 데 사용되는 스프링 포함)과 싱크대에서 물이 빠질 때 생성되는 소용돌이는 종종 나선 또는 원뿔 나선으로 묘사된다.
명시적으로, 정의 2는 또한 원통형 코일 스프링과 DNA 가닥을 포함하며, 둘 다 상당히 나선형이므로 "나선"은 각각에 대해 "나선"보다 더 ''유용한'' 설명이다. 일반적으로 곡선의 연속적인 "루프"가 같은 지름을 갖는 경우에는 "나선"이 거의 적용되지 않는다.^[5]

옆 그림에서 녹색 곡선은 나선이다.

잘 알려진 나선 공간 곡선에는 ''원뿔 나선''과 ''구면 나선''이 있다. 공간 나선의 또 다른 예는 ''토로이드 나선''이다.^[8] 나선은 나선 주위에 감겨 있으며,^[9] ''이중 꼬임 나선''이라고도 하며,^[10] 코일 코일 필라멘트와 같은 물체를 나타낸다.

소용돌이(스파이럴)는 회전하면서 중심에서 멀어지는 2차원 곡선이지만, 나선(헬릭스)은 회전하면서 회전면에 수직 성분을 갖는 방향으로 움직이는 3차원 곡선이다. 나선의 예로는 나선형 계단, 나사의 홈, DNA 분자 등이 있다.

3. 자연에서의 나선과 소용돌이

나선과 소용돌이는 자연에서 흔히 발견되는 형태이다.

앵무조개나 암모나이트, 고둥의 조개 껍데기. 조개의 조개 껍데기도 경첩부를 통과하도록 절단하면, 그 단면은 매우 적은 횟수로 감긴 소용돌이이다.
레코드나 CD의 트랙 (DVD나 하드 디스크의 트랙은 동심원이다).
모기향.
나루토마키의 무늬
Volute^영어^[30]
나선 은하의 팔.
척력과 원심력의 균형이 무너졌을 때의 행성, 위성, 혜성의 궤도.
지문의 분류 중 하나인 와상문.
유체의 소용돌이.
태풍
토네이도
선풍
와시오

4. 예술 및 상징에서의 나선과 소용돌이

나선과 삼중 나선 모티프는 유럽에서 신석기 시대의 상징으로 사용되었다(몰타의 거석 사원). 켈트족의 삼중 나선은 켈트족 이전의 상징이지만, 이후 켈트 문화의 일부가 되었다.^[15]^[16] 아일랜드 미스주에 있는 선사 시대 뉴그레인지 기념물의 주요 입구 근처 돌 마름모꼴에는 기원전 3200년경 켈트족보다 최소 2,500년 전에 새겨진 삼중 나선이 있다.^[16]

세 개의 얽힌 나선 또는 세 개의 구부러진 사람 다리로 구성된 트리스켈리온 상징은 미케네 그리스의 용기, 리키아의 동전, 팜필리아의 스타테르 (기원전 370-333년 아스펜도스에서), 피시디아, 그리고 그리스 도기에서 묘사된 전사의 방패에 있는 문장 등 많은 초기 문화에서 나타난다.^[17]

나선은 라틴 아메리카와 중앙 아메리카의 콜럼버스 이전 시대 예술에서 흔히 나타난다. 기원후 750-1200년에 제작된 멕시코 과나후아토 라스 플라주엘라스에 있는 1,400개 이상의 암각화(바위 조각)는 주로 나선, 점 모양, 축척 모형을 묘사한다.^[18] 콜롬비아에서 원숭이, 개구리, 도마뱀과 같은 암각화 또는 금 공물 형상으로 묘사된 형상은 손바닥과 같이 종종 나선을 포함한다.^[19] 중앙 아메리카에서는 원, 물결선, 십자, 점과 함께 나선이 보편적인 암각화 문자이다.^[20] 나선은 또한 기원전 200년에서 서기 500년까지 거슬러 올라가는 페루 해안 사막의 나스카 라인에서도 나타난다. 지상 그림은 수천 개에 이르며 나선을 포함한 동물, 식물 및 기하학적 모티프를 묘사한다.^[21]

만자, 트리스켈레 등을 포함한 나선 모양은 종종 태양 상징으로 해석된다.

나선은 또한 최면의 상징이기도 하며, 사람들이 회전하는 나선을 쳐다보며 최면에 걸리는 진부한 표현에서 유래되었다 (예: 디즈니의 정글북에 나오는 카아). 만화 캐릭터의 눈이 어지럽거나 멍한 상태를 나타내기 위해 나선으로 변하는 것과 같이 어지럼증의 상징으로도 사용된다. 나선은 DNA의 이중 나선과 같은 작은 구조에서 나선 은하와 같은 큰 구조에서도 발견된다. 나선은 변증법적 과정과 변증법적 유일신론의 상징이다.

나선은 시대를 초월하여 예술가들에게 영감을 주었다. 나선에서 영감을 받은 가장 유명한 예술 작품으로는 로버트 스미스슨의 대지 미술 작품인 "나선형 방파제"가 유타주의 그레이트 솔트 호에 있다.^[24] 나선 테마는 또한 앨버커키의 앤더슨-아브루조 앨버커키 국제 풍선 박물관에 있는 데이비드 우드의 나선 공명장(Spiral Resonance Field)과 비평가들의 찬사를 받은 나인 인치 네일스의 1994년 컨셉 앨범 ''The Downward Spiral''에도 나타난다. 나선은 또한 철학이자 삶의 방식을 나타내는 애니메이션 ''천원돌파 그렌라간''에서도 중요한 테마이다. 또한 마리오 메르츠와 앤디 골즈워시의 작품에서도 중심적인 역할을 한다. 나선은 작은 해안 마을이 나선과 관련된 저주에 시달리는 이토 준지의 공포 만화 ''소용돌이''의 중심 테마이다.

소용돌이는 역동적인 회전의 상징으로 사용된다.^[30]。많은 고대 문명에서 명계나 윤회의 상징으로 여겨져 고분 등에 자주 묘사되었다.

5. 혼용 사례 및 주의점

한국어에서는 '나선'과 '소용돌이'를 엄밀하게 구분하지 않고 사용하는 경우가 많다. 영어에서도 학술적으로는 'helix'인 것을 'spiral'로 부르는 경우가 있다. 예를 들어, 나선 계단은 영어로 "helix staircase"이지만 "spiral staircase"도 사용된다.^[5]

소용돌이(spiral)는 회전하면서 중심에서 멀어지는 2차원 곡선이지만, 나선(helix)은 회전하면서 회전면에 수직 성분을 갖는 방향으로 움직이는 3차원 곡선이다. 나선의 예로는 나선형 계단, 나사의 홈, DNA 분자 등이 있다.

영어에서는 다음과 같은 대수 나선이나 로그 나선을 스파이럴(spiral)로 부른다.

대수 나선
* 아르키메데스 나선(Archimedes' spiral)
* 포물선 나선(Parabolic spiral)
* 쌍곡 나선(hyperbolic spiral)
* 리투스 나선
로그 나선(logarithmic spiral) - 등각 나선(equiangular spiral) 또는 베르누이 나선이라고도 한다.^[29] 특히 황금비와 관련된 것을 황금 나선(golden spiral)이라고 한다.^[29]

학술적인 글쓰기나 과학 기술 분야에서는 두 용어를 정확하게 구분하여 사용하는 것이 중요하다. 소용돌이와 명확히 구분하기 위해, 본래의 나선을 권선이라고 부르는 경우가 있다. 나선을 평면에 투영하면 소용돌이의 일종인 쌍곡 나선이 된다.

참조

_[1] 웹사이트 Spiral {{!}} mathematics https://www.britanni[...] 2020-10-08
_[2] 웹사이트 Spiral Definition (Illustrated Mathematics Dictionary) https://www.mathsisf[...] 2020-10-08
_[3] 웹사이트 spiral.htm https://www.math.tam[...] 2020-10-08
_[4] 웹사이트 Math Patterns in Nature https://www.fi.edu/m[...] The Franklin Institute 2017-06-01
_[5] 사전 Spiral http://www.thefreedi[...] American Heritage Dictionary of the English Language 2009
_[6] 웹사이트 Archimedean Spiral https://mathworld.wo[...] 2020-10-08
_[7] 웹사이트 Hyperbolic Spiral https://mathworld.wo[...] 2020-10-08
_[8] 서적 Practical Handbook of Curve Design and Generation https://books.google[...] Taylor & Francis 2022-03-03
_[9] 웹사이트 Slinky -- from Wolfram MathWorld https://mathworld.wo[...] 2002-09-13
_[10] 간행물 Statistical analysis of a multiply-twisted helix Elsevier BV
_[11] 서적 Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven Springer-Verlag
_[12] 서적 On Growth and Form https://archive.org/[...] Cambridge : University Press ; New York : Macmillan
_[13] 웹사이트 Geogebra: Sunflowers are Irrationally Pretty https://www.geogebra[...]
_[14] 서적 The Algorithmic Beauty of Plants https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[15] 서적 Island of the Setting Sun: In Search of Ireland's Ancient Astronomers The Liffey Press
_[16] 웹사이트 Newgrange Ireland - Megalithic Passage Tomb - World Heritage Site http://knowth.com/ne[...] Knowth.com 2007-12-21
_[17] 문서 Achilles' round shield on an Attic late sixth-century hydria Boston Museum of Fine Arts
_[18] 웹사이트 Rock Art Of Latin America & The Caribbean http://www.icomos.or[...] International Council on Monuments & Sites 2014-01-04
_[19] 웹사이트 Rock Art Of Latin America & The Caribbean http://www.icomos.or[...] International Council on Monuments & Sites 2014-01-04
_[20] 웹사이트 Rock Art Of Latin America & The Caribbean http://www.icomos.or[...] International Council on Monuments & Sites 2014-01-04
_[21] 웹사이트 Nazca Lines: Mysterious Geoglyphs in Peru http://www.livescien[...] LiveScience 2014-01-04
_[22] 웹사이트 Pantheist Art http://www.pantheism[...] World Pantheist Movement 2012-06-07
_[23] 서적 Images and Ideas in Modern French Piano Music: The Extra-musical Subtext in Piano Works by Ravel, Debussy, and Messiaen https://books.google[...] Pendragon Press 2024-06-30
_[24] 서적 Spirals : the whirled image in twentieth-century literature and art New York Columbia University Press 2015
_[25] 문서 2012 A Piece of Mind By Wayne A Beale
_[26] 웹사이트 blurb.com http://www.blurb.com[...]
_[27] 웹사이트 Spiral Journeys : Turning and Returning https://tanjastark.c[...] 2012-07-04
_[28] 웹사이트 Lecture : Spiralling Undercurrents: Archetypal Symbols of Hurt, Hope and Healing https://www.jungsoci[...]
_[29] 웹사이트 いろいろな曲線の確認 http://izumi-math.jp[...] 北海道算数数学教育会高等学校部会研究部 2022-12-10
_[30] 서적 ヨーロッパの形：螺旋の文化史八坂書房
_[31] 간행물 渦巻き残効について https://doi.org/10.4[...] 日本心理学会 2006
_[32] 웹사이트 kmle 검색결과 http://kmle.co.kr/se[...] 대한의학회

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