원환 다양체

2.1. 부채 (Fan)

많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채(팬/fan^영어)라는 데이터로 표현될 수 있다.

강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, strongly convex rational polyhedral cone^영어) $\backslash sigma\backslash subseteq\backslash mathbb\; Q^n$은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.
* (강볼록 조건) $\backslash sigma\backslash cap-\backslash sigma=\backslash \{0\backslash \}$
* (스칼라곱에 대한 닫힘) $r\backslash in[0,\backslash infty)$이고 $v\backslash in\backslash sigma$라면 $rv\backslash in\backslash sigma$
* (덧셈에 대한 닫힘) $\backslash sigma$는 덧셈 모노이드이다. 즉, $u,v\backslash in\backslash sigma$라면 $u+v\backslash in\backslash sigma$이다.
* (유리 벡터에 의한 생성) $\backslash sigma=\backslash operatorname\{Span\}\_\{[0,\backslash infty)\}\; B$가 되는 유한 집합 $B\backslash subseteq\backslash mathbb\; Z^n$이 존재한다.

다면뿔 $\backslash sigma$의 면(face^영어)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.
* $\backslash phi\backslash colon\backslash mathbb\; Q^n\backslash to\backslash mathbb\; Q$가 실수 선형 변환이고, $\backslash phi\; \backslash restriction\; \backslash sigma\backslash ge0$이라면, $\backslash sigma\backslash cap(\backslash ker\; \backslash phi)$.

부채 $\backslash Sigma$는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.
* (면에 대한 닫힘) $\backslash sigma\backslash in\backslash Sigma$이고 $\backslash sigma\text{'}$가 $\backslash sigma$의 면 가운데 하나라면, $\backslash sigma\text{'}\backslash in\backslash Sigma$.
* (교집합에 대한 닫힘) $\backslash sigma,\backslash sigma\text{'}\backslash in\backslash Sigma$라면, $\backslash sigma\backslash cap\backslash sigma\text{'}$는 $\backslash sigma$의 면 가운데 하나이고, 또한 $\backslash sigma\text{'}$의 면 가운데 하나이다. ($\backslash \{0\backslash \}$은 모든 다면뿔들의 면이다.)

강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같이 정의된다. 다면뿔 $\backslash sigma$의 격자점 $\backslash sigma\backslash cap\backslash mathbb\; Z^k$들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 $k$는 다면뿔 $\backslash sigma$의 변의 수이다.)

부채 $\backslash Sigma$에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 자리스키 열린집합을 서로 이어붙여 얻는다.

원환 다양체와 관련된 부채는 다양체의 카르티에 제수와 같은 중요한 정보를 포함한다. 또한, 원환 다양체는 부채의 모든 원뿔이 자유 아벨 군 $N$에 대한 기저의 부분 집합에 의해 생성될 수 있다면 매끄럽고, 그 부채가 완비되어 기저 공간이 전체 벡터 공간인 경우 콤팩트하다.

2.2. 다면체와의 관계

격자점($\backslash mathbb\; Z^n$)을 꼭짓점으로 갖는 볼록 고차 다면체가 주어지면, 각 $(n-1)$차원 면에 대응하는 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 이 수직 벡터들을 이용하여 부채를 구성할 수 있는데, 각 $(n-1)$차원 면은 해당 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔을, 두 $(n-1)$차원 면이 공유하는 $(n-2)$차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔을 정의하는 방식이다. 이 부채에 대응하는 원환 다양체를 얻을 수 있다.

다면체 $P$에 대응되는 원환 다양체 $X$에는 표준적인 전사 함수 $X\; \backslash twoheadrightarrow\; P$가 존재한다. 이 사상에서 임의의 점 $x\backslash in\; P$에 대응되는 올은 (만약 $x$가 $k$차원 면에 속한다면) $(K^\backslash times)^k$의 꼴이다. $P$의 내부는 $X$의 자리스키 조밀 열린집합 $(K^\backslash times)^\{\backslash dim\; X\}$에 해당하며, $P\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\; Q^\{\backslash dim\; X\}$이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.

사영 원환 다양체는 유리 다포체의 법선 팬에서 나타난다. $P$의 임의의 꼭짓점 $v$에서 $P$의 법선뿔은 $v$를 포함하는 면의 외법선으로 생성된 뿔이다. $P$의 법선 팬은 최대 뿔이 $P$의 각 꼭짓점에서의 법선뿔인 팬이다.

예를 들어, 복소 사영 평면 $\backslash mathbb\{CP\}^2$는 삼각형, 즉 $2$-단순체에서 유도된다. 이는 $|z\_1|^2+|z\_2|^2+|z\_3|^2\; =\; 1$을 만족하는 세 개의 복소 좌표로 표현될 수 있으며, 좌표는 $U(1)$ 작용에 의해 $(z\_1,z\_2,z\_3)\backslash approx\; e^\{i\backslash phi\}\; (z\_1,z\_2,z\_3)$로 식별된다. 원환 기하학에서는 $(x,y,z)\; =\; (|z\_1|^2,|z\_2|^2,|z\_3|^2)$로 표현하며, $x,y,z$는 음수가 아니고 $x+y+z=1$, 즉 $z=1-x-y$를 만족하여 삼각형을 매개변수화한다. 이 삼각형은 복소 사영 평면의 원환 기저이다. 일반적인 올은 $z\_1,z\_2$의 위상에 의해 매개변수화되는 2-토러스이다. $z\_3$의 위상은 $U(1)$ 대칭에 의해 실수이고 양수로 선택될 수 있다. 그러나 2-토러스는 삼각형의 경계($x=0$, $y=0$, $z=0$)에서 세 개의 다른 원으로 축퇴되는데, 이는 $z\_1,z\_2,z\_3$의 위상이 각각 중요하지 않게 되기 때문이다. 원환면 내의 원의 정확한 방향은 일반적으로 선분(삼각형의 변)의 기울기로 묘사된다.

이 구성은 심플렉틱 기하학과 관련이 있는데, 맵 가 심플렉틱 다양체 $\backslash mathbb\{CP\}^2$에 대한 $U(1)$의 작용에 대한 운동량 사상이기 때문이다. N 내의 유리 볼록 초다면체의 부채는 고유한 면 위에 있는 추로 구성된다. 초다면체의 토릭 다양체는 그 부채의 토릭 다양체이다. 이 구조의 다양체는 N의 쌍대 내에 있는 유리 초다면체를 취하고, N 내에서 그 극집합의 토릭 다양체를 취하여 얻을 수 있다.

3. 연산

두 원환 다양체의 곱공간은 다시 원환 다양체가 된다. 특이점 해소(resolution of singularities)를 통해 원환 다양체의 특이점을 제거하여 새로운 원환 다양체를 얻을 수 있다. 모든 원환 다양체는 다른 원환 다양체에 의해 주어진 특이점 해소를 가지며, 이는 연관된 팬의 극대 원뿔을 매끄러운 원환 다양체의 원뿔로 세분화하여 구성할 수 있다. 원환 다양체는 최대 차원인 원뿔이 격자 기저에서 생성된다면 비특이이다.

4. 성질

$\backslash mathbb\; Q^n$ 속의 부채 $\backslash Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\backslash Sigma$에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다.
* $\backslash textstyle\backslash mathbb\; Q^n\; =\; \backslash bigcup\backslash Sigma$이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 $\backslash mathbb\; Q^n$ 전체이다.

$\backslash mathbb\; Q^n$ 속의 부채 $\backslash Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\backslash Sigma$에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다.
* 모든 뿔 $\backslash sigma$에 대하여, $\backslash sigma\; \backslash cap\backslash mathbb\; Z^n$은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다.

$\backslash mathbb\; Q^n$ 속의 부채 $\backslash Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\backslash Sigma$에 대응되는 원환 다양체는 사영 대수다양체이다.
* $\backslash Sigma$는 $\backslash mathbb\; Z^n$의 유한 부분 집합의 볼록 껍질에 대응되는 부채이다.

$\backslash mathbb\; Q^n$ 속의 부채 $\backslash Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\backslash Sigma$에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다).
* $\backslash Sigma$에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 $(v\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$이 모두 하나의 $n-1$차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉, $\backslash phi(v\_i)\; =\; 1\backslash ,\backslash forall\; i\backslash in\; I$인 실수 선형 변환 $\backslash phi\backslash colon\backslash mathbb\; Q^n\backslash to\backslash mathbb\; Q$가 존재한다.
특히, 만약 $n\backslash ge1$이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.

5. 예시

편의상 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; Q^n$의 표준 기저를 $(\backslash mathrm\; e\_i)\_\{i=1,\backslash dotsc,n\}$으로 표기한다. 여기서 $K$는 임의의 체이다.

$(K^\backslash times)^n$은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 0차원 뿔 $\backslash Sigma\; =\; \backslash \{\backslash sigma\_0\backslash \}$, $\backslash sigma\_0\; =\; \backslash \{0\backslash \}\; \backslash subseteq\backslash mathbb\; Q^n$에 대응된다. $\backslash sigma\_0$의 쌍대뿔은 $\backslash sigma\_0^\backslash vee\; =\; \backslash mathbb\; Q^n$이며, $\backslash \{\backslash pm\backslash mathrm\; e\_1,\backslash dotsc,\backslash pm\backslash mathrm\; e\_n\backslash \}$에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는 $\backslash operatorname\{Spec\}K[\backslash sigma\_0^\backslash vee\; \backslash cap\backslash mathbb\; Z^n]\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}K[t\_1,t\_1^\{-1\},t\_2,t\_2^\{-1\},\backslash dotsc,t\_n,t\_n^\{-1\}]$이다. 매끄러운 원환면은 쉽게 특징지을 수 있는데, 이들은 모두 사영적이며 각 꼭짓점에서 두 개의 인접한 모서리가 $\backslash mathbb\{Z\}^2$의 기저를 이루는 두 벡터에 의해 뻗어 있는 다각형의 법선 팬에서 유래한다.

아핀 공간은 원환 다양체의 한 예시이며, 이는 $\backslash mathbb\; Q^n$의 “2ⁿ분면” $\backslash sigma\; =\; [0,\backslash infty)\; \backslash times\; \backslash dotsb\; \backslash times\; [0,\backslash infty)\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\; Q^n$에 해당한다. 이 뿔은 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저 $(\backslash mathrm\; e\_1,\backslash mathrm\; e\_2,\backslash dotsc,\backslash mathrm\; e\_n)$에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 $n$차원 아핀 공간 $\backslash operatorname\{Spec\}K[\backslash sigma^\backslash vee\backslash cap\; \backslash mathbb\; Z^n]\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}K[t\_1,\backslash dotsc,t\_n]$이다.

예를 들어, 아핀 평면 $\backslash mathbb\; A^2\_K$는 다음과 같은 부채에 대응된다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\uparrow \\
\bullet & \rightarrow
\end{matrix}

모든 사영 공간은 원환 다양체이며, $n$차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 $n$차원 단체이다.

구체적으로, $\backslash mathbb\; Q^n$의 표준 기저 $(e\_1,\backslash dotsc,e\_n)$가 주어졌을 때,
:$\backslash mathrm\; e\_0\; =\; -(\backslash mathrm\; e\_1+\backslash dotsb+\backslash mathrm\; e\_n)$
을 정의하고, $n+1$개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각할 수 있다. 이 부채는 $\backslash \{\backslash mathrm\; e\_0,\backslash mathrm\; e\_1,\backslash dotsc,\backslash mathrm\; e\_n\backslash \}$의 $2^\{n+1\}-1$개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 $n$차원의 뿔들은 $n+1$개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 $n+1$의 아핀 열린 덮개에 해당한다.

사영 공간의 동차 좌표를
:$[y\_0:y\_1:\backslash dotsb:y\_n]$
이라고 한다면, 이는
:$(x\_1,\backslash dotsc,x\_n)\; \backslash mapsto\; [1:x\_1:\backslash dotsb:x\_n]$
:$x\_i\; =\; y\_i/y\_0$
에 해당한다. 각 $\backslash sigma\_i$는 아핀 공간 $\backslash mathbb\; A^n\_K$에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 $\backslash mathbb\; P^n\_K$을 얻는다.

일반적으로, 원환 다양체가 어떤 복소 사영 공간에 매립될 수 있다면 사영 다양체가 된다. 사영 원환 다양체는 유리 다포체의 법선 팬에서 나오는 것들로 알려져 있다.

예를 들어, 복소 사영 평면 $\backslash mathbb\{CP\}^2$는 삼각형, 즉 $2$-단순체에서 나온다. 이것은 다음을 만족하는 세 개의 복소 좌표로 표현될 수 있다.

:$|z\_1|^2+|z\_2|^2+|z\_3|^2\; =\; 1\; ,\; \backslash ,\backslash !$

여기서 합은 사영 맵의 실수 스케일 조정 부분을 설명하기 위해 선택되었으며, 좌표는 다음 $U(1)$ 작용에 의해 추가로 식별되어야 한다.

:$(z\_1,z\_2,z\_3)\backslash approx\; e^\{i\backslash phi\}\; (z\_1,z\_2,z\_3)\; .\; \backslash ,\backslash !$

원환 기하학의 접근 방식은 다음과 같이 쓰는 것이다.

:$(x,y,z)\; =\; (|z\_1|^2,|z\_2|^2,|z\_3|^2)\; .\; \backslash ,\backslash !$

좌표 $x,y,z$는 음수가 아니며, 다음 때문에 삼각형을 매개변수화한다.

:$x+y+z=1\; ;\; \backslash ,\backslash !$
즉,
:$\backslash quad\; z=1-x-y\; .\; \backslash ,\backslash !$

이 삼각형은 복소 사영 평면의 원환 기저이다. 일반적인 올은 $z\_1,z\_2$의 위상에 의해 매개변수화되는 두 개의 원환면이다. $z\_3$의 위상은 $U(1)$ 대칭에 의해 실수이고 양수로 선택될 수 있다.

그러나 두 개의 원환면은 삼각형의 경계, 즉 $x=0$ 또는 $y=0$ 또는 $z=0$에서 세 개의 다른 원으로 축퇴되는데, 이는 $z\_1,z\_2,z\_3$의 위상이 각각 중요하지 않게 되기 때문이다.

원환면 내의 원의 정확한 방향은 일반적으로 선분(이 경우 삼각형의 변)의 기울기로 묘사된다.

이 구성은 심플렉틱 기하학과 관련이 있는데, 맵 가 심플렉틱 다양체 $\backslash mathbb\{CP\}^2$에 대한 $U(1)$의 작용에 대한 운동량 사상과 관련이 있기 때문이다.

코니폴드는 칼라비-야우 다양체의 예시이며, 다음과 같은 $\backslash mathbb\; Q^3$ 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.
:$\backslash sigma\; =\; \backslash operatorname\{Span\}\_\{[0,\backslash infty)\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathrm\; e\_1,\; \backslash mathrm\; e\_1+\backslash mathrm\; e\_2,\; \backslash mathrm\; e\_1+\backslash mathrm\; e\_3,\; \backslash mathrm\; e\_1+\backslash mathrm\; e\_2+\backslash mathrm\; e\_3\; \backslash right\backslash \}$
:이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은
:$\backslash sigma^\backslash vee\; =\; \backslash \{(a,b,c)\backslash in\backslash mathbb\; Q^3\; \backslash colon$
\min\{a, a+b,
a+c,a+b+c
\}
\ge 0
\}
:이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은
:(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0)
:이다. 이들 사이의 유일한 관계는
:(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1)
:이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은
:$K[x,y,z,w]/(xy-zw)$
:이다. $K$의 표수가 2가 아니라면,
:$X\; =\; (x/2+y/2)$
:$Y\; =\; (x/2-y/2)$
:$Z\; =\; (z/2+w/2)$
:$W\; =\; (z/2-w/2)$
:를 정의하여, 이를
:$K[X,Y,Z,W]/(X^2-Y^2-Z^2+W^2)$
:로 적을 수 있다.

오비폴드는 원환 다양체의 일반화된 형태로, 특이점을 가질 수 있다.

다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 $K^2/\backslash operatorname\{Cyc\}(2)$를 나타낸다. (2차 순환군 $\backslash operatorname\{Cyc\}(2)$은 $(u,v)\backslash mapsto\; (-u,-v)$와 같이 작용한다.)

:$\backslash begin\{matrix\}$
&\nearrow \\
\bullet\\
&\searrow
\end{matrix}

이 2차원 뿔 $\backslash sigma=\backslash sigma^\backslash vee$는 스스로의 쌍대뿔이며, $(1,1)$과 $(1,-1)$과 $(1,0)$에 의하여 생성된다.

:$(1,1)+(1,-1)\; =\; 2\backslash cdot(1,0)$

이므로, 이는 아핀 대수다양체

:$K[x,y,z]/(xy-z^2)$

를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.

사실, 아핀 공간 $\backslash mathbb\; A^2\_K\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}K[u,v]$ 위에 2차 순환군의 작용

:$(u,v)\; \backslash mapsto\; (-u,-v)$

의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다.

:$\backslash mathbb\; A^2\_K\; /\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}\; (K[u,v]^\{\backslash operatorname\{Cyc\}(2)\})$

여기서 $K[u,v]^\{\backslash operatorname\{Cyc\}(2)\}$는 $\backslash operatorname\{Cyc\}(2)$의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는

:$u^2,v^2,uv$

로 생성되며, 이 사이의 관계는

:$u^2\backslash cdot\; v^2\; =\; (uv)^2$

밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상

:$\backslash operatorname\{Spec\}\; (K[u,v]^\{\backslash operatorname\{Cyc\}(2)\})\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Spec\}\backslash frac\{K[x,y,z]\}\{(xy-z^2)\}$

:$(u,v)\; \backslash mapsto\; (u^2,v^2,uv)$

을 갖는다.

델 페초 곡면은 사영 평면을 부풀리기하여 얻어지는 원환 다양체의 예시이다.

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\backslash operatorname\{dP\}\_1$을 나타낸다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
&\uparrow \\
&\bullet & \rightarrow\\
\swarrow&\downarrow
\end{matrix}
구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다.

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\backslash operatorname\{dP\}\_2$을 나타낸다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
&\uparrow \\
\leftarrow &\bullet & \rightarrow\\
\swarrow&\downarrow
\end{matrix}

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\backslash mathbb\; P^1\backslash times\backslash mathbb\; P^1$을 나타낸다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
&\uparrow \\
\leftarrow&\bullet & \rightarrow\\
&\downarrow
\end{matrix}
이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.

5.1. 원환면 (Toric Surface)

$(K^\backslash times)^n$은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 0차원 뿔 $\backslash Sigma\; =\; \backslash \{\backslash sigma\_0\backslash \}$, $\backslash sigma\_0\; =\; \backslash \{0\backslash \}\; \backslash subseteq\backslash mathbb\; Q^n$에 대응된다. $\backslash sigma\_0$의 쌍대뿔은 $\backslash sigma\_0^\backslash vee\; =\; \backslash mathbb\; Q^n$이며, $\backslash \{\backslash pm\backslash mathrm\; e\_1,\backslash dotsc,\backslash pm\backslash mathrm\; e\_n\backslash \}$에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는 $\backslash operatorname\{Spec\}K[\backslash sigma\_0^\backslash vee\; \backslash cap\backslash mathbb\; Z^n]\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}K[t\_1,t\_1^\{-1\},t\_2,t\_2^\{-1\},\backslash dotsc,t\_n,t\_n^\{-1\}]$이다. 매끄러운 원환면은 쉽게 특징지을 수 있는데, 이들은 모두 사영적이며 각 꼭짓점에서 두 개의 인접한 모서리가 $\backslash mathbb\{Z\}^2$의 기저를 이루는 두 벡터에 의해 뻗어 있는 다각형의 법선 팬에서 유래한다.

5.2. 아핀 공간 (Affine Space)

아핀 공간은 원환 다양체의 한 예시이며, 이는 $\backslash mathbb\; Q^n$의 “2ⁿ분면” $\backslash sigma\; =\; [0,\backslash infty)\; \backslash times\; \backslash dotsb\; \backslash times\; [0,\backslash infty)\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\; Q^n$에 해당한다. 이 뿔은 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저 $(\backslash mathrm\; e\_1,\backslash mathrm\; e\_2,\backslash dotsc,\backslash mathrm\; e\_n)$에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 $n$차원 아핀 공간 $\backslash operatorname\{Spec\}K[\backslash sigma^\backslash vee\backslash cap\; \backslash mathbb\; Z^n]\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}K[t\_1,\backslash dotsc,t\_n]$이다.

예를 들어, 아핀 평면 $\backslash mathbb\; A^2\_K$는 다음과 같은 부채에 대응된다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\uparrow \\
\bullet & \rightarrow
\end{matrix}

5.3. 사영 공간 (Projective Space)

모든 사영 공간은 원환 다양체이며, $n$차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 $n$차원 단체이다.

구체적으로, $\backslash mathbb\; Q^n$의 표준 기저 $(e\_1,\backslash dotsc,e\_n)$가 주어졌을 때,
:$\backslash mathrm\; e\_0\; =\; -(\backslash mathrm\; e\_1+\backslash dotsb+\backslash mathrm\; e\_n)$
을 정의하고, $n+1$개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각할 수 있다. 이 부채는 $\backslash \{\backslash mathrm\; e\_0,\backslash mathrm\; e\_1,\backslash dotsc,\backslash mathrm\; e\_n\backslash \}$의 $2^\{n+1\}-1$개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 $n$차원의 뿔들은 $n+1$개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 $n+1$의 아핀 열린 덮개에 해당한다.

사영 공간의 동차 좌표를
:$[y\_0:y\_1:\backslash dotsb:y\_n]$
이라고 한다면, 이는
:$(x\_1,\backslash dotsc,x\_n)\; \backslash mapsto\; [1:x\_1:\backslash dotsb:x\_n]$
:$x\_i\; =\; y\_i/y\_0$
에 해당한다. 각 $\backslash sigma\_i$는 아핀 공간 $\backslash mathbb\; A^n\_K$에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 $\backslash mathbb\; P^n\_K$을 얻는다.

일반적으로, 원환 다양체가 어떤 복소 사영 공간에 매립될 수 있다면 사영 다양체가 된다. 사영 원환 다양체는 유리 다포체의 법선 팬에서 나오는 것들로 알려져 있다.

예를 들어, 복소 사영 평면 $\backslash mathbb\{CP\}^2$는 삼각형, 즉 $2$-단순체에서 나온다. 이것은 다음을 만족하는 세 개의 복소 좌표로 표현될 수 있다.

:$|z\_1|^2+|z\_2|^2+|z\_3|^2\; =\; 1\; ,\; \backslash ,\backslash !$

여기서 합은 사영 맵의 실수 스케일 조정 부분을 설명하기 위해 선택되었으며, 좌표는 다음 $U(1)$ 작용에 의해 추가로 식별되어야 한다.

:$(z\_1,z\_2,z\_3)\backslash approx\; e^\{i\backslash phi\}\; (z\_1,z\_2,z\_3)\; .\; \backslash ,\backslash !$

원환 기하학의 접근 방식은 다음과 같이 쓰는 것이다.

:$(x,y,z)\; =\; (|z\_1|^2,|z\_2|^2,|z\_3|^2)\; .\; \backslash ,\backslash !$

좌표 $x,y,z$는 음수가 아니며, 다음 때문에 삼각형을 매개변수화한다.

:$x+y+z=1\; ;\; \backslash ,\backslash !$
즉,
:$\backslash quad\; z=1-x-y\; .\; \backslash ,\backslash !$

이 삼각형은 복소 사영 평면의 원환 기저이다. 일반적인 올은 $z\_1,z\_2$의 위상에 의해 매개변수화되는 두 개의 원환면이다. $z\_3$의 위상은 $U(1)$ 대칭에 의해 실수이고 양수로 선택될 수 있다.

그러나 두 개의 원환면은 삼각형의 경계, 즉 $x=0$ 또는 $y=0$ 또는 $z=0$에서 세 개의 다른 원으로 축퇴되는데, 이는 $z\_1,z\_2,z\_3$의 위상이 각각 중요하지 않게 되기 때문이다.

원환면 내의 원의 정확한 방향은 일반적으로 선분(이 경우 삼각형의 변)의 기울기로 묘사된다.

이 구성은 심플렉틱 기하학과 관련이 있는데, 맵 가 심플렉틱 다양체 $\backslash mathbb\{CP\}^2$에 대한 $U(1)$의 작용에 대한 운동량 사상과 관련이 있기 때문이다.

5.4. 코니폴드 (Conifold)

코니폴드는 칼라비-야우 다양체의 예시이며, 다음과 같은 $\backslash mathbb\; Q^3$ 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.
:$\backslash sigma\; =\; \backslash operatorname\{Span\}\_\{[0,\backslash infty)\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathrm\; e\_1,\; \backslash mathrm\; e\_1+\backslash mathrm\; e\_2,\; \backslash mathrm\; e\_1+\backslash mathrm\; e\_3,\; \backslash mathrm\; e\_1+\backslash mathrm\; e\_2+\backslash mathrm\; e\_3\; \backslash right\backslash \}$
:이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은
:$\backslash sigma^\backslash vee\; =\; \backslash \{(a,b,c)\backslash in\backslash mathbb\; Q^3\; \backslash colon$
\min\{a, a+b,
a+c,a+b+c
\}
\ge 0
\}
:이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은
:(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0)
:이다. 이들 사이의 유일한 관계는
:(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1)
:이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은
:$K[x,y,z,w]/(xy-zw)$
:이다. $K$의 표수가 2가 아니라면,
:$X\; =\; (x/2+y/2)$
:$Y\; =\; (x/2-y/2)$
:$Z\; =\; (z/2+w/2)$
:$W\; =\; (z/2-w/2)$
:를 정의하여, 이를
:$K[X,Y,Z,W]/(X^2-Y^2-Z^2+W^2)$
:로 적을 수 있다.

5.5. 오비폴드 (Orbifold)

오비폴드는 원환 다양체의 일반화된 형태로, 특이점을 가질 수 있다.

다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 $K^2/\backslash operatorname\{Cyc\}(2)$를 나타낸다. (2차 순환군 $\backslash operatorname\{Cyc\}(2)$은 $(u,v)\backslash mapsto\; (-u,-v)$와 같이 작용한다.)

:$\backslash begin\{matrix\}$
&\nearrow \\
\bullet\\
&\searrow
\end{matrix}

이 2차원 뿔 $\backslash sigma=\backslash sigma^\backslash vee$는 스스로의 쌍대뿔이며, $(1,1)$과 $(1,-1)$과 $(1,0)$에 의하여 생성된다.

:$(1,1)+(1,-1)\; =\; 2\backslash cdot(1,0)$

이므로, 이는 아핀 대수다양체

:$K[x,y,z]/(xy-z^2)$

를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.

사실, 아핀 공간 $\backslash mathbb\; A^2\_K\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}K[u,v]$ 위에 2차 순환군의 작용

:$(u,v)\; \backslash mapsto\; (-u,-v)$

의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다.

:$\backslash mathbb\; A^2\_K\; /\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)\; =\; \backslash operatorname\{Spec\}\; (K[u,v]^\{\backslash operatorname\{Cyc\}(2)\})$

여기서 $K[u,v]^\{\backslash operatorname\{Cyc\}(2)\}$는 $\backslash operatorname\{Cyc\}(2)$의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는

:$u^2,v^2,uv$

로 생성되며, 이 사이의 관계는

:$u^2\backslash cdot\; v^2\; =\; (uv)^2$

밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상

:$\backslash operatorname\{Spec\}\; (K[u,v]^\{\backslash operatorname\{Cyc\}(2)\})\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Spec\}\backslash frac\{K[x,y,z]\}\{(xy-z^2)\}$

:$(u,v)\; \backslash mapsto\; (u^2,v^2,uv)$

을 갖는다.

5.6. 델 페초 곡면 (del Pezzo Surface)

델 페초 곡면은 사영 평면을 부풀리기하여 얻어지는 원환 다양체의 예시이다.

```source

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\backslash operatorname\{dP\}\_1$을 나타낸다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
&\uparrow \\
&\bullet & \rightarrow\\
\swarrow&\downarrow
\end{matrix}
구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다.

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\backslash operatorname\{dP\}\_2$을 나타낸다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
&\uparrow \\
\leftarrow &\bullet & \rightarrow\\
\swarrow&\downarrow
\end{matrix}

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\backslash mathbb\; P^1\backslash times\backslash mathbb\; P^1$을 나타낸다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
&\uparrow \\
\leftarrow&\bullet & \rightarrow\\
&\downarrow
\end{matrix}
이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.

6. 응용

원환 다양체는 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성하는 데 중요한 역할을 한다. 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 설명될 수 있다. 팬(fan)의 특정 데이터를 다면체의 데이터로 해석하면 거울 다양체의 조합적 구성으로 이어진다. 초다면체 정보로서의 특정 부채 정보의 해석이 거울 다양체의 기하학적 구성을 이끌어내기 때문이다.

7. 분류

원환 기하학의 기본 정리에 따르면, 복소수 차원 $n$과 $m$개의 카르티에 제수를 갖는 매끄러운 콤팩트 원환 다양체의 분류는 차원 $n$에 $m$개의 반직선을 갖는 매끄러운 완전 부채(fan)의 분류와 동치이다. 부채 $\backslash Sigma$의 피카르 수는 차원이 $n$이고 $m$개의 반직선이 있을 때, $m-n$이다. 이는 $\backslash Sigma$와 관련된 토릭 다양체의 피카르 군의 계수이다.

차원이 $n$이고 피카르 수가 $1$인 유일한 토릭 다양체는 복소 투영 공간 $\backslash mathbb\{CP\}^n$이다. P. 클라인슈미트는 피카르 수가 $2$인 모든 매끄러운 콤팩트 토릭 다양체를 분류했으며, 이들은 모두 사영적이다. 빅토르 V. 바티레프는 피카르 수가 $3$인 모든 매끄러운 콤팩트 토릭 다양체를 분류했으며, 이들은 모두 사영적이다. 이 결과는 S. 최와 H. 박에 의해 다른 기술을 사용하여 다시 증명되었다.

피카르 수가 $3$보다 큰 경우의 분류는 알려져 있지 않다. 매끄러운 원환면은 모두 사영적이며 각 꼭짓점에서 두 개의 인접한 모서리가 $\backslash mathbb\{Z\}^2$의 기저를 이루는 두 벡터에 의해 뻗어 있는 다각형의 법선 팬에서 유래한다.

8. 기타

원환 다양체는 얼하트 다항식이나 골단 보조정리/골단 보조정리<sup>영어</sup>(Gordan's lemma), 토릭 아이디얼/토릭 아이디얼<sup>영어</sup>(toric ideal) 등 다양한 수학적 개념과 관련이 있다.