운동량 사상

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1. 개요

운동량 사상은 심플렉틱 다양체와 리 군의 작용을 연결하는 개념으로, 해밀턴 역학 및 관련 분야에서 중요한 역할을 한다. 심플렉틱 다양체 M과 리 군 G가 주어질 때, G의 매끄러운 군 표현 ρ에 대한 운동량 사상 μ는 M에서 리 대수의 쌍대 공간으로 가는 함수이며, 특정 조건을 만족한다. 운동량 사상이 존재하고 G의 작용이 심플렉틱하면 이를 해밀턴 작용이라고 한다. 운동량 사상은 다양체의 심플렉틱 구조를 보존하는 데 기여하며, 심플렉틱 몫공간, 초켈러 몫공간 등의 구성에 활용된다.

운동량 사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 지표 표기법
3. 성질
4. 예시
5. 응용

2. 정의

심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 위에 리 군 $G$ 가 심플렉틱 동형사상을 통해 매끄럽게 작용할 때, 이 작용과 관련된 운동량 사상 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$ 를 정의할 수 있다. 여기서 $\mathfrak{g}^*$ 는 $G$ 의 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 쌍대 공간이다. 운동량 사상은 본질적으로 리 대수의 각 원소 $\xi \in \mathfrak{g}$ 에 대해, $M$ 위에서 $\xi$ 의 작용으로 생성되는 벡터장 $v_\xi$ 와 관련된 일종의 해밀토니안 함수 $H_\xi = \langle \mu, \xi \rangle$ 를 대응시키는 함수로 이해할 수 있다.

수학적으로 운동량 사상 $\mu$ 는 모든 $\xi \in \mathfrak{g}$ 에 대해 다음 조건을 만족하는 함수로 정의된다.
: $d\langle\mu,\xi\rangle=\omega(v_\xi,\cdot)$
이 정의는 $\langle \mu, \xi \rangle$ 함수의 미분이 벡터장 $v_\xi$ 와 심플렉틱 형식 $\omega$ 의 내적 $\iota_{v_\xi} \omega$ 과 같다는 것을 의미한다. 이러한 운동량 사상이 존재하려면 각 1차 형식 $\iota_{v_\xi} \omega$ 가 완전 형식이어야 하며, 운동량 사상은 $M$ 의 각 연결 성분마다 상수 벡터만큼의 차이를 제외하고 유일하게 결정된다.

운동량 사상이 존재하는 $G$ -작용을 해밀턴 작용이라고 부른다. 종종 운동량 사상에 $G$ 의 공변 작용에 대한 등변성 조건이 추가되기도 한다.

2.1. 기본 정의

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.
* 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ : 이는 미분다양체 $M$ 과 그 위에 정의된 닫힌 비퇴화 2차 미분 형식인 심플렉틱 형식 $\omega$ 의 쌍이다.
* 리 군 $G$ : 이는 매끄러운 다양체 구조를 가지며 군 연산이 매끄러운 함수인 군이다.
* 매끄러운 군 표현 $\rho\colon G\to\operatorname{Ham}(M,\omega)$ : 이는 $G$ 의 원소를 $M$ 의 심플렉틱 자기 동형 사상(즉, 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 보존하는 미분 동형 $M\to M$ )으로 보내는 매끄러운 준동형 사상이다. 이는 $G$ 가 $M$ 에 심플렉틱 동형사상을 통해 작용함을 의미한다.

리 대수 $\mathfrak{g} = \mathfrak{lie}(G)$ 는 $G$ 의 항등원에서의 접공간으로, 군의 무한소 구조를 나타낸다. 각 $\xi \in \mathfrak{g}$ 에 대해, $M$ 위에는 $G$ 의 작용을 무한소적으로 기술하는 벡터장 $v_\xi$ (또는 $\rho(\xi)$ )가 유도된다. 구체적으로, $M$ 의 점 $x$ 에서 이 벡터장은 다음과 같이 정의된다.
: $v_\xi(x) = \rho(\xi)_x = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{t=0}\rho(\exp(t\xi))(x) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t = 0} \exp(t \xi) \cdot x$
여기서 $\exp: \mathfrak{g} \to G$ 는 리 지수 사상 (또는 지수 사상)이고, $\cdot$ 는 $M$ 에 대한 $G$ 의 작용을 나타낸다.

$G$ 의 작용 $\rho$ 의 운동량 사상(moment map 또는 momentum map)은 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 쌍대 공간 $\mathfrak{g}^*$ (즉, $\mathfrak{g}$ 에서 실수 $\mathbb{R}$ 로 가는 선형 함수들의 공간) 값을 갖는 함수 $\mu\colon M\to\mathfrak{g}^*$ 로, 다음 조건을 만족한다. 모든 $\xi\in\mathfrak{g}$ 에 대하여,
: $d\langle\mu,\xi\rangle=\omega(v_\xi,\cdot)$
여기서 $\langle\mu,\xi\rangle$ 는 $M$ 위의 함수로, $x \in M$ 에서 $\langle\mu(x),\xi\rangle$ 값을 가진다. $\langle \cdot, \cdot\rangle : \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$ 는 $\mathfrak{g}^*$ 와 $\mathfrak{g}$ 사이의 자연스러운 페어링(pairing)이다. 우변의 $\omega(v_\xi,\cdot)$ 는 벡터장 $v_\xi$ 와 심플렉틱 형식 $\omega$ 의 내적 $\iota_{v_\xi}\omega$ 를 나타내는 1차 미분 형식이다. 따라서 위 조건은 다음과 같이 동등하게 쓸 수 있다.
: $\mathrm{d}(\langle \mu, \xi \rangle) = \iota_{v_\xi} \omega$

이 정의가 의미를 가지려면, 모든 $\xi \in \mathfrak{g}$ 에 대해 1차 형식 $\iota_{v_\xi}\omega$ 가 완전 형식이어야 한다. 즉, 어떤 함수 $H_\xi : M \to \mathbb{R}$ 가 존재하여 $\iota_{v_\xi}\omega = \mathrm{d}H_\xi$ 를 만족해야 한다. (주어진 $G$ 의 작용이 심플렉틱 동형사상에 의한 것이므로, $\iota_{v_\xi}\omega$ 는 항상 닫힌 형식임은 보장된다.) 이 완전성 조건이 만족될 때, 함수 $H_\xi$ 를 $\xi$ 에 대해 선형이 되도록 선택할 수 있으며, 운동량 사상은 $\langle \mu(x), \xi \rangle = H_\xi(x)$ 를 만족하도록 정의된다. 운동량 사상은 $M$ 의 각 연결 성분마다 더해지는 상수 벡터 $C \in \mathfrak{g}^*$ (즉, 모든 $\xi$ 에 대해 $\langle C, \xi \rangle$ 가 상수인 벡터)의 차이를 제외하고 유일하게 결정된다.

지표 표기법을 사용하면 운동량 사상의 정의는 다음과 같이 표현될 수 있다.
: $\partial_j\mu_a=\omega_{ij}v_a^i$
여기서 $i,j$ 는 접다발 $\mathrm TM$ 의 국소 좌표계에 대한 지표이고, $a$ 는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 기저에 대한 지표이다. $\mu_a$ 는 운동량 사상 $\mu$ 의 $a$ 번째 성분 함수, $v_a^i$ 는 기저 벡터 $\xi_a$ 에 대응하는 벡터장 $v_{\xi_a}$ 의 $i$ 번째 성분, $\omega_{ij}$ 는 심플렉틱 형식 $\omega$ 의 성분이다.

심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 위의 $G$ -작용이 심플렉틱하고 운동량 사상이 존재하면, 이 작용을 해밀턴 작용(Hamiltonian action)이라고 부른다.

종종 운동량 사상 $\mu$ 는 추가적으로 $G$ -등변성(G-equivariance) 조건을 만족해야 한다고 요구되기도 한다. 이는 $G$ 가 공변표현(coadjoint representation) $\operatorname{Ad}^*$ 를 통해 $\mathfrak{g}^*$ 에 작용할 때, 모든 $g \in G$ 와 $x \in M$ 에 대해 다음 등식이 성립함을 의미한다.
: $\mu(g \cdot x) = \operatorname{Ad}^*_g (\mu(x))$
리 군 $G$ 가 콤팩트하거나 반단순인 경우, 운동량 사상에 더해지는 상수를 적절히 선택하여 항상 등변성을 만족하도록 만들 수 있다. 그러나 일반적인 경우에는 등변성을 만족시키기 위해 공변표현 자체를 $\mathfrak{g}^*$ 값을 갖는 1-코사이클을 이용하여 수정해야 할 수도 있다. 이러한 수정은 예를 들어 유클리드 군의 경우에 필요하며, 장 마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 1970년에 처음 기술하였다.

2.2. 지표 표기법

운동량 사상 $\mu\colon M\to\mathfrak{lie}(G)^*$ 는 리 군 $G$ 의 리 대수 $\mathfrak{lie}(G)$ 의 쌍대 공간으로 가는 함수로, 각 $\xi\in\mathfrak{lie}(G)$ 에 대해 다음 조건을 만족시킨다.
: $d\langle\mu,\xi\rangle=\omega(v_\xi,\cdot)$

여기서 $\langle\mu,\xi\rangle$ 는 $\mu(x)$ 와 $\xi$ 의 자연스러운 쌍대성(pairing)을 나타내고, $v_\xi$ 는 $\xi$ 에 의해 생성된 벡터장이며, $\omega$ 는 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 의 심플렉틱 형식이다.

이 관계를 좌표계와 지표를 사용하여 구체적으로 표현할 수 있다. 운동량 사상 $\mu$ 의 성분을 $\mu_a$ 로, 벡터장 $v_\xi$ 의 성분을 $v_a^i$ 로 나타내면, 위 정의는 다음과 같은 지표 표기법으로 쓸 수 있다.
: $\partial_j\mu_a=\omega_{ij}v_a^i$

이 식에서 사용된 지표의 의미는 다음과 같다.
* $i,j$ : 다양체 $M$ 의 접다발 $\mathrm TM$ 에 대한 지표이다. 이는 $M$ 위의 국소 좌표계 성분을 나타낸다.
* $a$ : 리 대수 $\mathfrak{lie}(G)$ 의 기저에 대한 지표이다. 이는 리 대수의 성분을 나타낸다.
* $\partial_j$ : $j$ 번째 좌표 성분에 대한 편미분 연산자이다.
* $\omega_{ij}$ : 심플렉틱 형식 $\omega$ 의 성분이다.
* $v_a^i$ : 리 대수의 기저 벡터 $e_a$ 에 대응하는 벡터장 $v_{e_a}$ 의 $i$ 번째 성분이다.

이 지표 표기법은 운동량 사상의 각 성분이 심플렉틱 형식과 리 대수 원소에 대응하는 벡터장 사이의 관계를 통해 어떻게 결정되는지를 명확하게 보여준다.

3. 성질

리 군 $G, H$ 를 각각 리 대수 $\mathfrak{g}, \mathfrak{h}$ 를 갖는 리 군이라고 하자. 운동량 사상은 다음과 같은 성질들을 가진다.

# $\mathcal{O}(F), F \in \mathfrak{g}^*$ 를 공액 궤도라고 하자. 그러면 포함 사상 $\mathcal{O}(F) \hookrightarrow \mathfrak{g}^*$ 가 운동량 사상이 되도록 하는 고유한 심플렉틱 구조가 $\mathcal{O}(F)$ 에 존재한다.
# $G$ 가 심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 에 작용하고, $\Phi_G : M \rightarrow \mathfrak{g}^*$ 가 그 작용에 대한 운동량 사상이며, $\psi : H \rightarrow G$ 가 리 군 준동형사상이라고 하자. 이 준동형사상은 $H$ 의 $M$ 에 대한 작용을 유도한다. 그러면 $H$ 의 $M$ 에 대한 작용 또한 해밀턴 작용이며, 운동량 사상은 $(\mathrm{d}\psi)_{e}^* \circ \Phi_G$ 로 주어진다. 여기서 $(\mathrm{d}\psi)_{e}^* : \mathfrak{g}^* \rightarrow \mathfrak{h}^*$ 는 $(\mathrm{d}\psi)_{e} : \mathfrak{h} \rightarrow \mathfrak{g}$ 의 쌍대 사상이다( $e$ 는 $H$ 의 항등원을 나타낸다). 특별한 경우로 $H$ 가 $G$ 의 리 부분군이고 $\psi$ 가 포함 사상인 경우가 있다.
# $(M_1, \omega_1)$ 이 해밀턴 $G$ -다양체이고 $(M_2, \omega_2)$ 가 해밀턴 $H$ -다양체라고 하자. 그러면 $(M_1 \times M_2, \omega_1 \times \omega_2)$ 에 대한 $G \times H$ 의 자연스러운 작용은 해밀턴 작용이며, 운동량 사상은 두 운동량 사상 $\Phi_G$ 와 $\Phi_H$ 의 직접 합이다. 여기서 $\omega_1 \times \omega_2 := \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2$ 이고, $\pi_i : M_1 \times M_2 \rightarrow M_i$ 는 투영 사상을 나타낸다.
# $M$ 이 해밀턴 $G$ -다양체이고, $N$ 이 $M$ 의 부분다양체이며 $G$ 에 의해 불변이고, $M$ 의 심플렉틱 형식의 $N$ 으로의 제한이 비퇴화라고 하자. 이것은 자연스러운 방식으로 $N$ 에 심플렉틱 구조를 부여한다. 그러면 $G$ 의 $N$ 에 대한 작용 또한 해밀턴 작용이며, 운동량 사상은 포함 사상과 $M$ 의 운동량 사상의 합성이다.

3.1. 불변성

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 위에 리 군 $G$ 가 작용하고 있으며, 이 작용에 대한 운동량 사상 $\mu\colon M \to \mathfrak g^*$ 가 주어졌다고 하자. 여기서 $\mathfrak g^*$ 는 $G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 쌍대 공간이다.

그렇다면, 임의의
: $\zeta \in (\mathfrak g^*)^G$
에 대하여 $\mu+\zeta$ 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 $(\mathfrak g^*)^G$ 는 $G$ 의 딸림표현의 쌍대 표현에 대해 불변인 원소들의 집합으로, 다음과 같이 정의된다.
: $(\mathfrak g^*)^G= \left\{\phi\in\mathfrak g^*\colon \forall x,y\in\mathfrak g\colon \phi([x,y]) = 0 \right\}$
이 집합은 또한 $\mathfrak g^*$ 를 계수로 하는 $\mathfrak g$ 의 0차 리 대수 코호몰로지 $\operatorname H^0(\mathfrak g; \mathfrak g^*)$ 와 같다. 이는 운동량 사상에 $(\mathfrak g^*)^G$ 에 속하는 원소를 더해도 여전히 운동량 사상이 됨을 의미한다.

3.2. 심플렉틱 몫공간

$G$ 가 콤팩트 리 군이고, 심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 에 해밀턴적으로 작용하며 등변 운동량 사상 $\mu : M\to \mathfrak{g}^*$ 를 갖는다고 가정하자. 해밀턴 조건으로부터 $\mu$ 의 원상 $\mu^{-1}(0)\subset M$ 은 $G$ 의 작용에 대해 불변이다.

이제 $G$ 가 $\mu^{-1}(0)$ 위에서 자유롭고 제대로 작용한다고 가정하자. 그러면 $0$ 은 $\mu$ 의 정칙값이며, $\mu^{-1}(0)$ 과 그 몫공간 $\mu^{-1}(0)/G$ 는 모두 매끄러운 다양체가 된다. 이 몫공간은 $M$ 의 심플렉틱 구조 $\omega$ 를 물려받는다. 즉, 몫공간 위에는 $\mu^{-1}(0)$ 으로의 당김이 $\omega$ 를 $\mu^{-1}(0)$ 으로 제한한 것과 같은 유일한 심플렉틱 형식 $\omega'$ 이 존재한다.

이렇게 얻어진 심플렉틱 다양체 $(\mu^{-1}(0)/G, \omega')$ 를 심플렉틱 몫공간(symplectic quotient^영어) 또는 마즈든-와인스타인 몫공간(Marsden–Weinstein quotient^영어)이라고 하며, $M/\!/G$ 라고 표기한다. 이 공간의 차원은 다음과 같다.
: $\dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G$

더 일반적으로, 0 대신 $\mathfrak{g}^*$ 안의 원소 중 $G$ 의 쌍대딸림 작용에 대해 불변인 임의의 원소 $\zeta\in (\mathfrak g^*)^G$ 를 사용하여 $\mu^{-1}(\zeta)/G$ 와 같은 몫공간을 정의할 수도 있다.

특히, $M$ 이 추가로 켈러 다양체 $(M,\omega,J)$ 이고 $G$ 의 작용이 심플렉틱 구조 $\omega$ 및 복소구조 $J$ 를 모두 보존한다면, 심플렉틱 몫공간 $M/\!/G=\mu^{-1}(0)/G$ 역시 켈러 다양체가 된다.

만약 $G$ 의 작용이 자유롭지 않지만 여전히 제대로 작용하는 경우, 몫공간 $M/\!/G = \mu^{-1}(0)/G$ 는 일반적으로 심플렉틱 다양체가 아닐 수 있지만, 층별 심플렉틱 공간(층별 공간 위에 호환되는 심플렉틱 구조가 주어진 공간)이라는 더 일반적인 구조를 갖는다.

3.3. 초켈러 몫공간

초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 $M$ 은 세 선형 독립 심플렉틱 구조 $\omega_I$ ( $I=1,2,3$ )를 가진다. 군의 작용 $G\times M\to M$ 이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 가정하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 $\mu_I\colon M\to\mathfrak g^*$ 이 존재한다. 이들을 합쳐서 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.
: $\mu\colon M\to\mathfrak g^*\otimes\mathbb R^3$
이렇게 정의된 사상을 이용하면, 초켈러 몫공간은 다음과 같이 표현된다.
: $M/\!/\!/G=\mu^{-1}(0)/G$
이 몫공간 $M/\!/\!/G$ 는 초켈러 다양체를 이루며, 그 차원은 다음과 같다.
: $\dim_{\mathbb R}(M/\!/\!/G)=\dim_{\mathbb R}M-4\dim_{\mathbb R}G$

4. 예시

운동량 사상은 다양한 수학적, 물리적 상황에서 나타난다. 아래 하위 섹션들에서는 운동량 사상의 구체적인 예시들을 통해 그 개념과 응용을 더 자세히 살펴본다. 예를 들어, 특정 리 군의 작용이나 코탄젠트 다발과 관련된 경우 등이 대표적이다. 이러한 예시들은 운동량 사상이 어떻게 다양한 구조와 연결되는지 보여준다.

4.1. 해밀토니안

$G$ 가 1차원 아벨 리 군 $\mathbb R$ 일 경우, 운동량 사상 $\mu$ 는 해밀턴 벡터장(Hamiltonian vector field^영어) $v$ 를 생성하는 해밀토니언이 된다. 마찬가지로, 원 군 $G = U(1)$ 의 해밀턴 작용에서 리 대수 쌍대 $\mathfrak{g}^*$ 는 자연스럽게 $\mathbb{R}$ 과 동일시될 수 있으며, 이때 운동량 사상은 해당 원 작용을 생성하는 해밀턴 함수이다.

보다 일반적으로, $N$ 을 매끄러운 다양체라 하고 $T^*N$ 을 투영 사상 $\pi : T^*N \rightarrow N$ 을 갖는 코탄젠트 다발이라고 하자. $\tau$ 를 $T^*N$ 위의 타우톨로지 1-형식으로 표기한다. 만약 군 $G$ 가 $N$ 에 작용한다면, $g \in G, \eta \in T^*N$ 에 대해 $g \cdot \eta := (T_{\pi(\eta)}g^{-1})^* \eta$ 로 정의되는 심플렉틱 다양체 $(T^*N, \mathrm{d}\tau)$ 위의 $G$ 의 유도된 작용은 해밀턴 작용이 된다. 이 작용의 운동량 사상은 모든 $\xi \in \mathfrak{g}$ 에 대해 $-\iota_{\rho(\xi)} \tau$ 로 주어지는데, 여기서 $\iota_{\rho(\xi)}\tau$ 는 $\xi$ 의 무한소 작용에 해당하는 벡터장 $\rho(\xi)$ 와 1-형식 $\tau$ 의 내부 곱을 의미한다.

고전적인 예시로 $M$ 이 $\mathbb{R}^3$ 의 코탄젠트 다발이고 $G$ 가 회전과 평행 이동으로 생성된 유클리드 군인 경우를 들 수 있다. 이 경우 $G$ 는 6차원 군으로, $\operatorname{SO}(3)$ 와 $\mathbb{R}^3$ 의 반직접곱이다. 이때 운동량 사상의 여섯 가지 성분은 물리적으로 세 개의 각운동량과 세 개의 선형 운동량에 해당한다.

4.2. 복소수 사영 공간

복소수 n차원 벡터 공간 $\mathbb C^n$ 은 자연스럽게 켈러 다양체의 구조를 가진다. 이 공간 위에는 0이 아닌 복소수의 곱셈 군인 $\mathbb C^\times$ 이 자연스럽게 작용한다. 이 작용 중에서 심플렉틱 구조를 보존하는 부분군은 원군 U(1)이다.

이 U(1) 작용에 대한 운동량 사상 $\mu$ 는 다음과 같이 정의될 수 있다.
: $\mu \colon \mathbb C^n \to \mathfrak{lie}(\operatorname U(1)) = \mathrm i\mathbb R$
: $\mu \colon z \mapsto \mathrm i\|z\|^2 - \mathrm iC$
여기서 $\|z\|^2$ 는 벡터 $z$ 의 노름 제곱을 의미하며, $C$ 는 임의의 실수 상수이다. $\mathfrak{lie}(\operatorname U(1))$ 는 U(1) 군의 리 대수를 나타내며, 이는 순허수 집합 $\mathrm i\mathbb R$ 과 동형이다.

이 운동량 사상을 이용하여 켈러 몫을 구성할 수 있다. 상수 $C$ 의 값에 따라 몫 공간의 형태가 결정된다.
* 만약 $C > 0$ 이면, 켈러 몫은 $(n-1)$ 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb P^{n-1}_{\mathbb C}$ 과 동형이다. 이 과정에서 복소수 사영 공간 위에 자연스럽게 유도되는 켈러 구조는 바로 푸비니-슈투디 계량이다. 이는 복소수 사영 공간의 표준적인 기하학적 구조로 잘 알려져 있다.
* 반대로 $C < 0$ 이면, 켈러 몫은 공집합이 된다.

따라서 운동량 사상과 켈러 몫의 개념을 통해 복소수 사영 공간과 그 위의 중요한 기하학적 구조인 푸비니-슈투디 계량을 자연스럽게 얻을 수 있다.

4.3. 복소수 사영 공간의 접공간

사원수 벡터 공간 $W=\mathbb H^n$ 은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 이 공간은 $n$ 차원 복소수 내적 공간 $V$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
: $W = V \oplus V^* = \mathrm T^*V$
여기서 $\mathrm T^*V$ 는 $V$ 의 공변접다발을 의미한다.

이 공간 $W$ 에 다음과 같은 U(1) 군의 작용을 생각해보자.
: $(x,\xi) \mapsto (\lambda x,\lambda^{-1}\xi)$
여기서 $x \in V$ , $\xi \in V^*$ 이고 $\lambda \in U(1)$ 이다. 이 작용에 대한 운동량 사상 $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)$ 는 다음과 같이 주어진다.
: $\mu_1(x,\xi) = \mathrm i(\|x\|^2 - \|\xi\|^2) - \mathrm iC$
: $\mu_2(x,\xi) + \mathrm i\mu_3(x,\xi) = \xi(x) - D$
여기서 $C, D$ 는 상수이다.

만약 상수 $D = 0$ 이라고 가정하면, 운동량 사상의 값이 0이 되는 지점들의 집합, 즉 $\mu^{-1}(0)$ 은 다음과 같이 표현된다.
: $\mu^{-1}(0) = \{(x,\xi)\in \mathrm T^*V \colon \xi \perp x, \; \|x\|^2-\|\xi\|^2 = C \}$
이 집합에 대한 초켈러 몫공간을 구성하면, 그 결과는 $V$ 위의 사영 공간 $\mathbb P(V)$ 의 공변접다발 $\mathrm T^*\mathbb P(V)$ 이 된다.

특히, 만약 $V$ 가 2차원 복소수 벡터 공간일 경우, 위에서 얻어진 초켈러 몫공간 $\mathrm T^*\mathbb P(V)$ 는 에구치-핸슨 공간과 동일하다.

5. 응용

리 군 $G$ 가 심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 에 해밀턴 작용을 하고, 등변 운동량 사상 $\mu : M\to \mathfrak{g}^*$ 를 갖는다고 가정해 보자. 해밀턴 작용이라는 조건 때문에, 운동량 사상의 값이 0이 되는 점들의 집합 $\mu^{-1}(0)$ 은 리 군 $G$ 의 작용에 대해 변하지 않는다.

만약 $G$ 가 $\mu^{-1}(0)$ 위에서 자유롭고 제대로 작용한다면, $0$ 은 $\mu$ 의 정칙 값(regular value)이 되며, $\mu^{-1}(0)$ 과 그 몫 공간 $\mu^{-1}(0) / G$ 는 모두 매끄러운 다양체가 된다. 이 몫 공간은 원래의 다양체 $M$ 으로부터 심플렉틱 형식을 물려받는다. 즉, 몫 공간에는 고유한 심플렉틱 형식이 존재하며, 이 형식의 당김은 $\omega$ 를 $\mu^{-1}(0)$ 에 제한한 것과 같다.

이렇게 얻어진 몫 공간 $\mu^{-1}(0) / G$ 는 마스던(Marsden)과 와인스타인(Weinstein)의 1974년 연구에 따라 마스던-와인스타인 몫(Marsden–Weinstein quotient), 심플렉틱 몫(symplectic quotient), 또는 $G$ 에 의한 $M$ 의 심플렉틱 환원(symplectic reduction)이라고 불리며, $M/\!\!/G$ 로 표기한다. 이 공간의 차원은 원래 다양체 $M$ 의 차원에서 리 군 $G$ 의 차원의 두 배를 뺀 값과 같다. 이는 운동량 사상을 이용하여 원래의 큰 심플렉틱 다양체에서 더 작고 다루기 쉬운 심플렉틱 다양체를 얻는 중요한 방법 중 하나이다.

더 일반적으로, $G$ 가 자유롭게 작용하지 않더라도 제대로 작용하는 경우에는, 샤마르(Sjamaar)와 레르만(Lerman)의 1991년 연구에 따라 $M/\!\!/G = \mu^{-1}(0)/G$ 가 층별 심플렉틱 공간(stratified symplectic space)이 된다는 것이 알려져 있다. 이는 각 층(stratum)에 호환되는 심플렉틱 구조를 갖는 층별 공간이다.