천-사이먼스 형식

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 구체적인 천-사이먼스 형식
- 4.2. 천-사이먼스 형식의 계산
5. 역사
6. 물리학에서의 응용
참조

1. 개요

천-사이먼스 형식은 주어진 다양체와 리 대수 값을 갖는 1-형식에 대해 정의되는 일련의 다중 선형 형식이다. 1차원, 3차원, 5차원 등 홀수 차원에서 정의되며, 곡률 F를 사용하여 표현된다. 일반적인 천-사이먼스 형식 ω2k-1은 dω2k-1 = Tr(F^k)로 정의되며, 이는 연결 A의 k번째 천 특성에 비례한다. 천-사이먼스 형식은 게이지 이론에서 중요한 역할을 하며, 게이지 불변 불변량을 제공한다. 이 형식은 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스에 의해 도입되었으며, 위상 양자장론, 3차원 양자 중력, 분수 양자 홀 효과 등 물리학 분야에 응용된다.

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천-사이먼스 형식
개요
3차원 다양체 M에 정의된 접속 A
유형	이차 특성류
정의	3차원 다양체 위의 접속에 대한 함수
수학적 세부사항
관련 개념	특성류 천 특성류 바일-듀몽 준동형
응용
관련 이론	끈 이론 위상 양자장론 천-사이먼스 이론

2. 정의

다양체 위에 정의된 리 대수 값을 갖는 1-형식 $\mathbf{A}$ 에 대해, 일련의 ''p''-형식을 정의할 수 있다.

일반적으로, 천-사이먼스 p-형식은 임의의 홀수 p에 대해 정의된다. p-차원 다양체 위의 천-사이먼스 항의 적분은 대역적인 기하학적 불변량이며, 전형적으로 정수배를 동일시하면 게이지 불변량이 된다.

일반적인 천-사이먼스 형식 $\omega_{2k-1}$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $d\omega_{2k-1}= \operatorname{Tr}(F^k),$

여기서 쐐기곱은 ''F^k''를 정의하는 데 사용된다. 이 방정식의 우변은 연결 $\mathbf{A}$ 의 ''k''번째 천 특성류에 비례한다.

차원	천-사이먼스 형식
1	$\operatorname{Tr} [ \mathbf{A} ].$
3	$\operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F} \wedge \mathbf{A}-\frac{1}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \right] = \operatorname{Tr} \left[ d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} + \frac{2}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}\right].$
5

여기서 곡률 '''F'''는 다음과 같이 정의된다.:

\mathbf{F} = d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}.

2. 1. 천-사이먼스 원소

다음이 주어졌다고 하자.

유한 차원 실수 리 대수 $\mathfrak g$
$\mathfrak g$ 의 $n$ 차 불변 다항식 $p \in \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)$

그렇다면,

\mathfrak g

로 구성되는 베유 대수

\operatorname W(\mathfrak g)

를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간

\operatorname{inv}(\mathfrak g)

은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다.

:

\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g)

이제,

p\in \operatorname{inv}(\mathfrak g)

의 원소는 베유 대수

\operatorname W(\mathfrak g)

속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서,

:

\mathrm d\mathsf c = p

가 되는

2n-1

차 원소

:

\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g)

를 찾을 수 있다. 이를

p

의 '''천-사이먼스 원소'''(Chern–Simons element^영어)라고 한다.

이와 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다.

2. 2. 리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
유한 차원 실수 리 대수 $\mathfrak g$
$\mathfrak g$ 값의 1차 미분 형식 $A \in \Omega^1(P;\mathfrak g)$

그렇다면,

A

는 가환 미분 등급 대수의 준동형

:

\mathsf A\colon\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M)

과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로,

\mathfrak g

의 기저를

(t_i)_{i\in I}

라고 하고,

\operatorname W(\mathfrak g)

의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을

(t^i)_{i\in I} \subseteq \operatorname W(\mathfrak g)

라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형

\mathsf A

에 대응하는 1차 미분 형식은

:

A = t_i\mathsf A(t^i) \in \operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)

이다.

이에 따라서,

\mathfrak g

의

n

차 불변 다항식

p

에 대한

\operatorname W(\mathfrak g)

속의 대수적 천-사이먼스 원소

:

\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g)

에 대하여, 그 상

:

\operatorname{CS}(A,p) = \mathsf A(\mathsf c) \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M)

은

M

위의

2n-1

차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는

:

\mathrm d\operatorname{CS}(A,p) = p(A)

를 만족시킨다.

주어진 다양체와 그 위에 정의된 리 대수 값을 갖는 1-형식

\mathbf{A}

에 대해, 일련의 ''p''-형식을 정의할 수 있다.

일반적으로, 천-사이먼스 ''p''-형식은 모든 홀수 ''p''에 대해 정의된다.

다양체가 주어지고, 다양체 위의 리 대수에 값을 갖는 1-형식의 공간을

\mathbf{A}

라고 하면, 다음과 같이 (천-사이먼스) p-형식의 족을 정의할 수 있다.

일반적인 천-사이먼스 형식

\omega_{2k-1}

은 다음과 같은 방법으로 정의된다.

:

d\omega_{2k-1}={\rm Tr}  \left( F^{k} \right),

여기서 외적은 F^k로 정의한다. 이 식의 우변은 접속

\mathbf{A}

의 k-번째 천류에 비례한다.

일반적으로, 천-사이먼스 p-형식은 임의의 홀수 p에 대해 정의된다. (정의는 게이지 이론도 참조). p-차원 다양체 위의 천-사이먼스 항의 적분은 대역적인 기하학적 불변량이며, 전형적으로 정수배를 동일시하면 게이지 불변량이 된다.

차원	천-사이먼스 형식
1	$\operatorname{Tr} [ \mathbf{A} ].$
3	$\operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F} \wedge \mathbf{A}-\frac{1}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \right] = \operatorname{Tr} \left[ d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} + \frac{2}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}\right].$
5

여기서 곡률 '''F'''는 다음과 같이 정의된다.:

\mathbf{F} = d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}.

2. 3. 주접속의 천-사이먼스 형식

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
리 군 $G$ 및 그 리 대수 $\mathfrak g$
$G$ -주다발 $G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$
$P$ 위의 주접속 $A \in \Omega^1(P;\mathfrak g)$

그렇다면,

P

의 주접속의 공간은

\operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)

에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다.

원점을 고르는 것은 주접속

P

의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개

(U_\beta)_{\beta\in B}

및 미분 동형

U_\beta \times G \to (P\restriction U_\beta)

들을 고르면, 주접속

A

는 덮개의 각 원소 위의

\mathfrak g

값 1차 미분 형식들의 모임

:

A\restriction U_\beta \in \operatorname\Omega^1(U;\mathfrak g)

의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식

p\in\operatorname{inv}(\mathfrak g)

에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여

M

전체에 정의된 미분 형식

:

\omega_{2n-1} \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M)

을 얻을 수 있다.

이렇게 하여 얻은 미분 형식은

p

가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환

\in\operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G)

)에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉,

\operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G)

의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다.

다만, 만약 (예를 들어)

M

이

2n-1

차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분

:

S_{\operatorname{CS}}=\int_M\omega_{2n-1}\in\mathbb R

을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군

:

\pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))

은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약

\pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))

의 작용이

:

S_{\operatorname{CS}} \mapsto S_{\operatorname{CS}} + (\Delta S_{\operatorname{CS}})\mathbb Z

의 꼴이라면, 이 경우

:

\exp(2\pi\mathrm iS_{\operatorname{CS}}) \in \operatorname U(1)

는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위(level^영어)의 양자화로 귀결된다.

3. 성질

매끄러운 다양체 $M$ 위의 평탄 주접속 $A$ 의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, $n$ 차 불변 다항식 $p$ 에 대하여,

: $\dim M = 2n - 1$

이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다.

4. 예

가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

: $\omega_1=\operatorname{tr}A$

: $\omega_3=\operatorname{tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)$

: $\omega_5=\operatorname{tr}\left(F\wedge F\wedge A-\frac12F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac1{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)$

: $\omega_7=\operatorname{tr}\left(\frac47A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac83dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac43dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)$

여기서 $\wedge$ 는 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취한다.

4. 1. 구체적인 천-사이먼스 형식

리 대수

\mathfrak g

의 유한 차원 표현

\rho \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(N;\mathbb R)

이 주어졌을 때,

p_n(x^i) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_ix^i\rho(t_i)\right)^n\right)

는 대각합의 순환성에 의하여 항상

2n

차 불변 다항식이다.

따라서, 이에 대한

2n-1

차 천-사이먼스 형식

\omega_{2n-1}

을 정의할 수 있다. 즉,

:

\omega_{2n-1} = \operatorname{tr}(\rho(F)^n)

이 된다. 여기서

\rho(F)^n

이란

\rho

를 사용하여

t_i\mathsf A(\delta t^i) = F \in \operatorname\Omega^2(M;\mathfrak g)

를 2차 미분 형식의

N\times N

정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다.

만약

\mathfrak g=\mathfrak u(n)

일 때,

\omega_1,\omega_3,\dotsc,\omega_{2n-1}

들은

\mathfrak u(n)

의

n

개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약

\mathfrak g=\mathfrak{su}(n)

일 경우,

\omega_1 =0

이 된다.)

7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다.

:

\omega_1=\operatorname{tr}A

:

\omega_3=\operatorname{tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)

:

\omega_5=\operatorname{tr}\left(F\wedge F\wedge A-\frac12F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac1{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)

:

\omega_7=\operatorname{tr}\left(\frac47A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac83dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac43dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)

여기서

\wedge

는 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱을 의미한다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취한다.

주어진 다양체와 그 위에 정의된 리 대수 값을 갖는 1-형식

\mathbf{A}

에 대해, 일련의 ''p''-형식을 정의할 수 있다.

1차원에서 천-사이먼스 1-형식은 다음과 같다.

:

\operatorname{Tr} [ \mathbf{A} ].

3차원에서 천-사이먼스 3-형식은 다음과 같다.

:

\operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F} \wedge \mathbf{A}-\frac{1}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \right] = \operatorname{Tr} \left[ d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} + \frac{2}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}\right].

5차원에서 천-사이먼스 5-형식은 다음과 같다.

:

\begin{align}& \operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F}\wedge\mathbf{F} \wedge \mathbf{A}-\frac{1}{2} \mathbf{F} \wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A} +\frac{1}{10} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge\mathbf{A} \right] \\[6pt]= {} & \operatorname{Tr} \left[ d\mathbf{A}\wedge d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} + \frac{3}{2} d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} +\frac{3}{5} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A} \right]\end{align}

여기서 곡률 '''F'''는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{F} = d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}.

일반적인 천-사이먼스 형식

\omega_{2k-1}

은 다음과 같이 정의된다.

:

d\omega_{2k-1}= \operatorname{Tr}(F^k),

여기서 쐐기곱은 ''F^k''를 정의하는 데 사용된다. 이 방정식의 우변은 연결

\mathbf{A}

의 ''k''번째 천 특성에 비례한다.

일반적으로, 천-사이먼스 ''p''-형식은 모든 홀수 ''p''에 대해 정의된다.

4. 2. 천-사이먼스 형식의 계산

이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 대수적으로 다음과 같이 모형화할 수 있다.

하나의 등급 1의 생성원 mathsf a|mathsf a^영어로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수

:

\mathcal A = \mathbb Q\langle \mathsf a,\mathrm d\mathsf a\rangle

를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 mathrm d|mathrm d^영어는 멱영 연산이며 mathsf a|mathsf a^영어에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉,

:

\mathrm d^2\mathrm a = 0

:

\mathrm d \colon \mathsf a p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) p-\mathsf a(\mathrm dp)\qquad\forall p\in A

:

\mathrm d \colon (\mathrm d\mathsf a) p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) (\mathrm dp) \qquad\forall p\in A

이다.

이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자.

:

V = \operatorname{Span}_{\mathbb Q}\left\{pq

(-)^{\deg p\deg q}

qp\colon p,q \in\mathcal A\right\}\subsetneq \mathcal A

(이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어,

\mathsf a^2\in V

이지만

\mathsf a^3\not\in V

이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수

k\in\mathbb Z^+

에 대하여,

:

\mathrm d\mathsf w_{2k-1} - (\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)^k \in V

가 되는 원소

\mathsf w_{2k-1} \in \mathcal A

가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류

\mathsf w_{2k-1} + V \in \mathcal A/V

는 유일하다. 이것이

2n-1

차 천-사이먼스 형식이 된다.

특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때,

:

\mathsf a^{2k} \in V

이라는 사실이 자주 사용된다.

이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상

\mathsf f=\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2

이며, "대각합"

\operatorname{tr}(-)

은

\mathcal A/V

로 동치류를 취하는 것이다.

'''1차 천-사이먼스 형식의 계산:'''

:

\operatorname{tr}(\mathsf f) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a)

'''3차 천-사이먼스 형식의 계산:'''

:

\begin{aligned}\operatorname{tr}(\mathsf f^2) &= \operatorname{tr}\left((\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)\right) \\&= \operatorname{tr}\left(\mathrm d\mathsf a^2+2(\mathrm d\mathsf a) \mathsf a^2\right) \\&= \operatorname{tr}\left(\mathrm d((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a)+\frac23\mathsf a^3\right) \\&= \operatorname{tr}\mathrm d\left((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a+\frac23 \mathsf a^3\right)\\&= \operatorname{tr}\mathrm d\left(\mathsf f\mathsf a - \frac13 \mathsf a^3\right)\end{aligned}

주어진 다양체와 그 위에 정의된 리 대수 값을 갖는 1-형식

\mathbf{A}

에 대해, 일련의 ''p''-형식을 정의할 수 있다.

1차원에서 '''천-사이먼스''' 1-형식은 다음과 같다.

:

\operatorname{Tr} [ \mathbf{A} ].

3차원에서 '''천-사이먼스 3-형식'''은 다음과 같다.

:

\operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F} \wedge \mathbf{A}-\frac{1}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \right] = \operatorname{Tr} \left[ d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} + \frac{2}{3} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}\right].

5차원에서 '''천-사이먼스 5-형식'''은 다음과 같다.

:

\begin{align}& \operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F}\wedge\mathbf{F} \wedge \mathbf{A}-\frac{1}{2} \mathbf{F} \wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A} +\frac{1}{10} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge\mathbf{A} \right] \\[6pt]= {} & \operatorname{Tr} \left[ d\mathbf{A}\wedge d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} + \frac{3}{2} d\mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} +\frac{3}{5} \mathbf{A} \wedge \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A} \right]\end{align}

여기서 곡률 '''F'''는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{F} = d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}.

일반적인 천-사이먼스 형식

\omega_{2k-1}

은 다음과 같이 정의된다.

:

d\omega_{2k-1}= \operatorname{Tr}(F^k),

여기서 쐐기곱은 ''F^k''를 정의하는 데 사용된다. 이 방정식의 우변은 연결

\mathbf{A}

의 ''k''번째 천 특성에 비례한다.

일반적으로, 천-사이먼스 ''p''-형식은 모든 홀수 ''p''에 대해 정의된다.

5. 역사

천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다.^[7] 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.

6. 물리학에서의 응용

1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다.^[8] 이는 3차원 양자중력과도 연결되며^[9] 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다.^[10] 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.

게이지 이론에서 체른-사이먼스 형식의 적분은 전역적인 기하 불변량이며, 일반적으로 정수 덧셈을 제외하고 게이지 불변이다.

참조

_[1] 웹사이트 Remarks on Chern–Simons theory https://www.ams.org/[...] 2009-01-15
_[2] 서적 A Mathematician and His Mathematical Work: Selected Papers of S.S. Chern https://books.google[...] World Scientific 1996
_[3] 웹사이트 Chern-Simons form in nLab https://ncatlab.org/[...] 2020-05-01
_[4] 웹사이트 Introduction To Chern-Simons Theories http://www.physics.r[...] 2019-06-07
_[5] 간행물 The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants
_[6] 논문 Characteristic forms and geometric invariants 1974
_[7] 저널 Characteristic forms and geometric invariants https://archive.org/[...]
_[8] 논문 The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants 1978
_[9] 논문 A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories 1986
_[10] 논문 Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect

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