3차원 초구

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대칭 공간
- 2.2. 사원수 표현
3. 성질
4. 구성 방법
- 4.1. 두 3차원 공 붙이기
- 4.2. 일점 콤팩트화
5. 군 구조
참조

1. 개요

3차원 초구는 4차원 공간에서 중심으로부터 동일한 거리에 있는 점들의 집합으로 정의되며, 단위 노름을 갖는 사원수의 집합으로도 나타낼 수 있다. 3차원 초구는 콤팩트하고 연결된 3차원 다양체이며, 푸앵카레 추측에 의해 유일한 3차원 다양체로 특징지어진다. 또한, 3차원 초구는 사원수 곱셈을 통해 리 군의 구조를 가지며, 호프 좌표계와 구면 좌표계를 포함한 다양한 좌표계를 사용하여 표현할 수 있다.

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3차원 초구
개요
3차원 구면의 표현
유형	3차원 다양체, 초구
차원	3차원
정의
정의	4차원 공간에서 주어진 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합
좌표
데카르트 좌표	x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = r² (r은 구의 반지름)
성질
표면적	2π²r³ (r은 구의 반지름)
부피	1/2π²r⁴ (4차원 초구 내부의 부피)
호모토피 군	π₁(S³) = ℤ₂ π₂(S³) = 0 π₃(S³) = ℤ
관련 개념
관련 개념	구, 초구, 4차원 공간

2. 정의

3차원 초구는 4차원 유클리드 공간에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합으로 정의된다. 좀 더 구체적으로, 중심이 $(C_0, C_1, C_2, C_3)$이고 반지름이 $r$인 3차원 초구는 4차원 실수 공간($\mathbb{R}^4$)에서 다음 방정식을 만족하는 점 $(x_0, x_1, x_2, x_3)$들의 집합이다.

: $\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.$

특히, 중심이 원점이고 반지름이 1인 3차원 초구는 단위 3차원 초구라고 불리며, 보통 $S^3$으로 표기한다. 이것은 다음 방정식으로 표현된다.

: $S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.$

4차원 실수 공간($\mathbb{R}^4$)을 2차원 복소수 공간($\mathbb{C}^2$)이나 1차원 사원수 공간($\mathbb{H}$)으로 생각하면, 3차원 초구는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}$

또는

: $S^3 = \left\{q\in\mathbb{H} : \|q\| = 1\right\}.$

3차원 초구는 호프 올다발(Hopf fibration)을 통해 리만 구와 연관된다. 리만 구 S²^영어 ≅ P¹_C^영어 위의 정칙 선다발 O(1)^영어에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은 S³^영어와 동형이다. 이는 다음과 같은 호프 올다발을 정의한다.

: $\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^2$

2. 1. 대칭 공간

3차원 초구는 대칭 공간을 이루는데, 이는 특수 유니타리 군(SU(2)) 및 사원수 단위군(Sp(1))과 동형이다.^[4] 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2) \cong \operatorname{Sp}(1)

또한 3차원 초구는 몫공간(quotient space)으로도 표현 가능하다.

:

\mathbb S^3 \cong \operatorname{SO}(4) / \operatorname{SO}(3)

3차원 초구는 노름이 1인 사원수의 공간으로도 생각할 수 있다.

:

\mathbb S^3 = \{x\in\mathbb H \colon \|x\|=1\}

단위 사원수로 간주될 때, 3차원 초구는 사원수 곱셈이라는 중요한 구조를 가지며, 곱셈에 대해 닫혀 있어 군의 구조를 갖는다. 사원수 곱셈은 매끄러운 함수이므로, 3차원 초구는 실수 리 군으로 볼 수 있다. 이는 3차원 비가환 콤팩트 리 군이며, Sp(1) 또는 U(1, '''H''')로 표시된다.

리 군 구조를 가질 수 있는 유일한 초구는 ''S''¹ (단위 복소수의 집합)과 3차원 초구(''S''³'', 단위 사원수의 집합)이다.

사원수의 행렬 표현을 사용하여 3차원 초구의 행렬 표현을 얻을 수 있다. 파울리 행렬을 사용하면 다음과 같다.

:

x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}.

이 맵은 H에서 2 × 2 복소 행렬 집합으로의 단사 함수 대수 준동형사상을 제공하며, 사원수 q의 절댓값은 q의 행렬 이미지의 행렬식의 제곱근과 같다. 단위 사원수의 집합은 단위 행렬식을 갖는 위 형태의 행렬로 주어지는데, 이 행렬 부분군은 특수 유니타리 군 SU(2)이다. 따라서 리 군으로서의 3차원 초구는 SU(2)와 동형이다.

2. 2. 사원수 표현

\mathbb S^3

는 노름(norm)이 1인 사원수들의 공간으로 표현할 수 있다.

:

\mathbb S^3 = \{x\in\mathbb H \colon \|x\|=1\}

3차원 초구는 노름이 1인 사원수로 표현되는데, 이는 사원수 나눗셈환의 버서와 같다. 단위 원이 평면 극좌표에서 중요한 것처럼, 3차원 초구는 사원수 곱셈과 관련된 4차원 공간의 극좌표 관점에서 중요하다. 3차원 초구의 이러한 전개에 대한 자세한 내용은 쿼터니언의 극분해에서 확인할 수 있다.

이러한 3차원 초구에 대한 관점은 조르주 르메트르가 발전시킨 타원 공간 연구의 기초가 된다.^[9]

3. 성질

3차원 초구는 매끄러운 다양체이며, 유클리드 거리로부터 유도된 거리를 통해 리만 다양체가 된다. 3차원 초구는 반지름이 ${\displaystyle r}$일 때 ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}$와 같은 일정한 양의 단면 곡률을 갖는다.

3차원 초구는 사원수의 곱셈에 의해 주어지는 리 군 구조를 가지며, 이는 3차원 초구의 흥미로운 기하학적 성질의 기반이 된다. 이러한 구조를 갖는 다른 차원의 초구는 0차원 및 1차원 (원주군)뿐이다.

2차원 초구와 달리, 3차원 초구는 모든 곳에서 소멸하지 않는 벡터장을 가지며, 심지어 세 쌍의 선형 독립인 벡터장도 존재한다. 이는 3차원 초구가 평행화 가능임을 의미하며, 따라서 3차원 초구의 접다발은 자명하다.

3차원 초구에는 원주군의 군 작용이 존재하여, 호프 다발이라 불리는 주원 다발의 구조가 들어간다. 3차원 초구를 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$의 부분 집합으로 보면, 이 작용은 ${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda :=(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad (\forall \lambda \in \mathbb {T} )}$로 주어진다. 이 작용의 궤도 공간은 2차원 초구 ${\displaystyle S^{2}}$와 위상 동형이다.

3. 1. 좌표계

3차원 초구에는 여러 유용한 좌표계들이 존재한다. 대표적으로 구면 좌표계와 호프 좌표계를 들 수 있다.^[11] 3차원 초구는 4차원 유클리드 공간에서 $x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$을 만족하는 점들의 집합으로 표현되는데, 3차원 다양체이므로 2차원 구가 위도와 경도로 매개변수화되는 것처럼 3개의 좌표로 매개변수화할 수 있다. 하지만 3차원 초구의 위상적 성질 때문에 전체 공간을 하나의 좌표계로 표현하는 것은 불가능하며, 최소 두 개의 좌표계가 필요하다.

3. 1. 1. 구면 좌표계

4차원 공간에서 3차원 초구를 표현하기 위해 구면 좌표계를 사용할 수 있다. 좌표 $(\psi, \theta, \phi)$는 다음 범위를 가진다.

$\psi\in[0,\pi]$
$\theta\in[0,\pi]$
$\phi\in \mathbb R/2\pi\mathbb Z$

이 좌표계에서 3차원 초구의 매장(embedding)

\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb R^4

은 다음과 같이 표현된다.

:

(\psi,\theta,\phi)\mapsto (\cos \psi, \sin\psi\cos\theta, \sin\psi\sin\theta\cos\phi,\sin\psi\sin\theta\sin\phi)

이 좌표계에서 반지름이 1인 3차원 초구의 리만 계량은 다음과 같다.^[2]

:

\mathrm ds^2 = \mathrm d\psi^2 + \sin^2\psi \left(\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm d\phi^2\right)

부피 형식은 다음과 같다.

:

\omega = \sin^2\psi\sin\theta \mathrm d\psi\wedge\mathrm d\theta\wedge\mathrm d\phi

3차원 초구에서는 일반적인 구면 좌표계와 유사하게 초구면 좌표계를 사용하는 것이 편리하다. 이 좌표계는 유일하지 않지만, $(\psi, \theta, \phi)$를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}x_0 &= r\cos\psi \\x_1 &= r\sin\psi \cos\theta \\x_2 &= r\sin\psi \sin\theta \cos \varphi \\x_3 &= r\sin\psi \sin\theta \sin\varphi \end{align}

여기서 $\psi$와 $\theta$는 0에서 $\pi$까지, $\varphi$는 0에서 $2\pi$까지의 범위를 가진다. $\psi$가 고정된 값이면, $\theta$와 $\varphi$는 반지름이 $r\sin\psi$인 2차원 구를 매개변수화한다. 단, $\psi$가 0 또는 $\pi$일 때는 점으로 퇴화(degenerate)된다.

이 좌표계에서 3차원 구의 라운드 계량은 다음과 같다.^[2]

:

ds^2 = r^2 \left[ d\psi^2 + \sin^2\psi\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right) \right]

그리고 부피 형식은 다음과 같다.

:

dV =r^3 \left(\sin^2\psi\,\sin\theta\right)\,d\psi\wedge d\theta\wedge d\varphi.

이 좌표계는 사원수를 사용하여 표현할 수 있다. 임의의 단위 사원수 $q$는 versor로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

q = e^{\tau\psi} = \cos\psi + \tau\sin\psi

여기서 $\tau$는 단위 허수 사원수 (${\tau}^2 = -1$)이다. 이는 오일러 공식의 사원수 형태이다. 단위 허수 사원수는 모두 $\operatorname{Im} \mathbb{H}$의 단위 2차원 구에 놓이므로, $\tau$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\tau = (\cos\theta) i + (\sin\theta\cos\varphi) j + (\sin\theta\sin\varphi) k

이 $\tau$를 사용하여 단위 사원수 $q$는 다음과 같이 표현된다.

:

q = e^{\tau\psi} = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k

여기서 $x_0, x_1, x_2, x_3$은 위에서 제시된 식과 같다.

$q$가 공간 회전을 설명하는 데 사용될 때(사원수와 공간 회전 참고), $2\psi$의 각도를 통해 $\tau$에 대한 회전을 나타낸다.

3. 1. 2. 호프 좌표계

'''호프 좌표계'''(Hopf座標系, Hopf coordinate system^영어)

(\eta,\xi,\xi')

는 3차원 초구를 2차원 복소 공간에 매장(embedding)하여 표현한다. 이 좌표계는 호프 올다발을 설명하는 데 유용하다.^[11]

매장

\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb C^2\cong\mathbb R^4

은 다음과 같다.

:

(\eta,\xi,\xi') \mapsto \left(\cos\eta\exp(\mathrm i\xi),\sin\eta\exp(\mathrm i\xi')\right)

여기서

:

\xi,\xi' \in \mathbb R/(2\pi\mathbb Z)

:

\eta \in [0,\pi/2]

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

:

\mathrm ds^2 = \mathrm d\eta^2 + \cos^2\eta \,\mathrm d\xi^2 + \sin^2\eta\,\mathrm d{\xi'}^2

부피 형식은 다음과 같다.

:

\omega = \sin\eta\cos\eta\,\mathrm d\eta\wedge\mathrm d\xi\wedge\mathrm d\xi'

이 좌표계에서, 호프 올다발은 다음과 같다.

:

\mathbb S^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^2

:

(\eta,\xi,\xi') \mapsto (2\eta,\xi-\xi')

여기서

\mathbb S^2

위의 좌표는 구면 좌표계이다.

호프 올다발은 $S^3$ 의 $\mathbb R^3$ 로의 입체사영을 사용하여 시각화할 수 있으며, 이를 통해 $\mathbb R^3$ 는 구형으로 굳혀진다. 이미지는 $S^2$ 상의 점과 그에 대응하는 올이 같은 색으로 표시되어 있다.

단위 반경의 또 다른 초구 좌표 선택,

(\eta, \xi_1, \xi_2)

는

S^3

을

\mathbb C^2

에 포함시키는 것을 사용한다. 복소 좌표

(z_1, z_2) \in \mathbb C^2

에서 다음과 같이 작성한다.

:

\begin{align}z_1 &= e^{i\,\xi_1}\sin\eta \\z_2 &= e^{i\,\xi_2}\cos\eta. \end{align}

이는

\mathbb R^4

에서도 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\begin{align}x_0 &= \cos\xi_1\sin\eta \\x_1 &= \sin\xi_1\sin\eta \\x_2 &= \cos\xi_2\cos\eta \\x_3 &= \sin\xi_2\cos\eta. \end{align}

여기서

\eta

는 0에서

\pi/2

까지의 범위를 가지며,

\xi_1

과

\xi_2

는 0과 2

\pi

사이의 값을 가질 수 있다. 이러한 좌표는 호프 다발로의 3-구의 설명에서 유용하다.

빨간색 화살표로 표시된 경도( $\xi_1$ ) 방향과 파란색 화살표로 표시된 위도( $\xi_2$ ) 방향을 묘사한 다이어그램, 이 용어는 이 ''평탄한 토러스'' 경우 임의적이다.

0과

\pi/2

사이의 고정된

\eta

값에 대해 좌표

(\xi_1, \xi_2)

는 2차원 토러스를 매개변수화한다. 상수

\xi_1

과

\xi_2

의 고리는 토러스 위에 간단한 직교 격자를 형성한다. 퇴화된 경우,

\eta

가 0 또는

\pi/2

와 같을 때, 이 좌표는 원을 설명한다.

호프 올림의 맞물린 원을 얻으려면 위의 방정식에서 간단한 대체를 한다.^[3]

:

\begin{align}z_1 &= e^{i\,(\xi_1+\xi_2)}\sin\eta \\z_2 &= e^{i\,(\xi_2-\xi_1)}\cos\eta. \end{align}

이 경우

\eta

와

\xi_1

은 어떤 원인지 지정하고

\xi_2

는 각 원의 위치를 지정한다.

\xi_1

또는

\xi_2

의 한 번의 왕복(0에서 2

\pi

까지)은 2개의 각 방향으로 토러스의 한 번의 왕복과 같다.

3. 2. 군 작용

3차원 초구(

\mathbb S^3

) 위에는 리 군

\operatorname O(4)

가 작용한다. 그 가운데

\operatorname{SO}(4) \cong \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(2) / \{(1,1),(-1,-1)\}

은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다.

단위 사원수의 집합으로 간주될 때, 3차원 초구는 사원수 곱셈이라는 중요한 구조를 상속받는다. 단위 사원수의 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있으므로, 군의 구조를 갖는다. 게다가, 사원수 곱셈은 매끄러운 함수이므로, 3차원 초구는 실수 리 군으로 간주될 수 있다. 이는 3차원 비가환 콤팩트 리 군이다.

사원수의 행렬 표현을 사용하여 3차원 초구의 행렬 표현을 얻을 수 있다. 한 가지 편리한 선택은 파울리 행렬로 주어지는 다음과 같다.

:

x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}.

이 맵은 사원수에서 2 × 2 복소 행렬의 집합으로의 단사 함수 대수 준동형사상을 제공한다. 이는 사원수

q

의 절댓값이

q

의 행렬 이미지의 행렬식의 제곱근과 같다는 속성을 갖는다.

단위 사원수의 집합은 단위 행렬식을 갖는 위의 형태의 행렬로 주어지며, 이 행렬 부분군은 특수 유니타리 군

\operatorname{SU}(2)

이다. 따라서, 리 군으로서의 3차원 초구는

\operatorname{SU}(2)

와 동형이다.

3차원 초구에는 원주군의 군 작용이 존재하여, 호프 다발이라 불리는 주원 다발의 구조가 들어간다. 3차원 초구를

\mathbb C^2

의 부분 집합으로 보는 관점이라면, 이 작용은 다음과 같이 주어진다.

$(z_1,z_2)\cdot\lambda := (z_1\lambda,z_2\lambda)\quad(\forall\lambda\in\mathbb{T})$

이 작용의 궤도 공간은 2차원 초구(

S^2

)에 위상 동형이다.

3. 3. 위상적 성질

3차원 초구는 콤팩트, 연결되었고 경계가 없는 3차원 다양체이며, 단순 연결되어 있다. 이는 3차원 초구의 모든 고리 또는 원형 경로는 3차원 초구를 벗어나지 않고 연속적으로 한 점으로 축소될 수 있음을 의미한다. 2003년 그리고리 페렐만에 의해 증명된 푸앵카레 추측은 이러한 속성을 가진 유일한 3차원 다양체가 3차원 초구 (위상 동형까지)임을 보여준다.

3차원 초구는 '''R'''³^영어의 일점 콤팩트화와 위상 동형이다. 3차원 초구와 위상 동형인 모든 위상 공간을 '''위상적 3차원 초구'''라고 부른다.

3차원 초구의 호몰로지 군은 H₀(''S''³, '''Z''')와 H₃(''S''³, '''Z''')는 모두 무한 순환군이며, 다른 모든 지수 ''i''에 대해 H_''i''(''S''³, '''Z''') = {}이다. 이러한 호몰로지 군을 가진 모든 위상 공간은 호몰로지 3차원 초구로 알려져 있다. 푸앵카레는 모든 호몰로지 3차원 초구가 ''S''³와 위상 동형이라고 추측했지만, 이후 위상 동형이 아닌 푸앵카레 호몰로지 구를 발견했다. 현재 무한히 많은 호몰로지 구가 존재한다. 예를 들어, 3차원 초구의 매듭에 대한 기울기 1/''n'' 데른 채움은 호몰로지 구를 제공하며, 일반적으로 3차원 초구와 위상 동형이 아니다.

호모토피 군은 π₁(''S''³) = π₂(''S''³) = {}이고 π₃(''S''³)는 무한 순환군이다. 고차 호모토피 군(''k'' ≥ 4)은 모두 유한 아벨군이지만 뚜렷한 패턴은 없다. 자세한 내용은 구의 호모토피 군을 참조한다.

''S''³의 호모토피 군
k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
π_k(S³)	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂⊕Z₂	Z₁₂⊕Z₂	Z₈₄⊕Z₂⊕Z₂	Z₂⊕Z₂	Z₆

3. 4. 기하학적 성질

3차원 초구는 자연스럽게 매끄러운 다양체가 되며, 실제로 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$의 닫힌 매립된 부분다양체이다. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$의 유클리드 거리는 3차원 초구에 계량을 유도하여 리만 다양체의 구조를 부여한다. 모든 구와 마찬가지로, 3차원 초구는 반지름이 ${\displaystyle r}$일 때 ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}$와 같은 일정한 양의 단면 곡률을 갖는다.

3차원 초구의 흥미로운 기하학의 많은 부분은 3차원 초구가 쿼터니언 곱셈에 의해 주어지는 자연스러운 리 군 구조를 갖는다는 사실에서 비롯된다. 이러한 구조를 가진 다른 유일한 구는 0차원 초구와 1차원 초구(원군)이다.

2차원 초구와 달리, 3차원 초구는 소멸하지 않는 벡터장 (접선 다발의 단면)을 허용한다. 세 개의 선형 독립적이고 소멸하지 않는 벡터장을 찾을 수도 있다. 이것들은 3차원 초구의 리 대수의 기저를 형성하는 모든 좌불변 벡터장으로 간주될 수 있다. 이것은 3차원 초구가 평행화 가능임을 의미한다. 따라서 3차원 초구의 접선 다발은 자명하다.

반지름 ${\displaystyle r}$의 3차원 초구의 3차원(초) 표면적은 ${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}}$으로 주어지고, 같은 초구면이 둘러싼 4차원(초) 부피는 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}}$으로 주어진다.

3차원 초구가 3차원 초평면과의 교차를 가지면, 그 교차는 2차원 초구면이 된다 (단, 초평면이 초구면에 접할 때에는 한 점이 된다). 3차원 초구가 주어진 하나의 초평면을 통과하는 모습은, 그 교차가 한 점에서 시작하여 점점 커지고, 극대에 달하는 것은 초평면이 정확히 3차원 초구면의 "적도"를 잘라내는 위치에 올 때이며, 그 후 다시 교차인 2차원 초구면은 점점 작아져 한 점이 된 곳에서 3차원 초구면은 초평면을 벗어나는 식으로 관찰할 수 있다.^[1]

4. 구성 방법

3차원 초구는 두 개의 3차원 공을 붙이거나, 3차원 공간을 일점 콤팩트화하여 구성할 수 있다. 3차원 초구를 구성하는 방법은 다음과 같다.

두 3차원 공 붙이기: 3차원 초구는 위상수학적으로 두 개의 3차원 공의 경계(2차원 구)를 붙여서 만들 수 있다.
일점 콤팩트화: 3차원 초구에서 한 점을 제거하면 3차원 유클리드 공간과 위상동형이 된다. 이는 스테레오 투영이나 지수 사상을 통해 설명할 수 있다.

4. 1. 두 3차원 공 붙이기

3차원 초구는 위상수학적으로 두 개의 3차원 공의 경계(2차원 구)를 붙여서 만들 수 있다. 3차원 공의 경계는 2차원 구이며, 이 두 2차원 구는 서로 동일하게 간주된다. 즉, 같은 크기의 3차원 공 두 개를 겹쳐서 2차원 구 경계가 일치하도록 하고, 두 2차원 구에서 일치하는 점들을 서로 같은 것으로 취급한다. 이렇게 붙이는 표면을 적도 구라고 부른다.

3차원 공의 내부는 서로 붙이지 않는다. 네 번째 차원을 이해하는 한 가지 방법은 3차원 공의 3차원 좌표에 대한 연속적인 실수 값 함수를 생각하는 것이다. 예를 들어 "온도"를 생각해 볼 수 있다. 붙이는 2차원 구에서 "온도"를 0으로 하고, 한 3차원 공은 "뜨겁게", 다른 하나는 "차갑게" 만든다. "뜨거운" 3차원 공은 "상반구", "차가운" 3차원 공은 "하반구"로 생각할 수 있다. 온도는 두 3차원 공의 중심에서 가장 높거나 낮다.

이러한 구성은 두 개의 원반(2차원 공)의 경계(원, 1차원 구)를 붙여 2차원 구를 만드는 것과 유사하다. 같은 지름의 원반 두 개를 겹쳐서 경계의 점들을 붙인다. 여기서도 세 번째 차원을 온도로 생각할 수 있으며, 2차원 구를 부풀려 두 원반이 북반구와 남반구가 되도록 할 수 있다.

4. 2. 일점 콤팩트화

2차원 구에서 점 하나를 제거하면 유클리드 평면과 위상동형이 된다. 마찬가지로 3차원 구에서 점 하나를 제거하면 3차원 공간이 된다.

이를 이해하는 매우 유용한 방법은 스테레오 투영을 이용하는 것이다. 먼저 낮은 차원의 버전을 설명한다.

3차원 공간에서 단위 2차원 구의 남극을 xy|xy^영어 평면에 놓는다. 구의 점 P (북극 N 제외)를 선 NP와 평면의 교점으로 보내 평면에 매핑한다. 3차원 구의 스테레오 투영 (역시 북극을 제거)은 같은 방식으로 3차원 공간으로 매핑된다. (스테레오 투영이 등각 사상이므로 둥근 구는 둥근 구 또는 평면으로 보내진다.)

일점 콤팩트화에 대한 다소 다른 생각은 지수 사상을 이용하는 것이다. 유클리드 평면에 놓인 단위 2차원 구의 그림으로 돌아가서, 원점을 기준으로 하는 평면의 측지선을 고려하고, 이 측지선을 남극을 기준으로 하는 같은 길이의 2차원 구의 측지선에 매핑한다. 이 사상 아래에서 반경 π|π^영어인 원의 모든 점은 북극으로 보내진다. 열린 단위 원판은 유클리드 평면과 위상동형이므로, 이것은 다시 일점 콤팩트화이다.

3차원 구에 대한 지수 사상도 유사하게 구성된다. 또한 3차원 구가 단위 사원수의 리 군이라는 사실을 사용하여 논의될 수 있다.

5. 군 구조

단위 사원수의 집합으로 간주될 때, 3차원 초구()는 사원수 곱셈이라는 중요한 구조를 상속받는다. 단위 사원수의 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있으므로, 3차원 초구는 군의 구조를 갖는다. 사원수 곱셈은 매끄러운 함수이므로, 3차원 초구는 실수 리 군으로 간주될 수 있다. 이는 3차원 비가환 콤팩트 리 군이다. 리 군으로 생각할 때, 3차원 초구는 종종 Sp(1) 또는 U(1, H)로 표시된다.

리 군 구조를 허용하는 유일한 초구는 S¹ (단위 복소수의 집합)와 S³ (단위 사원수의 집합)이다. 실수 1과 −1로 구성된 퇴화된 경우 S⁰도 리 군이지만 0차원이다. 옥토니언의 집합인 S⁷은 옥토니언 곱셈이 비결합적이므로 리 군을 형성하지 못한다. 평행화 가능한 유일한 구는 S¹, S³, S⁷이다.

사원수의 행렬 표현을 사용하여 3차원 초구(S³)의 행렬 표현을 얻을 수 있다. 한 가지 편리한 선택은 파울리 행렬로 주어지는 다음과 같다.

: $x_1 + x_2i + x_3j + x_4k \mapsto \begin{pmatrix} \; x_1 + ix_2 & x_3 + ix_4 \\ -x_3 + ix_4 & x_1 - ix_2 \end{pmatrix}.$

이 맵은 사원수 집합(H)에서 2 × 2 복소 행렬의 집합으로의 단사 함수 대수 준동형사상을 제공한다. 이는 사원수 q의 절댓값이 q의 행렬 이미지의 행렬식의 제곱근과 같다는 속성을 갖는다.

단위 사원수의 집합은 단위 행렬식을 갖는 위의 형태의 행렬로 주어지며, 이 행렬 부분군은 특수 유니타리 군 SU(2)이다. 따라서, 리 군으로서의 3차원 초구(S³)는 SU(2)와 동형이다.

호프 좌표 (η, ξ₁, ξ₂)를 사용하여 SU(2)의 임의의 원소를 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

: $\begin{pmatrix} e^{i\xi_1}\sin\eta & e^{i\xi_2}\cos\eta \\ -e^{-i\xi_2}\cos\eta & e^{-i\xi_1}\sin\eta \end{pmatrix}.$

SU(2)의 원소의 행렬 표현을 파울리 행렬의 선형 결합의 지수로 나타낼 수도 있다. 임의의 원소 U ∈ SU(2)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $U = \exp\left(\sum_{i=1}^3 \alpha_i J_i\right).$ ^[4]

U의 행렬식이 +1이라는 조건은 계수 α_i가 3차원 구에 놓여야 함을 의미한다.

참조

_[1] 논문 Quaternions et espace elliptique Pontifical Academy of Sciences 1948
_[2] 서적 Classical Theory of Fields https://books.google[...] Nauka (publisher)
_[3] 웹사이트 The Flat Torus in the Three-Sphere http://www.geom.uiuc[...]
_[4] 서적 Physics from symmetry Springer 2015
_[5] 논문 Dante and the 3-sphere http://link.aip.org/[...] 1979
_[6] 서적 General Relativity: The Essentials https://books.google[...] Cambridge University Press 2021-09-09
_[7] 서적 Art meets mathematics in the fourth dimension https://www.springer[...] Springer 2014
_[8] 웹사이트 Glome 2017-12-04
_[9] 간행물 Quaternions et espace elliptique Pontifical Academy of Sciences 1948
_[10] 웹사이트 The Flat Torus in the Three-Sphere http://www.geom.uiuc[...] 2018-11-12
_[11] 저널 Generating uniform incremental grids on SO(3) using the Hopf fibration http://msl.cs.uiuc.e[...] 2010-06

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