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W-대수

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목차

1. 개요

W-대수는 메로모픽 장의 모드에 의해 생성되는 결합 대수로, 에너지-운동량 텐서를 포함한다. W-대수는 비라소로 대수를 포함하며, 스핀 3의 W-대수와 일반적인 스핀을 가진 W-대수, 그리고 무한 스핀 W-대수로 확장될 수 있다. W-대수는 드린펠트-소콜로프 축소, 코셋 구성, 스크리닝 전하 등의 방법으로 구성되며, W(N) 대수, W(3) 대수와 같은 구체적인 형태를 갖는다. W-대수의 표현론은 최고 무게 표현과 퇴화 표현을 포함하며, 상관 함수는 Ward 항등식과 미분 방정식을 따른다. W-대수는 W-최소 모형, 컨포멀 토다 이론, 로그 등각장론 등 등각장론에 응용되며, 고전 W-대수, 유한 W-대수와 같은 관련 개념이 존재한다.

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W-대수
W-대수
유형연관 대수
분야수학, 물리학
관련 개념비라소로 대수, 등각 장론

2. 정의

W-대수는 에너지-운동량 텐서 T(z)=W^{(2)}(z) (스핀 2)를 포함하여, 유한 개의 메로모픽(meromorphic) 장 W^{(h)}(z)들의 모드(mode)로 생성되는 결합 대수이다. 여기서 h는 해당 장의 스핀을 나타내며, h\neq 2인 경우 W^{(h)}(z)는 컨포멀 차원 h \in \frac{1}{2}\mathbb{N}^*를 가지는 기본 장(primary field)이다.[13]

대수의 생성자(generator) (W^{(h)}_n)_{n\in\mathbb{Z}}는 각 메로모픽 장의 모드 전개(mode expansion)를 통해 정의된다.

: W^{(h)}(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} W^{(h)}_n z^{-n-h}

특히, L_n = W^{(2)}_n 생성자들의 교환 관계는 비라소로 대수를 정의하며, 이는 중심 전하 c \in \mathbb{C}라는 매개변수를 가진다. 이 c 값은 해당 W-대수의 중심 전하라고도 불린다. 다른 생성자들과 L_m 사이의 교환 관계는 다음과 같다.

: [L_m, W^{(h)}_n] = ((h-1)m-n)W^{(h)}_{m+n}

이 관계는 W^{(h)}(z)가 컨포멀 차원 h의 기본 장이라는 가정과 동등하다.

나머지 생성자들 사이의 교환 관계는 원칙적으로 야코비 항등식을 이용하여 결정할 수 있다.

주어진 유한한 컨포멀 차원 집합 H (반드시 서로 다른 값일 필요는 없음)에 대해, 해당 장들 (W^{(h)})_{h\in H}로 생성되는 W-대수는 존재하지 않을 수도 있고, 하나 또는 그 이상 존재할 수도 있다. 또한, 결과적인 W-대수는 모든 중심 전하 c \in \mathbb{C} 값에 대해 존재할 수도 있지만, 특정 c 값에 대해서만 존재할 수도 있다.[13]

생성자들이 정의된 교환 관계 외에 다른 추가적인 관계를 만족하지 않을 때, 해당 W-대수를 '''자유 생성'''(freely generated)되었다고 한다. 가장 흔하게 연구되는 W-대수들, 예를 들어 W_N 대수들은 자유 생성되는 경우이다.[1] 이 문서의 표현론 및 상관 함수에 대한 논의는 주로 이러한 자유 생성된 W-대수에 적용된다.

2. 1. 비라소로 대수 (스핀 2)

스핀 2인 경우, W-대수 W_2는 '''비라소로 대수'''라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 T(z)에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개(OPE)는 다음과 같다.

:T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac12cz^{-4}

여기서 c는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하(central charge)가 된다.

2. 2. 스핀 3

스핀 3의 W-대수 W_3는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견했다.[18] 이 대수는 스핀 2의 정칙 1차장 T(z)(에너지-운동량 텐서)와 스핀 3의 정칙 1차장 W(z)를 포함한다. 이들 사이의 연산자 곱 전개(OPE)는 다음과 같다.

:T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac12cz^{-4}

:T(z+w)W(w)=z^{-1}\partial W(w)+3z^{-2}W(w)

:W(z)W(w)=\frac{16}{22+5c}\left(z^{-1}\partial\Lambda+2z^{-2}\Lambda\right)+\frac1{15}\left(z^{-1}\partial^3T(w)+\frac92z^{-2}\partial^2T(w)+15z^{-3}\partial T(w)+30z^{-4}T(w)\right)+\frac13cz^{-6}

여기서 \Lambda는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

:\Lambda(z)=:TT:(z)-\frac3{10}\partial^2T(z)

위 식에서 :\cdots:는 표준 순서를 나타낸다.

W_3 대수에도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.[15]

:c=2\left(1-\frac{12}{(k+3)(k+4)}\right)

:k=1,2,3,\dots

특히, k=1일 때 중심 전하는 c=4/5가 되는데, 이는 임계 3상태 포츠 모형에 해당하며, m=5인 비라소로 최소 모형과 동일하다.

2. 3. 일반적인 스핀

일반적으로, 모든 정수 N\ge 2에 대하여, 스핀-N W-대수 W_N이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개(OPE)는 매우 복잡하다.

W-대수 W_N은 총 N-1개의 정칙 연산자들 T, W^{(3)}, W^{(4)}, \dots, W^{(N)}을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 2, 3, \dots, N이다. 이 중 에너지-운동량 텐서에 해당하는 T와 W^{(3)}는 1차 연산자이지만, W^{(4)}, W^{(5)}, \dots, W^{(N)}는 quasiprimary operator|준1차 연산자eng이다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다. (상수 계수, (z-w)^{-k} 및 \partial^k 등의 세부 표기는 일부 생략)

:T(z)T(w) \sim \frac{c/2}{(z-w)^4} + \frac{2T(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T(w)}{z-w} + \dots

:T(z)W^{(s)}(w) \sim \frac{s W^{(s)}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial W^{(s)}(w)}{z-w} + \dots + W^{(s-2)}(w) + W^{(s-4)}(w) + \dots \qquad (s=3,\dots,N)

:W^{(s)}(z)W^{(s')}(w) \sim \dots + W^{(s+s'-2)}(w) + W^{(s+s'-4)}(w) + \dots + c \delta_{ss'} \dots \qquad (s, s'=3,\dots,N)

여기서 c는 비라소로 대수의 중심 전하(central charge)이며, \delta_{ss'}는 크로네커 델타이다. \dots는 정칙적이거나 덜 특이한(less singular) 항들을 나타낸다. 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 (z-w)^{-k} 및 \partial^k와 같은 세부적인 부분을 생략하였다. 특히 W^{(s)}(z)W^{(s')}(w)의 OPE는 다른 W 연산자들의 조합과 그 미분 항들을 포함하는 복잡한 구조를 가진다.

2. 4. 무한 스핀 W-대수

유한한 N에 대한 W_N 대수 외에도, 무한한 스핀을 포함하는 W-대수가 존재한다. 대표적으로 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 W_\infty와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 W_{1+\infty}가 있다.[16]

3. 구성 방법

W-대수는 몇 개의 메로모픽 장 W^{(h)}(z)의 존재를 가정하고 야코비 항등식을 풀어 구성할 수 있지만, W-대수족을 체계적으로 구성하는 방법도 존재한다.

3. 1. 드린펠트-소콜로프 축소 (Drinfeld-Sokolov reduction)

유한 차원 리 대수 \mathfrak{g}와 \mathfrak{sl}_2의 포함 관계 \mathfrak{sl}_2\hookrightarrow\mathfrak{g}로부터, 일종의 BRST 구성을 통해 아핀 리 대수 \hat{\mathfrak{g}}의 보편 포락 대수로부터 W-대수를 구성할 수 있다.[13] 이때 W-대수의 중심 전하는 아핀 리 대수의 레벨의 함수이다.

3. 2. 코셋 구성 (Coset construction)

유한 차원의 리 대수 \mathfrak{g}와 그 부분 대수 \mathfrak{h}\hookrightarrow\mathfrak{g}가 주어지면, 해당 아핀 리 대수 \hat\mathfrak{h}\hookrightarrow\hat\mathfrak{g}로부터 W-대수 W(\hat\mathfrak{g}/\hat\mathfrak{h})를 구성할 수 있다. W(\hat\mathfrak{g}/\hat\mathfrak{h})를 생성하는 장들은 \hat\mathfrak{g}의 전류와 그 도함수의 다항식으로, \hat\mathfrak{h}의 전류와 가환한다.[13] W(\hat\mathfrak{g}/\hat\mathfrak{h})의 중심 전하는 \hat{\mathfrak{g}}와 \hat{\mathfrak{h}}의 중심 전하의 차이이며, 이는 스가와라 구성에 의해 수준으로 주어진다.

3. 3. 스크리닝 전하 (Screening charge)

정수값을 갖는 정칙장 \phi(z)가 \mathbb{R}^n에 대해 주어지고, n개의 벡터 집합 a_1,\dots, a_n \in \mathbb{R}^n이 주어졌다고 가정하자. 이때, W-대수는 \phi와 그 도함수들의 다항식 중에서 스크리닝 전하 \oint e^{(a_i,\phi(z))}dz와 교환하는 것들로 정의될 수 있다. 만약 벡터 a_i가 리 대수 \mathfrak{g}의 단순근이라면, 이렇게 정의된 W-대수는 Drinfeld-Sokolov 감소를 통해 \mathfrak{g}로부터 얻어지는 대수와 동일하다.[5]

4. W(N) 대수

정수 N\geq 2에 대해, W(N) 대수는 차원이 2,3,\dots, N인 N-1개의 메로모픽 장(meromorphic field)으로 생성되는 W-대수이다. W(2) 대수는 비라소로 대수와 일치한다.

4. 1. 구성

W(N) 대수는 아핀 리 대수 \widehat{\mathfrak{sl}}_N의 드린펠트-소콜로프 축소를 통해 얻어진다.

\mathfrak{sl}_2\hookrightarrow \mathfrak{sl}_N의 임베딩은 \mathfrak{sl}_N의 기본 표현 F를 \mathfrak{sl}_2의 표현으로 분해하는 것으로 해석되는 N의 정수 분할에 의해 매개변수화된다. 결과 W-대수의 생성자 차원 집합 H는 F\otimes F = R_1 \oplus \bigoplus_{h\in H} R_{2h-1}를 만족하며, 여기서 R_d는 \mathfrak{sl}_2의 d 차원 기약 표현이다.[10]

자명한 분할 N=N은 W(N) 대수에 해당하고, N=1+1+\dots + 1은 \widehat{\mathfrak{sl}}_N 자체에 해당한다. N=3인 경우, 분할 3=2+1은 생성장이 차원 2,\frac32,\frac32,1을 갖는 베르샤츠키-폴리야코프 대수로 이어진다.

4. 2. 성질

W(N) 대수의 중심 전하는 아핀 리 대수의 레벨 k를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: c_{W(N)} = (N-1)\left(1-N(N+1)\left(\frac{1}{k+N}+k+N-2\right)\right)



참고로, 아핀 리 대수의 중심 전하는 다음과 같다.

:

c_{\widehat{\mathfrak{sl}}_N} = (N-1)(N+1) - \frac{N(N-1)(N+1)}{k+N}



변환 W^{(h)} \to (-1)^h W^{(h)}에 대해 교환 관계가 변하지 않는 기저를 선택하는 것이 가능하다.

비라소로 대수는 \widehat{\mathfrak{sl}}_2의 보편 포락 대수의 부분 대수이지만, N\geq 3인 W(N) 대수는 \widehat{\mathfrak{sl}}_N의 보편 포락 대수의 부분 대수가 아니다.[11]

4. 3. W(3) 대수의 예시

W(3) 대수는 비라소로 대수의 생성원 (L_n)_{n\in\mathbb{Z}}과 다른 무한 개의 생성원 (W_n)_{n\in\mathbb{Z}}=(W^{(3)}_n)_{n\in\mathbb{Z}}에 의해 생성된다. 교환 관계는 다음과 같다.[13]

: [L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} +\frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}

:

[L_m, W_n] = (2m-n)W_{m+n}



:

[W_m, W_n] = \frac{c}{360} m(m^2-1)(m^2-4) \delta_{m+n,0} +\frac{16}{22+5c}\Lambda_{m+n}

+ \frac{(m-n)(2m^2-mn+2n^2-8)}{30} L_{m+n}



여기서 c\in\mathbb{C}는 중심 전하이고, 우리는 다음과 같이 정의한다.

:\Lambda_n = \sum_{m=-\infty}^{-2}L_mL_{n-m} +\sum_{m=-1}^\infty L_{n-m}L_m -\frac{3}{10}(n+2)(n+3)L_n

장 \Lambda(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\Lambda_n z^{-n-4}는 \Lambda = (TT) - \frac{3}{10} T'' 를 만족한다.

5. 표현론

W-대수의 표현론은 이 대수가 벡터 공간 위에 어떻게 작용하는지를 연구하는 분야이다. 주로 최고 무게 표현을 중심으로 연구가 진행되는데, 이는 특정 조건을 만족하는 '최고 무게 벡터'로부터 생성되는 표현을 의미한다. 가장 기본적인 최고 무게 표현의 예시로는 베르마 모듈이 있다.

하지만 대수의 중심 전하와 최고 무게 벡터의 전하 값에 따라 특별한 상황이 발생하기도 한다. 베르마 모듈이 더 작은 부분 공간으로 나뉠 수 있는 경우(가약적인 경우), 퇴화 표현이라고 불리는 다른 종류의 중요한 표현들이 나타난다. 이는 베르마 모듈 내부에 존재하는 '널 벡터'와 밀접한 관련이 있다.

특히 W(N) 대수와 같이 구체적인 형태의 W-대수에 대해서는 표현론 연구가 더 깊이 진행되었다. 이 경우, \mathfrak{sl}_N 리 대수의 이론과 밀접하게 연관되며, 표현을 분류하고 이해하는 데 '운동량'이라는 개념이 중요한 역할을 한다.

각 표현의 구체적인 정의, 구조, 그리고 중요한 예시들은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

5. 1. 최고 무게 표현 (Highest weight representation)

W-대수의 최고 무게 표현은 특정 조건을 만족하는 기본 상태 v로부터 생성되는 표현이다. 이 기본 상태 v는 모든 h와 양의 정수 n에 대해 다음 조건을 만족한다.

: W^{(h)}_{n}v=0 \quad , \quad W^{(h)}_0v = q^{(h)} v

여기서 q^{(h)}는 해당 표현의 전하(charge)라고 불리는 복소수 값이다. 특히, q^{(2)}는 표현의 컨포멀 차원이며, 보통 \Delta로 표기한다.

주어진 전하 집합 \vec{q}=(q^{(h)})_{h\in H}에 대해, 이 전하들을 갖는 기본 상태 v로 생성되는 가장 큰 최고 무게 표현을 베르마 모듈이라고 한다. 베르마 모듈의 기저는 다음과 같은 형태의 벡터들로 구성된다.

:

\left\{ \prod_{h\in H} W^{(h)}_{-\vec{N}_h} v \right\}_{\vec{N}_h\in \mathcal{V}}



여기서 \mathcal{V}는 \vec{N} = (n_1,n_2,\dots,n_p) 형태의 엄격하게 양수인 정수들의 순서화된 튜플 집합이며, 0 조건을 만족한다. W_{-\vec{N}} = W_{-n_1}W_{-n_2}\dots W_{-n_p}로 정의된다. 기본 상태 v 자체를 제외한 이 기저의 벡터들이나 그들의 선형 결합을 자손 상태(descendant state)라고 부른다.

일반적인 전하 값에 대해서는 베르마 모듈이 유일한 최고 무게 표현이다. 하지만 대수의 중심 전하 c 값에 따라 결정되는 특별한 전하 값에 대해서는 다른 종류의 최고 무게 표현이 존재할 수 있는데, 이를 축퇴 표현(degenerate representation)이라고 한다. 축퇴 표현은 베르마 모듈이 더 작은 부분 모듈(submodule)을 포함하여 분해될 수 있는 경우, 즉 베르마 모듈이 가약적(reducible)일 때 나타난다. 이 경우 축퇴 표현은 베르마 모듈을 그 부분 모듈로 나눈 몫(quotient)으로 얻어진다.

5. 2. 퇴화 표현 (Degenerate representation)

만약 베르마 가환 모듈이 더 작은 부분으로 나눌 수 있는 경우(가약적인 경우), 그 안에는 더 이상 나눌 수 없는(기약적인) 부분 모듈이 존재한다. 이 부분 모듈은 '널 상태' 또는 '널 벡터'라고 불리는 특별한 상태로부터 만들어지는데, 이 상태는 어떤 연산을 통해 얻어진 상태(파생 상태)이면서 동시에 가장 기본적인 상태(기본 상태)이다. 퇴화 표현은 이러한 널 벡터 중 하나 이상을 0으로 설정하여 얻어진다. 만약 가능한 모든 널 벡터를 0으로 만들면, 더 이상 나눌 수 없는 기약 표현이 된다.

기약 표현의 구조와 문자는 아핀 리 대수의 표현으로부터 드린펠트-소콜로프 축약이라는 방법을 통해 알아낼 수 있다.[2]

널 벡터는 아무 때나 존재하는 것이 아니라, 전하 \vec{q}와 중심 전하 c 값에 따라 특정 조건이 만족될 때만 나타난다. 하나의 베르마 가환 모듈 안에는 다른 널 벡터로부터 파생되지 않은, 독립적인 널 벡터가 유한 개만 존재할 수 있다. 가장 많은 수의 널 벡터를 가지는 베르마 가환 모듈에서 시작하여, 이 모든 널 벡터를 0으로 만들면 완전 퇴화 표현이라고 불리는 기약 표현을 얻게 된다.

예를 들어, 대수 W(3)의 경우를 살펴보자. 전하 q^{(2)}=q^{(3)}=0인 베르마 가환 모듈은 레벨 1, 1, 2에서 각각 L_{-1}v, W_{-1}v, W_{-2}v라는 세 개의 널 벡터를 가진다. 이 세 널 벡터를 모두 0으로 설정하면 '진공 모듈'이라고 하는 완전 퇴화 표현이 만들어진다. W(3) 대수에서 가장 간단하면서도 의미 있는(비자명한) 완전 퇴화 표현은 레벨 1, 2, 3에서 특정 널 벡터들을 0으로 만드는 방식으로 얻어지며, 이 표현의 구체적인 형태는 알려져 있다.[9]

완전 퇴화 표현의 또 다른 중요한 특징은, 어떤 베르마 가환 모듈과 융합 곱(두 표현을 결합하는 연산)을 했을 때, 그 결과가 유한 개의 기약 표현들의 합으로 나타난다는 점이다.[9]

5. 3. W(N)의 경우

최고차 표현은 전하 집합 \vec{q}=(q^{(2)},\dots, q^{(N)}) 대신, '운동량'이라고 불리는 \mathfrak{sl}_N의 가중 공간 원소 P로 나타내는 것이 더 편리하다.

\mathfrak{sl}_N의 단순 근을 e_1,\dots, e_{N-1}이라고 하자. 이 단순 근들 사이에는 카르탄 행렬 K_{ij}=(e_i,e_j)로 주어지는 스칼라 곱이 정의되며, 0이 아닌 성분은 K_{ii}=2, K_{i,i+1}=K_{i,i-1}=-1이다. 양의 근은 총 \frac12 N(N-1)개 있으며, 이는 연속된 단순 근들의 합으로 표현된다. 바일 벡터 \rho는 모든 양의 근의 합의 절반, 즉 \rho =\frac12 \sum_{e>0} e로 정의되고, (\rho,\rho)=\frac{1}{12} N(N^2-1)을 만족한다. 기본 가중치 \omega_1,\dots, \omega_{N-1}는 (\omega_i,e_j)=\delta_{ij} (\delta_{ij}는 크로네커 델타) 관계를 만족하도록 정의된다. 이를 이용하여 운동량 P는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: P = \sum_{i=1}^{N-1} P_i\omega_i \quad \text{즉,} \quad (e_i,P)=P_i

전하 q^{(h)}는 운동량 P와 중심 전하 c의 함수이며, 바일 군의 작용에 대해 변하지 않는다. 특히, q^{(h)}는 운동량에 대해 차수가 h인 다항식이며, 딘킨 도표 자기동형사상 e_i^* = e_{N-i}에 대해 q^{(h)}(P^*) = (-1)^h q^{(h)}(P)와 같이 변환된다. 등각 차원(conformal dimension) q^{(2)}는 다음과 같다.[8]

: q^{(2)} = \frac{c+1-N}{24} - (P, P)

중심 전하 c는 다음과 같이 매개변수 b를 사용하여 나타낼 수 있다.

: c= (N-1)\big(1+N(N+1)\left(b+b^{-1}\right)^2\big)

만약 어떤 양의 근 e>0와 두 양의 정수 r,s\in\mathbb{N}^*가 존재하여 다음 조건을 만족하면,[8]

: (e, P)=rb+sb^{-1}

운동량 P를 갖는 베르마 가군(Verma module)은 레벨(level) rs에서 널 벡터(null vector)를 가진다. 이 널 벡터는 그 자체로 운동량이 P-rbe (또는 바일 반사를 통해 동등하게 P-sb^{-1}e)인 주 상태(primary state)이다.

독립적인 널 벡터의 개수는 (바일 반사를 제외하고) (e,P)\in \mathbb{N}^* b+\mathbb{N}^*b^{-1} 조건을 만족하는 양의 근 e의 개수와 같다.

널 벡터의 최대 개수는 양의 근의 총 개수인 \frac12N(N-1)이다. 이러한 최대 개수의 널 벡터를 가지는 경우, 해당 운동량 P는 다음과 같은 형태를 가진다.[8]

:P =(b+b^{-1})\rho +b\Omega^+ +b^{-1} \Omega^-

여기서 \Omega^+와 \Omega^-는 우세 가중치이다. 즉, 이들은 \sum_{i=1}^{N-1}\mathbb{N}\omega_i의 원소이며, \mathfrak{sl}_N의 기약 유한 차원 표현의 최고 가중치에 해당한다. 이러한 운동량에 대응하는 W(N) 대수의 표현을 '완전 축퇴 표현'(fully degenerate representation)이라고 하며, \mathcal{R}_{\Omega_+,\Omega_-}로 표기한다.

최고 가중치 \Omega를 갖는 \mathfrak{sl}_N의 기약 유한 차원 표현 R_\Omega는 유한한 가중치 집합 \Lambda_\Omega를 가지며, 이 집합의 크기 |\Lambda_\Omega|는 표현 R_\Omega의 차원 \dim(R_\Omega)과 같다. 가중치 p\in \sum_{i=1}^{N-1} \mathbb{R}\omega_i를 갖는 베르마 가군 V_p와 표현 R_\Omega의 텐서 곱은 다음과 같이 분해된다: R_\Omega \otimes V_p = \bigoplus_{\lambda\in \Lambda_\Omega} V_{p+\lambda}. W(N)의 완전 축퇴 표현 \mathcal{R}_{\Omega_+,\Omega_-}과 운동량 P를 갖는 베르마 가군 \mathcal{V}_P의 융합 곱(fusion product)은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathcal{R}_{\Omega_+,\Omega_-}\times \mathcal{V}_P = \sum_{\lambda_+\in \Lambda_{\Omega_+}}\sum_{\lambda_-\in \Lambda_{\Omega_-}} \mathcal{V}_{P+b\lambda_++b^{-1}\lambda_-}


6. 상관 함수

W-대수에서 상관 함수는 이론의 구조와 동역학을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 상관 함수는 여러 장들의 기댓값을 나타내며, 이를 계산하고 분석하기 위해 다양한 개념과 기법이 동원된다.

상관 함수 계산의 기본 요소는 기본 장이다. 기본 장은 특정 대칭성을 따르는 가장 기본적인 필드로, 다른 장들과의 상호작용은 연산자 곱 전개(OPE)를 통해 기술된다. 이러한 OPE는 상관 함수를 계산하는 데 필수적인 정보를 제공한다.

W-대수의 대칭성은 상관 함수에 대한 강력한 제약 조건인 Ward 항등식으로 나타난다. 전역 및 국소 Ward 항등식은 상관 함수가 만족해야 하는 관계식을 제공하며, 이를 통해 복잡한 상관 함수를 더 단순한 형태로 표현하거나 계산할 수 있다. 특히, 높은 차수 모드의 작용을 낮은 차수 모드의 작용으로 환원시키는 데 유용하다. 하지만 Virasoro 대수의 경우와 달리, W-대수에서는 Ward 항등식만으로는 모든 상관 함수를 완전히 결정하지 못할 수도 있다.

특수한 경우, 예를 들어 상관 함수에 포함된 장 중 일부가 특정 조건을 만족하는 경우(소멸 영 벡터를 갖는 경우), 상관 함수는 미분 방정식을 만족하게 된다. 이는 2차원 등각장론에서 잘 알려진 BPZ 방정식을 일반화한 것으로, 상관 함수의 구체적인 함수 형태를 결정하는 데 중요한 도구가 된다.

6. 1. 기본 장 (Primary field)

전하량의 기본 상태 \vec{q}=(q^{(h)})_{h\in H}에 대해, 상태-장 대응은 기본 장 V_{\vec{q}}(z)을 연관시킨다. 이 기본 장은 장 W^{(h)}(z)과의 연산자 곱 전개(OPE)가 다음과 같이 주어진다.

:

W^{(h)}(y)V_{\vec{q}}(z) = \left(\frac{q^{(h)}}{(y-z)^h} + \sum_{n=1}^{h-1} \frac{W^{(h)}_{-n}}{(y-z)^{h-n}}\right) V_{\vec{q}}(z) + O(1)



어떤 장 V(z)에 대해, 에너지-운동량 텐서의 모드 L_{-1}은 미분 연산자로 작용한다. 즉, L_{-1}V(z) = \frac{\partial}{\partial z} V(z)이다.

6. 2. Ward 항등식

리만 구에서 무한대에 장(W^{(h)}(y))이 존재하지 않는다고 가정하면, 장은 무한대에서 다음과 같은 점근적 행동을 보인다.

W^{(h)}(y)\underset{y\to \infty}{=} O\left(y^{-2h}\right)

여기서 h는 장의 등각 가중치(conformal weight)이다. 이 조건을 이용하면, n=0,1,\dots, 2h-2에 대해 다음 항등식이 성립한다.

\oint_\infty dy\ y^nW^{(h)}(y)=0

이 항등식은 임의의 상관 함수 계산에 적용될 수 있으며, 결과적으로 장 W^{(h)}(y)는 2h-1개의 전역 Ward 항등식을 생성한다.
국소 Ward 항등식은 무한대에서 \varphi(y)\underset{y\to \infty}{=} O\left(y^{2h-2}\right) 조건을 만족하는 유수 함수 \varphi(y)를 사용하여 다음 적분 항등식을 상관 함수에 적용함으로써 얻어진다.

\oint_\infty dy\ \varphi(y)W^{(h)}(y)=0

기본 장(primary field)들의 상관 함수에서 국소 Ward 항등식은 n\geq h인 모드 W^{(h)}_{-n}의 작용을 n\leq h-1인 모드 W^{(h)}_{-n}의 작용으로 나타낼 수 있게 해준다. 즉, 높은 차수의 모드 작용을 낮은 차수의 모드 작용으로 환원시킨다.

예를 들어, W(3) 대수에서 세 개의 기본 장 V_{\vec{q}_i}(z_i) (i=1, 2, 3)으로 구성된 삼점 함수 \left\langle\prod_{i=1}^3 V_{\vec{q}_i}(z_i)\right\rangle를 생각해 보자. 이 경우 국소 Ward 항등식은 모든 자손 장(descendant field)을 포함하는 삼점 함수를 오직 L_{-1},W_{-1},W_{-2} 모드만을 포함하는 자손 삼점 함수들의 선형 결합으로 표현할 수 있게 한다. 더 나아가 전역 Ward 항등식은 문제를 k\in \mathbb{N}에 대해 \left\langle V_{\vec{q}_1}(z_1)V_{\vec{q}_2}(z_2)W_{-1}^k V_{\vec{q}_3}(z_3)\right\rangle 형태의 삼점 함수를 결정하는 것으로 축소시킨다.

그러나 일반적인 W-대수에서는 Virasoro 대수의 경우와 달리, 자손 장의 상관 함수를 Ward 항등식만을 사용하여 기본 장의 상관 함수로부터 완전히 결정할 수는 없다. 예를 들어 W(3) 대수에서, W(3)-Verma 가군은 일반적으로 두 개의 다른 W(3)-Verma 가군의 융합 곱(fusion product)에서 무한한 중복도(multiplicity)를 가지고 나타난다. 이는 Virasoro 대수와 구별되는 W-대수의 중요한 특징 중 하나이다.

6. 3. 미분 방정식

상관 함수는 장이 충분히 많은 소멸 영 벡터를 갖는 경우 BPZ 방정식을 일반화하는 미분 방정식을 따를 수 있다.

구면 위의 W(N) - 기본장의 4점 함수는 N=2인 경우 미분 방정식을 따르지만 N\geq 3인 경우에는 그렇지 않다. 후자의 경우, 미분 방정식이 존재하려면 다른 장 중 하나가 소멸 영 벡터를 가져야 한다. 예를 들어, 두 장의 운동량이 P_1 = (b+b^{-1})\rho + b\omega_1 (완전 축퇴) 및 P_2 = (b+b^{-1})\rho + x\omega_{N-1}이고 x\in \mathbb{C}인 4점 함수(거의 완전 축퇴)는 해가 {}_NF_{N-1} 유형의 일반화된 초 기하 함수인 미분 방정식을 따른다.[7]

7. 등각장론에의 응용

W-대수는 등각장론의 다양한 분야에서 중요한 도구로 활용된다. 주요 응용 분야는 다음과 같다.


  • '''W-최소 모형''': 비라소로 최소 모형을 W-대수를 이용하여 일반화한 것이다. 특정 중심 전하 값을 가질 때 존재하며, 상태 공간은 유한한 수의 표현으로 구성된다.
  • '''컨포멀 토다 이론''': 리우빌 이론을 W-대수를 기반으로 일반화한 이론이다. 주어진 단순 리 대수와 관련된 장(field)들의 상호작용을 다루며, 그 대칭성은 W-대수에 의해 기술된다.
  • '''로그 등각장론''': 특정 중심 전하 조건 하에서 비라소로 대수를 확장하여 얻어지는 W-대수를 기반으로 구축되는 등각장론의 한 종류이다.

7. 1. W-최소 모형 (W-minimal model)

W-최소 모형은 W-대수를 기반으로 하는 비라소로 최소 모형을 일반화한 것이다. 이 모형의 상태 공간은 유한한 개수의 완전히 퇴화된 표현들로 이루어진다. W-최소 모형은 중심 전하가 특정한 유리수 값을 가질 때 존재한다. W(N) 대수의 경우, 중심 전하는 다음과 같은 형태의 값을 가진다.

: c^{(N)}_{p, q} = N-1 - N(N^2-1)\frac{(p-q)^2}{pq} \quad \text{with} \quad p,q\in\mathbb{N}^*

여기서 p, q는 양의 정수이다.

중심 전하 c_{k+N,k+N+1}를 가지는 W(N)-최소 모형은 베스-주미노-위튼 모형 \frac{SU(N)_k\times SU(N)_1}{SU(N)_{k+1}}의 코셋(coset)으로 구성될 수 있다.[6]

예를 들어, 2차원 임계 3-상태 포츠 모형은 중심 전하 c^{(2)}_{5,6}=c^{(3)}_{4,5}=\frac45를 가진다. 이 모형의 스핀 관측량은 (p,q) = (5,6)인 D-계열 비대각선 비라소로 최소 모형 또는 (p,q)=(4,5)인 대각선 W(3)-최소 모형으로 설명될 수 있다.

7. 2. 컨포멀 토다 이론 (Conformal Toda theory)

컨포멀 토다 이론은 리우빌 이론을 W-대수를 기반으로 하여 일반화한 이론이다. 이 이론은 주어진 단순 리 대수 \mathfrak{g}를 바탕으로 한다. 이론의 라그랑지안은 \mathfrak{g}의 근 공간에 속하는 장(field) \phi의 함수로 표현되며, 각각의 단순 근에 해당하는 상호작용 항을 포함한다. 라그랑지안은 다음과 같이 주어진다.

: L[\phi] = \frac{1}{2\pi} (\partial \phi,\bar\partial\phi) + \mu \sum_{e\in \{\text{simple roots of } \mathfrak{g}\}} \exp\left(b(e,\phi)\right)



여기서 \mu는 우주 상수를 나타내며, 이론에서 큰 의미를 가지지는 않는다. b는 중심 전하와 관련된 매개변수이다. 이 라그랑지안으로부터 유도되는 장론은 등각 장론이며, 이 이론의 카이랄 대칭 대수는 Drinfeld-Sokolov 축소 과정을 통해 \mathfrak{g}로부터 구성되는 W-대수이다.

양자론의 관점에서 컨포멀 대칭을 유지하기 위해서는, 벡터 \phi의 성분 수보다 상호작용 항의 수가 많지 않아야 한다는 조건이 중요하다.[5]

리우빌 이론을 해결하는 데 사용된 방법들을 W(N)-컨포멀 토다 이론에도 적용할 수 있다. 하지만 이 방법들은 특정 종류의 삼점 구조 상수를 해석적으로 결정하는 데까지만 유효하며,[7] N\geq 3인 경우의 W(N)-컨포멀 토다 이론은 아직 완전히 해결되지 않았다.

7. 3. 로그 등각장론 (Logarithmic conformal field theory)

중심 전하 c=c^{(2)}_{1,q}인 특정 조건에서, 비라소로 대수는 차원이 2q-1인 세 개의 생성자를 통해 확장될 수 있다. 이렇게 확장된 대수는 차원 집합 H=\{2,2q-1,2q-1,2q-1\}을 가지는 W-대수를 형성한다. 이 W-대수를 기반으로 하여 로그 등각장론(logarithmic conformal field theory)을 구축하는 것이 가능하다.[4]

가장 간단한 예시는 q=2인 경우로, 이때 중심 전하는 c=-2가 된다. 이 경우는 경계가 있는 상황을 포함하여 여러 측면에서 상세히 연구되어 왔다.[3]

8. 관련 개념

(내용 없음)

8. 1. 유한 W-대수 (Finite W-algebra)

유한 W-대수는 반단순 리 대수의 멱영 원소와 관련된 특정 결합 대수이다.[12]

알렉산더 프레멧(Alexander Premet)이 제시한 원래 정의는 복소수 위의 환원 리 대수 \mathfrak{g}와 멱영 원소 ''e''로 구성된 쌍 (\mathfrak{g}, e)에서 시작한다. 야콥슨-모로조프 정리에 따르면, ''e''는 sl2 삼중항 (''e'', ''h'', ''f'')의 일부로 볼 수 있다. ad(''h'')의 고유 공간 분해는 \mathfrak{g}에 \mathbb{Z}-등급을 부여한다:

::\mathfrak{g} = \bigoplus \mathfrak{g} (i).

\chi(x) = \kappa(e,x)라는 규칙에 따라 문자 \chi (즉, \mathfrak{g}에서 자명한 1차원 리 대수로의 준동형 사상)를 정의한다. 여기서 \kappa는 킬링 형식을 나타낸다. 이 문자는 다음 규칙에 의해 -1 등급 부분에 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식 \omega_\chi를 유도한다:

::\omega_\chi (x,y) = \chi ( [x,y] ).

임의의 라그랑주 부분 공간 l을 선택한 후, 수반 표현에 의해 보편 포락 대수 U(\mathfrak{g})에 작용하는 다음 멱영 리 대수 부분 대수 \mathfrak{m}을 정의할 수 있다:

::\mathfrak{m} = l + \bigoplus_{i \leq -2} \mathfrak{g} (i).

\{ x - \chi(x) : x \in \mathfrak{m} \}에 의해 생성된 U(\mathfrak{g})의 왼쪽 아이디얼 I는 \mathfrak{m}의 수반 표현 작용에 대해 불변이다. 간단한 계산을 통해, ad(\mathfrak{m}) 아래에서 몫환 U(\mathfrak{g})/I의 불변량들은 U(\mathfrak{g})로부터 결합 대수 구조를 상속받는다는 것을 알 수 있다. 이 불변 부분 공간 (U(\mathfrak{g})/I)^{\text{ad}(\mathfrak{m})}을 (\mathfrak{g}, e)로부터 구성된 유한 W-대수라고 하며, 일반적으로 U(\mathfrak{g},e)로 표기한다.

참조

[1] 논문 A class of -algebras with infinitely generated classical limit Elsevier BV
[2] 논문 The Kazhdan–Lusztig conjecture for W algebras AIP Publishing
[3] 논문 The logarithmic triplet theory with boundary 2006-11-08
[4] 논문 A rational logarithmic conformal field theory Elsevier BV
[5] 논문 On W algebras commuting with a set of screenings
[6] 논문 Correlators in W N minimal model revisited
[7] 논문 Correlation functions in conformal Toda field theory I 2007-11-05
[8] 논문 Conformal Toda theory with a boundary
[9] 논문 Fusion in the W3 algebra
[10] 논문 Correspondences between WZNW models and CFTs with W-algebra symmetry
[11] 논문 W symmetry in conformal field theory
[12] 서적 Geometric representation theory and extended affine Lie algebras
[13] 서적 Conformal field theories and integrable models (Budapest, 1996) https://kclpure.kcl.[...] Springer-Verlag 1997
[14] 논문 Infinite extra symmetries in two-dimensional conformal quantum field theory
[15] 서적 Introduction to conformal field theory with applications to string theory Springer-Verlag
[16] 저널 Lectures on W algebras and W gravity 1991
[17] 저널 W symmetry in conformal field theory
[18] 저널 Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля http://www.mathnet.r[...] 1985


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