게이지 변환군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 자명한 주다발
- 4.2. 아벨 주다발
참조

1. 개요

게이지 변환군은 게이지 이론에서 중요한 개념으로, 다양한 방식으로 정의되며, 연관 다발, 무한소 게이지 변환, 큰 게이지 변환 등으로 분류된다. 연관 다발을 통해 정의되는 게이지 변환은 함수로 표현될 수 있으며, 무한소 게이지 변환은 게이지장의 변환을 설명하고 게이지 불변성을 유지하는 데 기여한다. 큰 게이지 변환은 작은 게이지 변환으로 연결될 수 없는 변환으로, 게이지장의 위상학적 특성을 변화시키며, 양자 전기역학 및 양자 색역학에서 중요한 역할을 한다. 게이지 변환은 주접속과 주곡률에 영향을 미치며, 양-밀스 라그랑지언의 게이지 불변성을 보장한다. 또한, 큰 게이지 변환은 양자화 과정에서 레벨의 양자화를 결정하는 데 중요한 영향을 미치며, 천-사이먼스 이론과 같은 예시에서 그 중요성이 드러난다.

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게이지 변환군
정의
설명	양-밀스 이론에서 게이지 대칭의 그룹을 나타냄
예시
SU(2)	약력의 게이지 그룹
SU(3)	양자 색역학의 게이지 그룹
U(1)	양자 전기역학의 게이지 그룹

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ , 리 군 $G$ , 그리고 $M$ 위의 $G$ -매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 가 주어졌을 때, $P$ 의 '''게이지 변환'''은 근본적으로 $P$ 의 자기 동형 사상으로 이해할 수 있다.

게이지 변환을 정의하는 데에는 주로 두 가지 접근 방식이 사용된다.

# 특정 조건을 만족하는 매끄러운 함수 $\phi \in \mathcal C^\infty(P,G)$ 를 이용하는 정의.

# 연관 다발 $\operatorname{Ad}(P) = P\times_G G$ 의 매끄러운 단면 $\phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))$ 을 이용하는 정의.

이 두 가지 정의 방식은 서로 동치이다.^[2] 즉, 하나의 방식으로 정의된 게이지 변환은 다른 방식으로도 동일하게 표현될 수 있다.

게이지 변환들은 점별 곱셈(pointwise multiplication) 연산을 통해 서로 결합될 수 있다. 두 게이지 변환 $\phi, \chi$ 의 곱은 $(\phi\chi)(p) = \phi(p)\chi(p)$ 와 같이 정의된다. 이 연산에 대해 게이지 변환들의 집합은 군의 구조를 가지며, 적절한 위상을 부여하면 위상군이 된다. 이 군을 '''게이지 변환군'''이라고 부른다.

2. 1. 함수로서의 정의

매끄러운 다양체

M

, 리 군

G

, 그리고

M

위의

G

-매끄러운 주다발

P\twoheadrightarrow M

가 주어졌다고 하자.

이때,

P

의 '''게이지 변환'''은

P

의 자기 동형 사상이다. 구체적으로는, 매끄러운 함수

:

\phi \in \mathcal C^\infty(P,G)

가운데, 다음의 등변 함수 조건을 만족시키는 함수를 말한다.^[2]

:

\phi(p\cdot g) = g^{-1}\phi(p)g\qquad\forall (p,g) \in P\times G

이는 모든 점

p \in P

와 군 원소

g \in G

에 대해 성립해야 한다. 이 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현할 수 있다.

:

\begin{matrix}P \times G & \overset{(\cdot)}\to & P \\{\scriptstyle\!\!\!\!\!\!(\phi,\operatorname{id})}\downarrow{\scriptstyle\color{White}(\phi,\operatorname{id})\!\!\!\!\!\!} && {\color{White}\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\phi}\downarrow{\scriptstyle\phi\!\!\!\!\!\!} \\G\times G & \underset{\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}\to & G\end{matrix}

두 게이지 변환

\phi

와

\chi

가 있을 때, 이들의 곱은 각 점

p

에서 함수값을 곱하는 방식(점별 곱셈)으로 정의된다.

:

(\phi\chi)(p) = \phi(p)\chi(p)

이 연산에 대해 게이지 변환들의 집합은 군을 이루며, 여기에 적절한 위상을 부여하면 위상군이 된다. 이 군을 '''게이지 변환군'''이라고 부른다.

2. 2. 연관 다발을 통한 정의

다음 요소들이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
리 군 $G$
$G$ -매끄러운 ''G''-주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 연관 다발

\operatorname{Ad}(P) = P\times_G G

을 취할 수 있다. 여기서

G

의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 작용, 즉

g\cdot h = ghg^{-1}

이다.

이 올다발의 매끄러운 단면

:

\phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))

을

P

의 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.^[2]

2. 3. 무한소 게이지 변환

게이지 변환군

\operatorname{Aut}(P) = \Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))

에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발

:

\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak g

의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간인

:

\Gamma^\infty(\operatorname{ad}(P))

이다. 여기서

\mathfrak g

는 구조 군

G

의 리 대수이다.

\mathfrak g

의 리 괄호는

G

의 딸림표현 작용에 대하여 공변적(covariant)이다. 즉, 임의의

g \in G

및

x, y \in \mathfrak g

에 대해 다음 식이 성립한다.

:

[\operatorname{Ad}(g)x,\operatorname{Ad}(g)y] = \operatorname{Ad}(g)[x,y]

이 성질 덕분에, 리 괄호는 단면 공간

\Gamma^\infty(\operatorname{ad}(P))

위에 각 점별(pointwise)로 잘 정의될 수 있으며, 이 공간에 실수 리 대수 구조를 부여한다.

이 리 대수

\Gamma^\infty(\operatorname{ad}(P))

의 원소는 물리적으로 무한소 게이지 변환(infinitesimal gauge transformation^영어)으로 해석될 수 있다. 이는 유한한 게이지 변환에 매우 가까운 변환을 나타낸다.

2. 4. 큰 게이지 변환

게이지 변환군

\operatorname{Aut}(P)

는 위상군이다. 이 위상군에서 연결 성분들이 이루는 군은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\pi_0(\operatorname{Aut}(P)) = \frac{\operatorname{Aut}(P)}{\operatorname{Aut}_0(P)}

이 군

\pi_0(\operatorname{Aut}(P))

을 '''큰 게이지 변환'''(large gauge transformation^영어)의 군이라고 부른다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분인

\operatorname{Aut}_0(P)

에 속하는 원소들을 '''작은 게이지 변환'''(small gauge transformation^영어)이라고 한다.

3. 성질

게이지 변환은 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $G$ -주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 과 관련된 여러 수학적 대상 위에 자연스럽게 작용한다. 대표적으로 연관 벡터 다발의 매끄러운 단면, 주접속, 그리고 주접속의 곡률 위에 작용하며, 이 작용 방식은 해당 대상들의 변환 규칙을 정의한다.

이러한 변환에도 불구하고, 물리적으로 중요한 특정 양들은 게이지 변환 아래에서 변하지 않는 성질, 즉 게이지 불변성을 나타낸다. 예를 들어, 양-밀스 이론의 라그랑지언 밀도는 게이지 불변성을 가진다.

3. 1. 연관 벡터 다발의 단면 위의 작용

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
리 군 $G$
$G$ -매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면,

P

의 '''게이지 변환'''은

P

의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수

:

\phi \in \mathcal C^\infty(P,G)

가운데, 등변 함수 조건

:

\phi(p\cdot g) = g^{-1}\phi(p)g\qquad\forall (p,g) \in P\times G

을 만족시키는 것이다.^[2] 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

:

\begin{matrix}P \times G & \overset{(\cdot)}\to & P \\{\scriptstyle\!\!\!\!\!\!(\phi,\operatorname{id})}\downarrow{\scriptstyle\color{White}(\phi,\operatorname{id})\!\!\!\!\!\!} && {\color{White}\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\phi}\downarrow{\scriptstyle\phi\!\!\!\!\!\!} \\G\times G & \underset{\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}\to & G\end{matrix}

두 게이지 변환

\phi,\chi

는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.

:

(\phi\chi)(p) = \phi(p)\chi(p)

그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 '''게이지 변환군'''이라고 한다.

3. 2. 주접속과 주곡률 위의 작용

매끄러운 다양체

M

위의

G

-주다발

P\twoheadrightarrow M

위의 주접속

A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)

이 주어졌다고 하자.

P

의 게이지 변환

\phi\in\Gamma(\operatorname{Ad}(P))

는 주다발의 자기 동형 사상

:

\phi_\#\colon P\to P

:

\phi_\#\colon p\mapsto p\cdot\phi(p)

를 정의한다. 따라서 게이지 변환은 주접속 위에도 다음과 같이 끌림(pullback)으로 작용한다.

:

\phi\cdot A = \phi_\#^*A

게이지 변환군은 주접속

A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)

의 곡률

F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)

위에도 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.

:

F \mapsto \phi_\#^* F

반면, 예를 들어 킬링 형식

B(-,-)

및 준 리만 계량

g

에 대하여, 양-밀스 라그랑지언

B(F,F^\#) \in \Omega^0(M)

는 게이지 변환에 대해 불변이다 (즉, 게이지 불변성을 가진다).

3. 3. 큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화

어떤 작용

S

가 게이지 변환

\phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))

에 대하여 다음과 같은 형태로 변환한다고 하자.

:

\frac1{2\pi}S \mapsto \frac1{2\pi}S + \sum_i \int_M F_i \wedge \phi^*\alpha_i

여기서

\alpha_i \in \Omega^{d_i}(G)

는 리 군

G

위의

d_i

차 미분 형식이고 켤레 변환(

h\mapsto ghg^{-1}

)에 대해 불변하며 닫혀있다(

\mathrm d\alpha_i = 0

). 또한

F_i \in \Omega^{n-d_i}(M)

는 매끄러운 다양체

M

위의

(n-d_i)

차 닫힌 형식(

\mathrm dF_i = 0

)이다.

\alpha_i

의 당김은 켤레 변환 불변성 덕분에

\operatorname{Ad}(P)

의 국소 자명화 선택에 관계없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론의 원리에 따라 잘 정의되려면, 즉 경로 적분

\exp(\mathrm iS)

가 게이지 변환 아래에서 변하지 않으려면(게이지 불변성), 다음 조건이 항상 만족되어야 한다.

:

\sum_i \int_M F_i \wedge g^*\alpha_i \in \mathbb Z

여기서

g

는 임의의 게이지 변환을 나타낸다.

만약

g

가 '작은 게이지 변환'(small gauge transformation^영어), 즉 항등원과 연속적으로 연결될 수 있는 변환이라면,

\alpha_i

는 완전 미분 형식이 된다. 즉,

\alpha_i = \mathrm d\beta_i

형태로 쓸 수 있으며, 스토크스의 정리를 사용하면 작용의 변화량은 0이 된다.

:

\frac1{2\pi}S \mapsto \frac1{2\pi}S + \sum_i \int_M\mathrm F_i\wedge\phi^*\mathrm d\beta_i = \frac1{2\pi}S + \sum_i (-)^{(n-d_i)}\int_M\mathrm d(F_i\wedge \phi^*\beta_i) = \frac1{2\pi}S

따라서 작용은 작은 게이지 변환에 대해서는 항상 불변이다.

그러나 '큰 게이지 변환'(large gauge transformation^영어), 즉 항등원과 연속적으로 연결될 수 없는 변환에 대해서는 일반적으로 작용이 불변하지 않을 수 있다. 만약

\alpha_i

가 자명하지 않은 코호몰로지류를 가진다면, 즉 완전 형식이 아니라면, 게이지 불변성 조건은 이론에 다음과 같은 제약을 가한다.

:

[M]\frown ([F_i] \smile \operatorname H^{d_i}(M;\mathbb R)) \in \mathbb Z

여기서

[M]

은

M

의 실수 계수 기본류이며,

\frown

는 캡곱,

\smile

는 컵곱을 나타낸다. 이 조건은 디랙 양자화 조건의 한 예시로 볼 수 있다.

특히,

d_i = n

(즉,

\alpha_i

가

G

위의

n

차 형식이고

F_i

가 0차 형식, 즉 함수인 경우) 이고

M

이 연결 공간이라면, 적분은 단순히

F_i

값 자체가 된다. 이 경우 양자화 조건은 다음과 같이 단순화된다.

:

F_i\in \mathbb Z

이때 정수값

F_i

를 이론의 '''레벨'''(level^영어)이라고 부른다.

아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론은 이러한 레벨 양자화가 나타나는 대표적인 예이다.^[3]

4. 예

게이지 변환의 구체적인 예시를 통해 개념을 더 명확히 이해할 수 있다. 대표적인 예로는 다음과 같은 경우들이 있다.

자명한 주다발: 주다발 $P$ 가 위상적으로 밑공간 $M$ 과 구조군 $G$ 의 곱공간 $M \times G$ 와 같은 자명한 구조를 가질 때, 게이지 변환은 밑공간에서 구조군으로 가는 매끄러운 함수 $M \to G$ 로 비교적 간단하게 표현된다.
아벨 주다발: 구조군 $G$ 가 아벨 군인 경우, 게이지 변환과 주접속의 곡률 등이 가지는 특징을 분석할 수 있다. 예를 들어, 아벨 군의 경우 켤레 작용이 자명해져 관련 계산이 단순화되며, 곡률이 게이지 불변인 특성을 보인다.

이러한 구체적인 예시들에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 자명한 주다발

P=M\times G

가 자명한 주다발이라고 가정하자. 이는 대역적 단면이 존재함을 의미한다. 이 경우, 딸림 표현 다발은

\operatorname{Ad}(P) = M \times G

가 되며, 게이지 변환은 매끄러운 함수

M\to G

로 간단히 표현된다.

만약 밑공간

M

이 초구

\mathbb S^n

이고 주다발

P=M\times G

가 자명하다면, 큰 게이지 변환들의 군은 호모토피 군

\pi_n(G)

과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군의 연산과 큰 게이지 변환 군의 연산은 일반적으로 다르다.

특히,

M=\mathbb S^3

이고

G

가 콤팩트 단순 리 군일 때, 세 번째 호모토피 군은 무한 순환군

\pi_3(G) = \operatorname{Cyc}(\infty)

이다.

4. 2. 아벨 주다발

만약

G

가 아벨 군이면서 리 군이라고 가정하고, 이 군을 올(fiber)로 갖는 매끄러운 주다발

P

를 생각해 보자. 이 경우,

G

는 아벨 군이므로 군의 원소에 대한 켤레 작용(conjugation)은 자명하다. 따라서 연관 다발(associated bundle)

\operatorname{Ad}(P)

는 다음과 같이 간단해진다.

:

\operatorname{Ad}(P) = P \times_G G = M \times G

여기서

M

은 주다발

P

의 밑공간(base space)이다. 이 경우, 게이지 변환은 밑공간

M

에서 군

G

로 가는 매끄러운 함수

M\to G

로 표현된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은

M

위의 리 대수

\mathfrak{lie}(G)

값을 갖는 1차 미분 형식들의 공간, 즉

\Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{lie}(G)

의 원소로 표현된다.

이러한 아벨 주다발의 경우, 주접속의 곡률

F

는 밑공간

M

위의 리 대수

\mathfrak{lie}(G)

값을 갖는 2차 미분 형식, 즉

F\in\Omega^2(M)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{lie}(G)

가 된다. 중요한 성질은 이 곡률

F

가 게이지 변환에 대해 변하지 않는다는 점, 즉 게이지 불변이라는 것이다.

참조

_[1] 서적 Infinite-dimensional Lie theory for gauge groups https://www.math.uni[...] Technische Universität Darmstadt 2006
_[2] 논문 The Yang–Mills equations over Riemann surfaces 1983-03-17
_[3] 논문 Topologically massive gauge theories 1982-05

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