균형 집합은 실수체 또는 복소수체의 벡터 공간에서 정의되는 부분 집합으로, 스칼라 곱에 대해 특정 조건을 만족한다. 균형 집합은 스칼라의 절댓값이 1 이하일 때 스칼라 곱의 결과가 집합 내에 포함되는 집합으로 정의되며, 균형 폐포와 균형 핵과 같은 개념을 갖는다. 균형 집합은 합집합, 교집합, 폐포 등의 연산에 닫혀 있으며, 위상 벡터 공간에서 0의 근방을 이루는 데 중요한 역할을 한다. 또한, 균형 함수와 같은 관련 개념과 세미노름, 노름 등과 연관되어 있으며, 콤팩트 집합과 같은 집합의 균형 껍질도 동일한 성질을 유지한다.
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균형 집합
2. 정의
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, '''균형 집합'''이라고 한다.
임의의 스칼라 에 대하여, 이면 이다.
여기서
:
이다.
즉, 어떤 집합이 균형 집합이려면, 그 집합의 각 원소에 대해 크기가 1 이하인 스칼라를 곱한 결과가 다시 그 집합에 포함되어야 한다.
일차원 벡터 공간으로서 복소수 체 '''C'''를 생각하면, 그 공간 내의 균형 집합은 '''C''' 자체, 공집합, 그리고 0을 중심으로 하는 열린 원판과 닫힌 원판이다. 반면, 이차원 유클리드 공간에서는 (0,0)을 중점으로 하는 임의의 선분 등 더 많은 균형 집합이 존재한다.
''p''를 선형 공간 ''X''의 반노름으로 할 때, 임의의 상수 ''c'' > 0에 대해 집합 {''x'' ∈ X | ''p''(''x'') ≤ ''c''}는 균형 집합이다.
2. 1. 균형 폐포와 균형핵
-벡터 공간 의 임의의 부분 집합 가 주어졌을 때, 를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 의 '''균형 폐포'''(balanced hull영어)라고 한다. 이는 를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, 의 균형 폐포는 다음과 같다.
:
마찬가지로, -벡터 공간 의 임의의 부분 집합 가 주어졌을 때, 에 포함되는 가장 큰 균형 집합이 존재하며, 이를 의 '''균형핵'''(balanced core영어)이라고 한다. 이는 에 포함되는 모든 균형 집합의 합집합이며, 또한 다음과 같다.
:
집합 의 부분 집합 의 균형 폐포는 로 표기하며, 다음 방법 중 하나로 정의된다.
# 를 포함하는 의 균형 부분 집합 중 가장 작은 집합 (에 관하여).
# 를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합.
# .
# .
집합 의 부분 집합 의 균형핵(Balanced core)은 로 표시하며, 다음 방법 중 하나로 정의된다.