꼬마 끈 이론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. II종 초끈 이론에서의 정의
3. 성질
4. AdS/CFT 대응성
참조

1. 개요

꼬마 끈 이론은 II종 초끈 이론에서 여러 개의 평탄한 NS5-막이 같은 위치에 존재한다고 가정하여 얻는 이론이다. 끈 결합 상수를 0으로 보내는 극한을 취하여 얻으며, N=(2,0) 또는 N=(1,1) 초대칭을 갖는다. 꼬마 끈 이론은 국소적이지 않고 끈을 포함하며, T-이중성이 존재하고, 높은 에너지에서 하게도른 온도를 갖는 등 끈 이론과 유사한 성질을 보인다. 또한 중력을 포함하지 않고 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다는 점에서 끈 이론과 차이를 보인다. 꼬마 끈 이론은 특정 10차원 중력 이론과 홀로그래피적으로 쌍대 관계에 있으며, AdS/CFT 대응성을 통해 질량껍질 밖 관측 가능량에 대한 연구가 이루어진다.

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꼬마 끈 이론

2. 정의

꼬마 끈 이론은 초끈 이론에서 특정 극한을 취하여 얻어지는 이론이다.^[1]^[2] 구체적으로는 II종 초끈 이론에서 NS5-막의 동역학을 분리하는 과정에서 유도될 수 있다.

2. 1. II종 초끈 이론에서의 정의

II종 초끈 이론에서,

N

개의 평탄한 NS5-막이 같은 위치에 존재한다고 가정한다. 이 상태는

\operatorname{SO}(1,5)\times\operatorname{SO}(4)

로런츠 대칭을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용한다면 이는 6차원

\mathcal N=(2,0)

초대칭을 가지고, IIB종 초끈 이론을 사용할 경우에는

\mathcal N=(1,1)

초대칭을 갖는다.

NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위해, 끈 결합 상수

g_{\text{s}}

를 0으로 보내고 (

g_{\text{s}} \to 0

), 에너지 눈금

E

를 끈의 장력

m_{\text{s}}

에 고정시키는 (

E / m_{\text{s}} = O(1)

) 극한을 취한다.

이 극한에서 얻어지는 이론을

\mathcal N=(2,0)

또는

\mathcal N=(1,1)

'''꼬마 끈 이론'''이라고 부른다.

3. 성질

꼬마 끈 이론은 6차원 이하의 시공간 차원에서 존재하며, 최대 16개의 초전하(초대칭)를 가질 수 있다. 이는 4차원 시공간 기준으로 $\mathcal N=4$ 초대칭에 해당한다. 꼬마 끈 이론은 끈 이론과 유사하게 국소적이지 않은 끈을 포함하며 T-이중성을 가지고 높은 에너지에서 하게도른 온도를 나타내지만, 중력을 포함하지 않고 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다는 차이점도 있다.

3. 1. 끈 이론과의 유사점

꼬마 끈 이론은 끈 이론과 몇 가지 중요한 유사점을 공유한다. 우선, 두 이론 모두 기본적인 구성 요소가 점 입자가 아닌, 공간적으로 퍼져 있는 국소적이지 않은 끈이라는 객체를 포함한다. 또한, 끈 이론의 특징 중 하나인 T-이중성이 꼬마 끈 이론에서도 나타난다. 높은 에너지 상태에서 하게도른 온도라는 특정 온도를 갖는 현상 역시 끈 이론과 꼬마 끈 이론 모두에서 관찰되는 공통적인 특징이다.

3. 2. 끈 이론과의 차이점

꼬마 끈 이론은 끈 이론과 몇 가지 중요한 차이점을 보인다. 가장 두드러진 차이점은 꼬마 끈 이론이 중력을 포함하지 않는다는 점이다. 또한, 끈 이론과 달리 꼬마 끈 이론에서는 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다.

3. 3. 비자유성

N>1

인 꼬마 끈 이론은 상호작용이 존재하는, 즉 자유롭지 않은 이론이다. 반면

N=1

인 경우는 상호작용이 없는 자유 이론에 해당한다.

이러한 비자유성은 IIB 초끈 이론의

N

개의 NS5-막을 예로 들어 설명할 수 있다. 이 시스템에 S-이중성 변환을 적용하면,

N

개의 D5-막 시스템으로 변환된다. 이 D5-막 시스템의 낮은 에너지 상태는 6차원

\mathcal N=(1,1)

\operatorname U(N)

게이지 이론으로 기술될 수 있으며, 이때의 게이지 결합 상수

g_{\text{D5}}

는 다음과 같이 주어진다.

:

g^{-2}_{\text{D5}} = \frac{m_{\text{s}}^2}{g_{\text{s}}}

여기서

m_{\text{s}}

는 끈 이론의 질량 눈금(string mass scale)을,

g_{\text{s}}

는 끈 결합 상수(string coupling constant)를 나타낸다.

다시 이 D5-막 시스템에 S-이중성 변환을 적용하여 원래의 NS5-막 시스템으로 돌아가면, 각 물리량은 다음과 같이 변환된다.

:

g_{\text{D5}} \mapsto g_{\text{NS5}}

:

g_{\text{s}} \mapsto 1/g_{\text{s}}

:

m_{\text{s}} \mapsto m_{\text{s}}/g_{\text{s}}

결과적으로 NS5-막 시스템의 게이지 결합 상수

g_{\text{NS5}}

는 다음과 같이 결정된다.

:

g^{-2}_{\text{NS5}} = m_{\text{s}}^2

이 관계식은 에너지 눈금

E

가 끈 질량 눈금

m_{\text{s}}

에 가까워지는 영역(

E\sim m_{\text{s}}

)에서 이론의 상호작용이 중요해진다는 것을 보여준다. 엄밀하게 말하면, 이 이론은 재규격화가 불가능하기 때문에 낮은 에너지(

E\ll m_{\text{s}}

)에서는 결합 상수가 0에 가까워져(

g_{\text{NS5}}\to 0

) 상호작용이 약해 보일 수 있다. 하지만 에너지가

m_{\text{s}}

에 근접하면 게이지 이론을 통한 설명 방식이 더 이상 유효하지 않게 되며, 이 에너지 영역에서 이론은 명백히 상호작용을 가지므로 자유 이론으로 볼 수 없다.

3. 4. T-이중성

원 위에 축소화된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 축소화된 IIB종 초끈 이론은 T-이중성에 따라 서로 동치이다. T-이중성 아래 IIA NS5-막은 IIB NS5-막에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 축소화했을 때, T-이중성에 의하여

\mathcal N=(2,0)

꼬마 끈 이론은

\mathcal N=(1,1)

꼬마 끈 이론과 서로 동치이다.

3. 5. 상태 밀도

높은 에너지

E

에서, 꼬마 끈 이론의 상태 밀도는 다음과 같은 꼴이다.

:

\rho(E) \sim E^\alpha \exp(\beta_{\text{H}} E)\left(1+O(1/E)\right)

:

S(E) = \ln\rho(E) = \beta_{\text{H}}E +\alpha \ln (E/\Lambda) +  O(1/E)

여기서

\beta_{\text{H}}

는 하게도른 온도이다.

4. AdS/CFT 대응성

꼬마 끈 이론은 AdS/CFT 대응성과 유사한 홀로그래피 원리를 통해 특정 10차원 중력 이론과 쌍대 관계를 가진다. 이 대응성은 II종 끈 이론의 10차원 초중력 이론에서 $N$ 개의 NS5-막을 고려하고 특정 극한을 취함으로써 유도될 수 있는 굽은 시공간 배경( $\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3$ )에서의 끈 이론과 관련된다.

구체적으로, IIA종 또는 IIB종 꼬마 끈 이론은 이 $\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3$ 배경 위에서의 10차원 IIA종 또는 IIB종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. 이 쌍대성은 경계에 존재하는 이론(꼬마 끈 이론)과 내부 벌크(bulk) 공간의 중력 이론(굽은 배경의 끈 이론) 사이의 관계를 설명하며, 꼬마 끈 이론의 특정 물리량을 대응되는 중력 이론을 통해 계산할 수 있게 해준다.

4. 1. 중력 이론과의 쌍대성

꼬마 끈 이론은 AdS/CFT 대응성과 유사하게 홀로그래피 원리를 통해 특정 중력 이론과 쌍대 관계를 가진다.^[1]^[2] 이 중력 이론은 10차원 초중력 이론의 특정 해로부터 유도될 수 있다.

II종 10차원 초중력 이론에서,

N

개의 NS5-막이 만드는 시공간 배경은 끈 틀(string frame^영어)에서 다음과 같은 계량 텐서

\mathrm ds^2

와 딜라톤 장

\Phi

, 그리고 캘브-라몽 장

B

의 장세기

H

(3차 미분 형식)로 기술된다.^[1]^:§3

:

\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + \left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx_i

:

\exp(2\Phi) = g_{\text{s}}^2\left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)

:

H_{ijk} = -\epsilon_{ijkl}\partial^l\Phi

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\mu,\nu,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,5\}$ : NS5-막의 세계부피에 해당하는 6차원 민코프스키 공간의 좌표.
$i,j,\dotsc\in\{6,7,8,9\}$ : NS5-막에 수직인 4차원 공간의 좌표.
$\textstyle r^2 = \sum_{i=6}^9 (x^i)^2$ : NS5-막으로부터 수직 방향으로의 거리 제곱.
$\alpha'$ : 끈 이론의 기본 상수인 레제 기울기.
$g_{\text{s}}$ : 끈 결합 상수.

이 배경에서 꼬마 끈 이론에 해당하는 극한을 취할 수 있다. 이는 NS5-막에 매우 가까이 다가가는 극한(

r\to0

)에 해당하며, 동시에

r/g_{\text{s}} = \exp \sigma

를 일정하게 유지하는 조건이다. 이 극한에서 시공간 배경은 다음과 같이 변한다.^[1]^:§3

:

\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + N\alpha'\left(\mathrm d\sigma^2+\mathrm d\Omega_3^2\right)

:

\Phi = -\sigma

이 결과로 얻어지는 10차원 시공간은 다음과 같은 구조를 가진다.

:

\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3

이는 6차원 민코프스키 공간(

\mathbb R^{1,5}

), 딜라톤과 관련된 좌표

\sigma

로 매개변수화된 실수선(

\mathbb R

), 그리고 반지름이

\sqrt{N\alpha'}

인 3차원 초구(

\mathbb S^3

)의 곱공간이다. 이 중 3차원 초구 성분은 양자장론적으로 레벨

N

의 베스-추미노-위튼 모형으로 기술된다.^[1]

이 굽은 배경 위에서 움직이는 II종 끈의 세계면 이론은 2차원 등각 장론으로 기술된다. 이 이론의 장들은 다음과 같이 구성된다.^[1]

장	$\operatorname{SO}(1,5)$ 로런츠 표현	$\operatorname{SU}(2)$ 표현 (스핀)	총 중심 전하 $c$
$\mathbb R^{1,5}$ 의 자유 보손 $\phi^\mu$	벡터	0	1×6
$\mathbb R^{1,5}$ 자유 페르미온 $\psi^\mu$	스피너	0	½×6
딜라톤 $\sigma$	스칼라	0	$1+6/N$
딜라티노 $\psi_\sigma$	스피너	0	½
SU(2) 베스-추미노-위튼 모형 스칼라장	0	1	$(N-2)/N$ ×3
베스-추미노-위튼 모형 페르미온	0	1	$(1/2+2/N)$ ×3

이 장들의 기여를 모두 합하면, 비라소로 대수의 총 중심 전하는 다음과 같이 계산된다.

: $c = (1+1/2)\times 6 + (1 + 1/2) + \left(\frac{N-2}N + \frac12+\frac2N\right)\times 3 = 15$

이는 임계 차원( $D=10$ ) 초끈 이론에서 요구되는 중심 전하 값과 일치하며, 이론의 일관성을 보여준다.

결론적으로, IIA종 또는 IIB종 꼬마 끈 이론은 위에서 설명한 $\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3$ 굽은 배경 위에서의 10차원 IIA종 또는 IIB종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대 관계에 있다. 이는 AdS/CFT 대응성과 유사한 구조를 가지며, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 특정 관측 가능량(특히 질량껍질 밖)이 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량과 대응된다는 것을 의미한다.^[1] 이는 꼬마 끈 이론이 비록 중력을 포함하지 않지만, 중력 이론과의 깊은 연관성을 가지며, 질량껍질 밖의 물리 현상을 기술할 수 있음을 시사한다.

4. 2. 2차원 등각 장론

꼬마 끈 이론의 특정 배경에서 II종 끈 이론의 세계면은 2차원 등각 장론으로 기술될 수 있다. 이 등각 장론은 자유 보손, 자유 페르미온, 딜라톤, 그리고 SU(2) 베스-추미노-위튼 모형과 관련된 장들로 구성된다.

이 배경에서 II종 끈 이론의 세계면 위 2차원 등각 장론의 장들과 각각의 기여는 다음과 같다.

장	$\operatorname{SO}(1,5)$ 로런츠 표현	$\operatorname{SU}(2)$ 표현 (스핀)	중심 전하 $c$
$\mathbb R^{1,5}$ 의 자유 보손 $\phi^\mu$	벡터	0	1×6
$\mathbb R^{1,5}$ 자유 페르미온 $\psi^\mu$	스피너	0	½×6
딜라톤 $\sigma$	스칼라	0	$1+6/N$
딜라티노 $\psi_\sigma$	스피너	0	½
SU(2) 베스-추미노-위튼 모형 스칼라장	0	1	$(N-2)/N$ ×3
베스-추미노-위튼 모형 페르미온	0	1	$(1/2+2/N)$ ×3

이 장들의 기여를 모두 합하면, 비라소로 대수의 총 중심 전하는 다음과 같이 계산된다.

: $c = (1+1/2)\times 6 + (1 + 1/2) + \left(\frac{N-2}N + \frac12+\frac2N\right)\times 3 = 15$

이 결과( $c=15$ )는 임계 차원( $D=10$ ) 초끈 이론의 중심 전하 값과 일치한다. 이는 이론의 일관성을 보여주는 중요한 결과이다.

4. 3. 질량껍질 밖 관측 가능량

AdS/CFT 대응성에 따르면, 꼬마 끈 이론은 특정 10차원 중력 이론과 홀로그래피적으로 쌍대 관계에 있다. 이 대응 관계를 통해 꼬마 끈 이론의 성질을 중력 이론의 관점에서 이해할 수 있다.

꼬마 끈 이론에 대응되는 중력 이론은 II종 10차원 초중력 이론에서

N

개의 NS5-막을 기술하는 해(solution)로부터 얻어진다. 끈 틀(string frame^영어)에서 이 해는 다음과 같은 계량 텐서

\mathrm ds^2

, 딜라톤 장

\Phi

, 캘브-라몽 장 세기

H

로 주어진다.

:

\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + \left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx_i

:

\exp(2\Phi) = g_{\text{s}}^2\left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)

:

H_{ijk} = -\epsilon_{ijkl}\partial^l\Phi

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\mu,\nu,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,5\}$ : 6차원 로런츠 좌표 (NS5-막이 놓인 방향)
$i,j,\dotsc\in\{6,7,8,9\}$ : NS5-막에 수직인 4차원 공간 좌표
$\textstyle r^2 = \sum_{i=6}^9 (x^i)^2$ : NS5-막으로부터의 거리 제곱
$\alpha'$ : 끈 이론의 레제 기울기 (끈의 길이 제곱에 비례)
$g_{\text{s}}$ : 끈 결합 상수 (끈 사이의 상호작용 세기)
$\epsilon_{ijkl}$ : 4차원 레비치비타 기호

꼬마 끈 이론은 이 배경에서 NS5-막에 매우 가까이 다가가는 극한, 즉

r/g_{\text{s}} = \exp \sigma

를 일정하게 유지하면서

r\to0

인 극한을 취하여 얻어진다. 이 극한에서 배경 시공간과 딜라톤 장은 다음과 같이 변한다.

:

\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + N\alpha'\left(\mathrm d\sigma^2+\mathrm d\Omega_3^2\right)

:

\Phi = -\sigma

이 결과는 기하학적으로

\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3

형태의 10차원 시공간 배경을 나타낸다.

$\mathbb R^{1,5}$ : 6차원 민코프스키 시공간
$\mathbb R$ : $\sigma$ 를 좌표로 가지는 실수선 (딜라톤과 관련)
$\mathbb S^3$ : 반지름이 $\sqrt{N\alpha'}$ 인 3차원 초구

이 굽은 배경 위에서 움직이는 끈은 끈의 세계면 위에 정의되는 2차원 등각 장론으로 기술된다. 이 이론은 다음과 같은 장들을 포함한다.

장	$\operatorname{SO}(1,5)$ 로런츠 표현	$\operatorname{SU}(2)$ 표현 (스핀)	총 중심 전하 $c$
$\mathbb R^{1,5}$ 의 자유 보손 $\phi^\mu$	벡터	0	1×6
$\mathbb R^{1,5}$ 자유 페르미온 $\psi^\mu$	스피너	0	½×6
딜라톤 $\sigma$	스칼라	0	$1+6/N$
딜라티노 $\psi_\sigma$	스피너	0	½
SU(2) 베스-추미노-위튼 모형 스칼라장 ( $\mathbb S^3$ 성분)	0	1	$(N-2)/N$ ×3
베스-추미노-위튼 모형 페르미온 ( $\mathbb S^3$ 성분)	0	1	$(1/2+2/N)$ ×3

이 장들이 기여하는 비라소로 대수의 총 중심 전하 $c$ 는 다음과 같이 계산된다.

: $c = (1+1/2)\times 6 + (1 + 1/2) + \left(\frac{N-2}N + \frac12+\frac2N\right)\times 3 = 9 + 1.5 + (1 + 1/2) \times 3 = 10.5 + 4.5 = 15$

이 값은 임계 차원( $D=10$ ) 초끈 이론에서 요구되는 중심 전하 15와 정확히 일치하며, 이 대응 관계의 일관성을 보여준다.

결론적으로, IIA종 또는 IIB종 꼬마 끈 이론은 위에서 설명한 $\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3$ 배경에서의 10차원 IIA종 또는 IIB종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. AdS/CFT 대응성의 원리에 따르면, 경계 이론(여기서는 꼬마 끈 이론)의 질량껍질 밖 관측 가능량(상호작용 등을 기술)은 이에 대응하는 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량(자유 입자의 상태 등)에 대응된다. 따라서 이 홀로그래피적 쌍대성을 통해 꼬마 끈 이론에도 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재하며, 이를 중력 이론을 통해 계산할 수 있음을 알 수 있다.

참조

_[1] 서적 Spring school on superstrings and related matters http://users.ictp.it[...] 2001
_[2] 간행물 A brief review of “little string theories”

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