리치 미적분학

3. 첨자 표기 및 연산에 대한 일반 개요

두 텐서 ''A''와 ''B''가 같다는 것은 모든 성분이 동일하다는 것을 의미한다. 즉, 모든 $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma$에 대해 다음이 성립한다.

:$A^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; =\; B^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}$

이는 차원 분석과 유사하게 방정식의 의미를 확인하는 데 유용한 표기법의 특징이다. 색인 표기법도 참고.

3. 1. 자유 및 헛첨자

3. 2. 텐서 방정식은 많은 일반(실수) 방정식을 나타낸다.

3. 3. 첨자는 교체 가능한 이름표이다.

3. 4. 첨자는 매 항마다 동일함

3. 5. 암시된 경우 대괄호와 구두점을 한 번 사용함

4. 대칭 및 반대칭 부분들

텐서의 대칭 및 반대칭 부분은 괄호와 대괄호를 사용하여 나타낼 수 있다. 괄호는 대칭 부분을, 대괄호는 반대칭 부분을 나타낸다.

임의의 텐서는 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어 텐서 $A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}$는 다음과 같이 분해할 수 있다.

:$A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}\; =\; A\_\{(\backslash alpha\backslash beta)\backslash gamma\backslash cdots\}+A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}$

여기서 $A\_\{(\backslash alpha\backslash beta)\backslash gamma\backslash cdots\}$는 텐서 $A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}$의 첨자 $\backslash alpha$, $\backslash beta$에 대한 대칭 부분을, $A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}$는 반대칭 부분을 나타낸다.

• '''대칭 부분'''은 첨자의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 성분이다.
• '''반대칭 부분'''은 첨자의 순서를 바꿀 때 부호가 반대로 바뀌는 성분이다.

4. 1. 텐서의 대칭 부분

• 같은 수준에 있지 않은 경우, 예를 들어

• :$A\_\{(\backslash alpha\}B^\{\backslash beta\}\{\}\_\{\backslash gamma)\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2!\}\; \backslash left(A\_\{\backslash alpha\}B^\{\backslash beta\}\{\}\_\{\backslash gamma\}\; +\; A\_\{\backslash gamma\}B^\{\backslash beta\}\{\}\_\{\backslash alpha\}\; \backslash right)$

• 괄호 안에 있고 수직선(|⋅⋅⋅|) 사이에 있는 경우

• :$A\_\{(\backslash alpha\}B\_$
  {}_{\gamma)} = \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B_{\beta \gamma} + A_{\gamma}B_{\beta \alpha} \right)
  
  여기서 $\backslash alpha$와 $\backslash gamma$ 지수는 대칭화되고 $\backslash beta$는 그렇지 않다.
  

  4. 2. 텐서의 반대칭 부분

  대괄호([])는 여러 지수에 걸쳐 텐서의 ''반''대칭 부분을 나타낸다. p개의 반대칭 지수의 경우, 해당 지수의 순열에 대한 합을 순열의 부호를 곱한 다음, 순열의 수로 나눈다.
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  & A_{[\alpha_1\cdots\alpha_p]\alpha_{p+1}\cdots\alpha_q} \\[3pt]
  
  ={} & \dfrac{1}{p!} \sum_{\sigma}\sgn(\sigma) A_{\alpha_{\sigma(1)}\cdots\alpha_{\sigma(p)}\alpha_{p+1}\cdots\alpha_{q}} \\
  
  ={} & \delta_{\alpha_1 \cdots \alpha_p}^{\beta_1 \dots \beta_p} A_{\beta_1 \cdots \beta_p\alpha_{p+1}\cdots\alpha_q} \\
  
  \end{align}
  
  여기서 $\backslash delta\_\{\backslash alpha\_1\; \backslash cdots\; \backslash alpha\_p\}^\{\backslash beta\_1\; \backslash dots\; \backslash beta\_p\}$는 일반화된 크로네커 델타로, 차수는 2p이다.
  
  예를 들어, 두 개의 반대칭 지수는 다음을 의미한다.
  
  :$A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2!\}\; \backslash left(A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}\; -\; A\_\{\backslash beta\backslash alpha\backslash gamma\backslash cdots\}\; \backslash right)$
  
  세 개의 반대칭 지수는 다음을 의미한다.
  
  :$$
  
  A_{[\alpha\beta\gamma]\delta\cdots} =
  
  \dfrac{1}{3!} \left(A_{\alpha\beta\gamma\delta\cdots}
  
  + A_{\gamma\alpha\beta\delta\cdots}
  
  + A_{\beta\gamma\alpha\delta\cdots}

  
  
  • A_{\alpha\gamma\beta\delta\cdots}
  • A_{\gamma\beta\alpha\delta\cdots}
  • A_{\beta\alpha\gamma\delta\cdots}

  
  \right)
  
  
  
  더 구체적인 예로, F가 전자기 텐서를 나타낸다면,
  
  :$$
  
  0 = F_{[\alpha\beta, \gamma]} = \dfrac{1}{3!} \left(
  
  F_{\alpha\beta,\gamma}
  
  + F_{\gamma\alpha,\beta}
  
  + F_{\beta\gamma,\alpha}

  
  
  • F_{\beta\alpha,\gamma}
  • F_{\alpha\gamma,\beta}
  • F_{\gamma\beta,\alpha}

  
  \right) \,
  
  
  
  라는 방정식은 자기 가우스 법칙과 패러데이 유도 법칙을 나타낸다.
  
  반대칭화는 덧셈에 대해 분배된다.
  
  :$$
  
  A_{[\alpha} \left(B_{\beta]\gamma\cdots} + C_{\beta]\gamma\cdots} \right) =
  
  A_{[\alpha}B_{\beta]\gamma\cdots} + A_{[\alpha}C_{\beta]\gamma\cdots}
  
  
  
  대칭화와 마찬가지로, 지수는 다음과 같은 경우에는 반대칭화되지 않는다.

  
  
  • 같은 레벨에 있지 않은 경우
  • :$$

  
  A_{[\alpha}B^{\beta}{}_{\gamma]} =
  
  \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B^{\beta}{}_{\gamma} - A_{\gamma}B^{\beta}{}_{\alpha} \right)
  
  

  
  
  • 대괄호 안에 있고 수직 막대(|⋅⋅⋅|) 사이에 있는 경우
  • :$$

  
  A_{[\alpha}B_

  {}_{\gamma]} =
  
  \dfrac{1}{2!} \left(A_{\alpha}B_{\beta \gamma} - A_{\gamma}B_{\beta \alpha} \right)
  
  
  
  여기서 α와 γ 지수는 반대칭화되고, β는 그렇지 않다.
  

  4. 3. 대칭 부분과 반대칭 부분의 합

  임의의 텐서는 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어 텐서 $A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}$는 다음과 같이 분해할 수 있다.
  
  :$A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}\; =\; A\_\{(\backslash alpha\backslash beta)\backslash gamma\backslash cdots\}+A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}$
  
  여기서 $A\_\{(\backslash alpha\backslash beta)\backslash gamma\backslash cdots\}$는 텐서 $A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}$의 첨자 $\backslash alpha$, $\backslash beta$에 대한 대칭 부분을, $A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}$는 반대칭 부분을 나타낸다.

  
  
  • '''대칭 부분'''은 첨자의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 성분이다. 예를 들어, 두 첨자에 대한 대칭 부분은 다음과 같이 정의된다.

  
  
  :$A\_\{(\backslash alpha\backslash beta)\backslash gamma\backslash cdots\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2!\}\; \backslash left(A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}\; +\; A\_\{\backslash beta\backslash alpha\backslash gamma\backslash cdots\}\; \backslash right)$

  
  
  • '''반대칭 부분'''은 첨자의 순서를 바꿀 때 부호가 반대로 바뀌는 성분이다. 예를 들어, 두 첨자에 대한 반대칭 부분은 다음과 같이 정의된다.

  
  
  :$A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2!\}\; \backslash left(A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}\; -\; A\_\{\backslash beta\backslash alpha\backslash gamma\backslash cdots\}\; \backslash right)$
  
  위 식에서 $A\_\{(\backslash alpha\backslash beta)\backslash gamma\backslash cdots\}$와 $A\_\{[\backslash alpha\backslash beta]\backslash gamma\backslash cdots\}$에 대한 표현을 더하면 원래 텐서 $A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash cdots\}$를 얻을 수 있다.
  
  하지만 이러한 분해는 오직 두 개의 첨자에 대해서만 적용되며, 세 개 이상의 첨자에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.
  

  5. 미분

  텐서 미적분학에서 사용되는 다양한 종류의 미분 연산은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 간결성을 위해 도함수는 쉼표나 쌍반점 뒤에 첨자를 추가하여 표시할 수 있다.^{[34][35][13][14]}

  
  
  • '''편미분''': 텐서 성분의 편미분과 관련된 표현식은 좌표 기저에만 적용된다.
  • '''공변 도함수''': 접속이 주어진 경우에만 정의된다.
  • '''외미분''': 기저 변환에서 공변인 미분이다. 계량 텐서나 접속이 필요 없으며 미분 다양체의 구조만 필요하다.
  • '''리 미분''': 기저 변환에서 공변인 또 다른 도함수이다. 외미분과 마찬가지로 계량 텐서나 접속에 의존하지 않는다.

  5. 1. 편미분

  리치 미적분학에서 대부분의 표현식은 임의의 기저에 대해 유효하지만, 텐서 성분의 편미분과 관련된 표현식은 좌표 기저에만 적용된다. 좌표는 보통 $x^\backslash mu$로 표시되지만, 일반적으로 벡터의 성분을 형성하지는 않는다. 다양체 및 좌표계 선택에 대한 동일한 제약 조건에서 좌표에 대한 편도함수는 공변적인 결과를 생성한다.
  
  텐서장 성분의 좌표 변수 $x^\backslash gamma$에 대한 편미분을 나타내기 위해, 좌표 변수의 추가된 아래 첨자 앞에 쉼표가 배치된다.^[13][14]
  
  :$A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash cdots,\backslash gamma\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash gamma\}\; A\_\{\backslash alpha\backslash beta\backslash cdots\}$
  
  이 작업은 반복될 수 있다(쉼표를 추가하지 않고).
  
  :$$
  
  A_{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_p\,,\,\alpha_{p+1}\cdots\alpha_q} =
  
  \dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha_q}}\cdots\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha_{p+2}}}\dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha_{p+1}}} A_{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_p}.
  
  
  
  이러한 성분은 미분되는 표현식이 스칼라가 아닌 한 공변적으로 변환되지 ''않는다''. 이 도함수는 곱 규칙과 좌표들의 도함수로 특징지어진다.
  
  :$x^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{,\; \backslash gamma\}\; =\; \backslash delta^\{\backslash alpha\}\_\backslash gamma\; ,$
  
  여기서 $\backslash delta$는 크로네커 델타이다.
  

  5. 2. 공변 도함수

  공변 도함수는 접속이 주어진 경우에만 정의된다. 임의의 텐서장에 대해, 아래 첨자(공변 첨자) 앞에 있는 ''쌍반점''(;)은 공변 미분을 나타낸다. 쌍반점 대신에 ''빗금''(/)^[36]이나 막대(|)^[37]를 쓰는 경우도 있다.
  
  스칼라 함수, 반공변 벡터 및 공변 벡터의 공변 도함수는 다음과 같다.
  
  :$f\_\{;\backslash beta\}\; =\; f\_\{,\backslash beta\}$
  
  :$A^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{;\backslash beta\}\; =\; A^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{,\backslash beta\}\; +\; \backslash Gamma^\{\backslash alpha\}\; \{\}\_\{\backslash gamma\backslash beta\}A^\backslash gamma$
  
  :$A\_\{\backslash alpha\; ;\backslash beta\}\; =\; A\_\{\backslash alpha,\backslash beta\}\; -\; \backslash Gamma^\{\backslash gamma\}\; \{\}\_\{\backslash alpha\backslash beta\}A\_\backslash gamma\; \backslash ,,$
  
  여기서 Γ^α_γβ^영어는 접속 계수이다.
  
  임의의 텐서의 경우:^[38]
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s ; \gamma}
  
  & \\
  
  = T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s , \gamma}
  
  &+ \, \Gamma^{\alpha_1}{}_{\delta \gamma} T^{\delta \alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} + \cdots + \Gamma^{\alpha_r}{}_{\delta \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \delta}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\
  
  &- \, \Gamma^\delta{}_{\beta_1 \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\delta \beta_2 \cdots \beta_s} - \cdots - \Gamma^\delta{}_{\beta_s \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \delta}\,.
  
  \end{align}
  
  텐서의 공변 도함수에 대한 대체 표기법은 첨자 ∇_''β''^영어이다. 벡터장 ''A^α''^영어 의 경우:^[39]
  
  :$\backslash nabla\_\backslash beta\; A^\backslash alpha\; =\; A^\backslash alpha\{\}\_\{;\backslash beta\}\; \backslash ,.$
  
  벡터 ''v^γ''^영어를 따라 임의의 텐서장의 방향 미분에 대한 공변 공식화는 공변 도함수와의 축약으로 표현될 수 있다. 예:
  
  :$v^\backslash gamma\; A\_\{\backslash alpha\; ;\backslash gamma\}\; \backslash ,.$
  
  텐서장의 이 도함수의 성분은 공변적으로 변환되므로 아래 표현식(편도함수 및 접속 계수)이 별도로 공변적으로 변환되지 않음에도 불구하고 다른 텐서장을 형성한다.
  
  이 도함수의 특징은 곱 규칙을 따른다는 것이다.
  
  :$(A^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{\backslash beta\backslash cdots\}B^\{\backslash gamma\}\{\}\_\{\backslash delta\backslash cdots\})\_\{;\backslash epsilon\}\; =\; A^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{\backslash beta\backslash cdots;\backslash epsilon\}B^\{\backslash gamma\}\{\}\_\{\backslash delta\backslash cdots\}\; +\; A^\{\backslash alpha\}\{\}\_\{\backslash beta\backslash cdots\}B^\{\backslash gamma\}\{\}\_\{\backslash delta\backslash cdots;\backslash epsilon\}\; \backslash ,.$
  

  5. 2. 1. 접속의 종류들

  미분 다양체의 접다발에 대한 코쥘 접속을 아핀 접속이라고 한다.
  
  계량 텐서의 공변 미분이 사라지는 접속은 계량 접속이다.^[13][14]
  
  :$g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; ;\; \backslash xi\}\; =\; 0\; \backslash ,.$
  
  계량 접속이기도 한 아핀 접속을 리만 접속이라고 한다. 비틀림이 없는 (즉, 비틀림 텐서가 사라지는) 리만 접속은 레비치비타 접속이다.
  
  좌표 기반 표현에서 레비치비타 접속에 대한 기호를 제2종 크리스토펠 기호 라고 한다.
  

  5. 3. 외미분

  미분 형식이라고도 불리는 성분 ''A''}}}}를 갖는 완전 반대칭 유형 텐서장의 외미분은 기저 변환에서 공변인 미분이다. 이는 계량 텐서나 접속이 필요 없으며 미분 다양체의 구조만 필요하다. 좌표 기반 표현에서는 텐서 성분의 편도함수에 대한 반대칭으로 표현될 수 있다.^[40]
  
  :$(\backslash mathrm\{d\}A)\_\{\backslash gamma\backslash alpha\_1\backslash cdots\backslash alpha\_s\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\{[\backslash gamma\}\}\; A\_\{\backslash alpha\_1\backslash cdots\backslash alpha\_s]\}\; =\; A\_\{[\backslash alpha\_1\backslash cdots\backslash alpha\_s,\backslash gamma]\}\; .$
  
  이 도함수는 반공변 첨자가 있거나 완전 반대칭이 아닌 텐서장에서는 정의되지 않는다. 등급화된 곱 규칙이 특징이다. 간결성을 위해 미분은 쉼표 또는 세미콜론 뒤에 지수를 추가하여 표시할 수 있다.^[13][14]
  
  미분 형식이라고도 불리는 성분 ''A''}}}}인 완전 반대칭형 텐서장의 외미분은 기저 변환에 대해 공변하는 미분이다. 이 미분은 계량 텐서나 접속에 의존하지 않으며, 단지 미분 가능한 다양체의 구조만을 필요로 한다. 좌표 기저에서, 텐서 성분의 편미분을 반대칭화한 형태로 표현될 수 있다.^[19]
  
  :$(\backslash mathrm\{d\}A)\_\{\backslash gamma\backslash alpha\_1\backslash cdots\backslash alpha\_s\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\{[\backslash gamma\}\}\; A\_\{\backslash alpha\_1\backslash cdots\backslash alpha\_s]\}\; =\; A\_\{[\backslash alpha\_1\backslash cdots\backslash alpha\_s,\backslash gamma]\}\; .$
  
  이 미분은 반변 지수를 갖거나 완전 반대칭이 아닌 텐서장에는 정의되지 않는다. 외미분은 등급 곱 규칙으로 특징지어진다.
  

  5. 4. 리 미분

  리 미분은 기저 변환에서 공변인 또 다른 도함수이다. 외미분과 마찬가지로 계량 텐서나 접속에 의존하지 않는다. 반공변 벡터장 $X^\backslash rho$(의 흐름)에 따른 (''r'', ''s'')-텐서장 $T$의 리 미분은 좌표 기반 표현을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.^[20]
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  (\mathcal{L}_X T)^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s}
  
  & \\
  
  = X^\gamma T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s, \gamma}
  
  & - \, X^{\alpha_1}{}_{, \gamma} T^{\gamma \alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} - \cdots - X^{\alpha_r}{}_{, \gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \gamma}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\
  
  & + \, X^{\gamma}{}_{, \beta_1} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\gamma \beta_2 \cdots \beta_s} + \cdots + X^{\gamma}{}_{, \beta_s} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \gamma} \,.
  
  \end{align}
  
  이 미분은 곱 규칙과 반공변 벡터장의 리 미분 자체가 0이라는 사실이 특징이다.
  
  :$(\backslash mathcal\{L\}\_X\; X)^\{\backslash alpha\}\; =\; X^\backslash gamma\; X^\backslash alpha\{\}\_\{,\backslash gamma\}\; -\; X^\backslash alpha\{\}\_\{,\backslash gamma\}\; X^\backslash gamma\; =\; 0\; \backslash ,.$
  
  간결성을 위해 미분은 쉼표 또는 세미콜론 뒤에 지수를 추가하여 표시할 수 있다.^[13][14]
  

  6. 주목할만한 텐서

  텐서 미적분학에서 중요하게 사용되는 몇 가지 텐서는 다음과 같다.

  
  
  • 크로네커 델타: 곱하고 축약할 때 단위 행렬과 같은 역할을 한다. 다양체의 차원을 나타내는 불변량을 제공한다.
  • 비틀림 텐서($T^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}$): 아핀 접속에서 정의되는 텐서이다. 레비치비타 접속의 경우 이 텐서는 0이다.
  • 리만 곡률 텐서($R^\backslash rho\{\}\_\{\backslash sigma\backslash mu\backslash nu\}$): 크리스토펠 기호를 사용하여 정의되며, 공변 미분의 교환자로 표현될 수 있다. 이는 리치 항등식을 통해 일반화할 수 있다.
  • 계량 텐서($g\_\{\alpha \backslash beta\}$): 접공간에 내적을 나타내는 텐서로, 첨자를 낮추거나 곡선의 길이를 계산하는 데 사용된다. 역행렬 $g^\{\backslash alpha\backslash beta\}$는 첨자를 높이는 데 사용된다.

  6. 1. 크로네커 델타

  크로네커 델타는 곱하고 축약할 때 단위 행렬과 같다.
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  \delta^{\alpha}_{\beta} \, A^{\beta} &= A^{\alpha} \\
  
  \delta^{\mu}_{\nu} \, B_{\mu} &= B_{\nu} .
  
  \end{align}
  
  성분 δ|δ^la는 모든 기저에서 동일하며 (1, 1)|(1, 1)^la형 불변 텐서, 즉 기저 다양체의 항등 사상에 대한 접다발의 항등원을 형성하므로 그 대각합은 불변이다. 이 대각합은 다양체의 차원이다.^[21]
  
  이 크로네커 델타는 일반화된 크로네커 델타 계열 중 하나이다. 일반화된 2''p''|2p^la 차 크로네커 델타는 다음과 같이 크로네커 델타로 정의될 수 있다(일반적인 정의에는 오른쪽에 ''p''!|p!^la의 추가 승수가 포함된다).
  
  :$\backslash delta^\{\backslash alpha\_1\; \backslash cdots\; \backslash alpha\_p\}\_\{\backslash beta\_1\; \backslash cdots\; \backslash beta\_p\}\; =\; \backslash delta^\{[\backslash alpha\_1\}\_\{\backslash beta\_1\}\; \backslash cdots\; \backslash delta^\{\backslash alpha\_p]\}\_\{\backslash beta\_p\}\; ,$
  
  첨자 ''p''|p^la에 대해 반대칭화로 작용한다.
  
  :$\backslash delta^\{\backslash alpha\_1\; \backslash cdots\; \backslash alpha\_p\}\_\{\backslash beta\_1\; \backslash cdots\; \backslash beta\_p\}\; \backslash ,\; A^\{\backslash beta\_1\; \backslash cdots\; \backslash beta\_p\}\; =\; A^\{[\backslash alpha\_1\; \backslash cdots\; \backslash alpha\_p]\}\; .$
  

  6. 2. 비틀림 텐서

  아핀 접속에는 비틀림 텐서 $T^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}$가 있다.
  
  :$T^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; =\; \backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; -\; \backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash gamma\backslash beta\}\; -\; \backslash gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}$
  
  여기서 $\backslash gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}$는 국소 기저의 리 괄호 성분이며, 좌표 기저에서는 사라진다.
  
  레비치비타 접속의 경우 이 텐서는 0으로 정의되며, 좌표 기저에서는 다음 방정식을 얻는다.
  
  :$\backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; =\; \backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash gamma\backslash beta\}$
  

  6. 3. 리만 곡률 텐서

  리만 곡률 텐서는 다음과 같이 정의된다.^[41][42]
  
  :$R^\backslash rho\{\}\_\{\backslash sigma\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash Gamma^\backslash rho\{\}\_\{\backslash nu\backslash sigma,\backslash mu\}$

  
  
  • \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma,\nu}

  
  + \Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}

  
  
  • \Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma} \,,

  
  
  
  여기서 Γ|감마^영어는 크리스토펠 기호이다.
  
  이 텐서는 공변 미분의 교환자로 표현될 수 있다.^[22][23] 즉,
  
  :$A\_\{\backslash nu\; ;\; \backslash rho\; \backslash sigma\}\; -\; A\_\{\backslash nu\; ;\; \backslash sigma\; \backslash rho\}\; =\; A\_\{\backslash beta\}\; R^\{\backslash beta\}\{\}\_\{\backslash nu\; \backslash rho\; \backslash sigma\}\; \backslash ,,$
  
  이는 접속(connection)에 비틀림(torsion)이 없기 때문이며, 다시 말해 비틀림 텐서가 0이기 때문이다.
  
  이것은 임의의 텐서에 대해 두 공변 미분의 교환자를 얻기 위해 다음과 같이 일반화할 수 있다.
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s ; \gamma \delta}&

  
  
  • T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s ; \delta \gamma} \\

  
  &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!= - R^{\alpha_1}{}_{\rho \gamma \delta} T^{\rho \alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s}

  
  
  • \cdots
  • R^{\alpha_r}{}_{\rho \gamma \delta} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \rho}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\

  
  &+ R^\sigma{}_{\beta_1 \gamma \delta} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\sigma \beta_2 \cdots \beta_s}
  
  + \cdots
  
  + R^\sigma{}_{\beta_s \gamma \delta} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \sigma} \,
  
  \end{align}
  
  위 식은 종종 리치 항등식이라고 불린다.^[24]
  

  6. 4. 계량 텐서

  계량 텐서는 접공간에 내적을 나타내는 텐서로, ''g''로 표기한다. 계량 텐서는 첨자를 낮추는 데 사용되며, 곡선의 길이를 계산하는 데에도 쓰인다.
  
  계량 텐서의 역행렬 ''g''은 첨자를 높이는 데 사용되는 중요한 텐서이다. 이 두 텐서는 다음 관계를 만족한다.
  
  :$g^\{\alpha \beta \}g\_\{\beta \gamma \}\; =\; \delta ^\alpha \_\gamma \backslash ,.$
  
  계량 텐서는 공간과 같은 곡선의 길이를 다음과 같이 제공한다.
  
  :$\backslash text\{길이\}\; =\; \backslash int^\{y\_2\}\_\{y\_1\}\; \backslash sqrt\{g\_\{\alpha \beta \}\backslash frac\{dx^\alpha \}\{d\gamma \}\backslash frac\{dx^\beta \}\{d\gamma \}\}\backslash ,d\gamma \backslash ,.$
  
  여기서 ''γ''^영어는 경로의 임의의 매끄럽고 엄격하게 단조로운 매개변수화이다.
  
  또한, 계량 텐서는 시간과 같은 곡선의 지속 시간을 다음과 같이 제공한다.
  
  :$\backslash text\{지속\; 시간\}\; =\; \backslash int^\{t\_2\}\_\{t\_1\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{-1\}\{c^2\}g\_\{\alpha \beta \}\backslash frac\{dx^\alpha \}\{d\gamma \}\backslash frac\{dx^\beta \}\{d\gamma \}\}\backslash ,d\gamma \backslash ,.$
  
  여기서 ''γ''^영어는 궤적의 임의의 매끄럽고 엄격하게 단조로운 매개변수화이다. (''선 요소'' 참조)
  

  7. 텐서 미적분학의 응용 (한국의 관점)

  텐서 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에 응용되고 있다. 특히 한국의 과학 기술 발전과 관련하여 다음과 같은 응용 사례를 들 수 있다.
  
  (하위 섹션의 내용과 겹치지 않도록 작성해야 하며, 아래 내용은 예시이므로 실제 내용은 원본 소스를 기반으로 작성해야 한다.)

  
  
  • (예시) 한국의 반도체 산업에서 텐서 미적분학은 소자 설계 및 공정 최적화에 활용될 수 있다.
  • (예시) 한국의 자동차 산업에서 텐서 미적분학은 차량의 구조 해석 및 충돌 안전성 분석에 사용될 수 있다.
  • (예시) 한국의 인공지능 연구에서 텐서 미적분학은 딥러닝 모델 개발 및 성능 향상에 기여할 수 있다.

  7. 1. 물리학

  텐서 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 분야에서 탄성, 연속체 역학, 전자기학(전자기장의 수학적 설명 참조), 일반 상대성 이론(일반 상대성 이론의 수학 참조), 양자장론, 기계 학습 등 여러 분야에 응용되고 있다.^[7]
  

  7. 2. 공학

  텐서 미적분학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 분야에서 탄성, 연속체 역학, 전자기학(전자기장의 수학적 설명 참조) 등 많은 응용 분야를 가지고 있다.^[7]
  

  7. 3. 컴퓨터 과학

  텐서 미적분학은 기계 학습을 포함하여 컴퓨터 과학 등 여러 분야에서 응용되고 있다.^[7]
  

  참조

  _[1] 서적 Tensor Calculus first Dover Publications 1978 edition
  _[2] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
  _[3] 서적 The Road to Reality Vintage books
  _[4] 저널 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications http://gdz.sub.uni-g[...] Springer 2019-10-19
  _[5] 서적 Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimensional differential geometry) http://resolver.sub.[...] Springer Verlag
  _[6] 서적 A history of analysis American Mathematical Society 2003
  _[7] 저널 Interview with Shiing Shen Chern https://www.ams.org/[...] 1998-08
  _[8] 인용 The Theory of Relativity
  _[9] 인용 The Geometry of Physics Cambridge University Press
  _[10] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
  _[11] 인용 The Geometry of Physics Cambridge University Press
  _[12] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
  _[13] 서적 The Cambridge Handbook of Physics Formulas https://archive.org/[...] Cambridge University Press
  _[14] 웹사이트 Covariant derivative http://mathworld.wol[...]
  _[15] 인용 The Geometry of Physics Cambridge University Press
  _[16] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
  _[17] 인용 The Geometry of Physics Cambridge University Press
  _[18] 서적 Relativity McGraw Hill
  _[19] 서적 The Road to Reality Vintage books
  _[20] 인용 Tensor Analysis on Manifolds
  _[21] 인용 Tensor Analysis on Manifolds
  _[22] 서적 Tensor Calculus first Dover Publications 1978 edition
  _[23] 서적 General Theory of Relativity
  _[24] 서적 Tensors, Differential Forms, and Variational Principles
  _[25] 서적 Tensor Calculus
  _[26] 서적 Gravitation
  _[27] 서적 The Road to Reality
  _[28] 저널 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications http://gdz.sub.uni-g[...] 2019-10-19
  _[29] 서적 Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimensional differential geometry) http://resolver.sub.[...]
  _[30] 인용 Cambridge University Press
  _[31] 서적 Gravitation
  _[32] 인용 Cambridge University Press
  _[33] 서적 Gravitation
  _[34] 서적 The Cambridge Handbook of Physics Formulas https://archive.org/[...]
  _[35] 웹사이트 Covariant derivative http://mathworld.wol[...]
  _[36] 간행물 Cambridge University Press
  _[37] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
  _[38] 간행물 Cambridge University Press
  _[39] 서적 Relativity https://archive.org/[...] McGraw Hill
  _[40] 서적 The Road to Reality Vintage books
  _[41] 서적 Tensor Calculus first Dover Publications 1978 edition
  _[42] 서적 General Theory of Relativity
  _[43] 서적 Tensors, Differential Forms, and Variational Principles https://archive.org/[...]
  

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