무어-펜로즈 유사역행렬

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1. 개요

무어-펜로즈 유사역행렬은 주어진 행렬 A에 대해 정의되는 행렬 A⁺로, 네 가지 조건을 만족한다. 이 역행렬은 선형 연립 방정식의 해를 구하거나 최소 제곱법을 통해 최적해를 찾는 데 활용되며, 특히 해가 존재하지 않거나 여러 해가 존재하는 경우 유용하다. 유사역행렬은 항상 존재하며 유일하며, 특이값 분해를 통해 계산할 수 있다.

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무어-펜로즈 유사역행렬
개요
종류	일반화 역행렬
분야	선형대수학
발명가	엘리아킴 헤이스팅스 무어 (1920) 아르네 비에르함마르 (1951) 로저 펜로즈 (1955)
정의 및 성질
정의	임의의 행렬 A에 대해 다음 4가지 무어-펜로즈 조건을 만족하는 행렬 A⁺
조건 1	APA = A
조건 2	A⁺AA⁺ = A⁺
조건 3	(AA⁺)* = AA⁺
조건 4	(A⁺A)* = A⁺A
설명	여기서 A*는 A의 켤레 전치 행렬을 나타냄 A⁺는 항상 존재하며 유일함 A가 정사각 행렬이고 역행렬이 존재하면, A⁺ = A⁻¹
계산
특이값 분해 (SVD) 이용	A = UΣV* 일 때, A⁺ = VΣ⁺U* (Σ⁺는 Σ의 유사역행렬)
QR 분해 이용	A가 열 rank가 full column rank일 때: A⁺ = (AA)⁻¹A = (QQ)⁻¹Q A가 행 rank가 full row rank일 때: A⁺ = A(AA)⁻¹ = Q(QQ)⁻¹
응용
최소제곱 해	A x = b의 최소제곱 해는 x = A⁺b
선형 방정식	선형 방정식 Ax = b의 해 존재 조건 및 일반해 표현에 사용
추가 정보
표기법	A⁺ (A^+)
관련 항목	역행렬 특이값 분해 선형 최소제곱법

2. 정의

체 ''K''와 그 위의 대합이 주어졌을 때, ''K''-계수 행렬의 에르미트 수반 개념이 정의된다. 임의의 ''K''-계수 ''m'' × ''n'' 행렬 ''A''의 무어-펜로즈 유사역행렬 ''A''⁺는 다음 네 가지 조건을 모두 만족시키는 ''n'' × ''m'' 행렬이다.^[4]^[5]^[33]^[34]

''AA''⁺''A'' = ''A''
*: ''AA''⁺는 일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, ''A''의 모든 열벡터를 보존해야 한다.
''A''⁺''AA''⁺ = ''A''⁺
*: ''A''⁺는 반군에서의 약한 역이다.
(''AA''⁺)^* = ''AA''⁺
*: ''AA''⁺는 에르미트 행렬이다.
(''A''⁺''A'')^* = ''A''⁺''A''
*: ''A''⁺''A''도 에르미트 행렬이다.

''A''⁺''A'' 및 ''AA''⁺는 멱등 연산자이다. 더 구체적으로, ''A''⁺''A''는 ''A''^T의 이미지(''A''의 행 스팬)로 투영하고, ''AA''⁺는 ''A''의 이미지(''A''의 열 스팬)로 투영한다.

만약 ''A''가 완전 계수를 가지면, 즉, 계수가 min^영어 (''m'', ''n'')이면, ''A''⁺는 간단한 대수적 표현으로 주어질 수 있다.

''A''가 선형 독립적인 열을 가질 때 (''A''^*''A''가 가역일 때), ''A''⁺ = (''A''^*''A'')^-1''A''^*이다. 이것은 ''왼쪽 역원''이며, ''A''⁺''A'' = ''I''이다.
''A''가 선형 독립적인 행을 가지면 (''AA''^*가 가역일 때), ''A''⁺ = ''A''^*(''AA''^*)^-1이다. 이것은 ''오른쪽 역원''이며, ''AA''⁺ = ''I''이다.

일반적인 경우, 유사역행렬은 특이값 분해를 활용하여 표현될 수 있다.

3. 성질

무어-펜로즈 유사역행렬은 항상 존재하며 유일하다. 즉, 임의의 행렬 $A$에 대하여, 무어-펜로즈 유사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 $A^+$는 항상 정확히 한 개 존재한다.^[5]^[35]

이 네 조건 가운데 하나를 제거하면 이는 더 이상 유일하지 않다. 예를 들어 첫 번째 조건 $AA^+A = A$만 만족하는 행렬은 일반화 역행렬이라고 불리며, 항상 존재하지만 일반적으로 유일하지 않다. 두 번째 조건 $A^+AA^+ = A^+$까지 만족하는 행렬은 일반화 반사 역행렬이라고 불린다.^[29] 유일성은 마지막 두 조건에 의해 보장된다.

다음은 무어-펜로즈 유사역행렬의 몇 가지 성질이다.

$A$가 가역 행렬이면, $A$의 유사 역행렬은 $A$의 역행렬과 같다.^[36] 즉, $A^+ = A^{-1}$이다.
영행렬의 유사 역행렬은 영행렬의 전치가 된다.
유사 역행렬의 유사 역행렬은 원래 행렬이 된다.^[36] 즉, $(A^+)^+ = A$이다.
$A$가 실수 행렬이면, $A^+$도 실수 행렬이다.

3. 1. 연산과의 호환

무어-펜로즈 유사역행렬 연산은 전치 행렬 연산, 켤레, 켤레전치와 교환 법칙이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.^[6]

:

(A^\top)^+ = (A^+)^\top

:

(\bar A)^+ = \overline{A^+}

:

(A^*)^+ = (A^+)^*

행렬

A

에 스칼라를 곱한 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은

A^+

를 그 스칼라로 나눈 것과 같다. 즉, 임의의 행렬

A

와

K^×

의 원소

\alpha

에 대해 다음이 성립한다.^[6]

:

(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+

3. 1. 1. 행렬 곱셈과의 호환

무어-펜로즈 유사역행렬은 역행렬 연산과 달리 일반적으로 행렬 곱셈과 호환되지 않는다. 그러나 다음 조건 중 하나 이상이 성립하면 호환이 보장된다.^[37]

$A^*A = 1_{n\times n}$
$BB^* = 1_{n\times n}$
$A$ 의 열벡터들은 모두 서로 선형 독립이며, 또한 $B$ 의 행벡터들도 모두 서로 선형 독립이다.
$A = B^*$

위 조건 중 하나 이상이 성립하면, 다음과 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 행렬 곱셈과 호환된다.

:

(AB)^+ = B^+ A^+

하지만 이는 임의의 행렬에 대하여 항상 성립하는 것은 아니다. 일반적으로

(AB)^+ = B^+ A^+

등식은 성립하지 않는다.^[37]

다음은

(AB)^+ = B^+ A^+

가 성립하기 위한 충분 조건이다.

#

A

가 정규 직교 열을 갖는다(이때

A^*A = A^+ A = I_n

).

#

B

가 정규 직교 행을 갖는다(이때

BB^* = BB^+ = I_n

).

#

A

의 열이 선형 독립이고(

A^+ A = I_n

),

B

의 행이 선형 독립이다(

BB^+ = I_n

).

#

B = A^*

#

B = A^+

다음은

(AB)^+ = B^+ A^+

가 성립하기 위한 필요 조건이다.

#

(A^+ A) (BB^+) = (BB^+) (A^+ A)

네 번째 충분 조건으로부터 다음 등식이 유도된다.

:

\left(A A^*\right)^+ = A^{+*} A^+

:

\left(A^* A\right)^+ = A^+ A^{+*}

반례다음은

(AB)^+ \neq B^+ A^+

인 반례이다.

:

\Biggl( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Biggr)^+ = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^+ = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix} \quad \neq \quad \begin{pmatrix}\tfrac14 & 0 \\ \tfrac14 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 0 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^+ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^+

3. 2. 대수적 표현

A^+

는 모든 행렬

A

에 대하여 항상 유일하게 존재하지만, 일부 경우 이는 간단한 대수적 공식을 갖는다.

만약

A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)

의 열벡터가 모두

K

-선형 독립이라면,

A^* A\in\operatorname{Mat}(n,n;K)

는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

A^+ = (A^* A)^{-1} A^*

이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 '''좌측 역행렬'''이라고 하는데,

A^+A = I

가 성립하기 때문이다.

반대로,

A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)

의 행벡터가 모두

K

-선형 독립인 경우,

AA^* \in \operatorname{Mat}(m,m;K)

는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

A^+ = A^*(A A^*)^{-1}

이러한 경우에는

A A^+=I

가 성립하므로,

A^+

를 '''우측 역행렬'''이라고 부른다.

A

의 열벡터와 행벡터 모두

K

-선형 독립인 경우는

A

및

A^*

가 가역 행렬이며, 이 경우

:

A^+ = (A^*A)^{-1} A^* = A^*(AA^*)^{-1} = A^{-1}

이다.

3. 3. 특잇값 분해로의 표현

행렬

A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)

가 다음과 같은 특잇값 분해를 갖는다고 하자.

:

A = U\Sigma V^*

:

U \in \operatorname U(m;K)

:

V \in \operatorname U(n;K)

:

\Sigma = \operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)

그렇다면,

A

의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

A^+ = V\Sigma^+U^* = V \operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+, \dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+) U^*

여기서,

\lambda\in K

에 대하여

:

\lambda^+ = \begin{cases}\lambda^{-1} & \lambda \ne 0 \\0 & \lambda = 0\end{cases}

이다.

특잇값 분해를 사용하면 무어-펜로즈 유사역행렬을 간단하고 정확하게 계산할 수 있다.^[5]^[15] 만약

A = U\Sigma V^*

가

A

의 특잇값 분해라면,

A^+ = V\Sigma^+ U^*

이다.

\Sigma

와 같은 직사각형 대각 행렬의 경우, 대각선 상의 각 0이 아닌 요소의 역수를 취하고, 0은 그대로 둔 채 유사역행렬을 얻는다.

수치 계산에서, 일부 작은 허용 오차보다 큰 요소만 0이 아닌 것으로 간주하고, 나머지는 0으로 대체된다. 예를 들어, MATLAB 또는 GNU Octave 함수에서, 허용 오차는 로 간주되며, 여기서 ε는 머신 엡실론이다.

이 방법의 계산 비용은 SVD 계산 비용에 의해 지배되는데, 이는 최첨단 구현(예: LAPACK의 구현)을 사용하더라도 행렬-행렬 곱셈보다 몇 배 더 높다.

위의 절차는 유사역행렬을 취하는 것이 연속적인 연산이 아닌 이유를 보여준다. 원래 행렬

A

가 특잇값 0 (위의 행렬

\Sigma

의 대각선 항목)을 가지고 있다면,

A

를 약간 수정하면 이 0을 작은 양수로 바꿀 수 있으며, 이는 작은 수의 역수를 취해야 하므로 유사역행렬에 극적으로 영향을 미친다.

4. 예

가역 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 역행렬이다. 즉,

: $\exists A^{-1} \implies A^+ = A^{-1}$

이다. 가역 행렬의 경우 유사역행렬은 일반 역행렬과 같으므로, 비가역 행렬의 예만 고려한다.

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 의 경우, 유사역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 의 경우, 유사역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 의 경우, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ 의 경우, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 의 경우, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 의 경우, 유사역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 이다.

4. 1. 1×1 행렬

1 \times 1

행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}\lambda\end{pmatrix}^+=\begin{cases}\begin{pmatrix}\lambda^{-1}\end{pmatrix} & \lambda \ne 0 \\\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} & \lambda = 0\end{cases}

가역 행렬의 경우, 유사 역행렬은 일반적인 역행렬과 같으므로, 이하에서는 비가역 행렬의 예만 다룬다.

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, 유사 역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다 (일반적으로 영행렬의 유사 역행렬은 원래 행렬의 전치가 된다). 이 유사 역행렬의 유일성은, 영행렬의 곱은 항상 영행렬이므로, 조건 $A^+ = A^+ A A^+$ 에서 알 수 있다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, 유사 역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다. 실제로, $A\,A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 이며, 따라서 $A\,A^+ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A$ 이다. 마찬가지로, $A^+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},$ 이며, 따라서 $A^+A\,A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^+$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다. (분모는 $5 = 1^2 + 2^2$ 이다.)
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 에 대해, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 에 대해, 유사 역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 이다. 이 행렬에 대해, 왼쪽 역행렬이 존재하며, 따라서 $A^+$ 와 일치한다. 실제로, $A^+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 이다.

4. 2. 대각 행렬

직사각형 대각 행렬

\operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)

의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

\operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}})^+ = \operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+,\lambda_2^+,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+) \in \operatorname{Mat}(n,m;K)

여기서

\lambda_i^+

는 1×1 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬(즉, 가역원일 경우 역원, 0일 경우 0)이다.

특히, 영행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 그 행렬의 전치 행렬인 영행렬이다.

:

0_{m,n}^+ = 0_{m,n}

정사각 대각 행렬의 유사역행렬은 0이 아닌 대각 성분의 역수를 취하여 얻는다. 공식적으로,

D

가

D=\tilde D\oplus \mathbf 0_{k\times k}

이고

\tilde D>0

인 정사각 대각 행렬이라면,

D^+=\tilde D^{-1}\oplus \mathbf 0_{k\times k}

이다. 더 일반적으로,

A

가 유일한 0이 아닌 원소가 대각선에 있는

m\times n

직사각형 행렬, 즉

A_{ij}=\delta_{ij} a_i

,

a_i\in\mathbb K

라면,

A^+

는 원래 원소의 역수가 대각선 원소인

n\times m

직사각형 행렬이다. 즉,

A_{ii}\neq 0\implies A^+_{ii}=1/A_{ii}

이다.

가역 행렬의 경우, 유사 역행렬은 일반적인 역행렬과 같으므로, 이하에서는 비가역 행렬의 예만 다룬다.

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, 유사 역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다 (일반적으로 영행렬의 유사 역행렬은 원래 행렬의 전치가 된다). 이 유사 역행렬의 유일성은, 영행렬의 곱은 항상 영행렬이므로, 조건 $A^+ = A^+ A A^+$ 에서 알 수 있다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, 유사 역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
실제로, $A\,A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 이며, 따라서 $A\,A^+ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A$ 이다.
마찬가지로, $A^+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이며, 따라서 $A^+A\,A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^+$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대해, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이다. (분모는 $5 = 1^2 + 2^2$ 이다.)
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 에 대해, $A^+ = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$ 이다.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 에 대해, 유사 역행렬은 $A^+ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ 이다.
이 행렬에 대해, 왼쪽 역행렬이 존재하며, 따라서 $A^+$ 와 일치한다. 실제로, $A^+A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 이다.

5. 응용

무어-펜로즈 유사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않거나, 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 유용하게 사용된다. 해가 없는 경우에는 최소제곱법에 따른 최적해를 구하는 데 사용되며,^[24] 해가 여러 개인 경우에는 유클리드 노름을 최소화하는 해를 찾는 데 사용된다.^[25]

A^영어x = b}} 에 대한 선형연립방정식에서, 일반적인 해 x^영어 는 존재하지 않거나 유일하지 않을 수 있다. 유사역행렬 A^+^영어는 다음의 "최소 제곱" 문제를 해결한다.

∀ x ∈ Κ^n^영어에 대해, $\left\|Ax - b\right\|_2 \ge \left\|Az - b\right\|_2$ 가 성립한다. 여기서 $z = A^+b$ 이며, $\|\cdot\|_2$ 는 유클리드 노름을 나타낸다. 등식은 A^영어가 전체 열 랭크를 갖지 않는 한, 임의의 벡터 w^영어에 대해 $x = A^+b + \left(I - A^+A\right)w$ 일 때만 성립하며, 이는 무한히 많은 최소화 해를 제공한다.^[25] 최소 유클리드 노름을 갖는 해는 z^영어이다.^[25]

이 결과는 프로베니우스 노름으로 대체될 때, 여러 개의 우변을 갖는 시스템으로 쉽게 확장될 수 있다. B ∈ Κ^(m×p)^영어라 하자.

∀ X ∈ Κ^(n×p)^영어에 대해, $\|AX - B\|_{\mathrm{F}} \ge \|AZ -B\|_{\mathrm{F}}$ 가 성립한다. 여기서 $Z = A^+B$ 이며, $\|\cdot\|_{\mathrm{F}}$ 는 프로베니우스 노름을 나타낸다.

선형 시스템 Ax = b^영어에 해가 존재한다면, 모든 해는 다음과 같이 주어지며,^[26] 해가 존재할 필요충분조건은 AA^+b = b^영어이다.^[26]

:

x = A^+ b + \left[I - A^+ A\right]w

(w^영어는 임의의 벡터)

만약 이 조건이 성립하고 A^영어가 열의 전체 계수를 가지면 해가 유일하며, 이 경우 I - A^+A^영어는 영행렬이다. 해가 존재하지만 A^영어가 열의 전체 계수를 가지지 않는다면, 부정 방정식을 갖게 되며 무한히 많은 해를 가진다.

해가 유일하지 않은 경우(부정 방정식 등), 유사역행렬은 최소 유클리드 노름 \|x\|_2^영어을 갖는 해 z = A^+b^영어를 찾는 데 사용될 수 있다.

만약 Ax = b^영어가 만족가능하다면, 벡터 z = A^+b^영어는 해이며, 모든 해에 대해 \|z\|_2 ≤ \|x\|_2^영어를 만족한다.

이 결과는 여러 개의 우변을 갖는 시스템(B ∈ Κ^(m×p)^영어)으로 확장될 수 있다.

만약 AX = B^영어가 만족가능하다면, 행렬 Z = A^+B^영어는 해이며, 모든 해에 대해 \|Z\|_F ≤ \|X\|_F^영어를 만족한다.

6. 역사

일라이어킴 헤이스팅스 무어가 1920년에 최초로 발견하였다.^[65] 이후 아르네 볘르함마르(Arne Bjerhammar|아르네 볘르함마르^sv, 1917〜2011)^[66]와 로저 펜로즈^[67]가 1950년대에 이 개념을 재발견하였다.

7. 표기법

다음은 무어-펜로즈 유사역행렬의 정의에 사용되는 표기법이다.

$\mathbb{K}$ 는 실수 체 $\mathbb{R}$ 또는 복소수 체 $\mathbb{C}$ 를 나타낸다. $\mathbb{K}$ 위의 $m \times n$ 행렬의 벡터 공간은 $\mathbb{K}^{m \times n}$ 로 표기한다.
$A \in \mathbb{K}^{m\times n}$ 에 대해, $A^\operatorname{T}$ 는 전치 행렬을, $A^*$ 는 켤레 전치 행렬(에르미트 전치)을 나타낸다. 만약 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 이면 $A^* = A^\operatorname{T}$ 이다.
$A \in \mathbb{K}^{m\times n}$ 에 대해, $\operatorname{ran}(A)$ 는 $A$ 의 열 공간(상)을, $\operatorname{ker}(A)$ 는 $A$ 의 커널(영공간)을 나타낸다.
모든 양의 정수 $n$ 에 대해, $n \times n$ 단위 행렬은 $I_n \in \mathbb{K}^{n\times n}$ 로 표기한다.

8. 특수한 경우

$A\in \operatorname{Mat}(m,n;K)$ 의 열벡터가 모두 $K$ -선형 독립이면, $A^* A\in \operatorname{Mat}(n,n;K)$ 는 가역 행렬이 되며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같이 정의된다.

: $A^+ = (A^* A)^{-1} A^*$

이러한 무어-펜로즈 유사역행렬은 $A^+A = I$ 가 성립하기 때문에 '''좌측 역행렬'''이라고 불린다.

$A$ 의 행벡터가 선형 독립이면( $m \leq n$ ) $AA^*$ 는 가역 행렬이 된다. 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같이 표현된다.

: $A^+ = A^*\left(A A^*\right)^{-1}$

이때, $A A^+=I$ 가 성립하므로, $A^+$ 는 $A$ 의 '''우측 역행렬'''이 된다.

만약 $A$ 가 정규 직교 열벡터( $A^*A = I_n$ ) 또는 정규 직교 행벡터( $A A^* = I_m$ )를 가지면 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $A^+ = A^*.$

2차 정방 행렬 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 의 유사 역행렬은 다음과 같이 계산된다.

$ad-bc\ne 0$ 일 때:

:

A^+=A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\

c&a

\end{pmatrix}

$ad-bc=0$ 이고, $A\ne O$ 일 때:

:

A^+=\frac{1}

8. 1. 스칼라

1 \times 1

행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}\lambda\end{pmatrix}^+=\begin{cases}\begin{pmatrix}\lambda^{-1}\end{pmatrix} & \lambda \ne 0 \\\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} & \lambda = 0\end{cases}

스칼라 및 벡터에 대한 유사역행렬을 정의하는 것도 가능하다. 이는 이를 행렬로 취급하는 것과 같다. 스칼라

x

의 유사역행렬은

x

가 0이면 0이고, 그렇지 않으면

x

의 역수이다.

x^+ = \begin{cases}0, & \mbox{if }x = 0; \\x^{-1}, & \mbox{otherwise}.\end{cases}

8. 2. 벡터

영 벡터의 유사역행렬은 전치된 영 벡터이다. 영이 아닌 벡터의 유사역행렬은 켤레 전치된 벡터를 제곱된 크기로 나눈 것이다.

:

\vec{x}^+ = \begin{cases}\vec{0}^\operatorname{T}, & \text{if } \vec{x} = \vec{0}; \\\vec{x}^* / (\vec{x}^* \vec{x}), & \text{otherwise}.\end{cases}

8. 3. 선형 독립인 열벡터

A\in \operatorname{Mat}(m,n;K)

의 열벡터가 모두

K

-선형 독립이면,

A^* A\in \operatorname{Mat}(n,n;K)

는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

A^+ = (A^* A)^{-1} A^*

이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 '''좌측 역행렬'''이라고 하는데,

A^+A = I

가 성립하기 때문이다.

행렬

A

의 계수가 열의 개수

n

과 같으면 (

n \le m

의 경우), 선형 독립인 열이

n

개 존재하며,

A^*A

는 가역행렬이다. 이 경우, 명시적인 공식은 다음과 같다.

:

A^+ = \left(A^*A\right)^{-1}A^*.

따라서

A^+

는

A

의 왼쪽 역행렬이다:

A^+ A = I_n

.

A \in \mathbb k^{m \times n}

의 '''열'''이 선형 독립인 경우(

m \geq n

)

A^*A

는 가역이다. 이 경우의 명시적인 식은 다음과 같다.

:

A^+ = \left(A^*A\right)^{-1}A^*

즉,

A^+

는

A

의 왼쪽 역행렬이 된다:

A^+ A = I_n

8. 4. 선형 독립인 행벡터

A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)

의 행벡터가 모두

K

-선형 독립인 경우,

AA^* \in \operatorname{Mat}(m,m;K)

는 가역 행렬이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

A^+ = A^*(A A^*)^{-1}

이러한 경우에는

A A^+=I

가 성립하므로,

A^+

를 '''우측 역행렬'''이라고 부른다.

A

의 행벡터가 선형 독립이면(

m \leq n

)

AA^*

는 가역이다. 이 경우의 명시적인 식은 다음과 같다.

:

A^+ = A^*\left(A A^*\right)^{-1}

이는 행 전체 랭크의 특수한 경우이다.

A

가 정규 직교 행(

A A^* = I_m

)을 가질 경우, 다음 식이 성립한다.

즉,

A^+

는

A

의 오른쪽 역행렬이 된다:

AA^+ = I_m

8. 5. 정규직교 열벡터 또는 행벡터

full rank^영어 또는 full row rank^영어의 특수한 경우이다. 만약

A

가 정규 직교 열(

A^*A = I_n

) 또는 정규 직교 행(

A A^* = I_m

)을 가진다면 다음과 같다.

:

A^+ = A^*.

8. 6. 2차 정방 행렬

2차 정방 행렬

:

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

의 유사 역행렬은 다음과 같다.

$ad-bc\ne 0$ 일 때,

:

A^+=A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\

c&a

\end{pmatrix}

$ad-bc=0$ 이고, $A\ne O$ 일 때,

:

A^+=\frac{1}

8. 7. 정규 행렬

A^영어가 정규 행렬인 경우, 즉 켤레 전치 행렬과 교환하는 경우, 유사역행렬은 대각화를 통해 계산할 수 있다. 이때 모든 0이 아닌 고유값은 역수로, 0인 고유값은 0으로 매핑한다. 결과적으로 A^영어가 전치 행렬과 교환하면 유사역행렬과도 교환한다는 것을 알 수 있다.

8. 8. 직교 사영 행렬

P = A A^+

와

Q = A^+A

는 사영 행렬이다. 즉, 에르미트 행렬(

P = P^*

,

Q = Q^*

)이며, 멱등 행렬(

P^2 = P

와

Q^2 = Q

)이다. 다음이 성립한다.

$PA = AQ = A$ 그리고 $A^+ P = QA^+ = A^+$
는 의 치역 (이는 의 커널의 직교 여공간과 같다)으로의 직교 사영이다.
는 의 치역 (이는 의 커널의 직교 여공간과 같다)으로의 직교 사영이다.
$I - Q = I - A^+A$ 는 의 커널로의 직교 사영이다.
$I - P = I - A A^+$ 는 의 커널로의 직교 사영이다.^[5]

마지막 두 속성은 다음 항등식을 암시한다.

$A\,\ \left(I - A^+ A\right)= \left(I - A A^+\right)A\ \ = 0$
$A^*\left(I - A A^+\right) = \left(I - A^+A\right)A^* = 0$

또 다른 속성은 다음과 같다. 만약 가 에르미트 행렬이고 멱등 행렬이라면 (이는 직교 사영을 나타내는 경우에만 참이다) 모든 행렬 에 대해 다음 방정식이 성립한다.^[8]

A(BA)^+ = (BA)^+

이것은 행렬

C = BA

,

D = A(BA)^+

를 정의하고, 가 에르미트 행렬이고 멱등 행렬일 때, 의사 역행렬의 정의 속성을 확인하여 가 실제로 의 의사 역행렬임을 검증함으로써 증명할 수 있다.

마지막 속성으로부터, 만약 가 에르미트 행렬이고 멱등 행렬이라면, 모든 행렬 에 대해

(AB)^+A = (AB)^+

마지막으로, 만약 가 직교 사영 행렬이면, 의사 역행렬은 자명하게 행렬 자체와 일치한다. 즉,

A^+ = A

이다. 이는 고유값이 0과 1인 정규 행렬의 특수한 경우이다.

8. 9. 순환 행렬

순환 행렬 ''C''의 경우, 특이값 분해는 푸리에 변환으로 주어지며, 특이값은 푸리에 계수이다. 이산 푸리에 변환(DFT) 행렬을 ''F''라고 하면, 다음이 성립한다.^[14]^[43]

:''C'' = ''F'' · Σ · ''F''^*

:''C''⁺ = ''F'' · Σ⁺ · ''F''^*

9. 구성

무어-펜로즈 유사역행렬은 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

랭크 분해: 행렬 $A$ 의 계수가 $r$ 이면, $A = BC$ 로 분해할 수 있다. 여기서 $B$ 와 $C$ 는 각각 $m \times r$ , $r \times n$ 크기를 가지며 계수 $r$ 을 갖는다. 이때 유사역행렬은 $A^+ = C^*\left(CC^*\right)^{-1}\left(B^*B\right)^{-1}B^*$ 로 계산된다.^[44]
QR 분해: $AA^*$ 와 $A^*A$ 의 역행렬 계산에 수치적 오차가 발생하는 경우, $A$ 의 QR 분해를 이용할 수 있다. $A$ 가 열 전체 랭크를 가지면 촐레스키 분해 $A^*A = R^*R$ 을 사용하여 역행렬을 계산할 수 있다. QR 분해 $A = Q R$ 을 이용하면 $A^*A$ 를 명시적으로 계산하지 않고 $R$ 을 구할 수 있다. 행 전체 랭크의 경우에는 $A^+ = A^*\left(A A^*\right)^{-1}$ 식을 사용한다.
행렬 다항식 이용: $A^*A$ 가 정규 행렬이므로, $(A^*A)^+ = p(A^*A)$ 를 만족하는 다항식 $p(t)$ 를 찾을 수 있다. 이때 유사역행렬은 $A^+ = p(A^*A)A^* = A^*p(AA^*)$ 로 주어진다.^[13]
특이값 분해(SVD): $A = U\Sigma V^*$ 로 특이값 분해를 하면, 유사역행렬은 $A^+ = V\Sigma^+U^*$ 로 계산된다. 여기서 $\Sigma^+$ 는 $\Sigma$ 의 0이 아닌 특이값의 역수를 취하고 0은 그대로 둔 행렬이다.
블록 행렬: 블록 구조화된 행렬의 유사역행렬을 계산하기 위한 최적화된 방법이 존재한다.
벤-이스라엘과 코헨의 반복법: 재귀식 ''A''_''i''+1 = 2''A''_i - ''A''_i''A'' ''A''_i를 사용하여 유사역행렬을 계산할 수 있다.
유사역행렬의 갱신: 셔먼-모리슨-우드버리 공식을 이용하여 상관 행렬의 역행렬을 업데이트하여 유사역행렬을 계산할 수 있다.

R, 옥타브, 줄리아 등 다양한 소프트웨어 라이브러리에서 `ginv`, `pinv` 등의 함수를 통해 유사역행렬 계산을 지원한다.

9. 1. 랭크 분해

r \le \min(m, n)

를

A \in \mathbb{K}^{m\times n}

의 계수라고 하자. 그러면

A

는 다음과 같이 분해될 수 있다.

:

A = BC

여기서

B \in \mathbb{K}^{m\times r}

와

C \in \mathbb{K}^{r\times n}

는 계수

r

을 갖는다. 그러면

A^+ = C^+B^+ = C^*\left(CC^*\right)^{-1}\left(B^*B\right)^{-1}B^*

이다.^[44]

9. 2. QR 분해

\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}

에서

AA^*

와

A^*A

및 그 역행렬을 직접 계산하면 수치적 반올림 오차나 계산 비용이 발생하는 경우가 많다. 이러한 경우, 역행렬 계산 대신

A

의 QR 분해를 이용할 수 있다.

A

가 열 전체 랭크(column full rank)를 갖는 경우,

A^+ = \left(A^*A\right)^{-1}A^*

이다. 이 때, 촐레스키 분해

A^*A = R^*R

(

R

은 상삼각 행렬)을 사용할 수 있다. 역행렬과의 곱셈은 여러 개의 우변 벡터를 가진 연립 방정식을 푸는 것으로 간단히 수행할 수 있다.

A^+ = \left(A^*A\right)^{-1}A^* \quad \Leftrightarrow \quad \left(A^*A\right)A^+ = A^* \quad \Leftrightarrow \quad R^*RA^+ = A^*

이는 전진 대입과 후진 대입으로 풀 수 있다.

촐레스키 분해 대신 QR 분해

A = Q R

을 이용하여

A^*A

를 명시적으로 계산하지 않고 처리할 수 있다. 여기서

Q

는 정규 직교 열을 가지며,

Q^*Q = I

이고,

R

은 상삼각 행렬이다. 이때,

A^*A \,=\, (Q R)^*(Q R) \,=\, R^*Q^*Q R \,=\, R^*R

이므로

R

은

A^*A

의 촐레스키 인자이다.

행 전체 랭크(row full rank)인 경우에는

A^+ = A^*\left(A A^*\right)^{-1}

식을 사용하고,

A

와

A^*

의 역할을 바꾸어 유사하게 처리할 수 있다.

9. 3. 행렬 다항식 이용

임의의 A ∈ K^m×n에 대해 A^*A는 정규 행렬이며, 결과적으로 EP 행렬이다. 그런 다음 (A^*A)⁺=p(A^*A)를 만족하는 다항식 p(t)를 찾을 수 있다. 이 경우, A의 유사역행렬은 다음과 같이 주어진다.^[13]

:A⁺= p(A^*A)A^*= A^*p(AA^*).

9. 4. 특이값 분해(SVD)

행렬

A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)

가 다음과 같은 특잇값 분해를 갖는다고 하자.

:

A = U\Sigma V^*

:

U \in \operatorname U(m;K)

:

V \in \operatorname U(n;K)

:

\Sigma = \operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)

그렇다면,

A

의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.

:

A^+ = V\Sigma^+U^* = V \operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+, \dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+) U^*

여기서,

\lambda\in K

에 대하여

:

\lambda^+ = \begin{cases}\lambda^{-1} & \lambda \ne 0 \\0 & \lambda = 0\end{cases}

이다.

계산이 간단하고 정확한 유사역행렬 계산 방법은 특잇값 분해를 사용하는 것이다.^[5]^[15] 만약

A = U\Sigma V^*

가

A

의 특잇값 분해라면,

A^+ = V\Sigma^+ U^*

이다.

\Sigma

와 같은 직사각형 대각 행렬의 경우, 대각선 상의 각 0이 아닌 요소의 역수를 취하고, 0은 그대로 둔 채 유사역행렬을 얻는다. 수치 계산에서, 일부 작은 허용 오차보다 큰 요소만 0이 아닌 것으로 간주하고, 나머지는 0으로 대체된다. 예를 들어, MATLAB 또는 GNU Octave 함수에서, 허용 오차는

t = \epsilon \cdot \max(m, n) \cdot \max(\Sigma)

로 간주되며, 여기서

\epsilon

는 머신 엡실론이다.

이 방법의 계산 비용은 SVD 계산 비용에 의해 지배되는데, 이는 최첨단 구현(예: LAPACK의 구현)을 사용하더라도 행렬-행렬 곱셈보다 몇 배 더 높다.

위의 절차는 유사역행렬을 취하는 것이 연속적인 연산이 아닌 이유를 보여준다. 원래 행렬

A

가 특잇값 0 (위의 행렬

\Sigma

의 대각선 항목)을 가지고 있다면,

A

를 약간 수정하면 이 0을 작은 양수로 바꿀 수 있으며, 이는 작은 수의 역수를 취해야 하므로 유사역행렬에 극적으로 영향을 미친다.

9. 5. 블록 행렬

블록 구조화된 행렬의 유사역행렬을 계산하기 위한 최적화된 접근 방식이 존재한다.

9. 6. 벤-이스라엘과 코헨의 반복법

유사역행렬(드라진 역행렬)을 계산하는 또 다른 방법은 다음의 재귀식을 사용하는 것이다.

: ''A''_''i''+1 = 2''A''_i - ''A''_i''A'' ''A''_i

이는 때때로 초거듭제곱 수열이라고 불린다. 이 재귀식은 ''A''₀''A'' = (''A''₀''A'')^*를 만족하는 적절한 ''A''₀로 시작하면 ''A''의 유사역행렬로 2차 수렴하는 수열을 생성한다. ''σ''₁(''A'')가 ''A''의 최대 특이값을 나타낼 때 ''A''₀ = ''αA''^* (여기서 0 < ''α'' < 2/''σ''²₁(''A''))를 선택하는 것은 위에 언급된 SVD를 사용하는 방법과 경쟁력이 없다고 주장되어 왔다.^[47] 이유는 중간 정도의 조건이 나쁜 행렬의 경우에도 ''A''_''i''가 2차 수렴 영역에 들어가기까지 오랜 시간이 걸리기 때문이다.^[48] 그러나 ''A''₀가 이미 무어-펜로즈 역행렬에 가깝고 ''A''₀''A'' = (''A''₀''A'')^*인 경우, 예를 들어 ''A''₀ := (''A''^*''A'' + ''δI'')^-1''A''^*라면, 수렴이 빠르다(2차).

9. 7. 유사역행렬의 갱신

행렬

A

가 전체 행 또는 열 랭크를 가지고, 상관 행렬의 역행렬 (전체 행 랭크를 가진

A

의 경우

A A^*

, 전체 열 랭크의 경우

A^*A

)이 이미 알려진 경우,

A

와 관련된 행렬의 유사역행렬은 셔먼-모리슨-우드버리 공식을 적용하여 상관 행렬의 역행렬을 업데이트함으로써 계산할 수 있으며, 이는 더 적은 작업을 필요로 할 수 있다.^[18]^[19] 특히, 관련 행렬이 변경, 추가 또는 삭제된 행 또는 열로만 원래 행렬과 다른 경우, 관계를 활용하는 점증적 알고리즘이 존재한다.^[49]

마찬가지로, 상관 행렬의 역행렬을 명시적으로 생성하지 않고도 행 또는 열이 추가될 때 촐레스키 인수를 업데이트하는 것이 가능하다. 그러나 일반적인 랭크 부족 사례에서 유사역행렬을 업데이트하는 것은 훨씬 더 복잡하다.^[20]^[21]^[50]^[51]

9. 8. 소프트웨어 라이브러리

LAPACK과 같은 표준 라이브러리는 특이값 분해(SVD), QR 분해, 역대입에 대한 고품질 구현을 제공한다. SVD를 직접 구현하는 것은 상당한 수치적 전문 지식이 필요한 대규모 프로그래밍 프로젝트이다. 그러나 병렬 컴퓨팅이나 임베디드 컴퓨팅과 같은 특수한 상황에서는 QR 분해를 사용하거나 명시적인 역행렬을 사용하는 대체 구현이 더 나을 수 있으며, 사용자 정의 구현이 불가피할 수도 있다.

NumPy 파이썬 패키지는 `matrix.I` 및 `linalg.pinv` 함수를 통해 유사역행렬 계산을 제공하며, `linalg.pinv`는 SVD 기반 알고리즘을 사용한다. SciPy는 최소 자승 해법을 사용하는 `scipy.linalg.pinv` 함수를 추가한다.

R용 MASS 패키지는 `ginv` 함수를 통해 무어-펜로즈 역행렬 계산을 제공한다.^[22] `ginv` 함수는 기본 R 패키지의 `svd` 함수가 제공하는 특이값 분해를 사용하여 유사역행렬을 계산한다. 대안은 pracma 패키지에서 제공하는 `pinv` 함수를 사용하는 것이다.

옥타브 프로그래밍 언어는 표준 패키지 함수 `pinv` 및 `pseudo_inverse()` 메서드를 통해 유사역행렬을 제공한다.

줄리아에서는 표준 라이브러리의 LinearAlgebra 패키지가 특이값 분해를 통해 구현된 무어-펜로즈 역행렬 `pinv()`의 구현을 제공한다.^[23]

10. 일반화

더 일반적인 최소 자승 문제를 해결하기 위해, 두 힐베르트 공간 H_1|H₁^영어과 H_2|H₂^영어 사이의 모든 연속 선형 연산자 A: H_1 \rarr H_2|A: H₁ → H₂^영어에 대해 무어-펜로즈 유사역행렬을 정의할 수 있으며, 이는 위에서 정의한 네 가지 조건을 동일하게 사용한다. 모든 연속 선형 연산자가 이 의미에서 연속 선형 유사역행렬을 갖는 것은 아니라는 것이 밝혀졌다.^[27] 유사역행렬을 갖는 연산자는 정확히 H_2|H₂^영어에서 닫힌 집합인 범위를 갖는 연산자이다.

유사역행렬의 개념은 임의의 체에서 임의의 대합 자기 동형 사상을 갖는 행렬에 대해 존재한다. 이 보다 일반적인 설정에서 주어진 행렬은 항상 유사역행렬을 갖는 것은 아니다. 유사역행렬이 존재하기 위한 필요 충분 조건은 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}\left(A^* A\right) = \operatorname{rank}\left(A A^*\right)$ 이며, 여기서 $A^*$ 는 $A$ 의 전치에 대합 연산을 적용한 결과를 나타낸다. 유사역행렬이 존재한다면 유일하다.^[28]

'''예시''': 이 기사에서 다른 곳에서 고려된 대합과는 달리, 항등 대합을 갖춘 복소수 체를 고려해 보자. 이 의미에서 유사역행렬을 갖지 못하는 행렬이 존재하는가? 행렬 $A = \begin{bmatrix}1 & i\end{bmatrix}^\operatorname{T}$ 를 고려해 보자. $\operatorname{rank}\left(A A^\operatorname{T}\right) = 1$ 인 반면 $\operatorname{rank}\left(A^\operatorname{T} A\right) = 0$ 임을 관찰할 수 있다. 따라서 이 행렬은 이 의미에서 유사역행렬을 갖지 않는다.

추상 대수학에서 무어-펜로즈 역행렬은 *-정규 반군에서 정의될 수 있다. 이 추상적인 정의는 선형 대수학에서의 정의와 일치한다.

참조

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