바일 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 구성
- 3.1. 생성원과 기본 관계
4. 성질
5. 표현론
- 5.1. 양의 표수
6. 일반화
- 6.1. 클리포드 대수
7. 역사
8. 응용
참조

1. 개요

바일 대수는 체 K 위의 다항식환 K[x]에서 선형 변환들의 환으로, 함수 합성 및 덧셈에 대해 닫혀 있다. 두 변수에 대한 자유 단위 결합 대수의 몫환으로도 정의할 수 있으며, n개의 변수를 갖는 다항식들을 계수로 가지는 미분 연산자들의 환으로 일반화된다. 바일 대수는 양자역학에서 생성원이 물리량에 대응하는 자기 수반 작용소가 되도록 복소수를 계수로 정의되기도 한다. 이 대수는 단순환이며 영인자를 갖지 않는 비가환환의 예시이며, 일반 라이프니츠 법칙이 성립한다. 바일 대수는 양자역학의 불확정성 원리를 연구하기 위해 헤르만 바일에 의해 도입되었으며, 정준 양자화 과정에서 자연스럽게 나타난다.

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바일 대수
기본 정보
이름	바일 대수
로마자 표기	ba-il daesu
영어 명칭	Weyl algebra
정의
유형	결합 대수
생성원	x, y
관계	xy - yx = 1
성질
성질	단순환, 뇌터 환

2. 정의

체 $K$ 위의 1변수 다항식환 $K[x]$ 를 생각하면, 다음과 같은 꼴의 선형 변환 $K[x]\to K[x]$ 을 생각할 수 있다.

: $\sum_{i=1}^nf_i(x)\partial_x^n+\cdots+f_1(x)\partial_x+f_0(x)$

이러한 선형 변환들은 덧셈 및 함수의 합성에 대하여 닫혀 있어 환을 이룬다. 이를 '''바일 대수'''라고 한다.

바일 대수는 두 변수에 대한 자유 단위 결합 대수 $K\langle x,p\rangle$ 의, 아이디얼 $(xp-px-1)$ 에 대한 몫환으로도 정의할 수 있다.

바일 대수를 일반화하여 ''n''-바일 대수도 정의할 수 있다. 이는 ''n''개의 변수를 가지는 다항식들을 계수로 가지는 미분 연산자들의 환이다. 즉, 다음과 같다.

: $\frac{K\langle x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\rangle}{(x_1p_1-p_1x_1-1,\dots,x_np_n-p_nx_n-1)}$

''n''-차 바일 대수 ''A''_''n''은 ''n''-변수 다항식 계수의 미분 작용소가 이루는 환으로 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

: $A_n := F[x_1,\ldots,x_n;\,\partial_1,\ldots,\partial_n]$

''A''_''n''에서의 기본 관계식은 다음과 같이 주어진다(δ_''ij''는 크로네커 델타).

: $[x_j,x_k] = 0, \quad[\partial_j,\partial_k] = 0, \quad[x_j,\partial_k] = -\delta_{jk}$

이는, 다항식의 각 변수에 관한 미분에 대해 순차적으로 Ore extension|오어 확장^영어을 적용함으로써 바일 대수가 구성됨을 나타낸다.

3. 구성

바일 대수는 양자역학의 정준 양자화 과정에서 자연스럽게 나타나며, 다음과 같은 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

미분 연산자 표현: 에르빈 슈뢰딩거의 정준 양자화와 유사하게, $q_j$ 를 $x_j$ 의 왼쪽 곱셈으로, $p_j$ 를 $\partial_{x_j}$ 의 왼쪽 미분으로 표현한다.
행렬 표현: 행렬 역학과 유사하게, $A_1$ 은 다음과 같은 행렬로 표현된다.

:

P=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\0 & 0 & 2 & 0 & \cdots \\0 & 0 & 0 & 3 & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{bmatrix}, \quad Q=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{bmatrix}

하이젠베르크 대수의 몫환: 하이젠베르크 대수의 보편 포락 대수의 몫환으로도 볼 수 있다.
대칭 대수의 양자화: 대칭 대수의 양자화로 볼 수 있으며, 모얄 곱과 관련된다.
D-가군: D-가군으로 구성될 수 있다.

체

K

위의 1변수 다항식환

K[x]

를 생각하면, 다음과 같은 꼴의 선형 변환

K[x]\to K[x]

들이 덧셈 및 함수의 합성에 대하여 닫혀 있어 환을 이루는데, 이를 바일 대수라고 한다.

:

\sum_{i=1}^nf_i(x)\partial_x^n+\cdots+f_1(x)\partial_x+f_0(x)

바일 대수 '''W'''('''V''')는 양자화된 대칭 대수 Sym('''V''')이다. ''V''가 표수가 0인 체 위에 있다면, '''W'''('''V''')는 변형된 곱을 갖춘 대칭 대수 Sym('''V''')의 기저 벡터 공간과 자연스럽게 동형이다. 이 곱은 그로네월드-모얄 곱이라고 불린다. 이 동형사상은 Sym('''V''')에서 '''W'''('''V''')로의 대칭화 사상에 의해 주어진다.

:

a_1 \cdots a_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} a_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\sigma(n)}~.

외대수의 경우, 바일 대수와 유사한 양자화는 클리포드 대수이며, 이는 ''직교 클리포드 대수''라고도 불린다. 바일 대수는 '''심플렉틱 클리포드 대수'''라고도 불린다. 바일 대수는 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 위해 클리포드 대수가 나타내는 것과 동일한 구조를 심플렉틱 쌍선형 형식에 대해 나타낸다.

3. 1. 생성원과 기본 관계

바일 대수는 두 변수에 대한 자유 단위 결합 대수

K\langle x,p\rangle

의, 아이디얼

(xp-px-1)

에 대한 몫환으로 정의할 수 있다. 일반화된 ''n''-바일 대수는 ''n''개의 변수를 가지는 다항식들을 계수로 가지는 미분 연산자들의 환으로 다음과 같이 정의된다.

:

\frac{K\langle x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\rangle}{(x_1p_1-p_1x_1-1,\dots,x_np_n-p_nx_n-1)}

양자역학에서는 생성원이 물리량에 대응하는 자기 수반 작용소가 되도록, 복소수를 계수로 하여 ∂ 대신

\scriptstyle i\hbar\partial

를 생성원으로 바일 대수를 정의하기도 한다.

위에 도입된 대수 ''W''(''X'')는 두 개의 생성원 ''X'', ''Y''와 그들 사이의 관계 ''YX'' − ''XY'' − 1 에 의해 자유롭게 생성된 선형환으로 간주할 수 있다.

마찬가지로 대수 ''A''_''n''을 생성원과 기본 관계에 의해 추상적으로 줄 수도 있다. ''n''-차 바일 대수 ''A''_''n''에서의 기본 관계식은 다음과 같다.

:

[x_j,x_k] = 0, \quad[\partial_j,\partial_k] = 0, \quad[x_j,\partial_k] = -\delta_{jk}

(δ_''ij''는 크로네커 델타).

심플렉틱 형식 ''ω''가 갖춰진 (2''n''차원) 추상 벡터 공간 ''V''를 이용하여 바일 대수 ''W''(''V'')를 구성할 수 있다. 바일 대수 ''W''(''V'')는 다음과 같이 정의된다.

:

W(V) := T(V) / (\!( v \otimes u - u \otimes v - \omega(v,u), \text{ for } v,u \in V )\!),

여기서 ''T''(''V'')는 ''V''에 대한 텐서 대수이며,

(\!( )\!)

는 "다음에 의해 생성된 아이디얼"을 의미한다.

다시 말해, ''W''(''V'')는 ''vu'' − ''uv'' ''ω''(''v'', ''u'') 관계만을 갖는 ''V''에 의해 생성된 대수이다.

4. 성질

바일 대수는 나눗셈환 위에서 정의된 행렬환이 아닌 단순환이다. 영인자를 갖지 않는 비가환환의 예시이며, 오레 확장을 이룬다. 바일 대수의 중심은 상수체 F이다.

바일 대수 ''W''(''V'')는 양자화된 대칭 대수 Sym(''V'')이다. ''V''가 표수가 0인 체 위에 있다면, ''W''(''V'')는 변형된 곱을 갖춘 대칭 대수 Sym(''V'')의 기저 벡터 공간과 자연스럽게 동형이다. 이 곱은 그로네월드-모얄 곱이라고 불린다.

이 동형사상은 Sym(''V'')에서 ''W''(''V'')로의 대칭화 사상에 의해 주어진다.

: $a_1 \cdots a_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} a_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\sigma(n)}~.$

양자역학에서는 생성원이 물리량에 대응하는 자기 수반 작용소가 되도록, 복소수를 계수로 하여 ∂ 대신 $\scriptstyle i\hbar\partial$ 를 생성원으로 바일 대수를 정의하기도 한다.

바일 대수는 단순환이자 정역이다.

$A_1$ 의 많은 속성은 본질적으로 유사한 증명을 통해 $A_n$ 에도 적용되는데, 그 이유는 서로 다른 차원이 교환 가능하기 때문이다. ''F''를 체로 하고, ''F''에 계수를 가지며 ''X''를 변수로 하는 일변수 다항식환 ''F''[''X'']의 원소나 그 위의 미분 작용소를 생각한다. 다항식을 계수로 하는 미분 작용소는 일반적으로

: $f_n(X) \partial_X^n + \cdots + f_1(X) \partial_X + f_0(X)$

의 형태로 쓸 수 있다. 이는 변수 ''X''에 관한 미분을 ∂_''X''라고 할 때, ''X''와 ∂_''X''가 ''F''상에서 생성하는 다원환 ''W''(''X'') := ''F''[''X''; ∂_''X'']의 원소이다. 곱의 미분 법칙(라이프니츠 규칙)에 의해 ∂_''X''(''X''φ) = (1 + ''X''∂_''X'')φ가 되므로, 작용소로서 ''X''와 ∂_''X'' 사이에는

: $\partial_X X = X\partial_X + 1 \iff [\partial_X, X]=1$

라는 관계가 있다. 이 ''W''(''X'')는 바일 대수라고 총칭되는 다원환의 무한 수열의 첫 번째 것이 된다. 보다 일반적으로, ''n''-차 바일 대수 ''A''_''n''은 ''n''-변수 다항식 계수의 미분 작용소가 이루는 환

: $A_n := F[x_1,\ldots,x_n;\,\partial_1,\ldots,\partial_n]$

이며, ''A''_''n''에서의 기본 관계식은

: $[x_j,x_k] = 0, \quad[\partial_j,\partial_k] = 0, \quad[x_j,\partial_k] = -\delta_{jk}$

로 주어진다(δ_''ij''는 크로네커 델타). 이는, 다항식의 각 변수에 관한 미분에 대해 순차적으로 오레 확장을 적용함으로써 바일 대수가 구성됨을 나타낸다.

4. 1. 일반 라이프니츠 법칙

[q, q^m p^n] = -nq^mp^{n-1}

및

[p, q^mp^n] = mq^{m-1}p^n

이다.

4. 2. 차수

바일 대수의 원소

\sum_{m, n} c_{m,n} q^m p^n

의 차수는 0이 아닌 단항식 중

\max (m + n)

으로 정의된다.

A_n

에 대해서도 차수는 유사하게 정의된다.

A_n

에 대해 다음이 성립한다.^[1]

$\deg(g + h) \leq \max(\deg(g), \deg(h))$
$\deg([g, h]) \leq \deg(g) + \deg(h) - 2$
$\deg(g h) = \deg(g) + \deg(h)$

여기서 첫 번째 관계는 정의에 따른 것이고, 두 번째 관계는 일반적인 라이프니츠 규칙에 따른 것이다. 세 번째 관계의 경우,

\deg(g h) \leq \deg(g) + \deg(h)

이므로,

gh

가 차수가

\deg(g) + \deg(h)

인 0이 아닌 단항식을 적어도 하나 포함하는지 확인하면 충분하다.

g

에서 가장 높은 차수를 갖는 단항식을 선택하고, 여러 개가 있다면

q

의 가장 높은 거듭제곱을 갖는 단항식을 선택한다.

h

에 대해서도 마찬가지로 선택한다. 이 두 단항식을 곱하면

gh

에서 고유한 단항식이 생성되어 0이 아니게 된다.^[1]

4. 3. 도함수

바일 대수의 도함수는 가산적인 스칼라까지

A_n

의 원소와 일대일 대응을 이룬다. 즉, 모든 도함수

D

는 어떤

f \in A_n

에 대해

[\cdot, f]

와 같고, 모든

f\in A_n

은 도함수

[\cdot, f]

를 생성하며,

f, f' \in A_n

가

[\cdot, f] = [\cdot, f']

를 만족하면

f - f' \in F

이다.

이는 평면상의 보존적인 다항식 벡터장의 포텐셜 함수를 계산하는 것과 유사하게 증명할 수 있다.^[1]

교환자가 두 항목 모두에서 도함수이므로, 모든

f\in A_n

에 대해

[\cdot, f]

는 도함수이다. 가산적인 스칼라까지의 유일성은

A_n

의 중심이 스칼라의 링이기 때문이다.

모든 도함수가

n

에 대한 귀납법으로 내부 도함수임을 증명하는 과정은 다음과 같다.

기저 사례:

D: A_1 \to A_1

이 도함수인 선형 맵이라고 하자.

[p, r] = D(p), [q,r] = D(q)

를 만족하는 원소

r

을 구성한다.

D

와

[\cdot, r]

둘 다 도함수이므로, 이 두 관계는 모든

g\in A_1

에 대해

[g, r] = D(g)

를 생성한다.

[p, q^mp^n] = mq^{m-1}p^n

이므로,

f = \sum_{m,n} c_{m,n} q^m p^n

이 존재하여 다음이 성립한다.

[p, f] =  \sum_{m,n} m c_{m,n} q^m p^n = D(p)

또한 다음이 성립한다.

\begin{aligned}0 &\stackrel{[p, q] = 1}{=} D([p, q]) \\&\stackrel{D \text{ is a derivation}}{=} [p, D(q)] + [D(p), q] \\&\stackrel{[p,f] = D(p)}{=}  [p, D(q)] + &\stackrel{\text{Jacobi identity}}{=} [p, D(q) - [q, f]]\end{aligned}

따라서, 어떤 다항식

g

에 대해

D(q) = g(p) + [q, f]

이다.

[q, q^m p^n] = -nq^mp^{n-1}

이므로,

[q, h(p)] = g(p)

를 만족하는 어떤 다항식

h(p)

가 존재한다.

[p, h(p)] = 0

이므로,

r = f + h(p)

가 원하는 원소이다.

귀납 단계: 위의 계산과 유사하게,

[q_1, r] = D(q_1), [p_1, r] = D(p_1)

를 만족하는 어떤 원소

r \in A_n

이 존재한다.

마찬가지로 모든

x \in \{p_1, q_1\}, y \in \{p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\}

에 대해 다음이 성립한다.

[x, D(y) - [y, r]] = 0

[x, D(y) - [y, r]]

가

x

와

y

모두에서 도함수이므로, 모든

x\in \langle p_1, q_1\rangle

와 모든

y \in \langle p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\rangle

에 대해

[x, D(y) - [y, r]] = 0

이다. 여기서,

\langle \rangle

는 원소에 의해 생성된 부분 대수를 의미한다.

따라서 모든

y \in \langle p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\rangle

에 대해, 다음이 성립한다.

D(y) - [y, r] \in \langle p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\rangle

D - [\cdot, r]

도 도함수이므로, 귀납법에 의해, 모든

y \in \langle p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\rangle

에 대해

D(y) - [y, r] = [y, r']

를 만족하는

r' \in \langle p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\rangle

이 존재한다.

p_1, q_1

이

\langle p_2, \dots, p_n, q_2, \dots, q_n\rangle

와 교환되므로, 모든

y \in \{p_1, \dots, p_n, q_1, \dots, q_n\}

에 대해

D(y) = [y, r + r']

이고, 따라서 모든

A_n

에 대해 성립한다.

5. 표현론

기저체 F|에프^영어가 표수가 0인 경우, ''n''차 바일 대수는 단순 노에터 정역이다.^[1] 이는 변형하는 환인 Sym(''V'')와 대조적으로 전역 차원이 ''n''이며, Sym(''V'')는 전역 차원이 2''n''이다.

바일 대수는 유한 차원 표현을 갖지 않는다. 이는 단순성에서 비롯되지만, 몇몇 유한 차원 표현 ''σ''에 대해 ''σ''(''q'')와 ''σ''(''Y'')의 대각합을 취함으로써 더 직접적으로 보일 수 있다. (여기서 )

: $\mathrm{tr}([\sigma(q),\sigma(Y)])=\mathrm{tr}(1)~.$

교환자의 대각합은 0이고 항등원의 대각합은 표현의 차원이므로 표현은 0차원이어야 한다.

베른슈타인의 부등식에 따르면, 임의의 유한 생성 ''A_n''-가군 ''M''에 대해 '특성 다양체'라고 하는 의 해당 부분 다양체의 크기는 대략 ''M''의 크기에 해당하며(유한 차원 가군은 0차원 특성 다양체를 갖는다), ''M''이 0이 아닐 때 다음이 성립한다.

: $\dim(\operatorname{char}(M))\geq n$

5. 1. 양의 표수

표수가 0보다 큰 체 위의 바일 대수는 그렇지 않은 경우와 성질이 상당히 다르다.

이 경우, 바일 대수의 임의의 원소 ''D''에 대해, 원소 ''D^p''는 중심에 속하며, 따라서 바일 대수는 매우 큰 중심을 갖는다. 사실, 이는 중심 위에서 유한 생성 모듈이며, 더 나아가 중심 위의 아주마야 대수이다. 결과적으로, 모두 차원 ''p''의 단순 표현으로 구성된 많은 유한 차원 표현이 존재한다.

6. 일반화

아이디얼과 $A_1$ 의 자기 동형 사상은 활발히 연구되어 왔다. 오른쪽 아이디얼에 대한 모듈러스 공간이 알려져 있다. 그러나 $A_n$ 의 경우는 훨씬 더 어렵고 야코비안 추측과 관련이 있다.

바일 대수는 대수적 다양체의 경우에도 일반화된다. 다항식 환

: $R = \frac{\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]}{I}.$

에서, 미분 연산자는 $R$ 의 $\mathbb{C}$ -선형 도함수의 합성으로 정의된다. 이는 몫환으로 다음과 같이 설명할 수 있다.

: $\text{Diff}(R) = \frac{\{ D \in A_n\colon D(I) \subseteq I \}}{ I\cdot A_n}.$

6. 1. 클리포드 대수

외대수의 양자화인 클리포드 대수는 ''직교 클리포드 대수''라고도 불린다. 바일 대수는 '''심플렉틱 클리포드 대수'''라고도 불리며,^[1]^[2]^[3] 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 위해 클리포드 대수가 나타내는 것과 동일한 구조를 심플렉틱 쌍선형 형식에 대해 나타낸다.

7. 역사

헤르만 바일이 양자역학의 불확정성 원리를 수학적으로 연구하기 위해서 바일 대수를 도입하였다.

8. 응용

바일 대수는 양자역학과 정준 양자화 과정에서 자연스럽게 나타난다. 정준 좌표 $(q_1, p_1, \dots, q_n, p_n)$ 을 갖는 고전적인 위상 공간을 생각해 보자. 이러한 좌표는 다음과 같은 푸아송 괄호 관계를 만족시킨다.

:: $\{q_i, q_j\} = 0, \quad \{p_i, p_j\} = 0, \quad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}.$

정준 양자화에서, 상태의 힐베르트 공간을 구성하고 고전적인 관측 가능량(위상 공간상의 함수)을 이 공간의 자기 수반 연산자로 나타내려고 한다. 정준 교환 관계는 다음과 같다.

:: $[\hat{q}_i, \hat{q}_j] = 0, \quad [\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0, \quad [\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij},$

여기서 $[\cdot, \cdot]$ 는 교환자를 나타낸다. $\hat{q}_i$ 와 $\hat{p}_i$ 는 각각 $q_i$ 와 $p_i$ 에 해당하는 연산자이다. 에르빈 슈뢰딩거는 1926년에 다음을 제안했다.

$\hat{q_j}$ 를 $x_j$ 를 곱하는 것으로 나타낸다.
$\hat{p}_j$ 를 $-i\hbar \partial_{x_j}$ 로 나타낸다.

이러한 식별을 통해 정준 교환 관계가 성립한다.

참조

_[1] 웹사이트 Section 41.13 (039P): Étale and smooth morphisms—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2024-09-29
_[2] 웹사이트 etale morphism of schemes in nLab https://ncatlab.org/[...] 2024-09-29
_[3] 간행물 Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie http://www.numdam.or[...] 1964

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