불변 다항식

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 코호몰로지 관계
4. 예
- 4.1. 단순 리 대수의 불변 다항식
참조

1. 개요

불변 다항식은 체 K 위의 유한 차원 리 대수의 쌍대 공간 위에 정의된 대칭 대수의 특정 원소로, 리 대수의 불변성을 만족하는 다항식이다. L∞-대수의 베유 대수와 슈발레-에일렌베르크 대수의 코호몰로지와 관련되며, 리 대수의 분류 공간의 특이 코호몰로지와 연관된다. 단순 리 대수의 경우, 킬링 형식을 포함한 특정 차수의 불변 다항식을 가지며, 이는 리 군의 특이 코호몰로지 환을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.

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불변 다항식
불변 다항식
개요
세부 정보

2. 정의

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 의 쌍대 공간 $\mathfrak g^*$ 위의 대칭 대수

: $\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)$

를 생각하자. $\alpha\in\textstyle\operatorname{Sym}^n\mathfrak g^*$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mathfrak g$ 의 ''' $n$ 차 불변 다항식'''이라고 한다.

: $\sum_{i=0}^{n-1}\alpha(x_0,x_1,\dotsc,[x_i,x_{i+1}],\dotsc,x_n) = 0$

$\mathfrak g$ 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

2. 1. 불변 다항식

체

K

위의 유한 차원 리 대수

\mathfrak g

의 쌍대 공간

\mathfrak g^*

위의 대칭 대수

:

\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)

를 생각하자. 원소

\alpha\in\textstyle\operatorname{Sym}^n\mathfrak g^*

가 모든

x_0, \dots, x_n \in \mathfrak g

에 대해 다음 조건을 만족시킨다면,

\mathfrak g

의 '''

n

차 불변 다항식'''이라고 한다.

:

\sum_{i=0}^{n-1}\alpha(x_0,x_1,\dotsc,[x_i,x_{i+1}],\dotsc,x_n) = 0

여기서

[\cdot, \cdot]

는

\mathfrak g

의 리 괄호이다.

\mathfrak g

위의 불변 다항식은 각 차수별 불변 다항식들의 합으로 구성된다. 즉, 불변 다항식들의 공간은 다음과 같이 등급 벡터 공간을 이룬다.

:

\operatorname{Inv}(\mathfrak g) = \bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname{Inv}^n(\mathfrak g)

여기서

\operatorname{Inv}^n(\mathfrak g)

는

n

차 불변 다항식들의 공간이다.

2. 2. 베유 대수

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수

\mathfrak g

의 '''베유 대수'''(Weil algebra^영어)

\operatorname W(\mathfrak g)

는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며,

\mathfrak g^*

의 동차 원소 기저를

t^i

라고 할 때,

\operatorname W(\mathfrak g)

의 생성원은

t^i

및

\delta t^i

이다 (

\deg \delta t^i = 1+\deg t^i

). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

:

\mathrm dt^i = \mathrm d_{\mathrm{CE}}t^i + \delta t^i

:

\mathrm d\delta t^i = -\delta\mathrm d_{\mathrm{CE}}t^i

여기서

\mathrm d_{\operatorname{CE}}

란 슈발레-에일렌베르크 대수

\operatorname{CE}(\mathfrak g)

의 미분이다. 즉, 이는

\delta^2 = \{\mathrm d,\delta \} = 0

을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

:

\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)

:

t^i \mapsto t^i

:

\delta t^i \mapsto 0

이 존재한다.

2. 3. L_∞-대수의 불변 다항식

유한형 L_∞-대수

\mathfrak g

의 불변 다항식은 베유 대수

\operatorname W(\mathfrak g)

의 원소

\alpha\in\operatorname W(\mathfrak g)

중에서 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.^[3]

:

\alpha\in\bigwedge\delta\mathfrak g^* \subseteq\operatorname W(\mathfrak g)

:

\mathrm d_{\operatorname W(\mathfrak g)} \alpha = 0

즉, 베유 대수의 닫힌 원소 중에서

\delta\mathfrak g^*

만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다.

\mathfrak g

가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

:

\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)\subseteq\operatorname W(\mathfrak g) = \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*) \otimes \bigwedge(\mathfrak g^*)

의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

3. 성질

리 대수 $\mathfrak g$ 에 대응하는 불변 다항식의 공간 $\operatorname{inv}(\mathfrak g)$ , 베유 대수 $\operatorname W(\mathfrak g)$ , 슈발레-에일렌베르크 대수 $\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 는 리 군 $G$ 및 그와 관련된 위상 공간들의 특이 코호몰로지를 연구하는 데 중요한 대수적 도구로 사용된다.

특히, 이 대수들은 표수 0인 체 위에서 리 군 $G$ , 보편 주다발의 전체 공간 $\mathrm EG$ , 분류 공간 $\mathrm BG$ 의 특이 코호몰로지에 대한 대수적 모형을 제공한다. 이들 사이에는 다음과 같은 사슬 관계가 존재하며,

: $\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)$

이는 위상 공간들의 관계 $\mathrm BG\leftarrow\mathrm EG \leftarrow G$ 와 대응된다. 각 대수의 코호몰로지는 해당하는 위상 공간의 특이 코호몰로지와 같다는 중요한 성질을 가진다.

3. 1. 코호몰로지 관계

리 대수

\mathfrak g

에 대하여, 베유 대수

\operatorname W(\mathfrak g)

, 슈발레-에일렌베르크 대수

\operatorname{CE}(\mathfrak g)

, 그리고 불변 다항식의 공간

\operatorname{inv}(\mathfrak g)

사이에는 다음과 같은 사슬 관계가 존재한다.

:

\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)

이 대수적 구조는 리 군

G

와 관련된 위상 공간들의 관계를 표수 0인 체

K

위의 특이 코호몰로지 관점에서 설명하는 모형이다. 구체적으로, 이는

G

의 분류 공간

\mathrm BG

와 보편 주다발의 전체 공간

\mathrm EG

사이의 관계

:

\mathrm BG\leftarrow\mathrm EG \leftarrow G

에 대응된다. 즉, 각 대수의 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 대응하는 위상 공간의 특이 코호몰로지와 같다.

각 대수와 공간 사이의 구체적인 코호몰로지 관계는 다음과 같다.

베유 대수 $\operatorname W(\mathfrak g)$ 의 코호몰로지는 $\mathrm EG$ 의 특이 코호몰로지와 같다. $\mathrm EG$ 는 축약 가능 공간이므로, 그 코호몰로지는 0차에서만 $K$ 이고 나머지 차수에서는 0이다.

:

\operatorname H^\bullet(\operatorname W(\mathfrak g)) = \operatorname H^\bullet_{\text{sing}}(\mathrm EG; K) = \begin{cases} K & \bullet = 0 \\ 0 & \bullet \ne 0 \end{cases}

슈발레-에일렌베르크 대수 $\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 의 코호몰로지는 리 군 $G$ 의 특이 코호몰로지 $\operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(G;K)$ 와 같으며, 이는 또한 리 대수 $\mathfrak g$ 의 리 대수 코호몰로지 $\operatorname H^\bullet_{\text{LieAlg}}(\mathfrak g;K)$ 와 같다.

:

\operatorname H^\bullet(\operatorname{CE}(\mathfrak g)) = \operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(G;K) = \operatorname H^\bullet_{\text{LieAlg}}(\mathfrak g;K)

불변 다항식의 공간 $\operatorname{inv}(\mathfrak g)$ 은 그 자체로 코호몰로지 군으로 볼 수 있으며 (정의상 모든 원소가 닫힌 원소이므로), 이는 분류 공간 $\mathrm BG$ 의 특이 코호몰로지 $\operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(\mathrm BG;K)$ 와 같다.

:

\operatorname{inv}^\bullet(\mathfrak g) = \operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(\mathrm BG;K)

4. 예

체 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 를 생각해보자. 이 리 대수 $\mathfrak g$ 의 킬링 형식 $B$ 는 2차 불변 다항식의 대표적인 예이다.

킬링 형식 $B$ 는 $\mathfrak g$ 위의 대칭 쌍선형 형식으로, $B \in \operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*$ 로 표현할 수 있다. 이것이 불변 다항식이라는 것은 다음 조건을 만족한다는 의미이다.

: $B(x,[y,z]) - B([x,y],z) = 0\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g$

이 식은 리 대수의 연산 $[\cdot, \cdot]$ 에 대해 킬링 형식이 불변함을 보여준다.

4. 1. 단순 리 대수의 불변 다항식

계수

n

의 단순 리 대수는

n

개의 독립적인 불변 다항식을 가진다. 각 단순 리 대수 유형별 불변 다항식의 차수는 다음과 같다.^[4]

단순 리 대수	불변 다항식의 차수
$\mathfrak a_n$	2, 3, …, n+1
$\mathfrak b_n$ , $\mathfrak c_n$	2, 4, 6, …, 2n
$\mathfrak d_n$	2, 4, 6, …, 2n−2, n
$\mathfrak e_6$	2, 5, 6, 8, 9, 12
$\mathfrak e_7$	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
$\mathfrak e_8$	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
$\mathfrak f_4$	2, 6, 8, 12
$\mathfrak g_2$	2, 6

위 표에서 "차수"는 다항식으로서의 차수를 의미한다. 모든 단순 리 대수에서 가장 낮은 차수의 불변 다항식은 항상 2차이며, 이는 해당 리 대수의 킬링 형식에 해당한다.

이 불변 다항식의 차수들은 해당 리 대수에 대응하는 콤팩트 리 군의 위상적 성질과 깊은 관련이 있다. 구체적으로, 이 차수들은 리 군의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환의 구조를 결정한다. 만약 어떤 단순 리 대수의 불변 다항식 차수가 $d_1, d_2, \dotsc, d_r$ (여기서 $r$ 은 리 대수의 계수)이라면, 해당 리 군의 특이 코호몰로지 환은 각각 차수가 $2d_i - 1$ 인 $r$ 개의 생성원으로 생성되는 외대수이다.

: $\deg x_i = 2d_i-1$

이 관계를 통해 리 군의 전체 차원 또한 계산할 수 있다.

: $\dim G = \sum_{i=1}^r (2d_i-1)$

각 리 대수 유형별 불변 다항식의 구체적인 형태는 해당 리 대수의 표현 방식에 따라 다르게 나타나며, 자세한 내용은 각 리 대수 유형별 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 1. A_n형 리 대수

\mathfrak a_n

형 리 대수는 특수 유니터리 군 SU(n+1)에 대응하는 리 대수로,

\mathfrak{su}(n+1)

로 표기한다. 이 리 대수의 원소는

(n+1)\times (n+1)

크기의 행렬로 표현될 수 있으며, 구체적으로는 대각합이 0인 반 에르미트 행렬이다.

\mathfrak a_n

의 불변 다항식은 이러한 행렬

M

을 이용하여 정의된다.

k

차 불변 다항식

p_k(M)

은 행렬

M

의

k

거듭제곱의 대각합으로 주어진다.

:

p_k(M) = \operatorname{tr}_{(n+1)\times(n+1)}(M^k)

여기서

\operatorname{tr}

은 행렬의 대각합을 의미한다.

만약

k=1

이라면, 행렬

M

은 대각합이 0이므로

p_1 = \operatorname{tr}(M) = 0

이다. 또한,

k \ge n+2

인 경우의 불변 다항식

p_k

는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있으므로, 독립적인 불변 다항식으로 취급하지 않는다.

결과적으로

\mathfrak a_n

형 리 대수의 독립적인 불변 다항식들은 차수가 2, 3, …, ''n''+1인 것들이다.^[4]

4. 1. 2. B_n, C_n형 리 대수

\mathfrak b_n

형 단순 리 대수와

\mathfrak c_n

형 단순 리 대수의 불변 다항식은 각각

n

개 존재하며, 그 차수는 2, 4, 6, …, 2

n

이다.^[4]

4. 1. 3. D_n형 리 대수

\mathfrak d_n

형 단순 리 대수의 불변 다항식은 총

n

개가 존재하며, 그 차수는 2, 4, 6, …, 2''n''−2, ''n'' 이다.^[4] 이는 특수 직교 리 대수

\mathfrak{so}(2n)

에 해당한다.

\mathfrak{so}(2n)

의 원소는 반대칭

2n \times 2n

행렬

M

으로 나타낼 수 있다. 이 행렬

M

을 이용하여 불변 다항식을 구성할 수 있다. 기본적인 불변 다항식은 행렬

M

의 짝수 거듭제곱의 대각합(trace)으로 주어진다.

:

p_k(M) = \operatorname{tr}(M^k)

여기서

k

는 짝수이다.

M

이 반대칭 행렬이므로,

k

가 홀수일 경우에는

\operatorname{tr}(M^k) = 0

이 되기 때문이다. 따라서

\mathfrak d_n

의 불변 다항식 중 차수가 2, 4, …, 2''n''−2인 것들은 이러한

p_k

(단,

k=2, 4, \dots, 2n-2

)에 해당한다.

추가적으로, 차수가

n

인 불변 다항식이 하나 더 존재한다. 이는 다음과 같이 정의된다.

:

q(M) = \epsilon^{i_1j_1i_2j_2\dotsb i_nj_n}M_{i_1j_1} \dotsm M_{i_nj_n}

여기서

\epsilon^{i_1j_1\dotsb i_nj_n}

은 레비치비타 기호이고,

M_{ij}

는 행렬

M

의

(i, j)

성분이다. 이

q(M)

은 행렬식과 유사한 형태를 가지며,

\mathfrak d_n

리 대수의 중요한 불변량 중 하나이다.

4. 1. 4. E₆, E₇, E₈, F₄, G₂형 리 대수

E₆, E₇, E₈, F₄, G₂형 단순 리 대수의 불변 다항식 차수는 다음과 같다.^[4]

단순 리 대수	불변 다항식의 차수
$\mathfrak e_6$	2, 5, 6, 8, 9, 12
$\mathfrak e_7$	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
$\mathfrak e_8$	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
$\mathfrak f_4$	2, 6, 8, 12
$\mathfrak g_2$	2, 6

참조

_[1] 웹사이트 invariant polynomial in nLab https://ncatlab.org/[...]
_[2] 웹사이트 Invariant Theory with Applications http://www.win.tue.n[...]
_[3] 저널 Čech cocycles for differential characteristic classes — an ∞-Lie theoretic construction 2011
_[4] 서적 Reflection groups and Coxeter groups 1990

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