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상자 속 입자

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목차

1. 개요

상자 속 입자 모델은 양자역학에서 입자가 갇힌 공간 내에서 움직이는 것을 설명하는 데 사용되는 간단한 모델이다. 이 모델은 1차원, 2차원, 3차원 상자 속 입자를 포함하며, 입자는 상자 내에서 자유롭게 움직이지만, 상자 벽에서는 무한대의 퍼텐셜 장벽에 의해 갇혀 있다. 이 모델은 슈뢰딩거 방정식을 통해 해를 구하며, 파동 함수와 양자화된 에너지 준위를 얻는다. 상자 속 입자 모델은 공액 폴리엔, 양자 우물 레이저, 양자점 등 다양한 물리적 시스템에 대한 근사 해를 구하는 데 응용되며, 특히 광전자 공학 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 1차원 상자 속 입자

상자 속 입자 모델의 가장 간단한 형태는 1차원 시스템으로, 입자는 뚫을 수 없는 장벽 사이의 직선을 따라 앞뒤로만 움직일 수 있다.[1] 1차원 상자의 벽은 무한히 큰 퍼텐셜 에너지를 가진 공간이며, 상자 내부는 일정하고 0의 퍼텐셜 에너지를 갖는다.[2] 이는 상자 내부의 입자에 아무런 힘이 작용하지 않아 자유롭게 움직일 수 있음을 의미한다. 그러나 벽에 닿으면 무한히 큰 힘이 입자를 밀어내 탈출을 막는다.



양자역학에서 파동 함수는 입자의 거동에 대한 가장 근본적인 설명을 제공하며, 위치, 운동량, 에너지 등 측정 가능한 성질은 모두 파동 함수에서 파생될 수 있다.[3] 파동 함수 \psi(x,t)는 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻을 수 있다.

::i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) +V(x)\psi(x,t),

여기서 \hbar는 환산 플랑크 상수, m은 입자의 질량, i는 허수 단위, t는 시간이다.

상자 안에서는 입자에 작용하는 힘이 없으므로, 파동 함수는 자유 입자와 동일하게 공간과 시간 속에서 진동한다.[1][4]

1차원 상자 속 입자에서 처음 4개 상태에 대한 초기 파동 함수


각 허용 파수에 해당하는 에너지는 다음과 같다.

:E_n = \frac{n^2\hbar^2 \pi ^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.

에너지 준위는 n^2에 따라 증가하므로, 고에너지 준위는 저에너지 준위보다 더 큰 간격으로 분리된다. 입자의 가장 낮은 가능 에너지(영점 에너지)는 상태 1에서 발견되며, 다음과 같다.[8]

:E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} = \frac{h^2}{8mL^2}.

따라서 입자는 항상 양의 에너지를 갖는다. 이는 고전 시스템과는 대조적인데, 고전 시스템에서는 입자가 움직이지 않고 정지해 있을 때 0의 에너지를 가질 수 있다. 이는 불확정성 원리로 설명할 수 있다.[8]

2. 1. 퍼텐셜

1차원 상자 속 입자의 퍼텐셜, 우물 안에선 퍼텐셜이 0이고 우물 밖에선 무한대이다.


1차원 상자 속 입자의 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

:V(x)|V(x)영어 = {{lang|en|\left\{\begin{matrix}

0 & 0
\infty & \mbox{otherwise}\end{matrix}\right.|V(x) = 0 (0
상자 속 입자 모델의 가장 간단한 형태는 1차원 시스템이다. 여기에서 입자는 양쪽 끝에 뚫을 수 없는 장벽이 있는 직선을 따라 앞뒤로만 움직일 수 있다.[1] 1차원 상자의 벽은 무한히 큰 퍼텐셜 에너지를 가진 공간으로 볼 수 있다. 반대로, 상자 내부는 일정하고 0의 퍼텐셜 에너지를 갖는다.[2] 이는 상자 내부의 입자에 아무런 힘이 작용하지 않아 해당 영역에서 자유롭게 움직일 수 있음을 의미한다. 그러나 무한히 큰 힘이 상자 벽에 닿으면 입자를 밀어내 탈출을 막는다. 이 모델의 퍼텐셜 에너지는 다음과 같다.

:{{lang|en|V(x) = \begin{cases}

0, & x_c-\tfrac{L}{2} < x
\infty, & \text{otherwise,}

\end{cases}|V(x) = 0 (xc-L/2 < x < xc+L/2 일 때), 그 외에는 무한대}}

여기서 ''L''은 상자의 길이, ''xc''는 상자 중심의 위치, ''x''는 상자 내 입자의 위치이다. 간단한 예로는 중심 상자 (''xc'' = 0)와 이동된 상자 (''xc'' = ''L''/2) 가 있다.

우물형 퍼텐셜의 본질은 1차원에서 거의 설명이 가능하므로 이 경우를 중점적으로 설명한다. 먼저, 포텐셜이 무한히 깊은 경우, 즉 인 계를 생각한다. 이 경우의 슈뢰딩거 방정식은 엄밀하게 풀 수 있다. 또한, 포텐셜에는 상수만큼의 불확정성이 있으므로, V_0 = 0|V0=0영어으로 둔다. 이 때 문제를 정리하면,

:

이 된다.

현실적으로는, 포텐셜은 무한대가 될 수 없으므로, 대략적인 근사이지만, 양자론의 기초를 이해하는 데 큰 영향은 없다.

2. 2. 해

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀고 표준화를 하면 다음과 같은 파동함수와 양자화된 에너지 상태를 얻는다.[1]

::\psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} \,

::E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2 \,

여기서,

:n=1,2,3,\ldots \;

이다.

양자역학에서, 파동 함수는 입자의 거동에 대한 가장 근본적인 설명을 제공하며, 입자의 측정 가능한 성질 (위치, 운동량, 에너지 등)은 모두 파동 함수에서 파생될 수 있다.[3] 파동 함수 \psi(x,t)는 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻을 수 있다.

::i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) +V(x)\psi(x,t),

여기서 \hbar는 환산 플랑크 상수, m은 입자의 질량, i는 허수 단위, t는 시간이다.

상자 안에서는 입자에 작용하는 힘이 없으며, 이는 상자 안의 파동 함수의 형태가 자유 입자와 동일하게 공간과 시간 속에서 진동한다는 것을 의미한다.[1][4] 이 때 파동함수는 다음과 같다.

::\psi(x,t) = \left[A \sin(kx) + B \cos(kx)\right]e^{-i\omega t},

여기서 A와 B는 임의의 복소수이다. 공간과 시간 속의 진동의 주파수는 각각 파동수 k와 각진동수 \omega로 주어진다. 이들은 모두 입자의 총 에너지와 다음과 같은 식으로 관련되어 있다.

::E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m},

이는 자유 입자에 대한 분산 관계로 알려져 있다.[2]

주어진 위치에서 파동 함수의 진폭은 P(x,t) = |\psi(x,t)|^2를 통해 입자를 찾을 확률과 관련이 있다. 따라서 파동 함수는 상자의 가장자리 너머에서는 모든 곳에서 사라져야 한다.[1] 또한, 파동 함수의 진폭은 한 지점에서 다음 지점으로 갑자기 "점프"할 수 없다.[1] 이러한 두 가지 조건은 다음과 같은 형태의 파동 함수에서만 만족된다.

::\psi_n(x,t) =

\begin{cases}

A \sin\left(k_n \left(x-x_c+\tfrac{L}{2}\right)\right) e^{-i\omega_n t}\quad & x_c-\tfrac{L}{2} < x < x_c+\tfrac{L}{2}\\

0 & \text{otherwise}

\end{cases},

여기서

::k_n=\frac{n \pi}{ L},

::E_n=\hbar \omega_n=\frac{k_{n}^{2} \hbar^2}{2 m}=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2},

n \in \mathbb{Z}_{>0}인 양의 정수이다.

미지의 상수 A는 파동 함수를 정규화하여 찾을 수 있다. 즉,

::\int_0^L \left\vert \psi(x) \right\vert^2 dx = 1,

으로부터, 그 절댓값이

::\left| A \right| = \sqrt{\frac{2 }{L}},

인 모든 복소수 A는 동일한 정규화된 상태를 생성한다.

상자 내의 ''고유값'', 즉 에너지 E_n는 공간 내 위치에 관계없이 동일하지만, \psi_n(x,t)는 변한다. x_c - \tfrac{L}{2}가 파동 함수에서 위상 이동을 나타낸다는 것을 주목하라. 이 위상 이동은 슈뢰딩거 방정식을 푸는 데 아무런 영향을 미치지 않으므로, ''고유값''에도 영향을 미치지 않는다.

좌표의 원점을 상자의 중심으로 설정하면, 파동 함수의 공간적 부분을 다음과 같이 간결하게 다시 쓸 수 있다.

::\psi_n (x) = \begin{cases}

\sqrt{\frac{2}{L}} \sin(k_nx) \quad{} \text{for } n \text{ even} \\

\sqrt{\frac{2}{L}} \cos(k_nx) \quad{} \text{for } n \text{ odd}.

\end{cases}

2. 3. 유도

1차원 상자 속 입자 모델에서, 입자는 뚫을 수 없는 장벽으로 둘러싸인 직선 위에서만 움직일 수 있다.[1] 상자 안에서 입자는 자유롭게 움직이며, 파동함수는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식으로 기술된다.

:-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} = E \psi(x)

여기서,

이 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

:\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\quad

:k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}

여기서 A와 B는 임의의 복소수이고, k는 파수이다.

경계조건(ψ(0) = ψ(L) = 0)을 적용하면, B=0 이고, k = \frac{n \pi}{L} (n=1,2,3,...) 이 된다.

각 에너지 준위들과 그에 해당하는 파동함수의 모습


이를 통해 양자화된 에너지를 얻는다.

:E_n = \frac{n^2\hbar^2 \pi ^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}

파동함수를 표준화하면 \left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}} 를 얻고, 최종적인 파동함수는 다음과 같다.

:\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)

3. 2차원 상자 속 입자

320px


입자가 2차원 상자에 갇히면, 각각 L_x와 L_y 길이로 분리된 장벽 사이에서 x 및 y 방향으로 자유롭게 움직일 수 있다. 1차원 상자와 유사한 접근 방식을 사용하여, 중심 상자의 파동 함수와 에너지는 각각 다음과 같이 주어진다.

:\psi_{n_x,n_y} = \psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y),

:E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y}^2}{2m},

여기서 2차원 파수 벡터는 다음과 같다.

:\mathbf{k}_{n_x,n_y} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}}.

위 해의 흥미로운 특징은 두 개 이상의 길이가 같을 때(예: L_x = L_y), 동일한 총 에너지에 해당하는 여러 파동 함수가 있다는 것이다. 예를 들어, n_x = 2, n_y = 1인 파동 함수는 n_x = 1, n_y = 2인 파동 함수와 동일한 에너지를 갖는다. 이 상황을 축퇴라고 하며, 정확히 두 개의 축퇴 파동 함수가 동일한 에너지를 갖는 경우, 해당 에너지 준위는 이중 축퇴라고 한다. 축퇴는 시스템의 대칭성에서 발생한다. 위의 경우 두 개의 길이가 같으므로 시스템은 90° 회전에 대해 대칭이다.

3. 1. 퍼텐셜

2차원 상자 속 입자의 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

:V(x,y) = \left\{\begin{matrix}

0 & 0
\infty & \mbox{otherwise}\end{matrix}\right.

3. 2. 해

변수분리법을 사용해 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀고 표준화를 시키면 아래와 같은 파동함수와 양자화된 에너지 상태를 얻는다.

:\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)

:E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]

여기서,

:n_i=1,2,3,\ldots \;

이다.

입자가 2차원 상자에 갇히면, 각각 L_x와 L_y 길이로 분리된 장벽 사이에서 x 및 y 방향으로 자유롭게 움직일 수 있다. 중심 상자의 경우, 위치 파동 함수는 상자의 길이를 포함하여 \psi_n(x,t,L)로 쓸 수 있다. 1차원 상자와 유사한 접근 방식을 사용하여, 중심 상자의 파동 함수와 에너지는 각각 다음과 같이 주어진다.

:\psi_{n_x,n_y} = \psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y),

:E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y}^2}{2m},

여기서 2차원 파수 벡터는 다음과 같다.

:\mathbf{k}_{n_x,n_y} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}}.

3차원 상자의 경우, 해는 다음과 같다.

:\psi_{n_x,n_y,n_z} = \psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y) \psi_{n_z}(z,t,L_z),

:E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y,n_z}^2}{2m},

여기서 3차원 파수 벡터는 다음과 같다.

:\mathbf{k}_{n_x,n_y,n_z} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} + k_{n_z}\mathbf{\hat{z}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}} + \frac{n_z \pi }{L_z} \mathbf{\hat{z}} .

일반적으로 ''n''차원 상자의 경우, 해는 다음과 같다.

: \psi =\prod_{i} \psi_{n_i}(x_i,t,L_i)

''n''차원 운동량 파동 함수는 마찬가지로 \phi_n(x, t, L_x)로 표현될 수 있으며, ''n''차원 중심 상자의 운동량 파동 함수는 다음과 같다.

: \phi = \prod_{i} \phi_{n_i}(k_i,t,L_i)

위 해의 흥미로운 특징은 두 개 이상의 길이가 같을 때(예: L_x = L_y), 동일한 총 에너지에 해당하는 여러 파동 함수가 있다는 것이다. 예를 들어, n_x = 2, n_y = 1인 파동 함수는 n_x = 1, n_y = 2인 파동 함수와 동일한 에너지를 갖는다. 이 상황을 ''축퇴''라고 하며, 정확히 두 개의 축퇴 파동 함수가 동일한 에너지를 갖는 경우, 해당 에너지 준위는 ''이중 축퇴''라고 한다. 축퇴는 시스템의 대칭성에서 발생한다. 위의 경우 두 개의 길이가 같으므로 시스템은 90° 회전에 대해 대칭이다.

4. 3차원 상자 속 입자

3차원 상자는 입자가 세 방향(x, y, z)으로 움직일 수 있는, 실제 상황에 가장 가까운 상자이다. 2차원과 3차원의 경우 양자수 ni의 값에 따라 에너지 준위가 같은 경우가 있는데, 이렇게 양자수가 다른데도 에너지가 같으면 이 상태들을 '''겹쳐져''' 있다 또는 '''축퇴'''되어 있다고 하고, 이런 에너지 준위를 '''겹침상태''' 또는 '''축퇴상태'''라고 한다.

4. 1. 퍼텐셜

3차원 상자 속 입자의 퍼텐셜은 상자 안에서는 0이고, 상자 밖에서는 무한대이다.

4. 2. 해

변수분리법을 사용해 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀고 표준화를 시키면 아래와 같은 파동함수와 양자화된 에너지 상태를 얻는다.

:\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \sin \left( \frac{n_z \pi z}{L_z} \right)

:E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]

여기서,

:n_i=1,2,3,\ldots \;

이다.

2차원과 3차원의 경우 양자수 ni의 값에 따라 에너지 준위가 같은 경우가 있는데, 이렇게 양자수가 다른데도 에너지가 같으면 이 상태들을 '''겹쳐져''' 있다 또는 '''축퇴'''되어 있다고 하고, 이런 에너지 준위를 '''겹침상태''' 또는 '''축퇴상태'''라고 한다.

5. 유한 퍼텐셜 우물

실제 상황에서는 퍼텐셜이 무한대가 아니므로, 유한한 깊이를 가진 우물 모형을 고려해야 한다.

일반적인 경우 퍼텐셜 ''V''(''x'')가 다음과 같을 때 입자의 운동을 조사한다.

:V(x)=

\begin{cases}

V_0 & (x < -L/2) \\

0 & (-L/2 < x < L/2) \\

V_0 & (L/2 < x)

\end{cases}



정상 상태의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

:

\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right)\psi(x)=E\psi(x)



''E'' 값에 따라 입자의 행동이 달라지므로, 풀이 과정은 ''E''<0, 0<''E''<''V''0 (결합 상태), ''V''0<''E'' (산란 상태)의 세 가지 경우로 나뉜다. 정상 상태에서는 물리적 의미를 가지며, 위 식을 만족하는 파동 함수 ''ψ''(''x'')는 ''E''>0 범위에만 존재하므로 ''E''<0인 경우는 고려하지 않는다.

풀어야 할 방정식은 포텐셜 값에 따라 영역을 나누어 다음과 같이 표현된다.

:V(x)=

\begin{cases}

\dfrac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-k^2\psi(x) & \left(-\dfrac{L}{2}
\dfrac{d^2}{dx^2}\psi(x)=k'^2\psi(x) & \left( x<-\dfrac{L}{2},\dfrac{L}{2}
\end{cases}



(k^2=2mE/\hbar^2, k'^2=2m(V_0-E)/\hbar^2로 두었다.)

L터널 효과의 근거가 된다.

5. 1. 반무한 영역의 경우

먼저 무한 깊이에 대한 논의를 바탕으로 유한 깊이에 대해 논의한다. 이 경우, 편의상 영역의 한쪽은 무한으로, 다른 한쪽은 유한 상수 깊이로 한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:V(x)=\begin{cases}\infty&(x<0)\\0&(0

(''V''1>0)

5. 2. 일반적인 경우

포텐셜 ''V''(''x'')가 다음과 같을 때 입자의 운동을 조사한다.

:V(x)=

\begin{cases}

V_0 & (x < -L/2) \\

0 & (-L/2 < x < L/2) \\

V_0 & (L/2 < x)

\end{cases}


5. 3. 해법

영역 밖에서는 포텐셜이 무한대가 되므로, 입자의 존재 확률은 0이 된다. 따라서 경계 조건으로 \psi(0) = \psi(L)=0을 설정한다. 이 조건 하에, 영역 D 내에서 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 풀면 다음과 같은 해를 얻는다.

:-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)

(m: 입자의 질량, \psi_n: 파동 함수, E_n: 에너지 고유값)

위 식의 해는 다음과 같다.

:\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin k_n x=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n \pi x}{L}

:E_n=\frac{\hbar^2{k_n}^2}{2m}=\frac{\hbar^2 n^2 {\pi}^2}{2mL^2}

:k_n=\frac{n\pi}{L} \quad (n\in\boldsymbol{N})

(파동 함수는 정규화를 수행했다)

''E''<''V''1인 경우만 고려하면, 양의 방향에서는 무한대에서 파동 함수가 0이 되면 충분하므로, 경계 조건은 ''ψ''(0)=''ψ''(∞)=0이 된다. 0<''x''<''L''일 때의 파동 함수를 ''ψ''in, ''L''<''x''일 때의 파동 함수를 ''ψ''out으로 나누어 슈뢰딩거 방정식을 풀면, 접속 조건 ''ψ''in(''L'')=''ψ''out(''L''), ''ψ'in(''L'')=''ψ'out(''L'')이 추가된다.

이 경우 해는 다음과 같다.

:\psi_{\text{in}}(x)=A\sin kx

:\psi_{\text{out}}(x)=B\exp(-\lambda x)

:E=\frac{\hbar^2{k}^2}{2m}

:A\sin kL=B\exp(-\lambda L)

:\begin{cases}

\lambda&=-k\cot kL\\

k^2+\lambda^2&=\dfrac{2mV_1}{\hbar^2}

\end{cases}

정상 상태의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

:

\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right)\psi(x)=E\psi(x)



''E'' 값에 따라 입자의 행동이 달라지므로, 풀이 과정은 다음과 같이 세 가지 경우로 나뉜다.

# ''E''<0

# 0<''E''<''V''0 (결합 상태)

# ''V''0<''E'' (산란 상태)

(정상 상태에서는 물리적 의미를 가지며, 위 식을 만족하는 파동 함수 ''ψ''(''x'')는 ''E''>0 범위에만 존재한다. 따라서 1의 경우는 고려하지 않는다.)

풀어야 할 방정식은 포텐셜 값에 따라 영역을 나누어 다음과 같이 표현된다.

:V(x)=

\begin{cases}

\dfrac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-k^2\psi(x) & \left(-\dfrac{L}{2}
\dfrac{d^2}{dx^2}\psi(x)=k'^2\psi(x) & \left( x<-\dfrac{L}{2},\dfrac{L}{2}
\end{cases}



(k^2=2mE/\hbar^2,

k'^2=2m(V_0-E)/\hbar^2

로 두었다.)

5. 4. 해석

결과에서 알 수 있듯이, 에너지는 아날로그적인 값을 가질 수 없고, 이산화(양자화)되어 있다. 이것은 양자론의 큰 특징이다. 영역이 좁아질수록 에너지가 높아지는 것도 큰 특징인데, 이는 불확정성 원리에 의해 입자가 움직일 수 있는 범위가 좁아짐에 따라 운동량의 표준 편차가 커지기 때문이라고 해석된다. 파동 함수의 "마디" 수가 증가하면 에너지도 증가한다.

L터널 효과의 근거가 된다.

6. 다차원 상자

임의의 형태를 가진 벽 내 양자역학적 입자의 파동 함수는 벽에서 파동 함수가 0이 된다는 경계 조건을 만족하는 헬름홀츠 방정식으로 주어진다. 이러한 시스템은 해당 동역학적 당구대가 적분 불가능한 벽 모양에 대해 양자 혼돈 분야에서 연구된다.

다차원인 경우 슈뢰딩거 방정식이 편미분 방정식이 되므로, 변수 분리법 등으로 적절히 1차원인 경우와 동일한 상미분 방정식으로 귀착시켜 푸는 경우가 많다.

다차원인 경우에도 에너지의 이산화나 파동 함수의 침투 등, 양자론 특유의 귀결이 얻어진다.

다차원에 특징적인 결과는, 1차원에서는 볼 수 없는 축퇴(겹침 상태)가 발생할 가능성이 있다는 것이다.

7. 응용

상자 속 입자 모델은 광전자 공학에서 중요한 양자 우물 시스템을 이해하는 데 사용된다. 이 모델은 양자 우물 레이저, 양자 우물 적외선 검출기, 양자 제한 스타크 효과 변조기 등에 응용된다. 또한, 크로니히-페니 모델에서 격자를 모델링하고 자유 전자 근사치를 갖는 유한한 금속을 모델링하는 데에도 사용된다.

7. 1. 공액 폴리엔

β-카로틴은 공액 폴리엔이다.


공액 폴리엔 시스템은 상자 속 입자를 사용하여 모델링할 수 있다.[10] 폴리엔의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지의 총 결합 거리를 길이로 하는 1차원 상자로 전자의 공액 시스템을 모델링할 수 있다. 이 경우 각 π 결합의 각 전자쌍은 해당 에너지 수준에 해당한다. 두 에너지 수준 ''nf''와 ''ni'' 사이의 에너지 차이는 다음과 같다.

:\Delta E = \frac{(n_f^2 - n_i^2) h^2}{8mL^2}

바닥 상태 에너지 n과 첫 번째 여기 상태 n+1 사이의 차이는 시스템을 여기하는 데 필요한 에너지에 해당하며, 이는 특정 파장, 즉 빛의 색상과 관련이 있다.

:\lambda = \frac{hc}{\Delta E}

β-카로틴은 이러한 현상의 흔한 예시이다. β-카로틴(C40H56)[11]은 주황색을 띠는 공액 폴리엔이며 분자 길이는 약 3.8nm(체인 길이는 약 2.4nm)이다.[12] β-카로틴은 공액 시스템이 높아 전자가 분자 전체에 분산되어 있어 1차원 상자 속 입자로 모델링할 수 있다. β-카로틴은 11개의 탄소-탄소 이중 결합을 가지고 있으며,[11] 각 이중 결합에는 두 개의 π-전자가 포함되어 있으므로 β-카로틴은 22개의 π-전자를 갖는다. 에너지 수준당 두 개의 전자를 사용하면 β-카로틴을 에너지 수준 ''n''=11의 상자 속 입자로 취급할 수 있다.[12] 따라서 전자를 다음 에너지 수준인 ''n''=12로 여기하는 데 필요한 최소 에너지는 다음과 같이 계산할 수 있다.[12] (전자의 질량은 9.109 × 10−31 kg[13]이다.)

:\Delta E = \frac{(n_f^2 - n_i^2) h^2}{8 m L^2}= \frac{(12^2 - 11^2) h^2}{8 m L^2}= 2.3658\times10^{-19} \text{ J}

플랑크 상수 ''h''와 빛의 속도 ''c''를 사용하여 파장과 에너지의 관계를 나타내면 다음과 같다.

:\lambda = \frac{ hc }{ \Delta E }= 0.00000084 \text{ m} = 840 \text{ nm}

이는 β-카로틴이 주로 적외선 스펙트럼의 빛을 흡수하므로 인간의 눈에는 흰색으로 보일 것임을 나타낸다. 그러나 관찰된 파장은 450nm[14]이며, 이는 상자 속 입자가 이 시스템의 완벽한 모델이 아님을 보여준다.

7. 2. 양자 우물 레이저

양자 우물 레이저는 두 개의 다른 반도체 층 사이에 얇은 반도체 "우물" 층을 끼워 만든 레이저 다이오드이다. 이 얇은 층(보통 약 100Å 두께)에서 양자 구속 효과가 나타난다.[15] 1970년대에 양자 효과를 이용하여 더 나은 레이저 다이오드를 만들 수 있다는 아이디어가 나왔고, 1976년 R. Dingle과 C. H. Henry가 양자 우물 레이저 특허를 냈다.[16]

양자 우물의 동작은 유한 퍼텐셜 우물 모델로 설명할 수 있다. 파동 함수는 연속적이어야 한다는 경계 조건이 필요하다. 양자 우물에서는 질량이 경계 양쪽에서 다르기 때문에, 입자 플럭스를 보존하는 (1/m) d\phi/dz를 두 번째 경계 조건으로 선택한다. 유한 우물에 대한 해를 구하면, 양자 우물 내부에서는 사인 함수이고 장벽에서는 지수적으로 감소하는 파동 함수를 얻는다.[17] 전자의 에너지 준위가 양자화되어 양자 우물 레이저는 기존 반도체 레이저보다 효율적으로 빛을 방출한다.

최근 프린스턴 대학교 연구진은 쌀 한 톨보다 작은 양자 우물 레이저를 개발했다.[19] 이 레이저는 단일 전자가 두 개의 양자점을 통과하며 구동된다. 전자가 높은 에너지 상태에서 낮은 에너지 상태로 이동하면서 마이크로파 영역의 광자를 방출하고, 이 광자들이 거울에 반사되어 레이저 빔을 생성한다.[19] 이처럼 양자 우물 레이저는 빛과 전자의 상호 작용을 기반으로 하며, 드 브로이 파장 및 상자 속 입자 등 양자 역학 이론이 핵심적인 역할을 한다.[19]

7. 2. 1. 양자점

양자점은 극도로 작은 반도체(나노미터 크기)이다.[20] 전자들이 "점"에서 탈출할 수 없어 양자 구속을 나타내며, 입자-상자 근사를 사용할 수 있다.[21] 이들의 행동은 3차원 입자-상자 에너지 양자화 방정식으로 설명할 수 있다.[21]

양자점의 에너지 갭은 원자가띠와 전도띠 사이의 에너지 갭이다. 이 에너지 갭 \Delta E(r)는 벌크 재료의 갭 E_{\text{gap}}과 입자-상자에서 파생된 에너지 방정식의 합과 같으며, 이는 전자와 전자 구멍의 에너지를 제공한다.[21] m^*_e 및 m^*_h는 전자와 홀의 유효 질량, r은 점의 반경, h는 플랑크 상수이다.[21]

\Delta E(r) = E_{\text{gap}}+\left ( \frac{h^2}{8r^2} \right ) \left( \frac{1}{m^*_e}+\frac{1}{m^*_h} \right)

따라서 양자점의 에너지 갭은 "상자 길이", 즉 양자점의 반경의 제곱에 반비례한다.[21] 띠 간격 조작을 통해 특정 파장의 빛을 흡수 및 방출할 수 있으며, 에너지는 파장에 반비례한다.[20] 양자점이 작을수록 띠 간격이 커지고, 흡수되는 파장이 짧아진다.[20][22]

서로 다른 반도체 재료를 사용, 서로 다른 크기의 양자점을 합성하여 다른 파장의 빛을 방출할 수 있다.[22] 가시 영역에서 빛을 방출하는 물질이 종종 사용되며, 특정 색상이 방출되도록 크기가 미세 조정된다.[20] 양자점 합성에 사용되는 일반적인 물질은 카드뮴(Cd)과 셀레늄(Se)이다.[20][22] 예를 들어, 2nm CdSe 양자점의 전자가 여기 후 이완되면 청색광이 방출된다. 4nm CdSe 양자점에서는 적색광이 방출된다.[23][20]

양자점은 형광 염료, 트랜지스터, LED, 태양 전지, 광학 프로브를 통한 의료 영상 등 다양한 기능을 가진다.[20][21] 림프절 매핑에 사용될 수 있는데, 이는 근적외선(NIR) 영역에서 빛을 방출하는 고유한 능력 때문이다. 림프절 매핑을 통해 외과 의사는 암세포 존재 여부와 위치를 추적할 수 있다.[24] 양자점은 더 밝은 빛을 방출하고, 광범위한 파장의 여기되며, 다른 물질보다 빛에 대한 저항성이 높아 이러한 기능에 유용하다.[24][20]

참조

[1] 서적 Davies, p.4
[2] 문서 Actually, any constant, finite potential V_0 can be specified within the box. This merely shifts the energies of the states by V_0.
[3] 서적 Davies, p. 1
[4] 서적 Bransden and Joachain, p. 157
[5] 서적 Bransden and Joachain, p.158
[6] 논문 Relativistic particle in a box https://estudogeral.[...]
[7] 논문 Entropic uncertainty relations for the infinite well https://www.research[...] 2016-02-11
[8] 서적 Bransden and Joachain, p. 159
[9] 서적 Davies, p. 15
[10] 논문 Why the Particle-in-a-Box Model Works Well for Cyanine Dyes but Not for Conjugated Polyenes https://pubs.acs.org[...] 2007-11
[11] 웹사이트 beta-carotene {{!}} C40H56 – PubChem https://pubchem.ncbi[...] 2016-11-10
[12] 논문 Particle in a Box- A Treasure Island for Undergraduates
[13] 웹사이트 The 2014 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants http://physics.nist.[...]
[14] 웹사이트 β-Carotene http://www.sigmaaldr[...] 2016-11-08
[15] 서적 Quantum Well Lasers Academic Press Unlimited
[16] 특허 Quantum Effects in Heterostructure Lasers 1976-09-21
[17] 서적 Confined Electrons and Photons: New Physics and Applications Plenum Press
[18] 서적 Inorganic chemistry Pearson 2013
[19] 웹사이트 Rice-sized laser, powered one electron at a time, bodes well for quantum computing https://www.princeto[...] 2016-11-08
[20] 논문 Simple Syntheses of CdSe Quantum Dots http://pubs.acs.org/[...] 2016-11-05
[21] 웹사이트 Quantum Dots : a True "Particle in a Box" System http://physicsopenla[...] 2016-11-05
[22] 웹사이트 Quantum Confinement http://courses.washi[...] University of Washington 2016-11-05
[23] 웹사이트 Surface and Interface Properties of Semiconductor Quantum Dots by Raman Spectroscopy http://www.osiconfer[...] Technische Universität Chemnitz 2016-11-05
[24] 논문 Quantum Dots for In Vivo Small-Animal Imaging 2009


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