수치적분

3. 1차원 적분 방법

1차원 정적분의 수치 적분은 다양한 방법으로 수행될 수 있다. 수치 적분을 해야 하는 이유는 다음과 같다.

• 피적분 함수 $f(x)$가 표본 추출 등으로 특정 점에서만 알려져 있을 수 있다.
• 피적분 함수에 대한 공식은 알려져 있지만, 기본 함수인 부정적분을 찾기 어려울 수 있다. 예를 들어 $f(x)\; =\; \backslash exp(-x^2)$와 같은 함수는 부정적분을 기본 형식으로 쓸 수 없다.
• 기호적으로 부정적분을 찾을 수 있어도, 수치 근사값을 계산하는 것이 더 쉬울 수 있다.

• 뉴턴-코츠 공식
• 롬버그 적분
• 가우스 구적법
• 이중 지수 함수형 수치 적분 공식

3. 1. 뉴턴-코츠 공식

3. 2. 롬버그 적분

3. 3. 가우스 구적법

3. 4. 적응적 알고리즘

3. 5. 외삽법

4. 다차원 적분

푸비니의 정리를 적용하면 다중 적분을 반복적인 1차원 적분으로 표현하여 계산할 수 있다. 그러나 이 방법은 차원이 증가함에 따라 함수 평가 횟수가 지수적으로 증가하는 ''차원의 저주'' 현상을 겪는다. 이 문제를 극복하기 위해 다양한 방법들이 개발되었다.^[5]

변수가 2개 이상인 다중 적분은 외부 변수를 상수로 간주하고 내부 적분부터 수치 적분하는 방식으로 계산할 수 있다. 하지만 변수가 많아지면 몬테카를로 방법이나 준 몬테카를로 방법이 계산 효율이 더 좋은 경향이 있다. 1983년 당시에는 다중 적분 이론 및 알고리즘을 차원에 따라 다음과 같이 분류했다.^[9][10]

• 2차원: 만족스러운 상황.
• 3-7차원: 곱 규칙을 변형하여 어느 정도 계산 가능.
• 7-15차원: 3-7차원과 15차원 이상의 경계 영역.
• 15차원 이상: 몬테카를로 방법, 준 몬테카를로 방법 필요.

4. 1. 몬테카를로 방법

• 단순 몬테카를로 적분
• 가중 샘플링을 수행하는 VEGAS법
• 층화 추출법을 사용하도록 개선된 MISER법

4. 2. 준 몬테카를로 방법

4. 3. 희소 격자

4. 4. 베이지안 구적법

5. 무한 구간 적분

무한 구간에 대한 근사 적분을 위한 여러 방법이 존재한다. 표준 기술은 전체 실수선에 대한 적분을 위한 가우스-에르미트 구적법과 양의 실수에 대한 적분을 위한 가우스-라게르 구적법과 같은 특별히 파생된 구적 규칙을 포함한다.^[4] 몬테카를로 방법도 사용할 수 있으며, 변수 변환을 통해 유한 구간으로 변환할 수도 있다.

적분 범위가 무한 구간인 경우, 다음 방법을 사용하여 치환 적분으로 변환하여 수치 적분을 수행할 수 있다. 단, 함수에 따라 다른 방법을 사용하는 것이 더 좋을 수도 있다. 무한대에 가까워질 때 급격하게 0으로 수렴한다는 것을 해석적으로 알고 있다면, 적분 범위를 유계로 잘라내는 것이 좋은 경우도 있다.

전체 선에 대한 적분은 다음과 같이 변환할 수 있다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; f(x)\; \backslash ,\; dx$

= \int_{-1}^{+1} f\left( \frac{t}{1-t^2} \right) \frac{1+t^2}{\left(1-t^2\right)^2} \, dt

반무한 구간에 대한 적분은 다음과 같이 변환할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\int_a^{\infty} f(x) \, dx &= \int_0^1 f\left(a + \frac{t}{1-t}\right) \frac{dt}{(1-t)^2}, \\

\int_{-\infty}^a f(x) \, dx &= \int_0^1 f\left(a - \frac{1-t}{t}\right) \frac{dt}{t^2},

\end{align}

또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; f(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\_0^1\; \backslash left(f\backslash left(\backslash frac\{1-t\}\{t\}\backslash right)\; +\; f\backslash left(-\backslash frac\{1\; -\; t\}\{t\}\backslash right)\backslash right)\backslash frac\{1\}\{t^2\}\; \backslash ,dt$

:$\backslash int\_a^\{\backslash infty\}\; f(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\_0^1\; f\backslash left(a\; +\; \backslash frac\{1-t\}\{t\}\backslash right)\; \backslash frac\{1\}\{t^2\}\; \backslash ,dt$

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^b\; f(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\_0^1\; f\backslash left(b\; -\; \backslash frac\{1-t\}\{t\}\backslash right)\; \backslash frac\{1\}\{t^2\}\; \backslash ,dt$

6. 특수한 경우의 적분

특이점을 갖는 함수나 진동하는 함수의 적분은 특별한 기법을 필요로 한다. 사토 초함수를 경유하여 복소수 값 적분으로 가져감으로써 특이점을 피하고 오차를 억제하는 기법이 제안되었다.^{[15][16][17][18]}

부분 적분을 조합한 수치 적분도 진동 적분에 대해 제안되고 있다.^[19][20]

7. 수치 적분의 구현

다양한 프로그래밍 언어와 라이브러리에서 수치 적분 기능을 제공한다.

• 포트란 77로 구현된 QUADPACK은 난수를 사용하지 않는 1변수 정적분 루틴을 제공한다.^[23][24]
• GNU Scientific Library는 QUADPACK을 C 언어로 이식하였으며, 몬테카를로 적분과 초균일 분포열도 구현되어 있다.
• SciPy, R 언어, GNU Octave, NAG 수치 계산 라이브러리, IMSL^[25] 등에서 QUADPACK을 사용한다.
• Boost Math Toolkit^[26]
• Apache Commons Math는 Java로 수치 적분 기능을 구현하였다.
• [http://www.feynarts.de/cuba/ Cuba]는 주로 몬테카를로 적분을 구현하였다.
• Mathematica, Maple, MATLAB 등의 수식 처리 시스템 및 수치 해석 소프트웨어에서도 수치 적분 기능을 찾을 수 있다.

8. 정밀도 보장 수치 적분

구간 연산을 이용하면 정밀도가 보장된 수치 적분 결과를 얻을 수 있다. 이를 지원하는 대표적인 라이브러리는 다음과 같다.^{[27][28][29][30]}

• INTLAB: MATLAB 및 GNU Octave에서 사용 가능한 구간 연산 라이브러리이다.
• kv: C++로 작성된 구간 연산 라이브러리이다.
• arb: C로 작성된 구간 연산 라이브러리이다.

참조

_[1] MathWorld Cubature
_[2] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Q) http://jeff560.tripo[...] 2018-03-31
_[3] 논문 Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph 2016-01-29
_[4] 서적 Numerical Analysis and Scientific Computation Addison Wesley
_[5] 서적 Approximate Calculation of Multiple Integrals https://archive.org/[...] Prentice-Hall Inc. 1971
_[6] 간행물 Numerical Integration on the Sphere Springer: Berlin
_[7] 서적 数値解析入門 サイエンス社 2003-06
_[8] 논문 ある数値積分公式について (科学計算基本ライブラリーのアルゴリズムの研究会報告集) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 1970-08
_[9] 간행물 Methods of Numerical Integration Academic Press，San Diego
_[10] 논문 数値多重積分に関する話題(<特集>数値計算) https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会
_[11] 논문 量子コンピュータを用いた数値積分計算について https://www.biprogy.[...] 日本ユニシス 2006-08
_[12] 서적 精度保証付き数値計算 https://ndlsearch.nd[...] コロナ社
_[13] 논문 Bessel関数を含む振動積分に対する数値積分公式(数値計算アルゴリズムの現状と展望II) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 1995-06
_[14] 논문 Bessel関数の零点を標本点に持つ補間および数値積分公式 https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会
_[15] 논문 佐藤超函数論に基づく数値解析 https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会 2017-12
_[16] 논문 佐藤超函数論に基づく数値積分 (現象解明に向けた数値解析学の新展開 II) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2017-07
_[17] 논문 数値積分に対する超函数法 https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会
_[18] 논문 A numerical method of computing oscillatory integral related to hyperfunction theory https://doi.org/10.4[...]
_[19] 논문 部分積分法による半無限区間振動型積分の数値計算法 https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会
_[20] 논문 部分積分法による数値積分法 https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2004-10
_[21] 간행물 "Approximate and integrate: Variance reduction in Monte Carlo integration via function approximation" https://doi.org/10.4[...]
_[22] 웹사이트 integrate from -1 to 1 1/x dx - Wolfram|Alpha https://www.wolframa[...]
_[23] 웹사이트 QUADPACK (nines) http://nines.cs.kule[...]
_[24] 웹사이트 quadpack http://www.netlib.or[...]
_[25] 웹사이트 int_fcn_sing - IMSL C Math Library https://docs.roguewa[...]
_[26] 웹사이트 Chapter 11. Quadrature and Differentiation - 1.69.0 https://www.boost.or[...]
_[27] 간행물 INTLAB - INTerval LABoratory Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
_[28] 논문 "efficient arbitrary-precision midpoint-radius interval arithmetic" https://doi.org/10.1[...]
_[29] 간행물 Numerical integration in arbitrary-precision ball arithmetic Springer, Cham
_[30] 논문 Fast and Rigorous Arbitrary-Precision Computation of Gauss--Legendre Quadrature Nodes and Weights