순환 범주

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 사상
- 3.2. 단체와의 관계
4. 예
- 4.1. 결합 대수의 순환 가군
5. 역사
참조

1. 개요

순환 범주는 자연수를 대상으로 하고, 면 사상, 퇴화 사상, 순환 사상으로 생성되는 사상을 갖는 작은 범주이다. 순환 범주는 범주 위의 순환 대상과 순환 집합을 정의하는 데 사용되며, 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 다른 범주로 가는 함자이다. 순환 범주는 스스로의 반대 범주와 동형이며, 순환 범주의 분류 공간은 원군 S1의 분류 공간 BS1이다. 또한 단체 범주에서 순환 범주로 가는 충실한 함자가 존재하며, 결합 대수의 순환 가군을 정의하는 데 활용된다. 순환 범주는 알랭 콘에 의해 1983년에 도입되었고, 교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치와 장루이 로데에 의해 1991년에 도입되었다.

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순환 범주
개요
범주론	범주론의 한 분야이다.
관련 개념	단순 대상 순환 집합 다중 순환 대상
정의
정의	순환 범주는 골드파브(Goldfarb)의 순환 대상 이론을 일반화한 것으로, 르페브르(Lefèvre)가 도입했다.
순환 대상과의 관계	순환 범주 C에서 순환 대상은 순환 범주에서 C로 가는 함자로 정의된다.
참고 문헌
참고 문헌	Connes, Alain. "Cohomologie cyclique et foncteurs Extn." Comptes rendus de l'Académie des Sciences. Série I, Mathématique 296.23 (1983): 953-958.

2. 정의

순환 범주(循環範疇, cycle category^영어) $\operatorname{Cyc}$ 는 다음과 같은 작은 범주이다.^[1]

$\operatorname{Cyc}$ 의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) $n\in\mathbb N$ 이다.
$\operatorname{Cyc}$ 의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
: $\delta^i_n\colon n-1\to n \qquad(0\le i\le n)$ ('''면 사상''')
: $\sigma^i_n\colon n+1\to n \qquad(0\le i\le n)$ ('''퇴화 사상''')
: $\tau_n \colon n\to n$ ('''순환 사상''')
이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, $\tau$ 를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 $\triangle$ 의 정의에 등장하는 것과 같다.)
: $\delta^j_{n-1}\circ\delta^i_n = \delta^i_{n-1}\circ\delta^{j-1}_n\qquad(0\le i$
: $\sigma^j_{n+1}\circ\sigma^i_n = \sigma^i_{n+1} \circ \sigma^{j+1}_n\qquad(0\le i\le j)$
: $\sigma^j_n\circ\delta^i_{n+1} = \begin{cases}$

\delta^i_n\circ\sigma^{j-1}_{n-1}&i < j\\\operatorname{id}_n& i\in \{j,j+1\} \\\delta^{i-1}_n\circ\sigma^j_{n-1} & i > j+1\end{cases}

: $\overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1} = \operatorname{id}_n$
: $\tau_n \circ \delta^i_n = \delta^{i-1}_n \circ \tau_{n-1} \qquad(1\le i\le n)$
: $\tau_n\circ\sigma^i_n = \sigma^{i-1}_n\circ\tau_{n+1} \qquad(1\le i\le n)$

임의의 범주

\mathcal C

위의 '''순환 대상'''은 순환 범주의 반대 범주에서

\mathcal C

로 가는 함자이다.

:

\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C

순환 범주 Λ는 각 자연수 ''n'' = 0, 1, 2, ...에 대해 하나의 대상 Λ_''n''을 갖는다. Λ_''m''에서 Λ_''n''으로 가는 사상은 정수에서 정수로 가는 증가 함수 ''f''로 표현되며, 여기서 ''f''(''x''+''m''+''1'') = ''f''(''x'')+''n''+''1''이고, 두 함수 ''f''와 ''g''의 차이가 ''n''+1로 나누어 떨어질 때 두 함수는 같은 사상을 나타낸다.

비공식적으로, Λ_''m''에서 Λ_''n''으로 가는 사상은 ''m''+1개와 ''n''+1개의 구슬을 가진 (방향이 있는) 목걸이의 맵으로 생각할 수 있다. 더 정확하게 말하면, 사상은 원의 부분군 '''Z'''/(''m''+1)'''Z'''을 '''Z'''/(''n''+1)'''Z'''로 매핑하는, 자기 자신으로 가는 차수 1의 증가 맵의 호모토피 등급과 동일시될 수 있다.

2. 1. 순환 범주

순환 범주(循環範疇, cycle category^영어)

\operatorname{Cyc}

는 다음과 같은 작은 범주이다.^[1]

$\operatorname{Cyc}$ 의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) $n\in\mathbb N$ 이다.
$\operatorname{Cyc}$ 의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
: $\delta^i_n\colon n-1\to n \qquad(0\le i\le n)$ ('''면 사상''')
: $\sigma^i_n\colon n+1\to n \qquad(0\le i\le n)$ ('''퇴화 사상''')
: $\tau_n \colon n\to n$ ('''순환 사상''')
이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, $\tau$ 를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 $\triangle$ 의 정의에 등장하는 것과 같다.)
: $\delta^j_{n-1}\circ\delta^i_n = \delta^i_{n-1}\circ\delta^{j-1}_n\qquad(0\le i$
: $\sigma^j_{n+1}\circ\sigma^i_n = \sigma^i_{n+1} \circ \sigma^{j+1}_n\qquad(0\le i\le j)$
: $\sigma^j_n\circ\delta^i_{n+1} = \begin{cases}$

\delta^i_n\circ\sigma^{j-1}_{n-1}&i < j\\\operatorname{id}_n& i\in \{j,j+1\} \\\delta^{i-1}_n\circ\sigma^j_{n-1} & i > j+1\end{cases}

: $\overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1} = \operatorname{id}_n$
: $\tau_n \circ \delta^i_n = \delta^{i-1}_n \circ \tau_{n-1} \qquad(1\le i\le n)$
: $\tau_n\circ\sigma^i_n = \sigma^{i-1}_n\circ\tau_{n+1} \qquad(1\le i\le n)$

임의의 범주

\mathcal C

위의 '''순환 대상'''은 순환 범주의 반대 범주에서

\mathcal C

로 가는 함자이다.

:

\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C

순환 범주 Λ는 각 자연수 ''n'' = 0, 1, 2, ...에 대해 하나의 대상 Λ_''n''을 갖는다. Λ_''m''에서 Λ_''n''으로 가는 사상은 정수에서 정수로 가는 증가 함수 ''f''로 표현되며, 여기서 ''f''(''x''+''m''+''1'') = ''f''(''x'')+''n''+''1''이고, 두 함수 ''f''와 ''g''의 차이가 ''n''+1로 나누어 떨어질 때 두 함수는 같은 사상을 나타낸다.

비공식적으로, Λ_''m''에서 Λ_''n''으로 가는 사상은 ''m''+1개와 ''n''+1개의 구슬을 가진 (방향이 있는) 목걸이의 맵으로 생각할 수 있다.

2. 2. 순환 대상

범주

\mathcal C

위의 '''순환 대상'''은 순환 범주의 반대 범주에서

\mathcal C

로 가는 함자이다.^[1] 구체적으로, 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

단체 대상 $(X_\bullet,\partial_\bullet^i,d_\bullet^i)$ . 여기서 $\partial_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}$ 는 면(面)이며, $s_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}$ 는 퇴화 단체이다.
일련의 동형 사상들 $t_n\colon X_n\to X_n$ , $n\in\mathbb N$

이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

(순환의 순환성) $\overbrace{t_n\circ\dotsb\circ t_n}^{n+1} = \operatorname{id}_{X_n}$ . 특히, $t_0 = \operatorname{id}_{X_0}$ 이다.
(순환과 면의 호환) $\partial^i_n\circ t_n = t_{n-1} \circ \partial^{i-1}_n\qquad(1\le i\le n)$
(순환과 퇴화 단체의 호환) $s^i_n \circ t_n = t_{n+1}\circ s^{i-1}_n \qquad (1\le i\le n)$

순환 집합은 순환 범주에서 집합으로 가는 반변 공변자이다. 더 일반적으로, 범주 ''C''에서의 순환 대상은 순환 범주에서 ''C''로 가는 반변 공변자이다.

2. 3. 일반적 정의: 교차단체군

순환 대상의 개념은 순환군뿐만 아니라 정이면체군, 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.^[1]

'''교차단체군'''(交叉單體群, crossed simplicial group}})은 단체 집합

G_\bullet\colon \triangle^{\operatorname{op

^영어 \to \operatorname{Set}, 군 구조, 군 작용으로 정의된다.^[1]

교차단체군의 예시는 다음과 같다.

모든 단체군은 교차단체군이다.
순환군 $G_n=\operatorname{Cyc}(n+1)$
정이면체군 $G_n = \operatorname{Dih}(n+1)$
쌍순환군 $G_n=\operatorname{Dic}(n+1)$
대칭군 $G_n = \operatorname{Sym}(n+1)$

교차단체군

G_\bullet

이 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주

\triangle_{G_\bullet}

를 정의할 수 있다.^[1]

범주

\mathcal C

속의 '''

G_\bullet

-대상'''은 함자

\triangle_{G_\bullet}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C

이다.

3. 성질

순환 범주 $\operatorname{Cyc}$ 는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.^[1]

: $\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cyc}$

: $n^{\operatorname{op}}\mapsto n$

: $(\delta_n^i)^{\operatorname{op}} \mapsto\begin{cases}\sigma_{n-1}^i & i < n\\\sigma^0_{n-1} \circ \tau_n^{-1} & i = n\end{cases}$

: $(\sigma_n^i)^{\operatorname{op}} \mapsto \delta^{i+1}_{n+1}$

Λ_''m''에서 Λ_''n''으로 가는 사상의 수는 (''m''+''n''+1)!/''m''!''n''!이다.

순환 범주는 자기 쌍대이다.

순환 범주의 분류 공간 ''B''Λ는 원군 ''S''¹의 분류 공간 ''BS''¹이다.

3. 1. 사상

순환 범주

\triangle_{\operatorname{Cyc}}

에서, 모든 사상

f\colon m\to n

는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.^[1]

:

f'\circ \overbrace{t_m\circ\dotsb\circ t_m}^k\qquad(f'\in\hom_\triangle(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc,n\})

일반적으로, 임의의 교차단체군

G_\bullet

에 대하여, 범주

\triangle_{G_\bullet}

의 모든 사상은 단체 범주의 사상과

G_m

의 원소에 대응하는 사상의 합성으로 유일하게 표현된다. 즉, 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

:

\phi \circ \tau_g \colon \phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m

순환 범주

\triangle_{\operatorname{Cyc}}

에서, 다음이 성립한다.^[1]

$\tau_n\circ \delta^0_n = \delta^n_n$
$\tau_n\circ\sigma^0_n = \sigma^n_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1}$

Λ_''m''에서 Λ_''n''으로 가는 사상의 수는 (''m''+''n''+1)!/''m''!''n''!이다. 순환 범주는 자기 쌍대이다. 순환 범주의 분류 공간 ''B''Λ는 원군 ''S''¹의 분류 공간 ''BS''¹이다.

3. 2. 단체와의 관계

단체 범주

\triangle

에서 순환 범주로 가는 포함 함자

:

\triangle\hookrightarrow\triangle_{\operatorname{Cyc}}

가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉,

\triangle_{\operatorname{Cyc}}

에는

t_n

으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주

\mathcal C

에 대하여,

\mathcal C

-순환 대상의 범주에서

\mathcal C

-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

:

\hom(\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}},\mathcal C) \to\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\mathcal C)

가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다. 순환 집합은 순환 범주에서 집합으로 가는 반변 공변자이다. 더 일반적으로, 범주 ''C''에서의 '''순환 대상'''은 순환 범주에서 ''C''로 가는 반변 공변자이다.

4. 예

모든 성분이 자명군인 교차단체군 $1$ 을 생각하면, 이에 대하여 정의되는 범주 $\triangle_1$ 은 단체 범주 $\triangle$ 와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

: $G_n = \operatorname{Sym}(n+1)$

을 생각하면, 이에 대하여 정의되는 범주 $\triangle_{\operatorname{Sym}}$ 는 유한 집합과 함수의 작은 범주 $\operatorname{finSet}$ 와 동치이다.

4. 1. 결합 대수의 순환 가군

가환환

K

위의 결합 대수

A

가 주어졌을 때, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.^[1]

:

C\colon n\mapsto A^{\otimes_K(n+1)}

:

C({\delta^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_{n-1}

:

C({\delta^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto\begin{cases}a_0\otimes_K\dotsb \otimes_K a_{i-1} \otimes_K a_ia_{i+1} \otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n & 0 \le i < n \\a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1} & i = n\end{cases}

:

C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_{n+1}

:

C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto a_0\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n

:

C(\tau_n^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_n

:

C(\tau_n^{\operatorname{op}})\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto (-)^n a_n\otimes_K a_0 \otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1}

즉, 이는

K

-가군 범주

\operatorname{Mod}_K

속의 순환 가군을 이룬다. 이를 '''

A

에 대응되는 순환 가군'''(cyclic module associated to

A

^영어)이라고 한다. 이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.^[1]

5. 역사

알랭 콘이 1983년에 순환 범주를 도입하였다.^[2] 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “ $\Lambda$ ”라고 표기하였다.^[2]^[1] 교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(Zbigniew Fiedorowicz^pl)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.^[3]

참조

_[1] 서적 Cyclic homology Springer-Verlag 1998
_[2] 저널 Cohomologie cyclique et foncteurs Ext^''n'' http://www.alainconn[...] 2017-07-20
_[3] 저널 Crossed simplicial groups and their associated homology 1991-07

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