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여과 (수학)

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목차

1. 개요

여과(filtration)는 수학의 여러 분야에서 사용되는 개념으로, 범주론, 대수학, 선형대수학, 측도론 등에서 다양한 형태로 정의된다. 범주론에서는 부분 대상의 순서 집합이나 몫 대상의 집합을 사용하여 오름 여과, 내림 여과, 쌍대 여과 등을 정의하며, 대수학에서는 환 위의 가군이나 대수의 구조를 분석하는 데 활용된다. 선형대수학에서는 벡터 공간의 부분 공간들의 증가 수열을, 측도론(확률론)에서는 시그마 대수의 증가하는 수열을 여과로 정의하며, 확률 과정 및 금융 공학에서 정보의 흐름을 모델링하는 데 중요한 역할을 한다.

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여과 (수학)
일반 정보
분야수학
하위 분야실해석학, 확률론
정의
정의부분 순서 집합에서 인덱스된 시그마 대수열
관련 개념
관련 개념확률 공간, 확률 변수, 마르팅게일

2. 정의

범주 \mathcal C의 대상 X\in\mathcal C이 주어졌을 때, 그 위의 부분 대상의 부분 순서 집합 \operatorname{Sub}(X)를 정의할 수 있다.

전순서 집합 I에 대하여, X 위의 I-여과는 다음과 같은 데이터로 주어진다.


  • 전순서 집합 (I,\le)
  • 순서 보존 함수 I\to\operatorname{Sub}(X), i\mapsto X_i


이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:\varinjlim_{i\in I}X_i=X

흔히 I의 경우 자연수의 전순서 집합 (\mathbb N,\le)이 사용된다.

2. 1. 오름 여과와 내림 여과

범주 \mathcal C의 대상 X\in\mathcal C이 주어졌을 때, 그 위의 부분 대상의 부분 순서 집합 \operatorname{Sub}(X)를 정의할 수 있다.

전순서 집합 I에 대하여, X 위의 I-'''오름 여과'''(ascending filtration영어)는 다음 데이터로 주어진다.

  • 전순서 집합 (I,\le)
  • 순서 보존 함수 I\to\operatorname{Sub}(X), i\mapsto X_i.


이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:\varinjlim_{i\in I}X_i=X

X 위의 I-'''내림 여과'''(descending filtration영어)는 I^{\operatorname{op}}-오름 여과와 같다.

흔히 I의 경우 보통 자연수의 전순서 집합 (\mathbb N,\le)이 사용된다.

2. 2. 쌍대 여과

몫 대상의 집합 \operatorname{Quot}(X)을 사용하면 '''쌍대 여과'''(cofiltration영어)의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주 \mathcal C^{\operatorname{op}}에서의 여과와 같다.

3. 예

여과는 다양한 수학 분야에서 사용되는 개념으로, 다음과 같은 예시들이 있다.


  • 집합: 집합의 극대 여과는 집합의 정렬과 같다. 예를 들어, 여과 \{0\} \subseteq \{0,1\} \subseteq \{0,1,2\}는 정렬 (0,1,2)에 해당한다.
  • 파레이 수열은 집합 여과의 예시로 사용될 수 있다.
  • 선형대수학에서 원소 1개짜리 체 위의 벡터 공간을 집합으로 간주할 때, 집합의 극대 여과는 집합의 정렬과 같으며, 이는 원소 1개짜리 체 위의 벡터 공간에서의 극대 깃발에 해당한다.
  • 대수: 군, 환, 가군에서의 여과는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.
  • 측도론 (확률론): 측도론과 확률 과정 이론에서 여과는 가측 공간에 대한 증가하는 시그마 대수들의 수열이다. 수리 금융에서 여과는 각 시간 t까지 사용할 수 있는 정보를 나타내는 데 사용된다.[5]

3. 1. 집합

집합의 극대 여과는 집합의 정렬(즉, 순열)과 같다. 예를 들어, 여과 \{0\} \subseteq \{0,1\} \subseteq \{0,1,2\}는 정렬 (0,1,2)에 해당한다.

3. 1. 1. 파레이 수열

파레이 수열은 집합 여과의 예시로 사용될 수 있다.

3. 1. 2. 원소 1개짜리 체

선형대수학에서 원소 1개짜리 체 위의 벡터 공간을 집합으로 간주할 때, 집합의 극대 여과(maximal filtration)는 집합의 정렬(ordering), 즉 순열과 같다. 예를 들어 여과 \{0\} \subseteq \{0,1\} \subseteq \{0,1,2\}는 정렬 (0,1,2)에 해당한다. 이는 원소 1개짜리 체 위의 벡터 공간에서의 극대 깃발(벡터 공간에서의 여과)에 해당한다.

3. 2. 대수

가환환 R 위의 결합 대수 A에 R-가군으로서의 \mathbb N-올림 여과

:A_0\subseteq A_1\subseteq\cdots A_\infty=A

가 주어졌다고 하자. 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 가정한다.

:A_iA_j\subseteq A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N

(특히, 1_A\in A_0이어야 한다.)

그렇다면, 다음과 같은 R-등급 대수를 정의할 수 있다.[6]

:\operatorname{gr}A=A_0\oplus\bigoplus_{i\in\mathbb N}\frac{A_{i+1}}{A_i}

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

:(a+A_i)(b+A_j)=ab+A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{j+1}

:(a+A_i)b=ab+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0

:b(a+A_i)=ba+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0

이 경우

:1_{\operatorname{gr}A}=1_A

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

:A\to\operatorname{gr}A

:a\mapsto a+A_{i-1}\qquad\forall a\in A_i

을 '''기호 사상'''(symbol map영어)이라고 한다.[6]

군, 환, 가군에서의 여과는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 2. 1. 군

대수학에서 군의 여과는 자연수 집합 \mathbb{N}으로 집합화된 정규 부분군들의 중첩된 수열 G_n이다 (즉, 모든 n에 대해 G_{n+1} \subseteq G_n).

군 G와 여과 G_n이 주어지면, 여과에 ''연관된'' G의 위상을 정의할 수 있다. 이 위상의 기저는 여과에 나타나는 부분군의 모든 잉여류 집합이다. 즉, a \in G이고 n이 자연수인 형태의 집합 aG_n의 합집합이면 G의 부분 집합은 열린 집합으로 정의된다.

군 G의 여과와 관련된 위상은 G를 위상군으로 만든다.

군 G의 여과 G_n에 관련된 위상은 \bigcap G_n=\{1\}인 경우에만 하우스도르프이다.

두 개의 여과 G_n과 G'_n이 군 G에 정의된 경우, G에서 G로의 항등 사상은 첫 번째 복사본 G에 G_n-위상이 주어지고 두 번째 복사본에는 G'_n-위상이 주어질때, 모든 n에 대해 G_m \subseteq G'_n이 되도록 하는 m이 있는 경우에만 연속적이다. 즉, 항등 사상이 1에서 연속적인 경우에만 연속적이다. 특히, 두 여과는 한쪽에 나타나는 모든 부분군에 다른 쪽에 나타나는 더 작거나 같은 부분이 있는 경우에만 동일한 위상을 정의한다.

3. 2. 2. 환과 가군

환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음과 같은 \mathbb N-감소 여과가 주어졌다고 가정한다.

:M=M_0\supseteq M_1\supseteq M_2\cdots M

이 경우, M에는 기저로 정의되는 자연스러운 위상이 부여될 수 있다.

:\left\{

m+M_i\colon i\in\mathbb N,\;m\in M\right\}

이 위상이 하우스도르프 공간이 되기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같다.

:\bigcap_{i\in\mathbb N}M_i=\{0\}

특히, R의 양쪽 아이디얼 \mathfrak i가 주어졌을 때, 다음 여과에 대응되는 위상을 '''\mathfrak i진 위상'''(\mathfrak i-adic topology영어)이라고 한다.

:M_i=\mathfrak i^iM

이는 대수기하학에서 사용된다.

환 R과 R-가군 M이 주어졌을 때, M의 ''내림 여과''는 부분 가군 M_n의 감소 수열이다. 이는 군에 대한 개념의 특수한 경우이며, 부분군이 부분 가군이어야 한다는 추가 조건이 있다. 연관된 위상은 군의 경우와 마찬가지로 정의된다.

I-아딕 위상 (J-아딕 위상 등)은 중요한 특수한 경우로 알려져 있다. R을 가환환으로, I를 R의 아이디얼이라고 할 때, R-가군 M의 부분 가군 수열 I^n M은 M의 여과를 형성한다(''I-아딕 여과''). M에 대한 ''I-아딕 위상''은 이 여과와 관련된 위상이다. M이 환 R 자체라면, R에 대한 ''I-아딕 위상''을 정의한 것이다.

R에 I-아딕 위상이 주어지면, R은 위상환이 된다. R-가군 M에 I-아딕 위상이 주어지면, R에 주어진 위상에 상대적으로 위상 R-가군이 된다.

환 R과 R-가군 M이 주어졌을 때, M의 ''상승 여과''는 부분 가군 M_n의 증가 수열이다. R이 체일 경우, R-벡터 공간 M의 상승 여과는 M의 벡터 부분 공간의 증가 수열이다. 깃발은 이러한 여과의 중요한 한 부류이다.

3. 2. 3. 결합 대수

가환환 R 위의 결합 대수 A에 R-가군으로서의 \mathbb N-올림 여과

:A_0\subseteq A_1\subseteq\cdots A_\infty=A

가 주어졌다고 하자. (이는 R-결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

:A_iA_j\subseteq A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N

(특히, 1_A\in A_0이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 R-등급 대수를 정의할 수 있다.[6]

:\operatorname{gr}A=A_0\oplus\bigoplus_{i\in\mathbb N}\frac{A_{i+1}}{A_i}

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

:(a+A_i)(b+A_j)=ab+A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{j+1}

:(a+A_i)b=ab+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0

:b(a+A_i)=ba+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0

이 경우

:1_{\operatorname{gr}A}=1_A

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

:A\to\operatorname{gr}A

:a\mapsto a+A_{i-1}\qquad\forall a\in A_i

을 '''기호 사상'''(symbol map영어)이라고 한다.[6]

3. 2. 4. 여과 대수

가환환 R 위의 결합 대수 A가 주어졌으며, 그 위에 R-가군으로서의 \mathbb N-올림 여과

:A_0\subseteq A_1\subseteq\cdots A_\infty=A

가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 R-결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

:A_iA_j\subseteq A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N

(특히, 1_A\in A_0이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 R-등급 대수를 정의할 수 있다.[6]

:\operatorname{gr}A=A_0\oplus\bigoplus_{i\in\mathbb N}\frac{A_{i+1}}{A_i}

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

:(a+A_i)(b+A_j)=ab+A_{i+j}\qquad\forall i,j\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{j+1}

:(a+A_i)b=ab+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0

:b(a+A_i)=ba+A_i\quad\forall i\in\mathbb N,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_0

이 경우

:1_{\operatorname{gr}A}=1_A

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

:A\to\operatorname{gr}A

:a\mapsto a+A_{i-1}\qquad\forall a\in A_i

을 '''기호 사상'''(記號寫像, symbol map영어)이라고 한다.[6]

3. 3. 벡터 공간

선형대수학에서, 체 K 위의 벡터 공간 V의 오름 여과

:V_0\subseteq V_1\subseteq\cdots\subseteq V

에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉

:V_0\subsetneq V_1\subsetneq\cdots

이라면, 이를 '''기'''(flag영어)라고 한다.

3. 4. 측도론 (확률론)

측도론과 확률 과정 이론에서 여과는 가측 공간에 대한 증가하는 시그마 대수들의 수열이다. 즉, 가측 공간 (\Omega, \mathcal{F})가 주어졌을 때, 여과는 각 t가 음이 아닌 실수이고 \mathcal{F}_{t} \subseteq \mathcal{F}를 만족하는 \sigma-대수 \{ \mathcal{F}_{t} \}_{t \geq 0}의 수열이다.

:t_{1} \leq t_{2} \implies \mathcal{F}_{t_{1}} \subseteq \mathcal{F}_{t_{2}}.

"시간" ''t''의 정확한 범위는 문맥에 따라 달라지며, t의 값 집합은 이산적이거나 연속적이며, 유계 또는 비유계일 수 있다. 예를 들어,

:t \in \{ 0, 1, \dots, N \}, \mathbb{N}_{0}, [0, T] \mbox{ 또는 } [0, + \infty).

와 같이 나타낼 수 있다.

'''여과된 확률 공간''' ('''확률적 기저'''라고도 함) \left(\Omega, \mathcal{F}, \left\{\mathcal{F}_{t}\right\}_{t\geq 0}, \mathbb{P}\right)은 \sigma-대수 \mathcal{F}의 여과 \left\{\mathcal{F}_t\right\}_{t\geq 0}가 있는 확률 공간이다. 여과된 확률 공간이 완비이고 우연속인 경우 ''일반적인 조건''을 만족한다고 한다.

비유계 인덱스 집합의 경우, \mathcal{F}_{\infty}를 \mathcal{F}_{t}의 무한 합집합에 의해 생성된 \sigma-대수로 정의하는 것도 유용하며, 이는 \mathcal{F}에 포함된다.

:\mathcal{F}_{\infty} = \sigma\left(\bigcup_{t \geq 0} \mathcal{F}_{t}\right) \subseteq \mathcal{F}.

''σ''-대수는 측정될 수 있는 사건의 집합을 정의하며, 이는 확률 맥락에서 구별될 수 있는 사건, 즉 "시간 t에 답할 수 있는 질문"과 동일하다. 따라서 여과는 정보의 획득 또는 손실을 통해 측정될 수 있는 사건 집합의 변화를 나타내는 데 사용된다.

수리 금융에서 여과는 각 시간 t까지 사용할 수 있는 정보를 나타내며, 주식 가격의 변동에서 더 많은 정보를 얻을수록 점점 더 정확해진다(측정 가능한 사건의 집합은 동일하게 유지되거나 증가함)는 예시가 있다.[5]

3. 4. 1. 멈춤 시간

\left(\Omega, \mathcal{F}, \left\{\mathcal{F}_{t}\right\}_{t\geq 0}, \mathbb{P}\right)를 여과된 확률 공간이라고 하자. 모든 t\geq 0에 대해 \{\tau \leq t\} \in \mathcal{F}_t이면, 여과 \left\{\mathcal{F}_{t}\right\}_{t\geq 0}에 대한 멈춤 시각 \tau : \Omega \rightarrow [0, \infty]이다.

멈춤 시각 \sigma-대수는 다음과 같이 정의된다.[5]

:\mathcal{F}_{\tau} := \{A\in\mathcal{F} \vert \forall t\geq 0 \colon A\cap\{\tau \leq t\}\in\mathcal{F}_t\}.

\mathcal{F}_{\tau}가 \sigma-대수임을 보이는 것은 어렵지 않다.

\mathcal{F}_{\tau} 집합은 여과된 확률 공간이 무작위 실험으로 해석될 때, 무작위 시간 \tau까지 실험을 임의로 반복하여 얻을 수 있는 최대 정보가 \mathcal{F}_{\tau}라는 의미에서 ''무작위'' 시간 \tau까지의 정보를 담고있다.[5] 특히, 기초 확률 공간이 유한하면(즉, \mathcal{F}가 유한하면), \mathcal{F}_{\tau}의 최소 집합(집합 포함 관계와 관련하여)은 \{\tau = t\} 에 있는 \mathcal{F}_{t}의 최소 집합들의 모든 t\geq 0에 대한 합집합으로 주어진다.[5]

\tau가 \mathcal{F}_{\tau}에서 측정 가능하다는 것을 보일 수 있다. 그러나 \sigma(\tau) \neq \mathcal{F}_{\tau}임을 보여주는 간단한 예가 있다.[5] 만약 \tau_ 1와 \tau_ 2가 \left(\Omega, \mathcal{F}, \left\{\mathcal{F}_{t}\right\}_{t\geq 0}, \mathbb{P}\right) 위의 멈춤 시각이고, \tau_1 \leq \tau_2 거의 확실히라면, \mathcal{F}_{\tau_1} \subseteq \mathcal{F}_{\tau_2}이다.

참조

[1] 서적 Arbitrage Theory in Continuous Time
[2] 웹사이트 Stochastic Processes: A very simple introduction http://medvegyev.uni[...] 2009-01
[3] 서적 Probabilities and Potential Elsevier
[4] 웹사이트 Filtrations and Adapted Processes http://almostsure.wo[...] 2009-11-08
[5] 논문 On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras
[6] 서적 Heat kernels and Dirac operators http://www.springer.[...] Springer-Verlag 1992


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