유한환

3. 성질

모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다.

모든 유한환 $R$에서 모든 원소 $r\backslash in\; R$는 영인자이거나 가역원이다. 만약 $r\backslash cdot\backslash colon\; R\backslash to\; R$가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리).

모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

:$\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; F\_\{p^k\})$

Wedderburn의 작은 정리에 따르면, 모든 유한 나눗셈환은 가환환이다. 즉, 유한환 ''R''의 모든 0이 아닌 원소 ''r''이 곱셈의 역원을 가지면, ''R''은 가환환(따라서 유한체)이다.

네이선 제이콥슨은 환의 가환성을 보장하는 또 다른 조건을 발견했다. ''R''의 모든 원소 ''r''에 대해 ''n'' > 1인 정수가 존재하여 ''r''ⁿ = ''r''이면 ''R''은 가환환이다.^[2] 환의 가환성을 나타내는 더 일반적인 조건들도 알려져 있다.^[3]

웨더번의 또 다른 정리는 유한 단순환 이론이 비교적 단순하다는 것을 보여준다. 모든 유한 단순환은 크기가 ''q''인 유한체 위의 ''n'' × ''n'' 행렬 $\backslash mathrm\{M\}\_n(\backslash mathbb\{F\}\_q)$와 동형이다. 이는 1905년과 1907년에 조지프 웨더번이 정립한 두 개의 정리(그 중 하나가 Wedderburn의 작은 정리)에서 비롯된다.

4. 분류

유한 유사환은 그 크기에 따라 분류할 수 있다. 유한 유사환 $(R,\; +,\; 0,\; \backslash cdot)$의 크기가 다음과 같이 소인수 분해된다고 하자.

:$|R|\; =\; \backslash prod\_i\; p\_i^\{n\_i\}$

이 경우, $R$은 다음과 같은 유사환 직합으로 표현할 수 있다.

:$R\; =\; \backslash bigoplus\_i\; R\_i$

:$|R\_i|\; =\; p\_i^\{n\_i\}$

즉, 유한 유사환을 분류하기 위해서는 크기가 소수의 거듭제곱인 경우만 고려하면 충분하다.

크기가 $p^n$인 유한 유사환 $(R,\; +,\; 0,\; \backslash cdot)$은 아벨 군 $(R,\; +,\; 0)$에 따라 일차적으로 분류할 수 있다. 유한 아벨 군은 완전히 분류되어 있으며, 이 아벨 군이 순환군인 경우 해당되는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만 분류하면 된다.

만약 $R$이 가환환인 경우, $R$은 크기가 소수의 거듭제곱인 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다.

4. 1. 순환군 위의 유사환

4. 2. Cyc(''p'')^⊕2 위의 유사환

4. 3. Cyc(''p''²) ⊕ Cyc(''p'') 위의 유사환

• 가환환 3개 (''p''=2일 경우 4개)
• * ℤ/(''p''²) ⊕ 𝔽_''p'']:
• * (ℤ/(''p''²))[''x'']/(p''x'',''x''²)
• * (ℤ/(''p''²))[''x'']/(p''x'',''x''²-''p'')
• * (ℤ/(''p''²))[''x'']/(p''x'',''x''²-m''p''), m∈ℤ/(''p'')은 제곱잉여가 아닌 정수. (''p''=2일 경우 이는 불가능하다.)
• 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

4. 4. Cyc(''p'')^⊕3 위의 유사환

• $\backslash mathbb\; F\_p^\{\backslash oplus3\}$
• $\backslash mathbb\; F\_\{p^2\}\backslash oplus\backslash mathbb\; Z/(p)$
• $\backslash mathbb\; F\_p[x]/(x^2)\backslash oplus\backslash mathbb\; Z/(p)$
• 유한체 $\backslash mathbb\; F\_\{p^3\}$
• $\backslash mathbb\; F\_p[x]/(x^3)$
• $\backslash mathbb\; F\_p[x,y]/(x^2,xy,y^2)$

4. 5. 주어진 크기의 유사환의 수