근접 대수

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1. 개요

근접 대수는 국소 유한 부분 순서 집합에 정의된 대수 구조로, 가환환 계수를 갖는 함수들의 집합이다. 이 대수는 점별 덧셈과 곱셈, 그리고 합성곱 연산을 통해 정의되며, 델타 함수, 제타 함수, 뫼비우스 함수와 같은 주요 함수들을 포함한다. 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수의 중요한 응용 중 하나이며, 다양한 수학적 구조에 적용될 수 있다. 축소된 근접 대수는 근접 대수의 부분 대수로, 생성 함수와의 관계를 통해 다양한 수학적 문제에 대한 통찰력을 제공한다. 오일러 지표는 뫼비우스 함수를 사용하여 정의되며, 단순 복합체의 축소된 오일러 지표와 관련이 있다. 근접 대수의 개념은 1964년 잔카를로 로타에 의해 처음 소개되었다.

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근접 대수

2. 정의

부분 순서 집합 $(P,\le)$ 에서 임의의 $a,b\in P$ 에 대한 폐구간

: $[a,b]=\{x\in P\colon a\le x\le b\}$

이 유한집합이면, $(P,\le)$ 를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합 $(P,\le)$ 와 (단위원을 갖는) 가환환 $R$ 이 주어졌을 때, $P$ 위의 $R$ 계수의 '''근접 대수''' $I(P;R)$ 는 $\mathcal C(P)\to R$ 꼴의 함수들의 집합이다. 여기서 $\mathcal C(P)\subset\mathcal P(P)$ 는 $P$ 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이다.

근접 대수는 군 대수와 유사하며, 군과 부분 순서 집합은 범주의 특수한 종류이므로, 군 대수와 근접 대수는 모두 유사하게 정의된 범주 대수의 특수한 경우이다.

2. 1. 국소 유한 부분 순서 집합

'''국소 유한 부분 순서 집합'''(locally finite poset^영어)은 모든 폐구간이 유한 집합인 부분 순서 집합이다. 다시 말해, 부분 순서 집합

(P,\le)

에서 임의의 두 원소

a,b\in P

에 대한 폐구간

:

[a,b]=\{x\in P\colon a\le x\le b\}

이 유한집합이면,

(P,\le)

를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.^[6]

2. 2. 근접 대수

부분 순서 집합

(P,\le)

에서 모든 폐구간

:

[a,b]=\{x\in P\colon a\le x\le b\}

이 유한 집합이면,

(P,\le)

를 '''국소 유한 부분 순서 집합'''(locally finite poset^영어)이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합

(P,\le)

와 (단위원 갖는) 가환환

R

이 주어졌을 때,

P

위의

R

계수의 '''근접 대수'''

I(P;R)

는

\mathcal C(P)\to R

꼴의 함수들의 집합이다. 여기서

\mathcal C(P)\subset\mathcal P(P)

는

P

속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이다.

f\in I(P;R)

에 대하여,

f([a,b])=f(a,b)

로 쓰고,

f

는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉,

f(a,b)

를 다음과 같은 (무한할 수 있는) 행렬로 생각할 수 있다.

:

(f)_{a,b}=\begin{cases}f(a,b)&a\le b\\0&a\not\le b\end{cases}

근접 대수에서의 덧셈과 스칼라 곱셈은 점별로 정의되며, "곱셈"은 다음과 같이 정의되는 합성곱이다.^[1]^[6]

:

(f*g)(a, b)=\sum_{a~\leq~x~\leq~b}f(a, x)g(x, b).

근접 대수가 유한 차원인 것과 그것을 정의하는 부분 순서 집합이 유한한 것은 필요충분조건이다.

3. 근접 대수의 연산

근접 대수에는 덧셈, 곱셈, 그리고 합성곱이 정의된다.

각 연산에 대한 자세한 내용은 #점별 덧셈과 곱셈 및 #합성곱을 참조하라.

3. 1. 점별 덧셈과 곱셈

근접 대수

I(P;R)

위에는 다음과 같은 덧셈과 곱셈 연산을 정의할 수 있다.

(덧셈) $(f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)$
(곱셈) $(fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)$

이 연산 아래, 근접 대수

(I(P;R),+,\cdot)

는

R

-가환 대수를 이룬다. 즉,

I(P;R)

는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형

:

R\hookrightarrow I(P;R)

:

r\mapsto ([a,b]\mapsto r)

이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수

:

\zeta\in I(P;R)

:

\zeta(a,b)=1\qquad\forall a,b\in P

이며, 이를 '''제타 함수'''(zeta function^영어)라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.

3. 2. 합성곱

근접 대수

I(P;R)

위에는 합성곱(convolution^영어)이라는 이항 연산

*

이 정의된다. 이는 다음과 같이 정의된다.

:

(f*g)(a,b)=\sum_{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b)

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하면, 합성곱은 행렬의 곱에 해당한다.

합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 만족시키지만, 일반적으로 교환 법칙은 성립하지 않는다. 합성곱의 항등원은 '''델타 함수'''

\delta\in I(P;R)

이며 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\delta(a,b)=\begin{cases}1&a=b\\0&a\ne b\end{cases}

이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 연산 아래에서 근접 대수

(I(P;R),+,*)

는

R

위의 단위 결합 대수를 이룬다.

체 계수의 근접 대수의 원소

f\in I(P;R)

가 합성곱 아래에서 역원을 갖는 것과 임의의

a\in P

에 대하여

f(a,a)\ne0

인 것은 서로 동치이다.

제타 함수는 합성곱 아래에서 역원을 가지는데, 이를 '''뫼비우스 함수'''

\mu\in I(P;R)

라고 하며, 다음과 같다.^[1]

:

\mu(a,b)=\begin{cases}1&a=b\\

\sum_{a\le x< b}\mu(a,x)&a

\end{cases}

:

\zeta*\mu=\mu*\zeta=\delta

4. 근접 대수의 주요 함수

근접 대수에는 덧셈, 곱셈, 합성곱 등의 연산이 정의된다.^[1]

덧셈: 두 함수 $f$ 와 $g$ 의 덧셈은 각 구간에 대해 함수값을 더하는 방식으로 정의된다.
* $(f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)$
곱셈: 두 함수 $f$ 와 $g$ 의 곱셈은 각 구간에 대해 함수값을 곱하는 방식으로 정의된다.
* $(fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)$

덧셈과 곱셈에 대해 근접 대수는 가환환을 이룬다.^[1]

합성곱: 두 함수 $f$ 와 $g$ 의 합성곱은 다음과 같이 정의된다.
* $(f*g)(a,b)=\sum_{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b)$
합성곱은 행렬의 곱과 유사하며, 결합 법칙과 분배 법칙은 만족하지만 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.^[1]

근접 대수의 주요 함수로는 델타 함수, 제타 함수, 뫼비우스 함수가 있다.^[1]

4. 1. 델타 함수

합성곱의 항등원은 '''델타 함수'''

\delta

이며 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\delta(a,b)=\begin{cases}1&a=b\\0&a\ne b\end{cases}

이는 일종의 단위 행렬과 같은 역할을 한다.^[1]

4. 2. 제타 함수

제타 함수(zeta function^영어)

\zeta\in I(P;R)

는 모든 구간에서 값이 1인 상수 함수이며, 곱셈에 대한 항등원이다.^[1]

:

\zeta(a,b)=1\qquad\forall a,b\in P

모든 비어 있지 않은 구간 [''a, b'']에 대해 ''ζ''(''a'', ''b'') = 1이며,.^[1] ''ζ''를 곱하는 것은 적분과 유사하다.^[1]

:

\zeta(a,b) = \begin{cases}{}\qquad 1 & \textrm{if}\quad a \leq b\\[6pt]{}\qquad 0 & \textrm{otherwise}.\end{cases}

제타 함수의 제곱은 구간 내 요소의 개수를 제공한다.^[1]

\zeta^2(x,y) = \sum_{z\in [x,y]} \zeta(x,z)\,\zeta(z,y)  = \sum_{z\in [x,y]} 1  =  \#[x,y].

4. 3. 뫼비우스 함수

체 계수의 근접 대수 원소

f\in I(P;R)

가 합성곱 아래 역원을 갖는다는 것은, 임의의

a\in P

에 대하여

f(a,a)\ne0

이라는 것과 동치이다. 제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 '''뫼비우스 함수'''

\mu\in I(P;R)

라고 하며 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\mu(a,b)=\begin{cases}1&a=b\\

\sum_{a\le x< b}\mu(a,x)&a

\end{cases}

:

\zeta*\mu=\mu*\zeta=\delta

뫼비우스 함수는 뫼비우스 반전의 핵심 요소이며, 미분과 유사한 역할을 한다. 뫼비우스 함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의될 수 있다.^[1]

:

\mu(x,y) = \begin{cases}{}\qquad 1 & \text{if } x = y\\[6pt]\displaystyle -\!\!\!\!\sum_{z\, :\,  x\,\leq\, z\, <\, y} \mu(x,z) & \text{for } x

5. 뫼비우스 반전 공식

만약 $\chi=f*\phi\qquad(\chi,\phi\in R^P,\;f\in I(P;R))$ 이고, $f$ 가 합성곱 아래 역원을 갖는다면 $\phi=f^{-1}*\chi$ 가 된다. 특히, $f=\zeta$ 일 경우 $f^{-1}=\mu$ 이다.

왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[10]

: $\chi(a)=(\zeta*\phi)(a)=\sum_{a\le b}\phi(b)\iff \phi(a)=(\mu*\chi)(a)=\sum_{a\le b}\mu(a,b)\chi(b)$

마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[10]

: $\chi(b)=(\phi*\zeta)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)\iff \phi(b)=(\chi*\mu)(b)=\sum_{a\le b}\chi(a)\mu(a,b)$

이를 '''뫼비우스 반전 공식'''(Möbius inversion formula^영어)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

5. 1. 공식 유도

국소 유한 부분 순서 집합

P

가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

:

|\{x\in P\colon a\le x\}|<\aleph_0\qquad\forall a\in P

(

P

가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수

(I(P;R),+,*)

는

P

위의,

R

값을 갖는 함수의 집합

R^P

위에 다음과 같이 작용한다.

:

(f*\phi)(a)=\sum_{a\le b}f(a,b)\phi(b)

즉,

R^P

는 환

(I(P;R),+,*)

의 왼쪽 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약

P

가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

:

|\{x\in P\colon x\le a\}|<\aleph_0\qquad\forall a\in P

(

P

가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수

(I(P;R),+,*)

는

P

위의,

R

값을 갖는 함수의 집합

R^P

위에 다음과 같이 작용한다.

:

(f*\phi)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)f(a,b)

즉,

R^P

는 환

(I(P;R),+,*)

의 오른쪽 가군을 이룬다.

만약

:

\chi=f*\phi\qquad(\chi,\phi\in R^P,\;f\in I(P;R))

이며,

f

가 합성곱 아래 역원을 갖는다면

:

\phi=f^{-1}*\chi

가 된다. 특히, 만약

f=\zeta

일 경우

f^{-1}=\mu

이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

:

\chi(a)=(\zeta*\phi)(a)=\sum_{a\le b}\phi(b)\iff \phi(a)=(\mu*\chi)(a)=\sum_{a\le b}\mu(a,b)\chi(b)

마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

:

\chi(b)=(\phi*\zeta)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)\iff \phi(b)=(\chi*\mu)(b)=\sum_{a\le b}\chi(a)\mu(a,b)

이를 '''뫼비우스 반전 공식'''(Möbius inversion formula^영어)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

5. 2. 다양한 적용

뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula^영어)은 다음 두 조건이 서로 동치임을 나타낸다.^[10]

:

\chi(a)=(\zeta*\phi)(a)=\sum_{a\le b}\phi(b)\iff \phi(a)=(\mu*\chi)(a)=\sum_{a\le b}\mu(a,b)\chi(b)

마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

:

\chi(b)=(\phi*\zeta)(b)=\sum_{a\le b}\phi(a)\iff \phi(b)=(\chi*\mu)(b)=\sum_{a\le b}\chi(a)\mu(a,b)

이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

6. 예시

근접 대수의 대표적인 예시는 다음과 같다. 아래 예시들에서 계수환은 항상 $R=\mathbb Z$ (정수)이다.

{| class="wikitable"

|-

! 집합 $P$

! 부분 순서 $a\le b$

! 뫼비우스 함수 $\mu(a,b)$

! 반전 공식

|-

| 양의 정수의 집합 $\mathbb Z^+$

| $a$ 는 $b$ 의 약수: $a \mid b$

| $\mu(b/a)$ ( $\mu(r)$ 는 수론에서의 뫼비우스 함수)

| 뫼비우스 반전 공식

|-

| 음이 아닌 정수의 집합 $\mathbb N$

| $a\le b$

| $\begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1$

| 유한 차분의 기본 정리 $\Delta\mathcal If=f$ ( $\Delta f(n)=f(n)-f(n-1)$ 는 유한 차분, $\mathcal If(n)=f(0)+f(1)+\cdots+f(n)$ )

|-

| 유한 집합 $E$ 의 멱집합 $\mathcal P(E)$

| $a\subseteq b$

| $(-1)^$

| 포함배제의 원리

|-

| 유한 집합

E

의 분할들의 집합

|

a

가

b

보다 더 세밀한 분할

|

(-1)^

(2!)^{|b|_3}(3!)^{|b|_4}\cdots((n-1)!)^{|b|_

}.

|a|

는

a

의 블록 수,

|b|

는

b

의 블록 수,

|b|_i

는 정확하게

i

개의

a

-블록들을 포함하는

b

-블록들의 수

|

|}

'''멀티 집합 ''E''의 유한 부분 멀티 집합''': 포함 관계에 따라 정렬되며, 뫼비우스 함수는 다음과 같다.

:

\mu(S,T) = \begin{cases}0 & \text{if } T \smallsetminus S \text{ is a proper multiset (has repeated elements)}\\(-1)^{\left|T \smallsetminus S\right|} & \text{if } T\smallsetminus S \text{ is a set (has no repeated elements)}.\end{cases}

:이는 양의 정수의 나눗셈 순서에 따른 양의 정수를 일반화한 것으로, 곱셈을 갖는 소수 약수의 멀티 집합에 해당한다. 예를 들어, 12는 멀티 집합

\{ 2, 2, 3 \}.

에 해당한다. 또한, 일반적인 순서에 따른 자연수를 일반화한 것으로, 하나의 기본 요소와 그 수와 같은 카디널리티를 가진 멀티 집합에 해당한다. 예를 들어, 3은 멀티 집합

\{ 1, 1, 1 \}.

에 해당한다.

6. 1. 양의 정수의 약수 관계

수론에서의 뫼비우스 함수

\mu(r)

는 뫼비우스 반전 공식에 사용된다.^[7] 양의 정수 집합

\mathbb Z^+

에서

a

가

b

의 약수일 때(

a \mid b

), 뫼비우스 함수는

\mu(b/a)

로 주어진다.

;'''약수 관계에 따라 정렬된 양의 정수'''

:구간 [1, ''n'']에 대한 사상 대수와 연관된 컨볼루션은 디리클레 컨볼루션이 되므로, 뫼비우스 함수는 ''μ''(''a, b'') = ''μ''(''b/a'')이며, 여기서 두 번째 "''μ''"는 19세기에 수론에 도입된 고전적인 뫼비우스 함수이다.

:

\mu(n) = \mu_D(1,n) = \prod_{k\geq 1}\mu_{\N}(0,e_k)\,=\,\left\{\begin{array}{cl}(-1)^d & \text{for } n \text{ squarefree with } d \text{ prime factors}\\0 & \text{otherwise.}\end{array}\right.

6. 2. 유한 집합의 멱집합

포함배제의 원리와 관련된 뫼비우스 함수는 다음과 같이 주어진다.^[7]

:

\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\smallsetminus S\right|}

여기서 ''S''와 ''T''는 ''S'' ⊆ ''T''인 ''E''의 유한 부분 집합이다.

6. 3. 자연수의 순서 관계

일반적인 순서의 자연수에 대한 뫼비우스 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu(x,y) = \begin{cases}1& \text{if }y=x, \\

1 & \text{if }y = x+1, \\

0 & \text{if }y>x+1,\end{cases}

이 경우, 뫼비우스 반전은 (역) 차분 연산자라고 불린다. 기하학적으로는 이산적인 수직선에 해당한다.

사상 대수의 함수 컨볼루션은 형식적 멱급수의 곱셈에 해당한다. 뫼비우스 함수는 형식적 멱급수 1 - ''t''의 계열 (1, -1, 0, 0, 0, ...)에 해당하고, 제타 함수는 형식적 멱급수

(1 - t)^{-1} = 1 + t + t^2 + t^3 + \cdots

의 계열 (1, 1, 1, 1, ...)에 해당하며, 이는 뫼비우스 함수의 역이다. 이 사상 대수에서의 델타 함수는 마찬가지로 형식적 멱급수 1에 해당한다.

6. 4. 집합의 분할

집합의 분할들의 집합에서, 뫼비우스 함수는

(-1)^

(2!)^{|b|_3}(3!)^{|b|_4}\cdots((n-1)!)^{|b|_

}로 주어진다.^[7] 여기서

|a|

는

a

의 블록 수,

|b|

는

b

의 블록 수,

|b|_i

는 정확하게

i

개의

a

-블록들을 포함하는

b

-블록들의 수를 의미한다.

좀 더 자세하게는, 유한 집합의 모든 분할의 집합을 부분적으로 정렬할 때, ''σ''가 ''τ''보다 세밀한 분할인 경우 ''σ'' ≤ ''τ''라고 한다. ''τ''가 각각 ''σ''의 ''s''₁, ..., ''s''_''t''개의 세밀한 블록으로 분할되는 ''t''개의 블록을 가지고 있으며, 총 ''s'' = ''s''₁ + ⋅⋅⋅ + ''s''_''t''개의 블록을 가진다고 할 때, 뫼비우스 함수는 다음과 같이 계산된다.^[8]

:

\mu(\sigma,\tau) = (-1)^{s-t}(s_1{-}1)! \dots (s_t{-}1)!

6. 5. 유한 p-군의 부분군

Weisner (1935)의 정리에 따르면, 유한 ''p''-군 ''G''의 부분군에 대한 뫼비우스 함수는 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

\mu_G(H_1,H_2) = (-1)^{k} p^{\binom{k}{2}}

여기서

H_1

는

H_2

의 정규 부분군이고

H_2/H_1 \cong (\Z/p\Z)^k

이며, 그렇지 않으면 0이다.

변경 사항
`Weisner^영어` 템플릿 제거 후, 바이스너로 내부 링크 처리.
나머지 부분은 지시사항을 준수하며, 변경 사항 없음.

7. 축소된 근접 대수

축소된 근접 대수는 두 구간이 반순서 집합으로서 동형일 때 같은 값을 갖는 결합 대수의 원소이다.^[2] 이는 사건 대수의 부분 대수이며, 사건 대수의 항등원과 제타 함수를 포함한다. 더 큰 사건 대수에서 가역적인 축소된 사건 대수의 모든 요소는 축소된 사건 대수에서 그 역을 가지므로, 뫼비우스 함수도 축소된 사건 대수에 있다.

축소된 근접 대수는 다양한 생성 함수의 링(환)을 자연스럽게 구성하기 위해 도입되었다.^[2]

7. 1. 정의

두 구간이 반순서 집합으로서 동형일 때 같은 값을 갖는 결합 대수의 원소는 '''근접 대수'''(reduced incidence algebra)이다.^[2] 근접 대수는 결합 대수의 부분 대수이며, 원래 결합 대수의 단위원과 제타 함수를 포함한다. 근접 대수의 원소는, 적절한 결합 대수의 확대에서 가역적이라면 근접 대수 자체 내에 역원을 가진다. 따라서 뫼비우스 함수는 항상 근접 대수의 원소로 취할 수 있다.

7. 2. 생성 함수와의 관계

자연수의 순서 관계, 부분집합 관계, 약수 관계 등에서 축소된 근접 대수는 생성 함수와 밀접하게 연결된다.

자연수의 순서 관계 ( $(\mathbb{N},\leq)$ ): 축소된 근접 대수는 이동 불변 함수 $f(a,b)$ (모든 $k \ge 0$ 에 대해 $f(a+k,b+k) = f(a,b)$ 를 만족)로 구성된다. $t$ 를 $t(a, a+1) = 1$ 이고, 그렇지 않으면 $t(a, b) = 0$ 인 함수로 정의하면, 이 함수의 거듭제곱은 $t^n(a, a+n) = 1$ (그렇지 않으면 $t^n(x, y) = 0$ )이 된다. 이들은 축소된 근접 대수의 기저를 형성하며, 모든 불변 함수는 $\textstyle f = \sum_{n\ge 0} f(0,n)t^n$ 로 표현 가능하다. 이는 형식적 멱급수 환 $Rt$ (일반적인 생성 함수의 환)와 동형이다. 제타 함수는 $\zeta=1+t+t^2+\cdots = \tfrac1{1-t}$ 로, 뫼비우스 함수는 $\mu=1-t$ 로 나타낼 수 있다.

부분집합 관계: 유한 부분집합 $S\subset\{1,2,3,\ldots\}$ 의 부울 포셋에서 포함 관계 $S\subset T$ 로 정렬된 경우, 축소된 근접 대수는 |''T'' \ ''S''| = |''T'' ′ \ ''S''′| 일 때 동일한 값을 갖는 불변 함수 $f(S,T)$ 로 구성된다. $t$ 는 |''T'' \ ''S''| = 1일 때 $t(S, T) = 1$ 이고, 그렇지 않으면 $t(S, T) = 0$ 인 불변 델타 함수를 나타낸다. 그 거듭제곱은 $t^n(S,T) = n!$ ( $|T\smallsetminus S| = n$ 인 경우) 또는 0 (그렇지 않은 경우)이다. 불변 델타 함수는 분할된 거듭제곱 $\tfrac{t^n}{n!}$ 이며, 모든 불변 함수는 $\textstyle f = \sum_{n\geq0} f(\emptyset,[n])\frac{t^n}{n!}$ 로 쓸 수 있다. 이는 지수 생성 함수의 링과 동형이다. 제타 함수는 $\textstyle \zeta = \sum_{n\geq 0}\frac{t^n}{n!} = \exp(t)$ , 뫼비우스 함수는 $\mu = \frac1{\zeta} = \exp(-t) = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \frac{t^n}{n!}$ 이다.

약수 관계: 양의 정수 집합 ''D''를 약수 관계에 의해 정렬된 포셋(poset)으로 간주하면, 축소된 근접 대수는 곱셈에 대해 불변인 함수 $f(a,b)$ ( $f(ka,kb) = f(a,b)$ )로 구성된다. 불변 함수 ''f''(''a'',''b'')는 ''b''/''a''에만 의존하므로, 기저는 $\delta_n(a,b) = 1$ (''b''/''a'' = ''n'') 또는 0 (그렇지 않은 경우)로 정의된 불변 델타 함수 $\delta_n$ 이다. 모든 불변 함수는 $\textstyle f = \sum_{n\geq 0} f(1,n)\, \delta_n$ 로 표현 가능하다. $\delta_n$ 을 $n^{-s}\!$ 로 보내는 방식으로 축소된 근접 대수에서 형식적인 디리클레 급수로의 동형사상을 얻으며, ''f''는 $\sum_{n\geq 1} \frac{f(1,n)}{n^s}$ 에 해당한다. 근접 대수 제타 함수 ζ_''D''(''a'',''b'') = 1은 리만 제타 함수 $\zeta(s)=\textstyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}$ 에 해당하며, 역수는 $\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^s}$ (여기서 $\mu(n)=\mu_D(1,n)$ 는 고전적인 뫼비우스 함수)이다.

8. 오일러 지표

Euler characteristic^영어

유계 포셋은 최소 원소와 최대 원소를 가지며, 이를 각각 0과 1이라고 부른다 (스칼라 링의 0과 1과 혼동해서는 안 된다). 유계 유한 포셋의 '''오일러 지표'''는 ''μ''(0,1)이다. 이 용어를 사용하는 이유는 다음과 같다. 만약 ''P''가 0과 1을 갖는다면, ''μ''(0,1)은 ''P'' \ {0, 1}의 체인들을 면으로 하는 단순 복합체의 축소된 오일러 지표이다. 이는 필립 홀의 정리를 사용하여, ''μ''(0,1)의 값을 길이 ''i''의 체인 개수와 관련시켜 보일 수 있다.

유향 집합에서 최대 원소와 최소 원소를 가질 때 '''유계'''라고 한다. 유계 유한 유향 집합의 '''오일러 지표'''는 뫼비우스 함수의 값 μ(0,1)을 말한다. 이렇게 말하는 이유는, P가 최대 원소와 최소 원소를 가질 때, P ∖ {0, 1}에 면을 갖는 단체 복체의 축소된 오일러 지표가 μ(0,1)와 일치하기 때문이다.

9. 역사

잔카를로 로타가 1964년에 국소 유한 부분 순서 집합과 근접 대수의 개념을 정의하였다.^[10]

참조

_[1] 논문 Systems of Generators of Matrix Incidence Algebras over Finite Fields http://link.springer[...] 2019-08
_[2] 서적 On the Foundations of Combinatorics (VI): The Idea of Generating Function http://projecteuclid[...] Univ. of Calif. Press 1972
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적 1964
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적 On the Foundations of Combinatorics (IV): The Idea of Generating Function http://projecteuclid[...] Univ. of Calif. Press 1972
_[10] 저널 On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions http://www.maths.ed.[...] 1964

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