작용소 노름

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 동치인 정의들
4. 예시
- 4.1. 행렬 노름
- 4.2. 무한 차원 예시
5. 힐베르트 공간에서의 작용소
6. 일반적인 작용소 노름
참조

1. 개요

작용소 노름은 실수체 또는 복소수체 상의 노름 공간 사이의 선형 변환에 대해 정의되는 음이 아닌 확장된 실수이며, 선형 변환의 "크기"를 측정하는 데 사용된다. 작용소 노름은 유계 작용소에 대한 노름이며, 유계 작용소, 연속 함수, 균등 연속 함수, 립시츠 연속 함수 사이의 동치 관계를 제공한다. 작용소 노름은 작용소의 합성, 즉 곱셈과 호환되며, 작용소 열의 작용소 노름에서 수렴은 유계 집합에서의 균등 수렴을 의미한다. 행렬 노름과 무한 차원 공간의 작용소 노름을 예시로 들 수 있으며, 힐베르트 공간에서 작용소 노름은 수반 연산자와 스펙트럼 반경과 관련이 있다. 작용소 노름은 정의역과 공역의 노름 선택에 따라 다양한 값을 가지며, 계산 복잡성이 다르다.

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작용소 노름

2. 정의

$\mathbb{K}$ 가 실수체( $\mathbb{R}$ ) 또는 복소수체( $\mathbb{C}$ )이고, $V$ 와 $W$ 가 $\mathbb{K}$ -노름 공간이라고 하자. 이들 사이의 선형 변환 $T\colon V\to W$ 에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수를 정의할 수 있으며, 이를 $T$ 의 '''작용소 노름'''이라고 한다.^[5]^[6]

: $\begin{align}\|T\|&=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{\|Tv\|_W}{\|v\|_V}\\&=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\|T(v/\|v\|_V)\|_W \\&= \inf\left\{c\in[0,\infty)\colon \|Tv\|_W \le c\|v\|_V \forall v\in V\right\} \\&= \inf\left\{c\in[0,\infty): \frac{\|Tv\|_W}{\|v\|_V} \le c \forall v\in V\setminus\{0\}\right\} \\&= \sup_{v\in V,\;\|v\|_V = 1} \|Tv\|_W\\&\in[0,\infty]\end{align}$

위 상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

두 노름 벡터 공간 $V$ 와 $W$ (같은 체 상, 실수 $\R$ 또는 복소수 $\Complex$ )가 주어졌을 때, 선형 맵 $A : V \to W$ 가 연속이기 위한 필요충분조건은 다음을 만족하는 실수 $c$ 가 존재하는 것이다.^[1]

: $\|Av\| \leq c \|v\| \quad \text{ 모든 } v\in V에 대해.$

왼쪽의 노름은 $W$ 에서의 노름이고 오른쪽의 노름은 $V$ 에서의 노름이다. 직관적으로, 연속 연산자 $A$ 는 어떤 벡터의 길이도 $c$ 의 배수 이상으로 증가시키지 않는다. 따라서 연속 연산자 하에서 유계 집합의 상은 또한 유계이다. 이러한 성질 때문에, 연속 선형 연산자는 유계 연산자라고도 한다.

$A$ 의 "크기"는 "가장 큰" 경우에 벡터를 얼마나 "늘리는지"로 측정된다. 따라서 $A$ 의 작용소 노름은 다음과 같이 정의한다.

: $\|A\|_\text{op} = \inf\{ c \geq 0 : \|Av\| \leq c \|v\| \text{ 모든 } v \in V \text{에 대해} \}.$

이러한 모든 $c$ 의 집합이 닫힌 집합, 공집합이 아니며, 아래로 유계 집합이므로 하한이 존재한다.^[2]

이 연산자 노름이 노름 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 에 대한 노름의 선택에 의존한다는 점을 기억하는 것이 중요하다.

3. 성질

작용소 노름은 유계 작용소 위에서 노름의 성질을 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다.

$\|T\| = 0 \iff T = 0 \qquad\forall T\in\operatorname B(V,W)$
$\|aT\| = |a| \|T\| \qquad\forall a\in\mathbb K,\; T\in\operatorname B(V,W)$
(삼각 부등식) $\|T + U\| \le \|T\| + \|U\| \qquad\forall T,U\in\operatorname B(V,W)$

여기서

\mathbb K

는 실수체 또는 복소수체를 의미한다.

두

\mathbb K

-노름 공간

V

와

W

사이의 선형 변환

T\in\hom_{\mathbb K}(V,W)

에 대하여 다음은 서로 동치이다.^[6]

$T$ 는 유계 작용소이다.
$T$ 는 연속 함수이다.
$T$ 는 균등 연속 함수이다.
$T$ 는 립시츠 연속 함수이다.
$T$ 의 작용소 노름이 유한하다. 즉, $\|T\|<\infty$ 이다.

이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다.

유한 노름을 갖는 작용소

T

에 대해, 임의의

u,v\in V

에 대하여,

:

d(Tu,Tv)=\|Tu-Tv\|=\|T(u-v)\|\le \|T\| d(u,v)

이므로,

T

는 립시츠 연속 함수이다.

연속 작용소

T

에 대해서는, 연속성의 정의에 따라

:

T\left(\operatorname{ball}_V(0,\delta)\right)\subseteq\operatorname{ball}_W(0,1)

인 양의 실수

\delta\in\mathbb R^+

가 존재한다. (여기서

\operatorname{ball}(x,r)

는 열린 공을 뜻한다.)

따라서 임의의

v\in V\setminus\{0\}

에 대하여,

\delta v/2\|v\|\in\operatorname{ball}_V(0,\delta)

이므로,

:

\|Tv\|=\frac{2\|v\|}\delta\cdot \|T(\delta v/2\|v\|)\| \le \frac{2\|v\|}\delta

이다. 즉,

:

\|T\|\le \frac 2\delta <\infty

이다.

작용소 노름은

V

와

W

사이의 모든 유계 작용소 공간에 정의되는 노름이며, 다음 부등식이 성립한다.

:

\|Av\| \leq \|A\|_\text{op} \|v\| \ \mbox{ 모든 }\ v \in V \mbox{에 대해.}

작용소 노름은 작용소의 합성(곱셈)과 호환되는 곱셈 가능 노름이다. 즉,

V

,

W

,

X

가 같은 체를 기저로 하는 세 노름 공간이고,

A : V \to W

와

B : W \to X

가 두 유계 작용소라면, 다음이 성립한다.

:

\|BA\|_\text{op} \leq \|B\|_\text{op} \|A\|_\text{op}.

이는 작용소 곱셈이 결합적으로 연속임을 의미한다.

작용소 열이 작용소 노름에서 수렴하면, 유계 집합에서 균등 수렴한다.

3. 1. 동치인 정의들

\mathbb K

가 실수체 또는 복소수체 중 하나이고,

V

와

W

가

\mathbb K

-노름 공간이라고 할 때, 이들 사이의 선형 변환

T\colon V\to W

의 '''작용소 노름'''은 다음과 같이 정의되는 음이 아닌 확장된 실수이다.^[5]^[6]

:

\begin{align}\|T\|&=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{\|Tv\|_W}{\|v\|_V}\\&=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\|T(v/\|v\|_V)\|_W \\&= \inf\left\{c\in[0,\infty)\colon \|Tv\|_W \le c\|v\|_V \forall v\in V\right\} \\&= \inf\left\{c\in[0,\infty): \frac{\|Tv\|_W}{\|v\|_V} \le c \forall v\in V\setminus\{0\}\right\} \\&= \sup_{v\in V,\;\|v\|_V = 1} \|Tv\|_W\\&\in[0,\infty]\end{align}

위 상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

두 노름 벡터 공간

V

와

W

(같은 체 상, 실수

\R

또는 복소수

\Complex

)가 주어졌을 때, 선형 맵

A : V \to W

가 연속이기 위한 필요충분조건은 다음을 만족하는 실수

c

가 존재하는 것이다.^[1]

:

\|Av\| \leq c \|v\| \quad \text{ 모든 } v\in V에 대해.

여기서 왼쪽의 노름은

W

에서의 노름이고 오른쪽의 노름은

V

에서의 노름이다.

연속 선형 연산자는 유계 연산자라고도 불리는데, 이는 연속 연산자 하에서 유계 집합의 상이 유계이기 때문이다.

A

의 "크기"는

A

가 벡터를 "늘리는" 최대 스칼라 인자로 측정되므로,

A

의 연산자 노름은 다음과 같이 정의된다.

:

\|A\|_\text{op} = \inf\{ c \geq 0 : \|Av\| \leq c \|v\| \text{ 모든 } v \in V \text{에 대해} \}.

이러한 모든

c

의 집합은 닫힌 집합, 공집합(이 아님), 그리고 아래로 유계 집합이므로 하한이 존재한다.^[2]

정규 노름 공간 사이의 선형 연산자

A : V \to W

가 주어졌을 때, 다음 정의들은 모두 동치이다. (

V \neq \{0\}

인 경우)

:

\begin{alignat}{4}\|A\|_\text{op} &= \inf &&\{ c \geq 0 ~&&:~ \| A v \| \leq c \| v \| ~&&~ \text{ 모든 } ~&&v \in V \} \\&= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| \leq 1 ~&&~\mbox{ 그리고 } ~&&v \in V \} \\&= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| < 1 ~&&~\mbox{ 그리고 } ~&&v \in V \} \\&= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| \in \{0,1\}  ~&&~\mbox{ 그리고 } ~&&v \in V \} \\&= \sup &&\{ \| Av \| ~&&:~ \| v \| = 1 ~&&~\mbox{ 그리고 } ~&&v \in V \}  \;\;\;\text{ 이 등식은  } V \neq \{ 0 \} \text{일 때에만 성립한다.} \\&= \sup &&\bigg\{ \frac{\| Av \|}{\| v \|} ~&&:~ v \ne 0 ~&&~\mbox{ 그리고 } ~&&v \in V \bigg\}  \;\;\;\text{ 이 등식은  } V \neq \{ 0 \} \text{일 때에만 성립한다.} \\\end{alignat}

만약

V = \{0\}

이면, 마지막 두 행의 집합은 비어있게 되며, 결과적으로 집합

[-\infty, \infty]

에서의 상한은 올바른 값인

0

대신

-\infty

가 된다. 만약 상한이 집합

[0, \infty]

에서 취해진다면, 공집합의 상한은

0

이고, 어떤

V

에 대해서도 공식이 성립한다.

제임스 정리(James's theorem)에 따르면, 바나흐 공간

V

가 모든 유계 선형 범함수

f \in V^*

가 닫힌 단위 공에서 자신의 쌍대 노름을 달성할 경우에만 반사 공간(reflexive space)이다.

만약

A : V \to W

가 유계이면,

:

\|A\|_\text{op} = \sup \left\{\left|w^*(A v)\right| : \|v\| \leq 1, \left\|w^*\right\| \leq 1 \text{ where } v \in V, w^* \in W^*\right\}

이고

:

\|A\|_\text{op} = \left\|{}^tA\right\|_\text{op}

여기서

{}^t A : W^* \to V^*

는

A : V \to W

의 전치이며, 이는

w^* \,\mapsto\, w^* \circ A

로 정의되는 선형 연산자이다.

4. 예시

모든 실수 $m \times n$ 행렬은 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 선형 사상에 해당하며, 노름이 주어진 실수 벡터 공간에서 정의될 수 있다. 특히 $\mathbb{R}^n$과 $\mathbb{R}^m$ 모두에서 유클리드 노름을 선택하면, 행렬 $A$에 대한 작용소 노름은 행렬 $A^{*} A$의 가장 큰 고유값의 제곱근으로 주어진다(여기서 $A^{*}$는 $A$의 켤레 전치)이다. 이는 $A$의 가장 큰 특이값을 구하는 것과 같다.

''L''^''p'' 공간의 일종인 수열 공간 $\ell^2$는 유클리드 공간 $\Complex^n$의 무한 차원 형태로 볼 수 있다. 유계 수열 $s_{\bull} = \left(s_n\right)_{n=1}^\infty$에 대해 점별 곱셈으로 정의된 연산자 $T_s$는 유계 작용소이며, 그 작용소 노름은 $\left\|T_s\right\|_\text{op} = \left\|s_{\bull}\right\|_\infty$로 주어진다. 이러한 논의는 $\ell^2$를 $p > 1$인 일반적인 $L^p$ 공간으로, $\ell^\infty$를 $L^\infty$ 공간으로 대체하여도 확장 가능하다.

4. 1. 행렬 노름

모든 실수

m \times n

행렬은

\mathbb{R}^n

에서

\mathbb{R}^m

으로의 선형 사상에 해당하며, 실수 벡터 공간에 적용 가능한 다양한 노름의 각 쌍은 모든

m \times n

실수 행렬에 대한 작용소 노름을 유도하며, 이러한 유도된 노름은 행렬 노름의 부분 집합을 형성한다.^[3]

특히

\mathbb{R}^n

과

\mathbb{R}^m

모두에서 유클리드 노름을 선택하면, 행렬

A

에 주어진 행렬 노름은 행렬

A^{*} A

의 가장 큰 고유값의 제곱근이다 (여기서

A^{*}

는

A

의 켤레 전치를 나타낸다).^[3] 이는

A

의 가장 큰 특이값을 할당하는 것과 동일하다.^[3]

4. 2. 무한 차원 예시

''L''^''p'' 공간의 일종인 수열 공간

\ell^2

는 다음과 같이 정의된다.

:

\ell^2 = \left\{ (a_n)_{n \geq 1} : \; a_n \in \mathbb{C}, \; \sum_n |a_n|^2 < \infty \right\}.

이는 유클리드 공간

\Complex^n

의 무한 차원 형태로 볼 수 있다. 유계 수열

s_{\bull} = \left(s_n\right)_{n=1}^\infty

는

\ell^\infty

공간의 원소이며, 이 공간의 노름은 다음과 같다.

:

\left\|s_{\bull}\right\|_\infty = \sup _n \left|s_n\right|.

점별 곱셈으로 연산자

T_s

를 다음과 같이 정의한다.

:

\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty} \;\stackrel{T_s}{\mapsto}\;\ \left(s_n \cdot a_n\right)_{n=1}^{\infty}.

이 연산자

T_s

는 유계 작용소이며, 연산자 노름은 다음과 같이 주어진다.

:

\left\|T_s\right\|_\text{op} = \left\|s_{\bull}\right\|_\infty.

\ell^2

공간을

p > 1

인 일반적인

L^p

공간으로,

\ell^\infty

공간을

L^\infty

공간으로 대체하여도 위와 같은 논의를 직접 확장할 수 있다.

5. 힐베르트 공간에서의 작용소

$H$ 가 힐베르트 공간이고 $A: H \to H$ 가 유계 선형 연산자일 때, $A$ 의 스펙트럼 반경 $\rho(A)$ 에 대해 $\rho(A) \leq \|A\|_\text{op}$ 가 성립한다.

$A$ 가 정규 행렬(또는 정규 작용소)이면, 스펙트럼 정리에 따라 $\rho(A) = \|A\|_\text{op}$ 이다.

이 공식은 주어진 유계 연산자 $A$ 의 연산자 노름을 계산하는 데 사용될 수 있다. 즉, 에르미트 연산자 $B = A^{*} A$ 를 정의하고, 스펙트럼 반경을 결정한 다음, 행렬의 제곱근을 취하여 $A$ 의 연산자 노름을 구한다.

하지만 이 등식이 항상 성립하는 것은 아니다. 유한 차원에서의 행렬의 조르당 표준형을 고려해 보면, 대각선 위에 0이 아닌 원소가 있을 수 있기 때문에 등식이 성립하지 않을 수 있다. 준 멱영 연산자가 이러한 예시 중 하나이다. 영이 아닌 준 멱영 연산자 $A$ 는 스펙트럼 $\{0\}.$ 을 가지므로, $\rho(A) = 0$ 이지만 $\|A\|_\text{op} > 0.$ 이다.

6. 일반적인 작용소 노름

정의역과 공역에 다른 노름을 선택함으로써 작용소 노름의 다른 값을 얻을 수 있다. 몇몇 일반적인 작용소 노름은 계산하기 쉽지만, 다른 노름은 NP-난해이다.^[4]

NP-난해 노름을 제외하고, 이 모든 노름은 $N^2$ 연산으로 계산할 수 있다( $N \times N$ 행렬의 경우). 단, $\ell_2 - \ell_2$ 노름은 정확한 답을 얻기 위해 $N^3$ 연산이 필요하며, 거듭제곱 방법 또는 란초스 반복법으로 근사하면 연산 횟수를 줄일 수 있다.^[4]

작용소 노름의 계산 가능성^[4]
colspan="2" rowspan="2" \|	공역
$\ell_1$	$\ell_2$	$\ell_\infty$
정의역	$\ell_1$	열의 최대 $\ell_1$ 노름	열의 최대 $\ell_2$ 노름	열의 최대 $\ell_{\infty}$ 노름
	$\ell_2$	NP-난해	최대 특이값	행의 최대 $\ell_2$ 노름
	$\ell_\infty$	NP-난해	NP-난해	행의 최대 $\ell_1$ 노름

수반 또는 전치 행렬의 노름은 다음과 같이 계산할 수 있다.^[4]

임의의 $p, q$ 에 대해, $\|A\|_{p\rightarrow q} = \|A^*\|_{q'\rightarrow p'}$ 이며, 여기서 $p', q'$ 는 $p, q$ 에 대한 횔더 켤레이며, 즉, $1/p + 1/p' = 1$ 이고 $1/q + 1/q' = 1$ 이다.^[4]

참조

_[1] 서적 Introductory functional analysis with applications John Wiley & Sons
_[2] harvtxt
_[3] 웹사이트 Operator Norm https://mathworld.wo[...] 2020-03-14
_[4] 문서 "[[Joel Tropp]]'s PhD thesis" http://users.cms.cal[...]
_[5] 서적 Functional analysis Academic Press 1980
_[6] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991

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