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체 (범주론)

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목차

1. 개요

체(Sieve)는 범주론에서 사용되는 개념으로, 범주와 대상 U가 주어졌을 때 U로 향하는 특정 사상들을 모아놓은 것이다. 체는 추상적 정의, 구체적 정의, 그리고 이 둘의 관계를 통해 설명되며, 환론의 오른쪽 아이디얼이나 순서론의 필터와 유사한 성질을 가진다. 체는 당김 연산을 통해 새로운 체를 생성하며, 체들의 집합은 완비 격자를 이룬다. 또한, 위치가 주어지면 각 덮개체는 체가 되며, 사상 모임, 조각 범주, 부분 순서 집합 등 다양한 예시를 통해 체를 정의할 수 있다.

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체 (범주론)

2. 정의

범주 \mathcal C 및 그 위의 대상 U\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, U 위의 체는 추상적인 방식과 구체적인 방식, 두 가지로 정의될 수 있다.

"체"라는 용어는 체 S가 U로 향하는 특정 사상들을 마치 체로 거르듯 골라낸다는 의미에서 유래했다. 구체적인 정의 방식들은 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

2. 1. 추상적 정의

국소적으로 작은 범주 \mathcal C 위의 대상 U\in\mathcal C 위의 체 S는 표현 가능 준층 \hom(-,U)\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)의 부분 준층이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 준층 S\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)이다.

  • 모든 V\in\mathcal C에 대하여, S(V)\subset\hom(V,U)
  • 모든 f\in\hom_{\mathcal C}(V,W)에 대하여, S(f)\colon S(W)\to S(V);g\mapsto g\circ f.


범주 '''C'''와 그 대상 ''c''에 대해, 체 S\colon C^{\rm op} \to {\rm Set}는 ''c''에 대한 부분 함자 Hom(−, ''c'')이다. 즉, '''C'''의 모든 대상 ''c''′에 대해, ''S''(''c''′) ⊆ Hom(''c''′, ''c'')이고, 모든 사상 ''f'':''c''″→''c''′에 대해, ''S''(''f'')는 Hom(''f'', ''c'')의 제한이며, ''f''에 의한 당김(사전 합성의 의미에서, 섬유 곱의 의미가 아님)을 ''S''(''c''′)로 제한한 것이다.

다른 방식으로 말하면, 체는 공통 공역을 가진 사상들의 모임 ''S''이며, "만약 ''g'':''c''′→''c''가 ''S''에 있는 사상이고, ''f'':''c''″→''c''′가 '''C'''의 다른 사상이라면, ''gf''는 ''S''에 있다."라는 조건을 만족한다. 결과적으로 체는 환론에서의 오른쪽 아이디얼이나 순서론에서의 필터와 유사하다.

2. 2. 구체적 정의

범주 \mathcal C 위의 대상 U\in\mathcal C 위의 '''체'''는 다음 조건들을 만족시키는, \mathcal C의 사상들의 모임 S\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)이다.

  • S에 속하는 모든 사상 f\in S의 공역이 U이다.
  • (합성에 대한 닫힘) 임의의 사상 g\colon X\to Y 및 f\colon Y\to U에 대하여, 만약 f\in S라면 f\circ g\in S이다.


추상적 정의와 구체적 정의는 다음과 같이 대응된다.

추상적 정의구체적 정의
대상 X\in\mathcal C에 대하여, S(X)\subset\hom(X,U)S(X):=\{f\in S\colon\operatorname{dom}f=X\}
사상 f\colon X\to Y에 대하여, S(f)\colon S(Y)\to S(X)(g\in S)\mapsto (g\circ f\in S)



여기서 \operatorname{dom}은 사상의 정의역이다. 즉, S(X)는 체에 속한 사상 가운데, 정의역이 X인 사상들로 구성된 부분 모임이다.

다른 방식으로 표현하면, 체는 공통 공역 U를 가진 사상들의 모임 S이며, 다음 조건을 만족시킨다: "만약 g\colon Y\to U가 S에 속하는 사상이고, f\colon X\to Y가 \mathcal C의 임의의 사상이라면, 합성 사상 g\circ f\colon X\to U는 S에 속한다." 이는 환론에서의 오른쪽 아이디얼이나 순서론에서의 필터 개념과 유사하다.

2. 3. 추상적 정의와 구체적 정의의 관계

범주 \mathcal C 위의 대상 U에 대한 체는 추상적으로 공역이 U이고 합성에 대해 닫혀있는 사상들의 모임 S\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)로 정의될 수 있다. 또한, 체는 구체적으로 대상 c에 대한 부분 함자 Hom(−, c)로 정의되기도 한다 (S\colon C^{\rm op} \to {\rm Set}).

이 두 가지 정의 방식은 서로 다음과 같이 대응된다.

추상적 정의구체적 정의
대상 X\in\mathcal C에 대하여, S(X)\subset\hom(X,U)S(X):=\{f\in S\colon\operatorname{dom}f=X\}
사상 f\colon X\to Y에 대하여, S(f)\colon S(Y)\to S(X)(g\in S)\mapsto (g\circ f\in S)



여기서 \operatorname{dom}은 사상의 정의역을 나타낸다. 즉, 구체적 정의에서의 S(X)는 추상적 정의의 체 S에 속한 사상들 가운데 정의역이 X인 사상들로 구성된 부분 모임이다. 또한, 구체적 정의에서의 S(f)는 주어진 사상 f와의 합성을 통해 체의 원소 g를 다른 원소 g \circ f로 대응시키는 연산으로 이해할 수 있으며, 이는 당김(사전 합성)에 해당한다.

다른 방식으로 말하자면, 범주 C에서 체는 공통 공역 c를 가진 사상들의 모임 S이며, "만약 g: c' \to c가 S에 속하고 f: c'' \to c'가 C의 임의의 사상이라면, 합성 g \circ f 역시 S에 속한다"는 조건을 만족한다. 이러한 성질은 환론에서의 오른쪽 아이디얼이나 순서론에서의 필터 개념과 유사성을 가진다.

3. 당김

대상 U\in\mathcal C 위의 체 S와 사상 f\colon V\to U가 주어졌을 때, S의 '''당김'''(pullback영어) f^*S은 V 위의 새로운 체를 정의하는 중요한 연산이다. 이는 사상 f를 통해 U 위의 체 S의 정보를 V 위로 "끌어오는" 것으로 생각할 수 있다.

구체적으로, f^*S는 다음과 같이 정의된다. 임의의 대상 W \in \mathcal C에 대해,

:f^*S(W) = \{g \in \hom(W, V) \mid f \circ g \in S(W)\}

즉, W에서 V로 가는 사상 g 중에서, f와 합성한 결과 f \circ g가 원래 체 S에 속하는 것들의 모임이다.

당김 f^*S를 정의하는 다른 동등한 방법들도 있다.


  • 가장 간단한 방법은 다음과 같다: 범주 \mathcal C의 임의의 대상 d에 대해,

:f^*S(d) = \{ g: d \to V \mid f \circ g \in S(d) \}

이는 위 정의와 본질적으로 동일하다.

  • 더 추상적인 방법으로는 섬유곱을 이용하는 것이다. f^*S는 자연스러운 사영 사상 S \times_{\hom(\cdot, U)} \hom(\cdot, V) \to \hom(\cdot, V) 아래에서 섬유곱 S \times_{\hom(\cdot, U)} \hom(\cdot, V)의 상으로 정의될 수 있다. 여기서 \hom(\cdot, V) \to \hom(\cdot, U)는 f에 의한 밂(pushforward)인 \hom(\cdot, f)이다.


당김 연산은 몇 가지 기본적인 성질을 만족한다.

  • U 위의 빈 체 \emptyset_U (즉, 모든 대상 W에 대해 \emptyset_U(W)가 공집합인 체)를 당기면 V 위의 빈 체 \emptyset_V가 된다.

:f^* \emptyset_U = \emptyset_V

  • U 위의 전체 체 \hom(\cdot, U) (즉, 모든 대상 W에 대해 \hom(W, U) 전체인 체)를 당기면 V 위의 전체 체 \hom(\cdot, V)가 된다.

:f^* \hom(\cdot, U) = \hom(\cdot, V)

이 당김 연산은 각 대상 U에 대해 U 위의 모든 체들의 집합 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)를 대응시키고, 각 사상 f: V \to U에 대해 당김 사상 f^*: \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U) \to \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(V)를 대응시킴으로써, 준층인 체 준층 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}을 정의하는 데 사용된다.

3. 1. 체 준층

대상 U\in\mathcal C 위의 체 S 및 사상 f\colon V\to U이 주어졌을 때, S의 '''당김'''(pullback영어) f^*S은 다음과 같은, V 위의 체이다.

:f^*S(W)=(f\circ)^{-1}(S(W))=\{g\in\hom(W,V)|f\circ g\in S(W)\}

작은 범주 \mathcal C의 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U 위의 모든 체들의 집합을 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)라고 하자. 그렇다면, 각 대상 U에 집합 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)를 대응시키고, 각 사상 f\colon U\to V에 대하여 당김 사상 f^*\colon\operatorname{Sieve}(V)\to\operatorname{Sieve}(U)를 대응시키는 것은 함자

:\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

를 정의한다. 여기서 \mathcal C^{\operatorname{op}}는 \mathcal C의 쌍대 범주이고, \operatorname{Set}은 집합의 범주이다. 즉, \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}는 \mathcal C 위의 (집합 값의) 준층을 이룬다. 이를 '''체 준층'''이라고 한다.

체 준층 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}는 \mathcal C 위의 준층들의 그로텐디크 토포스 \operatorname{PSh}(\mathcal C)에서 부분 대상 분류자의 역할을 한다.

대상 c \in \mathcal C에 대한 두 체 S와 S'에 대하여, 만약 모든 대상 c' \in \mathcal C에 대해 S(c') \subseteq S'(c')이면, S \subseteq S'라고 정의한다. 이는 체들 사이에 부분 순서 관계를 정의한다. 또한, 모든 대상 d \in \mathcal C에 대해 체들의 합집합과 교집합을 다음과 같이 성분별로 정의할 수 있다.

  • (S \cup S')(d) = S(d) \cup S'(d)
  • (S \cap S')(d) = S(d) \cap S'(d)

이 정의는 임의 개수의 체들의 모임에 대한 무한 합집합과 교집합으로도 자연스럽게 확장될 수 있다.

주어진 대상 c \in \mathcal C에 대한 모든 체들의 집합 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(c) (또는 간단히 \operatorname{Sieve}(c))는 위에서 정의된 포함 관계 \subseteq에 대해 부분 순서 집합을 이룬다. 정의에 따라 c에 대한 체들의 임의의 모임의 합집합 또는 교집합 역시 c에 대한 체가 되므로, \operatorname{Sieve}(c)는 완비 격자가 된다.

3. 2. 체 준층의 부분 준층

작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. \mathcal C 위의 체들의 모임인 체 준층 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)을 생각할 수 있다. 이 체 준층의 부분 준층 J\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U 위의 체들의 집합 J(U)가 주어진다.


이 데이터는 다음 조건을 만족해야 한다.

  • 임의의 사상 f\colon U\to V에 대하여, f^*(J(V))\subseteq J(U)이다. 여기서 f^*는 체의 당김(pullback)을 나타낸다.


이 조건은 그로텐디크 위상이 만족시키는 조건 가운데 하나이다.

대상 c \in \mathcal C에 대한 두 개의 체 S와 S'를 생각해보자. 만약 모든 대상 c' \in \mathcal C에 대해 S(c') \subseteq S'(c')가 성립하면, S가 S'의 부분집합이라고 하고 S \subseteq S'로 표기한다. 또한, 모든 대상 d \in \mathcal C에 대해 체들의 합집합과 교집합을 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • (S \cup S')(d) = S(d) \cup S'(d)
  • (S \cap S')(d) = S(d) \cap S'(d)


이 정의는 무한 개의 체에 대한 합집합과 교집합으로도 확장될 수 있다.

\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(c) (또는 간단히 \operatorname{Sieve}(c))를 대상 c에 대한 모든 체들의 집합이라고 정의하자. 그러면 \operatorname{Sieve}(c)는 포함 관계 \subseteq에 대해 부분 순서 집합이 된다. 정의에 따라, c에 대한 체들의 임의의 모임의 합집합 또는 교집합 역시 c에 대한 체가 되므로, \operatorname{Sieve}(c)는 완비 격자임을 알 수 있다.

그로텐디크 위상은 특정 조건을 만족하는 체들의 모임으로 정의되는데, 이러한 체들을 피복 체(covering sieve)라고 부른다. 대상 c에 대한 모든 피복 체의 집합을 J(c)라고 하면, J(c)는 \operatorname{Sieve}(c)의 부분 집합이다. J(c)는 그로텐디크 위상의 정의에 필요한 조건 외에도 다음과 같은 추가적인 속성을 만족한다.

  • 상향 폐쇄성: 만약 S, S'이 c에 대한 체이고, S \subseteq S'이며 S \in J(c)이면, S' \in J(c)이다. 즉, 피복 체를 포함하는 더 큰 체 역시 피복 체이다.
  • 유한 교집합에 대한 닫힘: J(c)에 속하는 유한 개의 체들의 교집합은 다시 J(c)에 속한다.


결과적으로, 피복 체들의 집합 J(c)는 분배 격자를 이루며, 전체 체들의 격자 \operatorname{Sieve}(c) 안에서 공종적(cofinal)이다.

4. 성질

작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 가정하자. 그 속의 대상 U \in \mathcal C 위의 체들의 집합 \{S_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)을 생각할 수 있다. 이 체들의 교집합 \textstyle\bigcap_{i\in I}S_i과 합집합 \textstyle\bigcup_{i\in I}S_i 역시 U 위의 체를 이룬다.

대상 U 위의 모든 체들의 집합을 \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U) (또는 간단히 \operatorname{Sieve}(U))로 표기한다. 이 집합은 포함 관계(\subseteq)에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 즉, 두 체 S와 S'에 대해, 모든 대상 c' \in \mathcal C에 대해 S(c') \subseteq S'(c')이면 S \subseteq S'라고 정의한다.

\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)는 다음과 같은 성질을 가진다.


  • 임의의 체들의 모임의 합집합과 교집합 역시 체가 된다.
  • 최대 원소는 U로 가는 모든 사상들의 집합 \{f\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)\colon\operatorname{codom} f = U\}이다. 이는 표현 가능 준층 \hom_{\mathcal C}(-,U)에 해당한다.
  • 최소 원소는 공집합 \emptyset이다. 이는 공집합 값을 갖는 상수 함자에 해당한다.


따라서, \operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)는 포함 관계에 대하여 유계 완비 격자를 이룬다.

그로텐디크 위상은 특정 속성을 만족하는 체들의 모임으로 정의된다. 이러한 체들을 피복 체(covering sieve)라고 부른다. 대상 c \in \mathcal C에 대한 모든 피복 체의 집합을 J(c)라고 하면, J(c)는 \operatorname{Sieve}(c)의 부분 집합이다. J(c)는 그로텐디크 위상의 정의에 따른 공리 외에도 다음과 같은 추가적인 성질을 만족한다.

  • 만약 S, S' \in \operatorname{Sieve}(c)이고 S \subseteq S'이며 S \in J(c)이면, S' \in J(c)이다. (상향 폐쇄성)
  • J(c)에 속하는 체들의 유한 교집합 역시 J(c)에 속한다.


결과적으로, J(c)는 분배 격자를 이루며, \operatorname{Sieve}(c) 안에서 공종(cofinal)이다.

5. 예

위치 (\mathcal C,J)가 주어졌을 때, 대상 U\in\mathcal C 위의 각 덮개체는 체를 이룬다.

5. 1. 사상 모임으로부터 생성되는 체

같은 공역 U을 갖는 사상들의 모임 \mathfrak F가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들을 포함하는 가장 작은 체 S_{\mathfrak F}가 존재하며, 다음과 같다.

:S_{\mathfrak F}=\{g\circ f\colon f\in\mathfrak F,\;\operatorname{dom}g=\operatorname{codom}f\}

여기서 \operatorname{dom}과 \operatorname{codom}은 각각 사상의 정의역과 공역이다.

5. 2. 조각 범주

\mathcal C 속의 임의의 사상 u\colon U\to B 및 체 S\subseteq\hom(-,U)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 \mathcal C/B의 대상 u 위의 다음과 같은 체를 정의할 수 있다.

:S/B=\left\{

\begin{matrix}

V&\overset f\to&U\\

&{\scriptstyle v}\searrow&\downarrow\scriptstyle u\\

&&B

\end{matrix}

\colon f\in S

\right\}

5. 3. 부분 순서 집합

부분 순서 집합 (P,\le)는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 원소 x\in P 위의 체는 x를 상계로 갖는, 하향 닫힘 부분 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 S\subseteq P이다.

  • '''(상계)''' 모든 s\in S에 대하여 s\le x
  • '''(하향 닫힘)''' 모든 s\in S에 대하여, \{t\in P\colon t\le s\}\subseteq S


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