케플러-푸앵소 다면체
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1. 개요
케플러-푸앵소 다면체는 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체의 네 종류로 이루어진 다면체이다. 이들은 정다면체의 별모양화로, 15세기에 산 마르코 대성당 바닥 모자이크에 처음 등장했다. 1619년 요하네스 케플러에 의해 처음으로 인정되었으며, 루이 푸앵소에 의해 재발견되었다. 케플러-푸앵소 다면체는 정이십면체 대칭을 가지며, 쌍대 다면체 쌍을 이룬다. 이 도형들은 현대 미술 작품에도 영향을 미쳤다.
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작은 별모양 십이면체는 12개의 오각성 면으로 구성된 비볼록 정다면체로, 케플러-푸앵소 다면체 중 하나이며, 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않는 특징을 가진다. - 케플러-푸앵소 다면체 - 큰 이십면체
큰 이십면체는 요하네스 케플러가 처음 기술한 비볼록 다면체로, 20개의 오각별 모양 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점을 가지며 정이십면체의 볼록 껍질을 가진다. - 요하네스 케플러 - 케플러 초신성
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| 케플러-푸앵소 다면체 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 종류 | 별모양 다면체, 정다면체 |
| 면의 모양 | 정오각형 |
| 면의 수 | 12 |
| 모서리의 수 | 30 |
| 꼭짓점의 수 | 12 |
| 카이랄성 | 비카이랄성 |
| 꼭짓점 배열 | 정십이면체 |
| 슐레플리 기호 | {5, 5/2} |
| 위토프 기호 | 5 | 2 5 |
| |
| 대칭군 | Ih, H3, [5,3] (*532) |
| 쌍대 다면체 | 그레이트 스타 십이면체 |
| 성질 | 정칙, 비볼록 |
| 개요 | |
| |
| 종류 | 별모양 다면체, 정다면체 |
| 면의 모양 | 정오각형 |
| 면의 수 | 12 |
| 모서리의 수 | 30 |
| 꼭짓점의 수 | 12 |
| 카이랄성 | 비카이랄성 |
| 꼭짓점 배열 | 정십이면체 |
| 슐레플리 기호 | {5/2, 5} |
| 위토프 기호 | 5/2 | 2 5 |
| |
| 대칭군 | Ih, H3, [5,3] (*532) |
| 쌍대 다면체 | 큰 십이면체 |
| 성질 | 정칙, 비볼록 |
| 개요 | |
| |
| 종류 | 별모양 다면체, 정다면체 |
| 면의 모양 | 정삼각형 |
| 면의 수 | 20 |
| 모서리의 수 | 30 |
| 꼭짓점의 수 | 12 |
| 카이랄성 | 비카이랄성 |
| 꼭짓점 배열 | 정십이면체 |
| 슐레플리 기호 | {3, 5/2} |
| 위토프 기호 | 3 | 2 5 |
| |
| 대칭군 | Ih, H3, [5,3] (*532) |
| 쌍대 다면체 | 그레이트 스타 십이면체 |
| 성질 | 정칙, 비볼록 |
| 개요 | |
| |
| 종류 | 별모양 다면체, 정다면체 |
| 면의 모양 | 정오각형 |
| 면의 수 | 12 |
| 모서리의 수 | 30 |
| 꼭짓점의 수 | 20 |
| 카이랄성 | 비카이랄성 |
| 꼭짓점 배열 | 정십이면체 |
| 슐레플리 기호 | {5/2, 3} |
| 위토프 기호 | 5/2 | 3 2 |
| |
| 대칭군 | Ih, H3, [5,3] (*532) |
| 쌍대 다면체 | 큰 이십면체 |
| 성질 | 정칙, 비볼록 |
| 케플러-푸앵소 다면체 | |
| 다른 이름 | 케플러 다면체 푸앵소 다면체 별모양 정다면체 |
| 종류 | 4가지의 비볼록 정다면체 |
| 설명 | 1619년 요하네스 케플러와 1809년 루이 푸앵소가 기술함. |
2. 역사
케플러-푸앵소 다면체의 역사는 르네상스 시대로 거슬러 올라간다. 15세기 이탈리아 베니스의 산마르코 대성당 바닥 모자이크에서 작은 별모양 십이면체가 발견되는데, 이는 파올로 우첼로의 작품으로 추정된다.
16세기 벤첼 얌니처(Wenzel Jamnitzer)는 그의 저서 ''Perspectiva corporum regularium''(정다면체의 관점)에서 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 묘사했다.[12]
요하네스 케플러는 1619년에 별모양화를 통해 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 재발견하고, 이들이 정다면체임을 밝혔다.[9] 그는 정십이면체의 면이나 모서리를 연장하여 별 오각형을 만들고, 이 도형들이 정다면체의 조건을 만족한다는 것을 증명했다.
1809년, 루이 푸앵소는 별 오각형을 꼭짓점 주위에 결합하여 큰 이십면체와 큰 십이면체를 발견했다. 이 도형들은 푸앵소 다면체라고도 불린다.
1812년, 오귀스탱 루이 코시는 별모양화를 통해 만들 수 있는 정다면체의 목록이 완전하다는 것을 증명했다. 1858년, 조셉 베르트랑은 면 분할을 이용하여 코시의 정리를 더 우아하게 증명했다.
1859년, 아서 케일리는 케플러-푸앵소 다면체에 현재 사용되는 이름을 부여했다.
존 호턴 콘웨이는 별모양화에 대한 체계적인 용어를 개발하고, 케플러-푸앵소 다면체의 이름을 일부 수정했다.[13]
| 케일리의 이름 | 콘웨이의 이름과 (약자) |
|---|---|
| 작은 별모양 십이면체 | 별모양 십이면체 (sD) |
| 큰 십이면체 (gD) | |
| 큰 별모양 십이면체 (gsD) | |
| 큰 이십면체 (gI) | |
케플러-푸앵소 다면체는 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체의 네 가지가 있다. 이들은 면이나 꼭짓점 도형으로 오각성(별 모양 오각형)을 가지는 경우가 있다. 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 비볼록 정다각형 오각성 면을, 큰 십이면체와 큰 이십면체는 볼록 다각형 면이지만 오각성 꼭짓점 도형을 가진다.
3. 종류 및 특성
이 다면체들에서 두 면은 각 면의 모서리가 아닌 선을 따라 교차하여, 각 면의 일부가 도형 내부를 통과할 수 있다. 이러한 교차선은 "가짜 모서리"라고도 하며, 세 선이 꼭짓점이 아닌 점에서 교차하는 경우는 "가짜 꼭짓점"이라고 한다.
케플러-푸앵소 다면체는 다음과 같은 쌍대 쌍으로 존재한다.
작은 별모양 십이면체와 큰 이십면체는 정이십면체의 별모양화 또는 면 분할로, 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 별모양화 또는 면 분할로 볼 수 있다.[1]
3. 1. 종류
{5/2}30 12 3 큰 십이면체 큰 별모양 십이면체 
{5/2, 3} 12개의 별모양 오각형
{5/2}30 20 7 큰 이십면체 큰 십이면체 
{5, 5/2} 12개의 정오각형
{5}30 12 3 작은 별모양 십이면체 큰 이십면체 
{3, 5/2} 20개의 정삼각형
{3}30 12 7 큰 별모양 십이면체
