클라우지우스-클라페롱 방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 유도
4. 클라페롱의 유도
5. 응용
6. 2차 도함수
참조

1. 개요

클라우지우스-클라페롱 방정식은 압력-온도 다이어그램에서 두 상을 구분하는 공존 곡선의 기울기를 나타내는 열역학 방정식이다. 이 방정식은 비잠열, 온도, 비체적 변화를 포함하며, 물질의 상전이와 관련된 압력 및 온도 변화 사이의 관계를 설명한다. 클라우지우스-클라페롱 방정식은 클라페롱 방정식의 특별한 경우로, 기체와 응축상 사이의 상전이에서 이상 기체 근사를 사용하여 유도된다. 이 방정식은 화학 및 화학 공학, 기상학 및 기후학 등 다양한 분야에서 응용되며, 특정 조건에서의 상전이 예측에도 사용된다.

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클라우지우스-클라페롱 방정식

2. 정의

압력-온도 (P-T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 나타낸다.

: $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta v}=\frac{\Delta s}{\Delta v},$

위 식에서 $\mathrm{d}P/\mathrm{d}T$ 는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기, $L$ 은 비 잠열, $T$ 는 온도, $\Delta v$ 는 상전이의 특정 부피 변화, $\Delta s$ 는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.^[3]

: $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}$

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열을 이용하여 보다 편리하게 표현한 것이다.

일반적인 상평형 그림. 녹색 점선은 물의 변칙적 거동을 나타낸다. 클라우지우스-클라페롱 방정식은 상 경계를 따라 압력과 온도 사이의 관계를 찾는 데 사용할 수 있다.

특정 엔트로피

s

는 균질한 물질이 가지는 특징적인 함숫값이고,

v

는 비부피,

T

는 온도이다.^[3]

:

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \, \mathrm{d} v + \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v \, \mathrm{d} T.

클라우지우스-클라페롱 방정식은 일정한 온도와 압력에서 상이 변화하는 동안 닫힌계의 거동을 특성화한다.^[3]

:

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \,\mathrm{d} v.

맥스웰 관계식을 사용하면^[3] 위 식은 다음과 같이 된다.

:

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \,\mathrm{d} v

이때

P

는 압력이다. 압력과 온도는 일정하므로 온도에 대한 압력의 미분은 변하지 않는다.^[4]^[5] 따라서 특정 엔트로피의 편도함수는 전체 도함수로 변경될 수 있다.

:

\mathrm{d} s = \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} \, \mathrm{d} v

온도에 대한 압력의 총 미분은 초기 단계

\alpha

에서 최종 단계

\beta

로 적분할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[3]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {\Delta s}{\Delta v}

여기서

\Delta s\equiv s_\beta-s_\alpha

이고

\Delta v\equiv v_{\beta}-v_{\alpha}

이며, 각각 비엔트로피와 비체적의 변화를 의미한다. 상 변화가 내부적으로 가역적인 과정이고 닫힌계라면 열역학 제1법칙에 따라 다음이 성립한다.

:

\mathrm{d} u = \delta q + \delta w = T\;\mathrm{d} s - P\;\mathrm{d} v

u

는 시스템의 내부에너지이다. 일정한 압력과 온도(상 변화 중) 및 비엔탈피 정의

h

에 따라 다음을 얻는다.

:

\mathrm{d} h = T \;\mathrm{d} s + v \;\mathrm{d} P

:

\mathrm{d} h = T\;\mathrm{d}s

:

\mathrm{d}s = \frac {\mathrm{d} h}{T}

상 변화 중 일정한 압력과 온도가 주어지면^[3] 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\Delta s = \frac {\Delta h}{T}

비잠열의 정의인

L = \Delta h

를 대입하면 다음과 같다.

:

\Delta s = \frac{L}{T}

이 결과를 압력 도함수(

\mathrm{d}P/\mathrm{d}T = \Delta s / \Delta v

)에 대입하면^[3] 다음 식을 얻는다.^[3]^[6]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {L}{T \, \Delta v}.

이 결과는

\mathrm{d}P/\mathrm{d}T

공존 곡선의 기울기와 같으며, '''클라페롱 방정식'''이라고도 한다.

P(T)

는

L/(T \, \Delta v)

(특정 잠열

L

, 온도

T

, 비체적의 변화

\Delta v

)의 함수이다. 특정 값 대신 상응하는 몰 값을 사용할 수도 있다.

3. 유도

클라우지우스-클라페롱 방정식은 상평형 그림에서 두 상 사이의 경계, 즉 공존 곡선의 기울기를 나타내는 중요한 식이다. 이 식은 다양한 방법으로 유도될 수 있다.

상태 가정을 이용한 유도: 엔트로피 변화와 열역학 제1법칙을 이용하여 유도한다.
깁스-듀앙 관계식을 이용한 유도: 두 상의 화학적 잠재력이 같다는 조건에서 출발하여 유도한다.
저온에서 이상 기체 근사를 이용한 유도: 이상 기체 가정을 통해 클라우지우스-클라페롱 방정식을 유도하며, 이는 증기압과 온도의 관계를 설명하는 데 유용하다.

클라페롱은 수평 등압선이 있는 습증기의 카르노 과정을 고려하여 다음과 같이 유도하였다.^[8] 압력은 온도만의 함수이므로 등압선도 등온선이다. 그 과정에 극소량의 물

\mathrm{d}x

와 온도의 극미한 차이

\mathrm{d}T

가 있다면, 흡수된 열량은 다음과 같다.

:

Q=L\,\mathrm{d}x

수행된 작업의 양은 다음과 같다.

:

W=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}\,\mathrm{d}T(V''-V')\,\mathrm{d}x

V''-V'

는 끓는 물의 부피와 포화 증기의 부피 차이이다.

이 양의 비율은 카르노 엔진의 효율이며,

\frac{1}{T}\,\mathrm{d}T

로 표현된다. 대입 및 재배열하면 다음을 얻는다.

:

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T(V''-V')}

3. 1. 상태 가정을 이용한 유도

압력 – 온도 (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 알려준다.

:

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta v}=\frac{\Delta s}{\Delta v},

이 식에서

\mathrm{d}P/\mathrm{d}T

는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기,

L

는 비 잠열,

T

는 온도,

\Delta v

는 상전이의 특정 부피 변화이며,

\Delta s

는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.^[3]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 보다 편리한 형태로 표현한 것이다.

하나의 상태를 가정하여 특정 엔트로피

s

는 균질한 물질이 가지는 특징적인 함숫값이고,

v

는 비부피,

T

는 온도이다.^[3]

:

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \, \mathrm{d} v + \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v \, \mathrm{d} T.

클라우지우스-클라페롱 방정식은 일정한 온도와 압력에서 상이 변화하는 동안 닫힌계의 거동을 특성화한다.^[3]

:

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \,\mathrm{d} v.

적절한 맥스웰 관계식을 사용하면^[3] 위 식이 된다.

:

\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \,\mathrm{d} v

이때

P

는 압력이다. 압력과 온도는 일정하므로 온도에 대한 압력의 미분은 변하지 않는다.^[4]^[5] 따라서 특정 엔트로피의 편도함수는 전체 도함수로 변경될 수 있다.

:

\mathrm{d} s = \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} \, \mathrm{d} v

온도에 대한 압력의 총 미분은 초기 단계

\alpha

에서 최종 단계

\beta

로 적분할 때 다음을 얻을 수 있다.^[3]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {\Delta s}{\Delta v}

이때

\Delta s\equiv s_\beta-s_\alpha

이고

\Delta v\equiv v_{\beta}-v_{\alpha}

이다. 이들은 각각 비엔트로피와 비체적의 변화를 의미한다. 상 변화가 내부적으로 가역적인 과정이고 우리 시스템이 닫혀 있다는 점을 감안할 때 열역학 제1법칙은 다음과 같다.

:

\mathrm{d} u = \delta q + \delta w = T\;\mathrm{d} s - P\;\mathrm{d} v

u

는 시스템의 내부에너지이다. 일정한 압력과 온도(상 변화 중) 및 비엔탈피 정의

h

를 통해 다음을 얻을 수 있다.

:

\mathrm{d} h = T \;\mathrm{d} s + v \;\mathrm{d} P

:

\mathrm{d} h = T\;\mathrm{d}s

:

\mathrm{d}s = \frac {\mathrm{d} h}{T}

상 변화 중 일정한 압력과 온도가 주어지면^[3] 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\Delta s = \frac {\Delta h}{T}

비잠열의 정의인

L = \Delta h

를 대입하면 다음과 같다.

:

\Delta s = \frac{L}{T}

이 결과를 위에 주어진 압력 도함수에 대입하면(

\mathrm{d}P/\mathrm{d}T = \Delta s / \Delta v

)^[3], 다음 식을 얻을 수 있다.^[3]^[6]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {L}{T \, \Delta v}.

이 결과는

\mathrm{d}P/\mathrm{d}T

공존 곡선의 기울기와 같으며, '''클라페롱 방정식'''이라고도 한다.

P(T)

기능에

L/(T \, \Delta v)

특정 잠열의

L

, 온도

T

, 비체적의 변화

\Delta v

값 대신 상응하는 몰 값을 사용할 수도 있다.

3. 2. 깁스-듀앙 관계식을 이용한 유도

두 상

\alpha

와

\beta

가 서로 접촉하고 평형 상태에 있으면, 그들의 화학적 잠재력은 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\mu_\alpha = \mu_\beta.

또한, 공존 곡선을 따라서는 다음이 성립한다.

:

\mathrm{d}\mu_\alpha = \mathrm{d}\mu_\beta.

따라서 깁스-듀앙 관계식을 사용할 수 있다.

:

\mathrm{d}\mu = M(-s \, \mathrm{d}T + v \, \mathrm{d}P)

여기서

s

는 특정 엔트로피,

v

는 비부피,

M

는 몰 질량이다. 이 값들을 통해 다음 식을 얻을 수 있다.

:

-(s_\beta-s_\alpha) \, \mathrm{d}T + (v_\beta-v_\alpha) \, \mathrm{d}P = 0

이 식을 재배열하면 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{s_\beta-s_\alpha}{v_\beta-v_\alpha} = \frac{\Delta s}{\Delta v}

여기서 클라페롱 방정식의 유도는 이전 섹션에서와 같이 계속된다.^[3]

3. 3. 저온에서 이상 기체 근사를 이용한 유도 (클라우지우스-클라페롱 방정식)

압력 – 온도 (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 알려준다.

:

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta v}=\frac{\Delta s}{\Delta v},

이 식에서

\mathrm{d}P/\mathrm{d}T

는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기,

L

는 비 잠열,

T

는 온도,

\Delta v

는 상전이의 특정 부피 변화이며,

\Delta s

는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.^[3]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 보다 편리한 형태로 표현한 것이다.

물질의 상전이가 기상과 응축상(액체 또는 고체) 사이에 있고 그 물질의 임계온도보다 훨씬 낮은 온도에서 일어날 때, 기상의 비체적

v_{\mathrm{g}}

가 응축 단계의

v_{\mathrm{c}}

를 크게 초과한다. 따라서 대략적인 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\Delta v =v_{\mathrm{g}}\left(1-\tfrac{v_{\mathrm{c}}}{v_{\mathrm{g}}}\right)\approx v_{\mathrm{g}}

낮은 온도에서 압력도 낮으면 기체는 이상 기체 법칙에 의해 근사될 수 있으므로 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

v_{\mathrm{g}} = \frac{RT} P

P

는 압력,

R

는 기체 상수,

T

는 온도이다. 위 식을 클라페롱 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac{L}{T\,\Delta v}

이로써 '''클라우지우스-클라페롱 방정식'''^[3]을 얻을 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}

낮은 온도 및 압력의 경우^[3]

L

은 물질의 비잠열이다. 구체적이고 상응하는 몰 값 대신(즉,

L

= kJ/mol 이나 R^영어 = 8.31 J mol ^-1 K ^-1) 사용할 수 있다.

(P_1,T_1)

과

(P_2,T_2)

는 각각

\alpha

와

\beta

두 단계 사이의 공존 곡선을 따르는 임의의 두 점이다.

일반적으로,

L

은 온도의 함수로 두 지점 사이에서 변한다. 하지만 만약

L

을 상수로 근사한다면 다음과 같은 식이 된다.

:

\frac {\mathrm{d} P}{P} \cong \frac {L}{R} \frac {\mathrm{d}T}{T^2},

:

\int_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P} \cong \frac L R \int_{T_1}^{T_2} \frac {\mathrm{d} T}{T^2}

:

\ln P\Big|_{P=P_1}^{P_2} \cong -\frac{L}{R} \cdot \left.\frac{1}{T} \right|_{T=T_1}^{T_2}

또는^[5]^[7] 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\ln \frac {P_2}{P_1} \cong -\frac {L}{R} \left ( \frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1} \right )

이 마지막 방정식은 특정 부피 데이터를 요구하지 않고 평형 또는 포화 증기압 및 온도를 상 변화의 잠열과 관련시키기 때문에 사용하기에 편리하다. 예를 들어, 몰 증발 엔탈피가 40.7 kJ/mol이고 R^영어 = 8.31 J mol ^-1 K ^-1인 끓는점 근처의 물의 경우, 다음과 같은 상수값을 가진다.

:

{P_{vap}(T)} \cong 1 \text{ bar } \exp(-\frac {40700 \text{ K}}{\text{8.31}} \left ( \frac {1}{T} - \frac {1}{373 \text{ K}} \right ))

4. 클라페롱의 유도

압력 – 온도 (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 공존 곡선이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 접선의 기울기를 알려준다.

: $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta v}=\frac{\Delta s}{\Delta v},$

이 식에서 $\mathrm{d}P/\mathrm{d}T$ 는 공존 곡선에 대한 접선의 기울기, $L$ 는 비 잠열, $T$ 는 온도, $\Delta v$ 는 상전이의 특정 부피 변화이며, $\Delta s$ 는 상전이의 특정 엔트로피 변화이다.^[3]

: $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}$

위 식은 적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 보다 편리한 형태로 표현한 것이다. 클라페롱의 원 논문에서는 다음과 같이 유도하고 있다.^[8] 클라페롱은 수평 등압선이 있는 습증기의 카르노 과정을 고려했다. 압력은 온도만의 함수이므로 등압선도 등온선이다. 그 과정에 극소량의 물이 포함된다면, $\mathrm{d}x$ , 그리고 온도의 극미한 차이 $\mathrm{d}T$ 에서 흡수된 열량은 다음과 같이 지정된다.

: $Q=L\,\mathrm{d}x$

수행된 작업의 양은 다음과 같다.

: $W=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}\,\mathrm{d}T(V''-V')\,\mathrm{d}x$

$V''-V'$ 는 끓는 물의 부피와 포화 증기의 부피 사이의 부피 차이이다.

이 양의 비율은 카르노 엔진의 효율이며, $\frac{1}{T}\,\mathrm{d}T$ 로 표현된다. 대입 및 재배열하면 다음을 얻을 수 있다.

: $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T(V''-V')}$

5. 응용

클라우지우스-클라페롱 방정식은 다양한 분야에 응용된다.
기상학 및 기후학대기의 수증기는 강수를 포함한 여러 기상 현상을 일으킨다. 일반적인 대기 조건에서 수증기에 대한 클라우지우스-클라페롱 방정식은 다음과 같다.^[9]^[10]

: $\frac{\mathrm{d}e_s}{\mathrm{d}T} = \frac{L_v(T) e_s}{R_v T^2}$

$e_s$ : 포화 증기압
$T$ : 온도
$L_v$ : 물의 증발 비열
$R_v$ : 수증기의 기체상수

여기서, '''아우구스트-로슈-마그누스 공식'''을 통해 다음과 같은 근사값을 얻을 수 있다.

:

e_s(T)= 6.1094 \exp \left( \frac{17.625T}{T+243.04} \right)

위 식에서,

e_s

는 hPa이고

T

는 섭씨로 표시된다. 이 방정식에 따르면, 포화 수증기압은 온도에 따라 거의 기하급수적으로 변하므로, 대기의 수분 보유 능력은 온도가 1°C 상승할 때마다 약 7%씩 증가한다.^[12]
특정 조건에서의 상전이 예측클라우지우스-클라페롱 방정식은 주어진 상황에서 상전이가 발생하는지 여부를 결정하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 특정 온도에서 얼음을 녹이는 데 필요한 압력을 계산할 수 있다. 물은 0 °C에서 녹을 때 부피가 감소하는 특이한 성질을 가지고 있다.

:

\Delta P = \frac{L}{T\,\Delta v} \, \Delta T

$L = 3.34 \times 10^5 \text{ J}/\text{kg}$ (물에 대한 융해열)
$T = 273$ K (절대 온도)
$\Delta v = -9.05\times10^{-5} \text{ m}^3/\text{kg}$ (고체에서 액체로의 비체적 변화)

위 식을 통해 계산하면,

:

\frac{\Delta P}{\Delta T} = -13.5 \text{ MPa}/\text{K}.

7 °C의 얼음을 녹이기 위해서는 소형 차(질량 = 1000kg^[13]) 한 대를 골무(면적 = 1cm²) 위에 올려놓는 것과 같은 압력이 필요하다.

5. 1. 화학 및 화학 공학

물질의 상전이가 기상과 응축상(액체 또는 고체) 사이에 있고 그 물질의 임계온도보다 훨씬 낮은 온도에서 일어날 때, 기상의 비체적

v_{\mathrm{g}}

가 응축 단계의 비체적

v_{\mathrm{c}}

를 크게 초과한다. 따라서 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

\Delta v =v_{\mathrm{g}}\left(1-\tfrac{v_{\mathrm{c}}}{v_{\mathrm{g}}}\right)\approx v_{\mathrm{g}}

낮은 온도에서는 압력도 낮으므로, 기체는 이상 기체 법칙에 따라 근사할 수 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:

v_{\mathrm{g}} = \frac{RT} P

여기서

P

는 압력,

R

는 기체 상수,

T

는 온도이다. 이를 클라페롱 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac{L}{T\,\Delta v}

이로부터 '''클라우지우스-클라페롱 방정식'''을 얻을 수 있다.^[3]

:

\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}

낮은 온도 및 압력 조건에서,^[3]

L

은 물질의 비잠열이다. 몰 값 대신 비(specific) 값을 사용할 수도 있다.

(P_1,T_1)

과

(P_2,T_2)

를 공존 곡선 상의 임의의 두 점이라고 하면, 일반적으로

L

은 온도의 함수로서 두 지점 사이에서 변한다. 하지만

L

을 상수로 근사하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\frac {\mathrm{d} P}{P} \cong \frac {L}{R} \frac {\mathrm{d}T}{T^2},

:

\int_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P} \cong \frac L R \int_{T_1}^{T_2} \frac {\mathrm{d} T}{T^2}

:

\ln P\Big|_{P=P_1}^{P_2} \cong -\frac{L}{R} \cdot \left.\frac{1}{T} \right|_{T=T_1}^{T_2}

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5]^[7]

:

\ln \frac {P_2}{P_1} \cong -\frac {L}{R} \left ( \frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1} \right )

이 마지막 방정식은 특정 부피 데이터를 요구하지 않고 평형 또는 포화 증기압 및 온도를 상 변화의 잠열과 관련시키기 때문에 유용하다.

위에서 설명한 근사치를 사용하여 기체와 응축상 사이의 전환에 대한 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\ln P = -\frac{L}{R} \left(\frac{1}{T}\right)+c

여기서

P

는 압력 (bar),

R

는 특정 기체 상수,

T

는 절대 온도,

c

는 상수이다.

액체-기체 전이의 경우

L

은 기화의 비잠열 (또는 비엔탈피)이고, 고체-기체 전이의 경우

L

은 승화의 비잠열이다. 잠열이 알려진 경우, 공존 곡선의 한 점에 대한 정보가 주어지면 나머지 곡선을 결정할 수 있다.

\ln P

와

1/T

가 선형 관계이므로, 선형 회귀를 통해 잠열을 추정할 수도 있다.

5. 2. 기상학 및 기후학

대기의 수증기는 많은 중요한 기상 현상(특히 강수)을 유발하여 역학에 대한 관심을 불러일으키고 있다. 일반적인 대기 조건(표준 온도 및 압력에 가까운)에서 수증기에 대한 클라우지우스-클라페롱 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}e_s}{\mathrm{d}T} = \frac{L_v(T) e_s}{R_v T^2}

이때의 기호는 다음과 같다.

$e_s$ : 포화 증기압
$T$ : 온도
$L_v$ : 물의 증발 비열
$R_v$ : 수증기의 기체상수

잠열의 온도의존성

L_v(T)

(그리고 포화 증기압의

e_s

)는 이슬점으로 인해 무시할 수 없는 값이다. 다행히도, '''아우구스트-로슈-마그누스 공식'''은 매우 좋은 근사값을 제공한다.

:

e_s(T)= 6.1094 \exp \left( \frac{17.625T}{T+243.04} \right)

^[9]^[10]

위 식에서,

e_s

는 hPa이고

T

는 섭씨로 표시되지만 이 페이지의 다른 곳에서는

T

절대 온도(예: 켈빈 단위)이다. (이 속성을 때로는 마그누스 또는 마그누스-테텐스 근사라고도 한다)^[11] 그러나 물의 포화 증기압에 대한 다양한 근사 공식의 정확성에 대한 이 논의도 참조하는 것이 좋다.

일반적인 대기 조건에서 지수의 분모는

T

(단위는 섭씨)에 약하게 의존한다. 따라서 아우구스트-로슈-마그누스 방정식은 포화 수증기압이 전형적인 대기 조건에서 온도에 따라 거의 기하급수적으로 변하므로 대기의 수분 보유 능력은 매 1°C 온도가 상승할 때마다 약 7%씩 증가한다는 것을 의미한다.^[12]

5. 3. 특정 조건에서의 상전이 예측

어떤 온도에서 얼음을 녹이는 데 얼마나 많은 압력이 필요한지에 대한 질문을 보자. 물은 0 °C^영어에서 녹을 때 부피 변화가 음수라는 독특한 특성을 지닌다. 보통 액체화될 때에는 부피가 증가하지만, 물은 반대로 부피가 감소한다.

:

\Delta P = \frac{L}{T\,\Delta v} \, \Delta T

이때의 값은 이러하다.

$L = 3.34 \times 10^5 \text{ J}/\text{kg}$ (물에 대한 융해열)
$T = 273$ K (절대 온도)
$\Delta v = -9.05\times10^{-5} \text{ m}^3/\text{kg}$ (고체에서 액체로의 비체적 변화)

이를 통해 얻을 수 있는 값은 다음과 같다.

:

\frac{\Delta P}{\Delta T} = -13.5 \text{ MPa}/\text{K}.

이것이 얼마나 많은 압력인지에 대한 대략적인 예시를 보자. -7 °C^영어(많은 아이스 스케이트장이 설정되는 온도)의 얼음을 녹이기 위해서는 소형 차(질량 = 1000kg^[13]) 한 대를 골무(면적 = 1cm²) 위에 올려놓는 것과 같은 압력이 필요하다.

6. 2차 도함수

클라우지우스-클라페롱 방정식은 공존 곡선의 기울기를 제공하지만 곡률 또는 2차 도함수에 대한 정보는 제공하지 않는다. 1단계와 2단계의 공존 곡선의 2차 도함수는 다음과 같다.^[14]

: $\begin{align}\frac{\mathrm{d}^2 P}{\mathrm{d} T^2}= \frac{1}{v_2 - v_1}\left[\frac{c_{p2} - c_{p1}}{T} - 2(v_2\alpha_2 - v_1\alpha_1) \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}\right]+ {} \\\frac{1}{v_2 - v_1}\left[(v_2\kappa_{T2} - v_1\kappa_{T1})\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}\right)^2\right],\end{align}$

여기서 첨자 1과 2는 서로 다른 단계를 나타내며, $c_p$ 는 일정한 압력에서의 비열용량, $\alpha = (1/v)(\mathrm{d}v/\mathrm{d}T)_P$ 는 열팽창 계수이고, $\kappa_T = -(1/v)(\mathrm{d}v/\mathrm{d}P)_T$ 는 등온 압축률이다.

참조

_[1] 저널 Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen http://gallica.bnf.f[...]
_[2] 저널 Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur http://gallica.bnf.f[...]
_[3] 서적 Thermodynamics https://archive.org/[...] McGraw-Hill, Inc.
_[4] 웹인용 PvT Surface for a Substance which Contracts Upon Freezing http://hyperphysics.[...] Georgia State University 2007-10-16
_[5] 서적 Thermodynamics – An Engineering Approach https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[6] 웹인용 Clapeyron and Clausius–Clapeyron Equations https://web.archive.[...] University of Arizona 2007-10-11
_[7] 서적 Chemistry : principles and reactions https://www.google.c[...] Cengage Learning 2020-04-03
_[8] 저널 Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur 1834
_[9] 인용 http://www.osti.gov/[...] NOAA
_[10] 저널 Improved Magnus Form Approximation of Saturation Vapor Pressure https://digital.libr[...] 1996
_[11] 저널 The Relationship between Relative Humidity and the Dewpoint Temperature in Moist Air: A Simple Conversion and Applications http://climate.envsc[...] 2005
_[12] 웹사이트 Climate Change 2007: Working Group I: The Physical Science Basis, "FAQ 3.2 How is Precipitation Changing ?" http://www.ipcc.ch/p[...] IPCC
_[13] 웹인용 Mass of a Car http://hypertextbook[...]
_[14] 저널 Beyond Clausius–Clapeyron: Determining the second derivative of a first-order phase transition line 2014

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