끈 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 끈 군의 기하학적 이해
- 3.1. 호모토피 이론과의 관계
- 3.2. 번들 게르브를 이용한 표현
4. 5-브레인 군과 고차 군
- 4.1. 고차 군의 완전열
참조

1. 개요

끈 군은 콤팩트 단순 리 대수와 관련된 위상군으로, 2-리 대수, 2-군, 프레셰 리 군, 프레셰 교차 가군을 사용하여 정의될 수 있다. 끈 군은 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 G의 화이트헤드 탑의 일부를 이루며, 특히 스핀 군의 경우 직교군의 화이트헤드 탑의 한 성분이다. 끈 군은 호모토피 이론과 밀접한 관련이 있으며, 에일렌베르크-매클레인 공간 K(ℤ,2)를 통해 기하학적으로 이해할 수 있다. 또한, 다섯-브레인 군과 고차 군의 완전열을 사용하여 끈 군을 이해할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

위상군 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
위상군 - 기본 영역
기본 영역은 위상 공간에서 군의 작용으로 생성된 궤도의 대표원 집합으로, 몫공간 적분 계산에 활용되며 위상적으로 충분히 좋고 준불변 측도에 대해 거의 열린 집합 조건을 만족해야 한다.
호모토피 이론 - 모노드로미
모노드로미는 연결 국소 연결 공간의 피복 공간에서 기본군의 작용으로 이해되는 개념으로, 모노드로미 작용에 대응하는 군 준동형의 상인 모노드로미 군을 통해 복소해석학, 리만 기하학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용되며 갈루아 이론과도 관련된다.
호모토피 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
끈 이론 - 중력자
중력자는 중력 상호작용을 매개하는 가상의 기본 입자로 여겨지지만, 양자화된 일반 상대성 이론의 문제로 인해 완전한 이론이 확립되지 않았으며, 중력파의 존재가 간접적으로 뒷받침하지만 직접적인 검출은 현재 불가능하고 질량에 대한 상한선이 제시되고 있으며 초대칭 파트너인 그라비티노의 존재가 예측된다.
끈 이론 - 잡종 끈 이론
잡종 끈 이론은 닫힌 끈의 왼쪽 진동 모드는 보손 끈, 오른쪽 진동 모드는 초끈으로 전개하며, 10차원 시공간에서 E₈×E₈ 또는 SO(32) 게이지 군을 갖는 끈 이론이다.

끈 군
개요
분야	수학, 추상대수학, 군론
연구 대상	끈
끈 군
영어 이름	braid group
로마자 표기	kkeun gun
정의	주어진 자연수 n에 대해, n개의 끈에 대한 끈 군은 n-1개의 생성원 σ1, ..., σn-1과 다음 관계들에 의해 정의되는 군이다.
생성원 관계	σiσj = σjσi (\|i-j\| ≥ 2) σiσi+1σi = σi+1σiσi+1
기호	Bn
응용 분야	매듭 이론, 공간 곡선, 양자장론, 통계역학

2. 정의

끈 군은 임의의 콤팩트 단순 리 대수 $\mathfrak g$ 로부터 정의될 수 있는 수학적 구조이다. 이는 해당 리 대수의 킬링 형식 $K(-,-)$ 을 이용해 정의되는 특정 3차 형식과 밀접한 관련이 있다. 대수적으로는 특정 리 대수 구조와 관련되며, 이에 대응하는 위상군으로 볼 수 있다.

위상수학적 관점에서 끈 군은 특정 리 군의 화이트헤드 탑 구성에서 중요한 위치를 차지한다. 예를 들어, 호모토피 군 $\pi_0(G) = \pi_1(G) = \pi_2(G) = 0$ , $\pi_3(G) = \mathbb Z$ 를 만족하는 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 $G$ 의 화이트헤드 탑에서, 끈 군 $\operatorname{String}(G)$ 는 $G$ 로 가는 사상( $\operatorname{String}(G) \to G$ )을 포함하는 중요한 단계로 나타난다.

특히 스핀 군 $\operatorname{Spin}(n)$ 의 경우, 이는 직교군 $\operatorname O(n)$ 의 화이트헤드 탑의 일부인

: $\dotsb \to \operatorname{Fivebrane}(n) \to \operatorname{String}(n) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to \operatorname O(n)$

에서 $\operatorname{Spin}(n)$ 바로 위의 단계에 해당한다.

2. 1. 리 대수를 이용한 정의

임의의 콤팩트 단순 리 대수

\mathfrak g

가 주어졌다고 가정한다. 이 리 대수 위에서 다음과 같은 3차 교대 형식

\mu

를 정의할 수 있다.

:

\mu \in \bigwedge^3 \mathfrak g^*

:

\mu(x,y,z) = K([x,y],z)

여기서

K(-,-)

는 킬링 형식이다.

끈 2-리 대수

\mathfrak{string}(\mathfrak g)

는 실수 벡터 공간으로서 다음과 같이 정의된다.

:

\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathbb R[1] \oplus \mathfrak g

여기서

\mathbb R[1]

은 차수 1에 놓인 실수 공간을 의미한다.

코쥘 쌍대성에 따라, 이 끈 2-리 대수에 대응하는 등급 가환 미분 등급 대수는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbb R[y] \otimes \bigwedge\mathfrak g^*

여기서 각 원소의 등급(degree)은

\deg y = 2

,

\deg \mathfrak g^* = 1

이다. 이 미분 등급 대수에서 미분 연산

\mathrm d

는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm dy = \mu

이러한 대수적 구조에 대응하는 위상군을 '''끈 군'''이라고 부른다. 예를 들어, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군

G

는 다음과 같은 호모토피 군을 가진다.

:

\pi_0(G) = \pi_1(G) = \pi_2(G) = 0

:

\pi_3(G) = \mathbb Z

이러한 호모토피 군 정보를 바탕으로,

G

의 화이트헤드 탑을 구성할 수 있으며, 끈 군

\operatorname{String}(G)

는 이 탑의 일부로 나타난다.

:

\dotsb \to \operatorname{String}(G) \to G \to K(\mathbb Z, 3)

여기서

K(\mathbb Z, 3)

은 아일렌베르크-매클레인 공간이다.

특히 스핀 군

G = \operatorname{Spin}(n)

(

n \ge 3

)의 경우를 살펴보자. 직교군

\operatorname O(n)

은 다음과 같은 호모토피 군을 가진다.

:

\pi_0(\operatorname O(n)) = \mathbb Z/2

:

\pi_1(\operatorname O(n)) = \mathbb Z/2

(단,

n=2

일 경우

\mathbb Z

)

:

\pi_2(\operatorname O(n)) = 0

:

\pi_3(\operatorname O(n)) = \mathbb Z

이에 따라 직교군

\operatorname O(n)

의 화이트헤드 탑은 다음과 같이 구성되며, 끈 군

\operatorname{String}(n)

은 이 탑의 한 부분을 차지한다.

:

\dotsb \to \operatorname{Fivebrane}(n) \to \operatorname{String}(n) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to \operatorname O(n)

여기서

\operatorname{Spin}(n)

은 스핀 군,

\operatorname{SO}(n)

은 특수직교군,

\operatorname{Fivebrane}(n)

은 파이브브레인 군을 나타낸다.

2. 2. 2-군을 이용한 정의

일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

군 $G$
군 $H$
군 준동형 $\rho\colon G\to \operatorname{Aut}(H)$
$H$ 를 계수로 가지는 $G$ 의 3차 코호몰로지류 $\alpha\in\operatorname H^3(G;H)$ . 여기서 $H$ 는 준동형 $\rho$ 를 통하여 $G$ -가군으로 간주한다.

이제,

H

가 U(1) 군이고, 군 준동형

\rho

가 모든

G

의 원소

g

를

H

의 항등원(

\operatorname{id}_H

)으로 보내는 특별한 경우를 생각해보자 (

\rho\colon g \mapsto \operatorname{id}_H

). 천-사이먼스 형식을 이용하면, 어떤 1차원 격자

:

\Lambda \subseteq \operatorname H^3(\mathfrak g;\mathfrak u(1))

로부터 코호몰로지 사상

:

\Lambda \hookrightarrow \operatorname H^3(G;\operatorname U(1))

을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수

k

에 대해 이 데이터를 이용하여 2-군

G_k

를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로, 이렇게 정의된

G_k

는 리 군이 아니다.^[3]

끈 군

\operatorname{String}(G)

이 존재하며, 이는 다음과 같은 짧은 완전열을 만족시킨다.

:

0 \to K(\mathbb Z,2) \to \operatorname{String}(G) \to G \to 0

여기서

K(\mathbb Z,2)

는 에일렌베르크-매클레인 공간이며, 무한 차원 복소 사영 공간

\mathbb P^\infty_{\mathbb C}

으로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 리 군으로 표현될 수 없다.

2. 3. 프레셰 리 군을 이용한 정의

단일 연결 단순 콤팩트 리 군

G

에 대하여, 끈군

\operatorname{String}(G)

는 무한 차원 프레셰 리 군으로 표현될 수 있다.^[4]

구체적으로, 임의의 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간

H

가 주어졌다고 가정하자. 이때 사영 유니터리 군

\operatorname{PU}(H)

에 노름 위상을 부여하면, 이는

\operatorname K(\mathbb Z,2)

를 형성한다. 이제, 호모토피 군

:

\mathbb Z \cong \operatorname H^3(G)

의 생성원

:

\alpha \in \operatorname H^3(G)

을 선택하면, 이를 나타내는 주다발

:

\operatorname{PU}(H) \to P \to G

을 고를 수 있다. 또한, 망각 사상(forgetful map)

:

\phi\colon \operatorname{Aut}(P) \to \operatorname{Diff}(G)

이 존재한다. 물론, 군

G

는 스스로에 대한 왼쪽 곱셈 함수

:

\mathsf L \colon G \to \operatorname{Diff}(G)

:

\mathsf L_g \colon h \mapsto gh

를 가진다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Aut}(P) \to \operatorname{Diff}(G) \leftarrow G

이 관계를 이용하여 '''끈 군'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{String}(G) = \{f \in \operatorname{Aut}(P)\colon\exists g\in G\colon \phi(f) = \mathsf L_g \}

2. 4. 프레셰 교차 가군을 이용한 정의

끈군은 프레셰 리 군으로 구성된 교차 가군으로 구성될 수도 있다.^[3] 이 교차 가군

(G',H,\rho,d)

은 구체적으로 다음과 같다.

$G' = \mathrm PG$ (매끄러운 함수 $[0,2\pi]\to G$ 의 점별 곱셈군인 프레셰 리 군)
$H = \hat\Omega_k G$ ( $k$ 차 아핀 리 대수에 대응되는 프레셰 리 군)
$\rho \colon G' \to \operatorname{Aut}(H)$ 는 경로군의, 고리군에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다.
$d\colon H \to G'$ 는 아핀 리 군에서 고리군으로 가는 사영 사상 $\hat\Omega_kG \twoheadrightarrow \Omega G$ 과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 $\Omega G \hookrightarrow PG$ 을 합성한 것이다.

3. 끈 군의 기하학적 이해

끈 군의 기하학은 호모토피 이론의 여러 구조, 특히 아일렌베르크-매클레인 공간 $K(\mathbb{Z},2)$ 와 관련된 개념을 통해 이해할 수 있다.^[1] 이는 본질적으로 $K(\mathbb{Z},2)$ 번들이 무엇인지, 그리고 이러한 고차 군 확장이 어떻게 작동하는지 이해하는 것과 관련이 깊다. 구체적으로 공간 $M$ 위의 $K(\mathbb{Z},2)$ 번들은 번들 게르브로 기하학적으로 표현될 수 있으며, 이는 끈 구조와 스핀 번들의 관계를 설명하는 데 사용된다.

3. 1. 호모토피 이론과의 관계

에일렌베르크-매클레인 공간

K(\mathbb{Z},2)

는 다음과 같은 호모토피 동치 관계 때문에 중요하다:

>

K(\mathbb{Z},1) \simeq U(1) \simeq B\mathbb{Z}

여기서

B\mathbb{Z}

는 정수 군

\mathbb{Z}

의 분류 공간이며,

K(\mathbb{Z},2) \simeq BU(1)

이 성립한다.

복소 스핀 군

\operatorname{Spin}^\mathbb{C}(n)

은 다음과 같은 군 확장으로 표현된다:

>

0\to K(\mathbb{Z},1) \to \operatorname{Spin}^\mathbb{C}(n) \to \operatorname{Spin}(n) \to 0

끈 군

\operatorname{String}(n)

은 이 확장 과정에서

K(\mathbb{Z},1)

대신

K(\mathbb{Z},2)

를 사용하는 유사한 구성으로 볼 수 있다.

K(\mathbb{Z},2)

공간은 고차 군의 한 예시이므로, 끈 군은 고차 군 이론의 관점에서 복소 스핀 군 확장의 "고차" 버전으로 생각할 수 있다. 이는 대상이 단일 점이고 사상이 U(1)인 군범주

\mathbf{B}U(1)

의 위상적 실현으로 이해할 수도 있다.

K(\mathbb{Z},2)

의 호모토피 군은 차수 2에 집중되어 있다. 끈 군은 화이트헤드 타워로부터 정의되는 사상

>

\operatorname{String}(n) \to \operatorname{Spin}(n)

의 호모토피 올(homotopy fiber)로 나타난다. 이 사상의 호모토피 공핵(homotopy cofiber)은

K(\mathbb{Z},3)

이며, 호모토피 올 연산은 관련된 공간의 호모토피 차수를 1만큼 낮추는 효과가 있으므로, 이 과정을 통해 차수 2의 호모토피를 갖는

K(\mathbb{Z},2)

가 끈 군의 구성에 등장하게 된다.

3. 2. 번들 게르브를 이용한 표현

끈 군의 기하학은 호모토피 이론에서 여러 구조를 이해해야 하지만,^[1] 본질적으로 아일렌베르크-매클레인 공간

K(\mathbb{Z},2)

번들이 무엇인지, 그리고 이러한 고차 군 확장이 어떻게 작동하는지 이해하는 것으로 귀결된다. 즉, 공간

M

위의

K(\mathbb{Z},2)

번들은 번들 게르브로 기하학적으로 표현될 수 있다. 이는 모든

K(\mathbb{Z},2)

번들이 다음 호모토피 당김 사각형(homotopy pullback square)을 제공하는 사상의 호모토피 올로 실현될 수 있기 때문이다.

$\begin{matrix}P & \to & * \\\downarrow & & \downarrow \\M & \xrightarrow{f} & K(\mathbb{Z},3)\end{matrix}$

여기서

K(\mathbb{Z},3)

은

K(\mathbb{Z},2)

의 분류 공간

B(K(\mathbb{Z},2))

이다. 이 구성에서 끈 번들

S \to M

은 스핀 번들

\mathbb{S} \to M

로 매핑되어야 한다. 이 매핑은 스핀 번들이 틀 번들로 등변 매핑되는 방식과 유사하게

K(\mathbb{Z},2)

-등변(equivariant)이다.

4. 5-브레인 군과 고차 군

파이브브레인 군(Fivebrane group)은 끈 군 $\operatorname{String}(n)$ 에서 특정 호모토피 군인 $\pi_7(\operatorname{Spin}(n)) \cong \pi_7(\operatorname{O}(n))$ 을 제거하는 방식으로 구성된다. 이 과정에는 화이트헤드 타워의 개념이 사용된다.^[2]

4. 1. 고차 군의 완전열

다섯-브레인 군은 화이트헤드 타워를 사용하여 끈 군

\operatorname{String}(n)

의 호모토피 군

\pi_7(\operatorname{Spin}(n)) \cong \pi_7(\operatorname{O}(n))

을 소멸시킴으로써 이해할 수 있다.^[2] 또한, 다음과 같은 고차 군의 완전열을 통해서도 이해할 수 있다.

:

0 \to K(\mathbb{Z},6) \to \operatorname{Fivebrane}(n) \to \operatorname{String}(n) \to 0

이 완전열은

\operatorname{Fivebrane}(n)

군이

\operatorname{String}(n)

군에 의한

K(\mathbb{Z},6)

군의 확장임을 보여준다. 즉,

\operatorname{Fivebrane}(n)

군은

K(\mathbb{Z},6)

군과

\operatorname{String}(n)

군을 이용한 반복된 확장 구조로 나타낼 수 있다. 여기서 오른쪽 사상(map)은 화이트헤드 타워에서 유도되고, 왼쪽 사상은 호모토피 올이다.

참조

_[1] 논문 Crossed Module Bundle Gerbes; Classification, String Group and Differential Geometry 2011-08
_[2] 논문 Fivebrane Structures 2009-11
_[3] 논문 From loop groups to 2-groups
_[4] 논문 A smooth model for the string group

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com