홈플리 다항식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 타래 관계
- 2.2. 존스 다항식과 알렉산더 다항식
3. 성질
- 3.1. 연산과의 호환성
- 3.2. 천-사이먼스 이론과의 관계
4. 예시
- 4.1. 타래 관계의 예
- 4.2. 홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭
5. 역사
참조

1. 개요

홈플리 다항식은 모든 유향 연환에 대해 정의되는 두 변수 다항식으로, 자명한 매듭에 대해서는 1의 값을 갖는다. 연환 그림의 국소적 수정을 통해 정의되는 세 연환의 홈플리 다항식 사이에는 특정 관계가 성립하며, 타래 관계를 통해 표현될 수 있다. 홈플리 다항식은 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 포함하며, 정수 계수 로랑 다항식의 성질을 갖는다. 매듭의 연결합에 대한 곱셈적 성질, 거울 대칭 매듭 구별 능력, 그리고 방향 불변성을 특징으로 한다. 또한, 천-사이먼스 이론에서 윌슨 고리의 기댓값으로 나타난다. 홈플리 다항식은 스케인 다항식 중 가장 일반화된 형태이며, 존스 다항식과 알렉산더 다항식의 정보를 모두 포함한다. 역사적으로는 알렉산더 다항식, 존스 다항식을 거쳐 여러 수학자에 의해 발견되었으며, HOMFLY라는 이름은 발견자들의 이름에서 유래되었다.

더 읽어볼만한 페이지

매듭 불변량 - 카우프먼 다항식
카우프먼 다항식은 매듭 이론에서 사용되는 다항식 불변량이며, 연환 그림에 대한 로랑 다항식을 통해 계산되고, 특수 직교군 및 심플렉틱 군 천-사이먼스 이론에 대응된다.
매듭 불변량 - 매듭군
매듭군은 매듭 이론에서 매듭을 제거한 공간의 기본군으로 정의되며, 매듭의 대수적 구조를 연구하고 매듭을 분류하는 불변량으로 사용될 뿐 아니라 다양한 과학 분야와 암호 기술에도 응용되는 개념이다.

홈플리 다항식
개요
유형	매듭 다항식
변수 개수	2
발견 시기	1984년 경
발견자	피터 프레이드 데이비드 예터 조스테 호스테 윌리엄 브라운 레이먼드 리코리시 케네스 밀레트 아드리안 오체아누
표기법
일반적인 표기	P(l)
변수	l m
성질
계산 방법	골레이 브래킷을 사용하여 계산
관계	l P(L+) + l⁻¹ P(L-) + m P(L0) = 0
관련 개념
관련 다항식	알렉산더 다항식 존스 다항식

2. 정의

홈플리 다항식은 모든 유향 연환 $K$ 에 대하여 정의되는, 두 변수 $\alpha$ 와 $z$ 에 대한 정수 계수를 가지는 로랑 다항식 $P_K(\alpha,z) \in \mathbb{Z}[\alpha, \alpha^{-1}, z, z^{-1}]$ 이다. 이 다항식은 다음 두 가지 조건으로 유일하게 결정된다.

(임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 $\bigcirc$ 에 대하여, 홈플리 다항식의 값은 1이다.

:

P_\bigcirc(\alpha,z) = 1

다음과 같은 '''타래 관계'''(skein relation^영어)를 만족한다. 임의의 연환 그림에서 한 교차점 주변을 국소적으로 변경하여 얻은 세 연환 $L_+$ , $L_-$ , $L_0$ 에 대해, 이들의 홈플리 다항식은 다음 관계식을 만족한다.

:

\alpha P_{L_+}(\alpha,z)-\alpha^{-1}P_{L_-}(\alpha,z) = zP_{L_0}(\alpha,z)

이 두 규칙을 통해 모든 유향 연환의 홈플리 다항식을 귀납적으로 계산할 수 있다.

2. 1. 타래 관계

홈플리 다항식을 정의하는 중요한 조건 중 하나는 '''타래 관계'''(skein relation^영어)이다. 이는 임의의 연환 그림에서 한 부분을 국소적으로 수정하여 얻어지는 세 종류의 연환, L₊, L_-, L₀ 사이의 관계를 나타낸다.^[5]

위 그림과 같이 국소적으로 다른 세 연환 L₊, L_-, L₀의 홈플리 다항식 P는 다음과 같은 선형 관계식을 만족한다.

:

\alpha P_{L_+}(\alpha,z)-\alpha^{-1}P_{L_-}(\alpha,z) = zP_{L_0}(\alpha,z)

이 관계식은 변수

\alpha

와

z

를 사용하여 표현된 형태이다.

다른 변수

m

과

l

을 사용하여 타래 관계를 다음과 같이 표현하기도 한다.^[5]

:

l P_{L_{+}}(m,l) + l^{-1} P_{L_{-}}(m,l) + m P_{L_{0}}(m,l) = 0 \,

이 두 가지 형태의 타래 관계식은 서로 변환 가능하며, 자명한 매듭에 대한 값(

P_{\bigcirc}=1

)과 함께 홈플리 다항식을 유일하게 결정한다. 이 관계들을 이용하면 어떤 유향 연환에 대해서도 홈플리 다항식을 계산할 수 있다.^[5]

타래 관계식은 다음과 같은 형태로 표현되기도 한다.^[7]

:

x P_{L_{+}}(x,t) - t P_{L_{-}}(x,t) = P_{L_{0}}(x,t) \,

이러한 타래 관계는 홈플리 다항식이 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 일반화하는 다항식 불변량임을 보여주는 핵심적인 요소이다.^[5]

2. 2. 존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식

P_L(\ell, m)

으로부터 다음과 같이 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 정의할 수 있다.

'''존스 다항식'''(Jones polynomial^영어) $V_L(q)$ :

V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})

'''알렉산더 다항식'''(Alexander polynomial^영어) $\Delta_L(q)$ :

\Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})

다른 변수 표현(

\alpha, z

)을 사용하는 경우, 존스 다항식

V(t)

와 알렉산더 다항식

\Delta(t)

는 다음과 같이 홈플리 다항식으로 계산할 수 있다.

존스 다항식: $V(t)=P(\alpha=t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2})$
알렉산더 다항식: $\Delta(t)=P(\alpha=1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

홈플리 다항식은 스케인 관계식을 사용하여 정의되는 '''스케인 다항식''' 중에서 가장 일반적인 형태이며, 존스 다항식과 알렉산더 다항식의 정보를 모두 포함하고 있다. 실제로, 홈플리 다항식에서 변수

l

과

m

에 특정 값을 대입하면 두 다항식을 얻을 수 있다.

존스 다항식: $l= i t^{-1} , m = i(t^{-\frac{1}{2}}-t^{\frac{1}{2}})$ 을 대입 (여기서 ''i''는 허수 단위이다).
알렉산더 다항식: $l= i , m = i(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})$ 을 대입 (여기서 ''i''는 허수 단위이다).

3. 성질

홈플리 다항식 $P_L(\alpha,z)$ 는 변수 $\alpha$ 와 $z$ 에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다. 즉, $P_L(\alpha,z)\in\mathbb Z[\alpha,\alpha^{-1},z,z^{-1}]$ 이다.^[6]

이 다항식은 스케인 관계식을 사용하여 정의되는 '''스케인 다항식''' 중에서 가장 일반적인 형태이며, 존스 다항식과 알렉산더 다항식을 특수한 경우로 포함한다. 홈플리 다항식의 변수에 특정 값을 대입하여 이 두 다항식을 얻을 수 있다.

: $V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})$ (존스 다항식)

: $\Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})$ (알렉산더 다항식)

여기서 얻어지는 존스 다항식과 알렉산더 다항식은 $q^{1/2}$ 에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

홈플리 다항식은 유향 매듭 또는 연환의 위상 불변량으로, 동일한 매듭이나 연환의 서로 다른 그림(매듭 도표)에 대해 계산해도 같은 다항식을 얻는다. 하지만 홈플리 다항식이 같다고 해서 항상 동일한 매듭이나 연환인 것은 아니다. 즉, 홈플리 다항식은 완전한 불변량은 아니며, 실제로 동일한 홈플리 다항식을 갖는 서로 다른 유향 매듭이 무한히 많이 존재한다는 사실이 알려져 있다.^[6]

또한, 홈플리 다항식은 매듭이나 연환에 대한 여러 연산(연결합, 분리합, 거울상 연산 등)과 특정 관계를 가지며, 연환의 모든 성분의 방향을 동시에 바꾸는 것에 대해 불변이다. 이 성질 때문에 키랄성 구별에 사용되기도 하지만, 동일한 홈플리 다항식을 갖는 키랄 매듭 쌍도 존재한다.^[3] (자세한 내용은 하위 섹션 연산과의 호환성 참조)

3. 1. 연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭이나 연환에 대한 여러 연산과 다음과 같은 관계를 가진다.

연결합: 두 유향 매듭 $K$ 와 $K'$ 의 연결합 $K\# K'$ 에 대한 홈플리 다항식은 각 매듭의 홈플리 다항식의 곱과 같다.^[6]

:

P_{K\# K'}(\alpha,z) = P_K(\alpha, z)P_{K'}(\alpha,z)

이 성질은 연환의 연결합

L_1 \# L_2

에 대해서도 동일하게 성립한다. 연결합을 만드는 방식(어떤 성분을 연결하는지)에 따라 결과 연환은 달라질 수 있지만, 홈플리 다항식 값은 항상 각 연환의 다항식 곱이 된다. 이는 서로 다른 연환이 동일한 홈플리 다항식을 가질 수 있음을 보여준다.^[6]

분리합 (서로 얽히지 않은 연환): 서로 얽히지 않은 두 성분으로 이루어진 연환 $L=L_1\sqcup L_2$ (분리합)의 홈플리 다항식은 다음과 같다.^[6]

:

P_{L_1\sqcup L_2}(\alpha,z) = \frac{\alpha - \alpha^{-1}}z P_{L_1}(\alpha,z) P_{L_2}(\alpha,z)

(다른 변수 표기

l, m

을 사용하면

P(L_{1} \cup L_{2}) = -(l + l^{-1}) m^{-1} P(L_{1}) P(L_{2})

로 표현되기도 한다.)

거울상: 유향 연환 $L$ 의 거울상을 $\bar L$ 이라고 할 때, 홈플리 다항식은 다음과 같이 변환된다.

:

P_{\bar L}(\alpha,z) = P_L(-\alpha^{-1},z)

(다른 변수 표기

l, m

을 사용하면

P_{\text{거울상}(K)}(\ell,m)=P_K(\ell^{-1},m)

이다.)

이 성질 덕분에 홈플리 다항식은 종종 서로 다른 키랄성을 가진 두 매듭을 구별하는 데 사용될 수 있다. 하지만 동일한 홈플리 다항식을 갖는 키랄 매듭 쌍도 존재한다. 예를 들어, 매듭 이론에서 매듭 9₄₂와 10₇₁은 각각 자신의 거울상과 동일한 홈플리 다항식을 가진다.^[3]

방향성: 매듭의 홈플리 다항식은 매듭의 방향 설정에 의존하지 않는다. 더 일반적으로, 유향 연환의 경우 모든 연결 성분의 방향을 동시에 반대로 바꾸어도 홈플리 다항식은 변하지 않는다. 따라서 홈플리 다항식은 방향이 없는 매듭의 불변량으로도 간주될 수 있다.

3. 2. 천-사이먼스 이론과의 관계

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.^[9]

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위

k\in\mathbb N

의

\operatorname{SU}(N)

천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환

L

에 대한,

N

차원 defining representation|정의 표현^영어에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.^[9]

:

\left\langle \operatorname{tr}\oint_LA\right\rangle=\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{z}P_L(\alpha,z)

:

q=\exp\frac{2\pi\mathrm i}{N+k}

:

z=q^{1/2}-q^{-1/2}

:

\alpha = q^{N/2}

4. 예시

몇 가지 간단한 매듭과 연환에 대한 홈플리 다항식은 다음과 같다.

매듭	홈플리 다항식
공집합 (0개 연결 성분의 연환)	$z/(\alpha - \alpha^{-1})$
자명한 매듭 0₁	1
$n$ 개 연결 성분의 자명한 연환	$(\alpha - \alpha^{-1})^{n-1}/z^{n-1}$
세잎매듭 3₁ (왼손)	$2\alpha^2 - \alpha^4 + \alpha^2 z^2$
세잎매듭 3₁ (오른손)	$2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2$
8자 모양 매듭 4₁	$-1 + \alpha^2 + \alpha^{-2} - z^2$
호프 연환 $2^1_1$ (연환수 +1)	$\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1}-\alpha^{-3}z^{-1}$
호프 연환 $2^1_1$ (연환수 −1)	$-\alpha z - \alpha z^{-1} +\alpha^3z^{-1}$

4. 1. 타래 관계의 예

홈플리 다항식은 정의에 사용된 타래 관계(skein relation)를 반복적으로 적용하여 계산할 수 있다. 이 방법을 통해 다양한 매듭과 연환의 다항식 불변량을 구할 수 있다.

대표적인 계산 예시는 다음과 같으며, 구체적인 계산 과정은 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

자명한 연환
호프 연환
세잎매듭

4. 1. 1. 자명한 연환

(자명한 매듭

0_1

)

(자명한 매듭

0_1

)

(자명한 연환

0_1\sqcup 0_1

)

매듭	왼손 세잎매듭	오른손 세잎매듭
이름	왼손 세잎매듭	오른손 세잎매듭
홈플리 다항식 (원본 소스 기준)	$2\alpha^2 - \alpha^4 + \alpha^2 z^2$	$2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2$

홈플리 다항식

1. 개요

더 읽어볼만한 페이지

2. 정의

2. 1. 타래 관계

2. 2. 존스 다항식과 알렉산더 다항식

3. 성질

3. 1. 연산과의 호환성

3. 2. 천-사이먼스 이론과의 관계

4. 예시

4. 1. 타래 관계의 예

4. 1. 1. 자명한 연환

4. 1. 2. 호프 연환

4. 1. 3. 세잎매듭

4. 2. 홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭

5. 역사

참조

그림
기호	$L_+$	$L_-$	$L_0$
설명	호프 연환 $2^1_1$ (연환수 +1)	두 개의 고리로 이루어진 자명한 연환 $0_1\sqcup0_1$	자명한 매듭 $0_1$

유향 연환
연환수	+1	−1
홈플리 다항식	$\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1}-\alpha^{-3}z^{-1}$	$-\alpha z - \alpha z^{-1} +\alpha^3z^{-1}$

세잎매듭 L+	자명한 매듭 L-	호프 연환 L0
$L_+$	$L_-$	$L_0$
세잎매듭 $3_1$ (오른손)	자명한 매듭 $0_1$	호프 연환 $2^1_1$ (연환수 +1)