63

2. 수학

63은 유한 단순군의 리 유형 분류에서 36과 함께 세 개의 리 유형의 예외적 군의 차수에 나타나는 지수이다. 또한 리 대수 $E\_\{7\}$는 7차원 공간에 63개의 양의 근 벡터를 가지며(총 126개, 63의 두 배),^[15] 37개의 전체 복소 반사군 중 36번째로 큰 $W(E\_\{7\})$의 차수는 $2^\{63\}$이다.^[16] 6차원에는 추상 초입방체 $\backslash mathrm\; \{B\_\{6\}\}$ 콕서터 군에서 생성되는 63개의 균일 다면체가 있으며,^[17] 3차원에는 이코사헤드론 대칭 $\backslash mathrm\; \{I\_\{h\}\}$를 사용하여 밀러 규칙에 의해 생성되는 총 63개의 별모양화가 있다.^[18]

2. 1. 수의 성질

• 합성수이며, 약수는 1, 3, 7, 9, 21, 63이다. 진약수의 합은 41이므로, 63은 부족수이다.
• $63\; =\; 7\; \backslash times\; 9$
• * 연속하는 두 홀수의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 성질을 지닌 앞의 수는 35, 다음 수는 99이다.
• 6번째 메르센 수로, 2의 6제곱에서 1을 뺀 수이다.
• 63은 처음 여섯 개의 2의 거듭제곱 (2⁰ + 2¹ + ... 2⁵)의 합이다. 이는 여덟 번째 고도로 작은 약수 수^[1] 이고, 7과 25 다음의 네 번째 중심 사각뿔수이다.^[2] 다섯 개의 레이블이 없는 요소에 대해, 63개의 포셋이 있다.^[3]

• 63은 $\backslash ,\; p^\{2\}\; \backslash times\; q$ 형태의 일곱 번째 ''제곱-소수''이자 $3^\{2\}\; \backslash times\; q$ 형태의 두 번째 수이다. 이는 소수 진약수 합 41을 포함하며, 이는 열세 번째 인덱싱된 소수이다. 또한 '''41'''-진약수 나무 내에서 진약수 수열(63, 41, 1, 0)의 일부이다.

• 지그몬디 정리에 따르면, $a>b>0$이 서로소 정수일 때, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; 1$에 대해 $a^n-b^n$을 나누고, 어떤 양의 정수
• * $n=1$, $a-b=1;\; \backslash ;$ 와 $a^n-b^n=1$은 소수 약수를 갖지 않음,
• * $n=2$, $a+b\; \backslash ;$ 는 2의 거듭제곱, 여기서 $a^2-b^2=(a+b)(a^1-b^1)$의 어떤 홀수 소인수도 $a^1-b^1$에 포함되며, 이는 짝수임.
• 그리고 $n=6$이고 $a=2$, $b=1$인 특별한 경우, 이는 $a^6-b^6=2^6-1^6=63=3^2\backslash times\; 7=(a^2-b^2)^2\; (a^3-b^3)$을 생성한다.^[4]

• 63은 $n$이 $6$인 $2^\{n\}\; -\; 1$ 형태의 ''메르센 수''이다.^[5] 그러나 63이 44번째 합성수이므로 이는 메르센 소수를 생성하지 않는다.^[6] 이는 메르센 수열에서 소수 소인수가 각각 수열의 적어도 하나의 이전 요소의 약수인 유일한 수이다(3과 7, 각각 첫 번째와 두 번째 메르센 소수).^[7] 메르센 수 목록에서 63은 메르센 소수 31과 127 사이에 있으며, 127은 서른한 번째 소수이다.^[5] 가장 간단한 형태 $2n+1$의 서른한 번째 홀수는 63이다.^[8] 또한 $n\; =\; 4$인 $n\; \backslash cdot\; 2^n\; -\; 1$ 형태의 네 번째 우달 수이며, 이전 멤버는 1, 7 및 23이다(이는 세 번째 메르센 소수인 31까지 더해진다).^[9]

• 모든 (짝수 및 홀수) 정수를 대표하는 정수 양의 정부호 이차 행렬 $\backslash \{1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 6,\; 7,\; 10,\; 14,\; 15\backslash \}$에서,^[10][11] 아홉 개의 모든 항의 합은 63이다.

• 63은 델라누이 수로, 북쪽, 동쪽 또는 북동쪽으로 단일 단계를 사용하여 $3\; \backslash times\; 3$ 격자에서 서남쪽 모서리에서 동북쪽 모서리로 가는 경로의 수를 나타내는 세 번째 수이다.^[12]
• 63은 자기 자신과 (그리고 그 이하의) 서로소인 36개의 정수를 갖는다. 즉, 오일러 피 함수.^[13]
• 63은 합성수이며, 양의 약수는 1, 3, 7, 9, 21, 63이다.
• * 약수의 합은 104이다.
• ¹⁄₆₃ = 0.… (밑줄 부분은 순환절로 길이는 6)
• * 역수가 순환소수가 되는 수로 순환절이 6이 되는 12번째 수이다. 하나 앞은 56, 다음은 65이다.
• 63 = 2⁶ − 1
• * 2^''p'' − 1은 ''p''가 합성수일 때는 합성수가 된다.
• * 6번째 메르센 수이다. 하나 앞은 31, 다음은 127이다.
• ** 3번째 메르센 소수가 아닌 메르센 수이다. 하나 앞은 15, 다음은 255이다.
• * 63 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵
• ** 메르센 수 2^''p'' − 1은 1 (2⁰)부터 2^''n''−1까지의 2의 거듭제곱수의 총합과 같다.
• ** ''n'' = 2일 때의 ''n''⁵ + ''n''⁴ + ''n''³ + ''n''² + ''n'' + 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 6, 다음은 364이다.

• * ''n'' = 2일 때의 ''n''⁶ − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 0, 다음은 728이다.
• * 63 = 4³ − 1
• ** ''n'' = 3일 때의 4^''n'' − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 15, 다음은 255이다.
• ** ''n'' = 4일 때의 ''n''³ − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 26, 다음은 124이다.
• ** ''n'' = 4일 때의 4''n''² − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 35, 다음은 99이다.
• * 63 = 8² − 1
• ** ''n'' = 2일 때의 8^''n'' − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 7, 다음은 511이다.
• ** ''n'' = 8일 때의 ''n''² − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 48, 다음은 80이다.
• * 63 = 16 × 2² − 1
• ** ''n'' = 2일 때의 16''n''² − 1의 값으로 볼 때 하나 앞은 15, 다음은 143이다.
• * 63 = 4 × 2⁴ − 1
• ** 4번째 우달 수이다. 하나 앞은 23, 다음은 159이다.
• 구구단에서는 7단에서 7 × 9 = 63 (칠구육십삼), 9단에서 9 × 7 = 63 (구칠육십삼)과 같이 2가지로 나타낼 수 있다.
• 26번째 하샤드 수이다. 하나 앞은 60, 다음은 70이다.
• * 9를 밑으로 하는 7번째 하샤드 수이다. 하나 앞은 54, 다음은 72이다.
• 각 자리의 곱이 각 자리의 합의 2배가 되는 3번째 수이다. 하나 앞은 44, 다음은 138이다.
• √4000에 가장 가까운 정수이다. √4000 = 63.24555…. 63² = 3969, 64² = 4096.
• 약수의 합이 63이 되는 수는 1개 있다. (32) 약수의 합 1개로 나타낼 수 있는 20번째 수이다. 하나 앞은 62, 다음은 68이다.
• * 약수의 합이 홀수가 되는 9번째 홀수이다. 하나 앞은 57, 다음은 91이다.
• 63 = 7 × 3²
• * ''n'' = 3일 때의 7''n''²의 값으로 볼 때 하나 앞은 28, 다음은 112이다.
• * ''n'' = 2일 때의 7 × 3^''n''의 값으로 볼 때 하나 앞은 21, 다음은 189이다.
• * 2개의 서로 다른 소인수의 곱으로 ''p''² × ''q''의 형태로 나타낼 수 있는 9번째 수이다. 하나 앞은 52, 다음은 68이다.
• 15번째 행운수이다. 하나 앞은 51, 다음은 67이다.
• * 행운수 자신의 모든 약수가 행운수인 수로는 11번째이다. 하나 앞은 49, 다음은 67이다.
• * 거듭제곱수는 물론 1이 될 수 없는 행운수도 11번째이다. 하나 앞은 51, 다음은 67이다.
• 자릿수의 조화 평균이 4가 되는 4번째 수이다. 하나 앞은 44, 다음은 288이다.
• : 예. ²⁄_{(¹⁄6 + ¹⁄3)} = 4
• 8제곱한 수의 각 자리의 합이 원래의 수가 되는 최대의 수이다. 하나 앞은 54이다.
• : 63⁸ = 248155780267521 → 2 + 4 + 8 + 1 + 5 + 5 + 7 + 8 + 0 + 2 + 6 + 7 + 5 + 2 + 1 = 63
• * ''n'' = 8일 때의 ''n''제곱한 수의 각 자리의 합이 원래의 수가 되는 최대의 수로 볼 때 하나 앞의 7제곱은 68, 다음 9제곱은 81이다.
• 1부터 10까지의 수를 사용하여 분수 ^''p''⁄_''q''를 만들 때 기약분수(서로소)의 수는 63개이다. 하나 앞 9까지는 55개, 다음 11까지는 83개이다.
• ''n'' = 3일 때의 2''n''과 ''n''을 나열하여 만들 수 있는 수이다. 하나 앞은 42, 다음은 84이다.

2. 2. 기타 수학적 특징

• 합성수로, 그 약수는 1, 3, 7, 9, 21, 63이다. 진약수의 합은 41이므로, 63은 부족수이다.
• $63\; =\; 7\; \backslash times\; 9$
• * 연속하는 두 홀수의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 성질을 지닌 앞의 수는 35, 다음 수는 99이다.
• 6번째 메르센 수로, 2의 6제곱에서 1을 뺀 수이다.
• 63은 처음 여섯 개의 거듭제곱의 2 (2⁰ + 2¹ + ... 2⁵)의 합이다. 이는 여덟 번째 고도로 작은 약수 수^[1] 이고, 7과 25 다음의 네 번째 중심 사각뿔수이다.^[2] 다섯 개의 레이블이 없는 요소에 대해, 63개의 포셋이 있다.^[3]
• 63은 $\backslash ,\; p^\{2\}\; \backslash times\; q$ 형태의 일곱 번째 ''제곱-소수''이자 $3^\{2\}\; \backslash times\; q$ 형태의 두 번째 수이다. 이는 소수 진약수 합 41을 포함하며, 이는 열세 번째 인덱싱된 소수이다. 또한 '''41'''-진약수 나무 내에서 진약수 수열(63, 41, 1, 0)의 일부이다.

• 지그몬디 정리에 따르면, $a>b>0$이 서로소 정수일 때, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; 1$에 대해 $a^n-b^n$을 나누고, 어떤 양의 정수
• 63은 $n$이 $6$인 $2^\{n\}\; -\; 1$ 형태의 ''메르센 수''이다.^[5] 그러나 63이 44번째 합성수이므로 이는 메르센 소수를 생성하지 않는다.^[6] 이는 메르센 수열에서 소수 소인수가 각각 수열의 적어도 하나의 이전 요소의 약수인 유일한 수이다(3과 7, 각각 첫 번째와 두 번째 메르센 소수).^[7] 메르센 수 목록에서 63은 메르센 소수 31과 127 사이에 있으며, 127은 서른한 번째 소수이다.^[5] 가장 간단한 형태 $2n+1$의 서른한 번째 홀수는 63이다.^[8] 또한 $n\; =\; 4$인 $n\; \backslash cdot\; 2^n\; -\; 1$ 형태의 네 번째 우달 수이며, 이전 멤버는 1, 7 및 23이다(이는 세 번째 메르센 소수인 31까지 더해진다).^[9]
• 모든 (짝수 및 홀수) 정수를 대표하는 정수 양의 정부호 이차 행렬 $\backslash \{1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 6,\; 7,\; 10,\; 14,\; 15\backslash \}$에서,^[10][11] 아홉 개의 모든 항의 합은 63이다.
• 63은 델라누이 수로, 북쪽, 동쪽 또는 북동쪽으로 단일 단계를 사용하여 $3\; \backslash times\; 3$ 격자에서 서남쪽 모서리에서 동북쪽 모서리로 가는 경로의 수를 나타내는 세 번째 수이다.^[12]
• 63은 자기 자신과 (그리고 그 이하의) 서로소인 36개의 정수를 갖는다. 즉, 오일러 피 함수.^[13]
• 유한 단순군의 리 유형 분류에서, 63과 36은 모두 세 개의 리 유형의 예외적 군의 차수에서 나타나는 지수이다.
• 리 대수 $E\_\{6\}$는 6차원 공간에 36개의 양의 근을 가지는 반면, $E\_\{7\}$는 7차원 공간에 63개의 양의 근 벡터를 갖는다 (총 126개의 근 벡터, 63의 두 배).^[15]
• 37개의 전체 복소 반사군 중 36번째로 큰 것은 $W(E\_\{7\})$으로, 차수는 $2^\{63\}$이며, 이전 $W(E\_\{6\})$의 차수는 $2^\{36\}$이다. 이들은 각각 $E\_\{7\}$ 및 $E\_\{6\}$과 관련이 있다.^[16]
• 6차원에는 추상 초입방체 $\backslash mathrm\; \{B\_\{6\}\}$ 콕서터 군에서 생성되는 63개의 균일 다면체가 있다 (때로는 데미큐브도 이 집합에 포함된다).^[17]
• 3차원에는 이코사헤드론 대칭 $\backslash mathrm\; \{I\_\{h\}\}$를 사용하여 밀러 규칙에 의해 생성되는 총 63개의 별모양화가 있다.^[18]
• 63의 약수의 합 $\backslash sigma(63)=104$는^[22] 산발군 $\backslash mathrm\; B$의 주 모듈러 함수 (맥케이-톰슨 급수) $T\_\{2A\}(\backslash tau)$에 속하는 상수항 $a(0)\; =\; 104$와 같다. 여기서 $\backslash mathrm\; B$는 친절한 거인 $\backslash mathrm\; F\_\{1\}$ 다음으로 두 번째로 큰 군이다.^[23] 이 값은 또한 티츠 군 $\backslash mathrm\; T$의 최소 충실한 차원 표현의 값이기도 하다.^[24]
• 63은 합성수이며, 양의 약수는 1, 3, 7, 9, 21, 63이다.
• * 약수의 합은 104이다.
• 1/63 = 0.015873… (밑줄 부분은 순환절로 길이는 6)
• * 역수가 순환소수가 되는 수로 순환절이 6이 되는 12번째 수이다. 하나 앞은 56, 다음은 65이다.
• 63 = 2⁶ - 1
• * 2^''p'' - 1은 ''p''가 합성수일 때는 합성수가 된다.
• * 6번째 메르센 수이다. 하나 앞은 31, 다음은 127이다.
• ** 3번째 메르센 소수가 아닌 메르센 수이다. 하나 앞은 15, 다음은 255이다.
• * 63 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵
• ** 메르센 수 2^''p'' - 1은 1 (2⁰)부터 2^''n''-1까지의 2의 거듭제곱수의 총합과 같다.
• ** ''n'' = 2일 때의 ''n''⁵ + ''n''⁴ + ''n''³ + ''n''² + ''n'' + 1의 값이다.

• * ''n'' = 2일 때의 ''n''⁶ - 1의 값이다.
• * 63 = 4³ - 1
• ** ''n'' = 3일 때의 4^''n'' - 1의 값이다.
• ** ''n'' = 4일 때의 ''n''³ - 1의 값이다.
• ** ''n'' = 4일 때의 4''n''² - 1의 값이다.
• * 63 = 8² - 1
• ** ''n'' = 2일 때의 8^''n'' - 1의 값이다.
• ** ''n'' = 8일 때의 ''n''² - 1의 값이다.
• * 63 = 16 × 2² - 1
• ** ''n'' = 2일 때의 16''n''² - 1의 값이다.
• * 63 = 4 × 2⁴ - 1
• ** 4번째 우달 수이다. 하나 앞은 23, 다음은 159이다.
• 구구단에서는 7단에서 7 × 9 = 63 (칠구육십삼), 9단에서 9 × 7 = 63 (구칠육십삼)과 같이 2가지로 나타낼 수 있다.
• 26번째 하샤드 수이다. 하나 앞은 60, 다음은 70이다.
• * 9를 밑으로 하는 7번째 하샤드 수이다. 하나 앞은 54, 다음은 72이다.
• 각 자리의 곱이 각 자리의 합의 2배가 되는 3번째 수이다. 하나 앞은 44, 다음은 138이다.
• √4000에 가장 가까운 정수이다. √4000 = 63.24555…. 63²=3969, 64²=4096.
• 약수의 합이 63이 되는 수는 1개 있다. (32) 약수의 합 1개로 나타낼 수 있는 20번째 수이다. 하나 앞은 62, 다음은 68이다.
• * 약수의 합이 홀수가 되는 9번째 홀수이다. 하나 앞은 57, 다음은 91이다.
• 63 = 7 × 3²
• * ''n'' = 3일 때의 7''n''²의 값이다.
• * ''n'' = 2일 때의 7 × 3^''n''의 값이다.
• * 2개의 서로 다른 소인수의 곱으로 ''p''² × ''q''의 형태로 나타낼 수 있는 9번째 수이다. 하나 앞은 52, 다음은 68이다.
• 15번째 행운수이다. 하나 앞은 51, 다음은 67이다.
• * 행운수 자신의 모든 약수가 행운수인 수로는 11번째이다. 하나 앞은 49, 다음은 67이다.
• * 거듭제곱수는 물론 1이 될 수 없는 행운수도 11번째이다. 하나 앞은 51, 다음은 67이다.
• 자릿수의 조화 평균이 4가 되는 4번째 수이다. 하나 앞은 44, 다음은 288이다.
• : 예. 2/(1/6 + 1/3) = 4
• 8제곱한 수의 각 자리의 합이 원래의 수가 되는 최대의 수이다. 하나 앞은 54이다.
• : 63⁸ = 248155780267521 → 2 + 4 + 8 + 1 + 5 + 5 + 7 + 8 + 0 + 2 + 6 + 7 + 5 + 2 + 1 = 63
• * ''n'' = 8일 때의 ''n''제곱한 수의 각 자리의 합이 원래의 수가 되는 최대의 수이다.
• 1부터 10까지의 수를 사용하여 분수 ''p''/''q''를 만들 때 기약분수(서로소)의 수는 63개이다. 하나 앞 9까지는 55개, 다음 11까지는 83개이다.
• ''n'' = 3일 때의 2''n''과 ''n''을 나열하여 만들 수 있는 수이다. 하나 앞은 42, 다음은 84이다.